6.6: Propiedades logarítmicas

Uso de la regla del producto para logaritmos

 

Recuerde que las funciones logarítmicas y exponenciales se “deshacen” entre sí. Esto significa que los logaritmos tienen propiedades similares a los exponentes. Aquí se dan algunas propiedades importantes de los logaritmos. Primero, las siguientes propiedades son fáciles de probar.

 

[ begin {align *} log_b1 & = 0 \ [4pt] log_bb & = 1 end {align *} ]

 

Por ejemplo, ({ log} _51 = 0 ) desde (5 ^ 0 = 1 ). Y ({ log} _55 = 1 ) desde (5 ^ 1 = 5 ).

 

A continuación, tenemos la propiedad inversa.

 

[ begin {align *} log_b (b ^ x) & = x \ [4pt] b ^ { log_b x} & = x, , x> 0 end {align *} ]

 

Por ejemplo, para evaluar ({ log (100)} ), podemos reescribir el logaritmo como ({ log} _10 ({10} ^ 2) ) y luego aplicar la propiedad inversa ({ log} _b (b ^ x) = x ) para obtener ({ log} _ {10} ({10} ^ 2) = 2 ).

 

Para evaluar (e ^ { ln (7)} ), podemos reescribir el logaritmo como (e ^ {{ log} _e7} ), y luego aplicar la propiedad inversa (b ^ { { log} _bx} = x ) para obtener (e ^ {{ log} _e 7} = 7 ).

 

Finalmente, tenemos la propiedad uno a uno.

 

[ log_bM = log_bN text {si y solo si} M = N ]

 

Podemos usar la propiedad uno a uno para resolver la ecuación ({ log} _3 (3x) = { log} _3 (2x + 5) ) para (x ). Como las bases son las mismas, podemos aplicar la propiedad uno a uno estableciendo los argumentos iguales y resolviendo para (x ):

 

(3x = 2x + 5 ) Establezca los argumentos iguales.

 

(x = 5 ) Restar (2x ).

 

Pero, ¿qué pasa con la ecuación ({ log} _3 (3x) + { log} _3 (2x + 5) = 2 )? La propiedad uno a uno no nos ayuda en este caso. Antes de que podamos resolver una ecuación como esta, necesitamos un método para combinar términos en el lado izquierdo de la ecuación.

 

Recuerde que usamos la regla de producto de exponentes para combinar el producto de exponentes agregando: (x ^ ax ^ b = x ^ {a + b} ). Tenemos una propiedad similar para los logaritmos, llamada la regla del producto para los logaritmos , que dice que el logaritmo de un producto es igual a una suma de logaritmos. Debido a que los registros son exponentes, y los multiplicamos como bases, podemos agregar los exponentes. Usaremos la propiedad inversa para derivar la siguiente regla del producto.

 

Dado cualquier número real (x ) y números reales positivos (M ), (N ) y (b ), donde (b ≠ 1 ), mostraremos

 

({ log} _b (MN) = { log} _b (M) + { log} _b (N) ).

 

Sea (m = { log} _bM ) y (n = { log} _bN ). En forma exponencial, estas ecuaciones son (b ^ m = M ) y (b ^ n = N ). Se deduce que

 

[ begin {align *} { log} _b (MN) & = { log} _b (b ^ mb ^ n) qquad text {Sustituya por M y N} \ [4pt] & = { log} _b (b ^ {m + n}) qquad text {Aplicar la regla del producto para exponentes} \ [4pt] & = m + n qquad text {Aplicar la propiedad inversa de los registros} [4pt] & = { log} _b (M) + { log} _b (N) qquad text {Sustituya myn} end {align *} ]

 

Tenga en cuenta que las aplicaciones repetidas de la regla del producto para logaritmos nos permiten simplificar el logaritmo del producto de cualquier número de factores. Por ejemplo, considere ({ log} _b (wxyz) ). Usando la regla del producto para logaritmos, podemos reescribir este logaritmo de un producto como la suma de logaritmos de sus factores:

 

({ log} _b (wxyz) = { log} _bw + { log} _bx + { log} _by + { log} _bz )

 

 

 

LA REGLA DEL PRODUCTO PARA LOGARITMOS

 

La regla del producto para logaritmos se puede usar para simplificar un logaritmo de un producto reescribiéndolo como una suma de logaritmos individuales.

 

[ begin {align} { log} _b (MN) = { log} _b (M) + { log} _b (N) text {for} b> 0 end {align} ]

 

 

 

Cómo: dado el logaritmo de un producto, use la regla del producto de logaritmos para escribir una suma equivalente de logaritmos

 

     
1. Factoriza el argumento completamente, expresando cada factor de número entero como un producto de números primos.
     
2. Escribe la expresión equivalente sumando los logaritmos de cada factor.
 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Uso de la regla del producto para logaritmos

 

Expande ({ log} _3 (30x (3x + 4)) ).

 

Solución

 

Comenzamos factorizando completamente el argumento, expresando (30 ) como un producto de números primos.

 

({ log} _3 (30x (3x + 4)) = { log} _3 (2⋅3⋅5⋅x⋅ (3x + 4)) )

 

A continuación, escribimos la ecuación equivalente sumando los logaritmos de cada factor.

 

({ log} _3 (30x (3x + 4)) = { log} _3 (2) + { log} _3 (3) + { log} _3 (5) + { log} _3 (x) + { log} _3 (3x + 4) )

 

 

 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Expande ({ log} _b (8k) ).

 

     

Respuesta

     

     

({ log} _b2 + { log} _b2 + { log} _b2 + { log} _bk = 3 { log} _b2 + { log} _bk )

     

 

 

 

 

Usando la regla del cociente para los logaritmos

 

Para los cocientes, tenemos una regla similar para los logaritmos. Recuerde que usamos la regla del cociente de exponentes para combinar el cociente de exponentes restando: (x ^ { frac {a} {b}} = x ^ {a − b} ). La regla del cociente para logaritmos dice que el logaritmo de un cociente es igual a una diferencia de logaritmos.

 

 

 

LA REGLA DEL COCIENTE PARA LOS LOGARITMOS

 

La regla del cociente para logaritmos se puede usar para simplificar un logaritmo o un cociente reescribiéndolo como la diferencia de los logaritmos individuales.

 

[{ log} _b left ( dfrac {M} {N} right) = { log} _bM – { log} _bN ]

 

Al igual que con la regla del producto, podemos usar la propiedad inversa para derivar la regla del cociente.  

 

Prueba

 

Dado cualquier número real (x ) y números reales positivos (M ), (N ), y b, b, donde (b ≠ 1 ), mostraremos

 

({ log} _b left ( dfrac {M} {N} right) = { log} _b (M) – { log} _b (N) ).

 

Sea (m = { log} _bM ) y (n = { log} _bN ). En forma exponencial, estas ecuaciones son (b ^ m = M ) y (b ^ n = N ). Se deduce que

 

[ begin {align *} { log} _b left ( dfrac {M} {N} right) & = { log} _b left ( dfrac {b ^ m} {b ^ n} right) qquad text {Sustituye M y N} \ [4pt] & = { log} _b (b ^ {mn}) qquad text {Aplica la regla del cociente para exponentes} \ [ 4pt] & = mn qquad text {Aplicar la propiedad inversa de los registros} \ [4pt] & = { log} _b (M) – { log} _b (N) qquad text {Sustituya m y n} end {align *} ]

 

 

Por ejemplo, para expandir ({ log} left ( dfrac {2x ^ 2 + 6x} {3x + 9} right) ), primero debemos expresar el cociente en términos más bajos. Factorizando y cancelando tenemos,

 

[ begin {align *} { log} left ( dfrac {2x ^ 2 + 6x} {3x + 9} right) & = { log} left ( dfrac {2x (x +3)} {3 (x + 3)} right) qquad text {Factoriza el numerador y el denominador} \ [4pt] & = { log} left ( dfrac {2x} {3} right ) qquad text {Cancelar los factores comunes} end {align *} ]

 

Luego, aplicamos la regla del cociente restando el logaritmo del denominador del logaritmo del numerador. Luego aplicamos la regla del producto.

 

[ begin {align *} { log} left ( dfrac {2x} {3} right) & = { log} (2x) – { log} (3) \ [4pt ] & = { log} (2) + { log} (x) – { log} (3) end {align *} ]

 

       

Uso de la regla de potencia para logaritmos

 

Hemos explorado la regla del producto y la regla del cociente, pero ¿cómo podemos tomar el logaritmo de una potencia, como (x ^ 2 )? Un método es el siguiente:

 

[ begin {align *} { log} _b (x ^ 2) & = { log} _b (x cdot x) \ [4pt] & = { log} _bx + { log} _bx \ [4pt] & = 2 { log} _bx end {align *} ]

 

Observe que utilizamos la regla del producto para logaritmos para encontrar una solución para el ejemplo anterior. Al hacerlo, hemos derivado la regla de potencia para logaritmos , que dice que el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base. Tenga en cuenta que, aunque la entrada a un logaritmo puede no escribirse como una potencia, podemos cambiarla a una potencia. Por ejemplo,

 

(100 = {10} ^ 2 ) ( sqrt {3} = 3 ^ { dfrac {1} {2}} ) ( dfrac {1} {e} = e ^ { −1} )

 

 

 

LA REGLA DE PODER DE LOS LOGARITMOS

 

La regla de potencia para logaritmos se puede usar para simplificar el logaritmo de una potencia reescribiéndola como el producto del exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

 

[{ log} _b (M ^ n) = n { log} _bM ]

 

 

               

Expresiones logarítmicas en expansión

 

En conjunto, la regla del producto, la regla del cociente y la regla del poder a menudo se denominan “leyes de los registros”. A veces aplicamos más de una regla para simplificar una expresión. Por ejemplo:

 

[ begin {align *} { log} _b left ( dfrac {6x} {y} right) & = { log} _b (6x) – { log} _by \ [4pt ] & = { log} _b6 + { log} _bx – { log} _by end {align *} ]

 

Podemos usar la regla de potencia para expandir las expresiones logarítmicas que involucran exponentes negativos y fraccionarios. Aquí hay una prueba alternativa de la regla del cociente para logaritmos usando el hecho de que un recíproco es un poder negativo:

 

[ begin {align *} { log} _b left ( dfrac {A} {C} right) & = { log} _b (AC ^ {- 1}) \ [4pt] & = { log} _b (A) + { log} _b (C ^ {- 1}) \ [4pt] & = { log} _bA + (- 1) { log} _bC \ [4pt] & = { log} _bA – { log} _bC end {align *} ]

 

También podemos aplicar la regla del producto para expresar una suma o diferencia de logaritmos como el logaritmo de un producto.

 

Con la práctica, podemos mirar una expresión logarítmica y expandirla mentalmente, escribiendo la respuesta final. Sin embargo, recuerde que solo podemos hacer esto con productos, cocientes, potencias y raíces, nunca con sumas o restas dentro del argumento del logaritmo.

               

Expresiones logarítmicas de condensación

 

Podemos usar las reglas de los logaritmos que acabamos de aprender a condensar sumas, diferencias y productos con la misma base que un solo logaritmo. Es importante recordar que los logaritmos deben tener la misma base para combinarse. Más adelante aprenderemos cómo cambiar la base de cualquier logaritmo antes de condensar.

                   

Uso de la fórmula de cambio de base para logaritmos

 

La mayoría de las calculadoras solo pueden evaluar registros comunes y naturales. Para evaluar logaritmos con una base que no sea (10 ​​) mineral, e, utilizamos la fórmula cambio de base para reescribir el logaritmo como cociente de logaritmos de cualquier otra base; al usar una calculadora, los cambiaríamos a registros comunes o naturales.

 

Para derivar la fórmula de cambio de base, utilizamos la propiedad uno a uno y la regla de poder para logaritmos .

 

Dados los números reales positivos (M ), (b ) y (n ), donde (n ≠ 1 ) y (b ≠ 1 ), mostramos

 

({ log} _bM = dfrac {{ log} _nM} {{ log} _nb} )

 

Sea (y = { log} _bM ). Al tomar la base de registro (n ) de ambos lados de la ecuación, llegamos a una forma exponencial, a saber, (b ^ y = M ). Se deduce que

 

[ begin {align *} { log} _n (b ^ y) & = { log} _nM qquad text {Aplicar la propiedad uno a uno} \ [4pt] y { log} _nb & = { log} _nM qquad text {Aplicar la regla de potencia para logaritmos} \ [4pt] y & = dfrac {{ log} _nM} {{ log} _nb} qquad text {Aislar y} \ [4pt] { log} _bM & = dfrac {{ log} _nM} {{ log} _nb} qquad text {Sustituya por y} end {align *} ]

 

Por ejemplo, para evaluar ({ log} _536 ) usando una calculadora, primero debemos reescribir la expresión como un cociente de registros comunes o naturales. Utilizaremos el registro común.

 

[ begin {align *} { log} _536 & = dfrac { log (36)} { log (5)} qquad text {Aplicar el cambio de fórmula base usando base 10} \ [4pt] y aprox 2.2266 qquad text {Use una calculadora para evaluar con 4 decimales} end {align *} ]

 

 

 

LA FÓRMULA DE CAMBIO DE BASE

 

La fórmula de cambio de base se puede usar para evaluar un logaritmo con cualquier base.

 

Para cualquier número real positivo (M ), (b ) y (n ), donde (n ≠ 1 ) y (b ≠ 1 ),

 

[{ log} _bM = dfrac {{ log} _nM} {{ log} _nb} ]

 

Se deduce que la fórmula de cambio de base se puede utilizar para reescribir un logaritmo con cualquier base como cociente de registros comunes o naturales.

 

[{ log} _bM = dfrac { ln M} { ln b} ]

 

y

 

[{ log} _bM = dfrac { log M} { log b} ]

 

 

 

Cómo: dado un logaritmo con la forma ({ log} _bM ), use la fórmula de cambio de base para reescribirlo como un cociente de registros con cualquier base positiva (n ), donde (n ≠ 1 )

 

     
1. Determine la nueva base (n ), recordando que el registro común, ( log (x) ), tiene base 10, y el registro natural, ( ln (x) ), tiene base (mi).
     
2. Reescribe el registro como cociente usando la fórmula de cambio de base      
            
   • El numerador del cociente será un logaritmo con base (n ) y argumento (M ).
            
   • El denominador del cociente será un logaritmo con base (n ) y argumento (b ).
        
        
 

 

 

 

Ejemplo ( PageIndex {13} ): Cambio de expresiones logarítmicas a expresiones que solo incluyen registros naturales

 

Cambie ({ log} _53 ) a un cociente de logaritmos naturales.

 

Solución

 

Debido a que vamos a expresar ({ log} _53 ) como un cociente de logaritmos naturales, la nueva base, (n = e ).

 

Reescribimos el registro como un cociente usando la fórmula de cambio de base. El numerador del cociente será el registro natural con argumento (3 ). El denominador del cociente será el registro natural con el argumento 5.

 

({ log} _bM = dfrac { ln M} { ln b} )

 

({ log} _53 = dfrac { ln3} { ln5} )

 

 

           

Ecuaciones clave

                                                                                                                                                                                                              

La regla del producto para logaritmos	({ log} _b (MN) = { log} _b (M) + { log} _b (N) )
La regla del cociente para los logaritmos	({ log} _b ( dfrac {M} {N}) = { log} _bM – { log} _bN )
La regla de poder para los logaritmos	({ log} _b (M ^ n) = n { log} _bM )
La fórmula de cambio de base	({ log} _bM = dfrac {{ log} _nM} {{ log} _nb} ) (n> 0 ), (n ≠ 1 ), (b ≠ 1 )

 

Conceptos clave

 

     
• Podemos usar la regla del producto de los logaritmos para reescribir el registro de un producto como una suma de logaritmos. Ver Ejemplo ( PageIndex {1} ).
     
• Podemos usar la regla del cociente de los logaritmos para reescribir el registro de un cociente como una diferencia de logaritmos. Ver Ejemplo ( PageIndex {2} ).
     
• Podemos usar la regla de potencia para logaritmos para reescribir el registro de una potencia como el producto del exponente y el registro de su base. Consulte el Ejemplo ( PageIndex {3} ) , Ejemplo ( PageIndex {4} ) y el Ejemplo ( PageIndex {5} ).
     
• Podemos usar la regla del producto, la regla del cociente y la regla de potencia juntas para combinar o expandir un logaritmo con una entrada compleja. Vea el Ejemplo ( PageIndex {6} ) , Ejemplo ( PageIndex {7} ) , y el Ejemplo ( PageIndex {8} ).
     
• Las reglas de los logaritmos también se pueden usar para condensar sumas, diferencias y productos con la misma base que un solo logaritmo. Ver Ejemplo ( PageIndex {9} ) , Ejemplo ( PageIndex {10} ), Ejemplo ( PageIndex {11} ), y Ejemplo ( PageIndex {12} )
     
• Podemos convertir un logaritmo con cualquier base en un cociente de logaritmos con cualquier otra base usando la fórmula de cambio de base. Ver Ejemplo ( PageIndex {13} ).
     
• La fórmula de cambio de base a menudo se usa para reescribir un logaritmo con una base distinta de 10 y (e ) como el cociente de los registros naturales o comunes. De esa manera se puede usar una calculadora para evaluar. Ver Ejemplo ( PageIndex {14} ).