6.6: Resolver proporciones y sus aplicaciones (Parte 2)

6.6: Resolver proporciones y sus aplicaciones (Parte 2)

Escribir ecuaciones porcentuales como proporciones

 
 

Anteriormente, resolvíamos ecuaciones porcentuales aplicando las propiedades de igualdad que hemos usado para resolver ecuaciones a lo largo de este texto. Algunas personas prefieren resolver ecuaciones porcentuales utilizando el método de la proporción. El método de proporción para resolver problemas de porcentaje implica una proporción de porcentaje. Una proporción porcentual es una ecuación en la que un porcentaje es igual a una relación equivalente.

 

Por ejemplo, 60% = ( dfrac {60} {100} ) y podemos simplificar ( dfrac {60} {100} = dfrac {3} {5} ). Dado que la ecuación ( dfrac {60} {100} = dfrac {3} {5} ) muestra un porcentaje igual a una razón equivalente, la llamamos proporción porcentual . Usando el vocabulario que usamos anteriormente:

 

$$ begin {split} dfrac { text {cantidad}} { text {base}} & = dfrac { text {percent}} {100} \ dfrac {3} {5} & = dfrac {60} {100} end {split} $$

 
 

Definición: Porcentaje de proporción

 

La cantidad es a la base como el porcentaje es a 100.

 

$$ dfrac {cantidad} {base} = dfrac {porcentaje} {100} tag {6.5.37} $$

 
 
 

Si reformulamos el problema en las palabras de una proporción, puede ser más fácil establecer la proporción:

 

La cantidad es a la base como el porcentaje es a cien.

 

También podríamos decir:

 

La cantidad fuera de la base es la misma que el porcentaje de cien.

 

Primero practicaremos la traducción en una proporción porcentual. Más tarde, resolveremos la proporción.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Traducir a una proporción. ¿Qué número es 75% de 90?

 

Solución

 

Si busca la palabra «de», puede ayudarlo a identificar la base.

                                                                                                                                                              
Identifica las partes de la proporción porcentual.
Reafirmar como una proporción. $$ What ; número; fuera; textcolor {rojo} {de} ; 90 ; es; la; mismo; como; 75 ; fuera; de; 100? $$
Configurar la proporción. Deje n = número. $$ dfrac {n} {90} = dfrac {75} {100} tag {6.5.38} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Traducir a una proporción: ¿Qué número es 60% de 105?

 
     
Respuesta
     
     

( frac {n} {105} = frac {60} {100} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Traducir a una proporción: ¿Qué número es 40% de 85?

 
     
Respuesta
     
     

( frac {n} {85} = frac {40} {100} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Traducir a una proporción. 19 es 25% de qué número?

 

Solución

                                                                                                                                                              
Identifica las partes de la proporción porcentual.
Reafirmar como una proporción. $$ 19 ; fuera; textcolor {rojo} {de} ; qué; número; es; la; mismo; como; 25 ; fuera; de; 100? $$
Configurar la proporción. Deje n = número. $$ dfrac {19} {n} = dfrac {25} {100} tag {6.5.39} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} ):

 

Traducir a una proporción: 36 es 25% de qué número?

 
     
Respuesta
     
     

( frac {36} {n} = frac {25} {100} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} ):

 

Traducir a una proporción: 27 es 36% de qué número?

 
     
Respuesta
     
     

( frac {27} {n} = frac {36} {100} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

 

Traducir a una proporción. ¿Qué porcentaje de 27 es 9?

 

Solución

                                                                                                                                                              
Identifica las partes de la proporción porcentual.
Reafirmar como una proporción. $$ 9 ; fuera; textcolor {rojo} {de} ; 27 ; es; la; mismo; como; qué; número; fuera; de; 100 $$
Configurar la proporción. Deje p = porcentaje. $$ dfrac {9} {27} = dfrac {p} {100} tag {6.5.40} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} ):

 

Traducir a una proporción: ¿Qué porcentaje de 52 es 39?

 
     
Respuesta
     
     

( frac {n} {100} = frac {39} {52} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} ):

 

Traducir a una proporción: ¿Qué porcentaje de 92 es 23?

 
     
Respuesta
     
     

( frac {n} {100} = frac {23} {92} )

     
 
 
 

Traducir y resolver proporciones porcentuales

 

Ahora que hemos escrito ecuaciones porcentuales como proporciones, estamos listos para resolver las ecuaciones.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

 

Traducir y resolver usando proporciones: ¿Qué número es 45% de 80?

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Identifica las partes de la proporción porcentual.
Reafirmar como una proporción. $$ What ; número; fuera; textcolor {rojo} {de} ; 80 ; es; la; mismo; como; 45 ; fuera; de; 100? $$
Configurar la proporción. Deje n = número. $$ dfrac {n} {80} = dfrac {45} {100} tag {6.5.41} $$
Encuentra los productos cruzados y ponlos iguales. $$ 100 cdot n = 80 cdot 45 tag {6.5.42} $$
Simplifica. $$ 100n = 3,600 tag {6.5.43} $$
Divide ambos lados entre 100. $$ dfrac {100n} {100} = dfrac {3,600} {100} tag {6.5.44} $$
Simplifica. $$ n = 36 tag {6.5.45} $$
Verifique si la respuesta es razonable. Sí. 45 es un poco menos de la mitad de 100 y 36 es un poco menos de la mitad de 80.
Escribe una oración completa que responda la pregunta. 36 es el 45% de 80.
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} ):

 

Traducir y resolver usando proporciones: ¿Qué número es 65% de 40?

 
     
Respuesta
     
     

26

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} ):

 

Traducir y resolver usando proporciones: ¿Qué número es 85% de 40?

 
     
Respuesta
     
     

34

     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, el porcentaje es más de 100, que es más de un todo. Entonces el número desconocido será más que la base.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} ):

 

Traducir y resolver usando proporciones: 125% de 25 es qué número?

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Identifica las partes de la proporción porcentual.
Reafirmar como una proporción. $$ What ; número; fuera; textcolor {rojo} {de} ; 25 ; es; la; mismo; como; 125 ; fuera; de; 100? $$
Configurar la proporción. Deje n = número. $$ dfrac {n} {25} = dfrac {125} {100} tag {6.5.46} $$
Encuentra los productos cruzados y ponlos iguales. $$ 100 cdot n = 25 cdot 125 tag {6.5.47} $$
Simplifica. $$ 100n = 3,125 tag {6.5.48} $$
Divide ambos lados entre 100. $$ dfrac {100n} {100} = dfrac {3,125} {100} tag {6.5.49} $$
Simplifica. $$ n = 31.25 tag {6.5.50} $$
Verifique si la respuesta es razonable. Sí. 125 es más de 100 y 31.25 es más de 25.
Escribe una oración completa que responda la pregunta. 125% de 25 es 31.25.
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} ):

 

Traducir y resolver usando proporciones: 125% de 64 es qué número?

 
     
Respuesta
     
     

80

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} ):

 

Traducir y resolver usando proporciones: 175% de 84 es ¿qué número?

 
     
Respuesta
     
     

147

     
 
 
 
 

Los porcentajes con decimales y dinero también se usan en proporciones.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} ):

 

Traducir y resolver: ¿6.5% de qué número es $ 1.56?

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Identifica las partes de la proporción porcentual.
Reafirmar como una proporción. $$ $ 1.56 ; fuera; textcolor {rojo} {de} ; qué; número; es; la; mismo; como; 6.5 ; fuera; de; 100? $$
Configurar la proporción. Deje n = número. $$ dfrac {1.56} {n} = dfrac {6.5} {100} tag {6.5.51} $$
Encuentra los productos cruzados y ponlos iguales. $$ 100 (1.56) = n cdot 6.5 tag {6.5.52} $$
Simplifica. $$ 156 = 6.5n etiqueta {6.5.53} $$
Divide ambos lados entre 6.5 para aislar la variable. $$ dfrac {156} {6.5} = dfrac {6.5n} {6.5} tag {6.5.54} $$
Simplifica. $$ 24 = n tag {6.5.55} $$
Verifique si la respuesta es razonable. Sí. 6.5% es una cantidad pequeña y $ 1.56 es mucho menos que $ 24.
Escribe una oración completa que responda la pregunta. 6.5% de $ 24 es $ 1.56.
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} ):

 

Traduce y resuelve usando proporciones: ¿8.5% de qué número es $ 3.23?

 
     
Respuesta
     
     

38

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} ):

 

Traduce y resuelve usando proporciones: ¿7.25% de qué número es $ 4.64?

 
     
Respuesta
     
     

64

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} ):

 

Traducir y resolver usando proporciones: ¿Qué porcentaje de 72 es 9?

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Identifica las partes de la proporción porcentual.
Reafirmar como una proporción. $$ 9 ; fuera; textcolor {rojo} {de} ; 72 ; es; la; mismo; como; qué; número; fuera; de; 100? $$
Configurar la proporción. Deje n = número. $$ dfrac {9} {72} = dfrac {n} {100} tag {6.5.56} $$
Encuentra los productos cruzados y ponlos iguales. $$ 72 cdot n = 100 cdot 9 tag {6.5.57} $$
Simplifica. $$ 72n = 900 tag {6.5.58} $$
Divide ambos lados entre 72. $$ dfrac {72n} {72} = dfrac {900} {72} tag {6.5.59} $$
Simplifica. $$ n = 12.5 tag {6.5.60} $$
Verifique si la respuesta es razonable. Sí. 9 es ( dfrac {1} {8} ) de 72 y ( dfrac {1} {8} ) es 12.5%.
Escribe una oración completa que responda la pregunta. 12.5% ​​de 72 es 9.
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} ):

 

Traducir y resolver usando proporciones: ¿Qué porcentaje de 72 es 27?

 
     
Respuesta
     
     

37,5%

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} ):

 

Traducir y resolver usando proporciones: ¿Qué porcentaje de 92 es 23?

 
     
Respuesta
     
     

25%

     
 
 
 
 

La práctica hace la perfección

 

Use la definición de proporción

 

En los siguientes ejercicios, escribe cada oración como una proporción.

 
         
  1. 4 es a 15 como 36 es a 135.
  2.      
  3. 7 es a 9 como 35 es a 45.
  4.      
  5. 12 es a 5 como 96 es a 40.
  6.      
  7. 15 es a 8 como 75 es a 40.
  8.      
  9. 5 victorias en 7 juegos equivalen a 115 victorias en 161 juegos.
  10.      
  11. 4 victorias en 9 juegos son lo mismo que 36 victorias en 81 juegos.
  12.      
  13. 8 campistas a 1 consejero es lo mismo que 48 campistas a 6 consejeros.
  14.      
  15. 6 campistas a 1 consejero es lo mismo que 48 campistas a 8 consejeros.
  16.      
  17. $ 9.36 por 18 onzas es lo mismo que $ 2.60 por 5 onzas.
  18.      
  19. $ 3.92 por 8 onzas es lo mismo que $ 1.47 por 3 onzas.
  20.      
  21. $ 18.04 por 11 libras es lo mismo que $ 4.92 por 3 libras.
  22.      
  23. $ 12.42 por 27 libras es lo mismo que $ 5.52 por 12 libras.
  24.  
 

En los siguientes ejercicios, determine si cada ecuación es una proporción.

 
         
  1. ( dfrac {7} {15} = dfrac {56} {120} )
  2.      
  3. ( dfrac {5} {12} = dfrac {45} {108} )
  4.      
  5. ( dfrac {11} {6} = dfrac {21} {16} )
  6.      
  7. ( dfrac {9} {4} = dfrac {39} {34} )
  8.      
  9. ( dfrac {12} {18} = dfrac {4.99} {7.56} )
  10.      
  11. ( dfrac {9} {16} = dfrac {2.16} {3.89} )
  12.      
  13. ( dfrac {13.5} {8.5} = dfrac {31.05} {19.55} )
  14.      
  15. ( dfrac {10.1} {8.4} = dfrac {3.03} {2.52} )
  16.  
 

Resolver proporciones

 

En los siguientes ejercicios, resuelve cada proporción.

 
         
  1. ( dfrac {x} {56} = dfrac {7} {8} )
  2.      
  3. ( dfrac {n} {91} = dfrac {8} {13} )
  4.      
  5. ( dfrac {49} {63} = dfrac {z} {9} )
  6.      
  7. ( dfrac {56} {72} = dfrac {y} {9} )
  8.      
  9. ( dfrac {5} {a} = dfrac {65} {117} )
  10.      
  11. ( dfrac {4} {b} = dfrac {64} {144} )
  12.      
  13. ( dfrac {98} {154} = dfrac {-7} {p} )
  14.      
  15. ( dfrac {72} {156} = dfrac {-6} {q} )
  16.      
  17. ( dfrac {a} {- 8} = dfrac {-42} {48} )
  18.      
  19. ( dfrac {b} {- 7} = dfrac {-30} {42} )
  20.      
  21. ( dfrac {2.6} {3.9} = dfrac {c} {3} )
  22.      
  23. ( dfrac {2.7} {3.6} = dfrac {d} {4} )
  24.      
  25. ( dfrac {2.7} {j} = dfrac {0.9} {0.2} )
  26.      
  27. ( dfrac {2.8} {k} = dfrac {2.1} {1.5} )
  28.      
  29. ( dfrac { dfrac {1} {2}} {1} = dfrac {m} {8} )
  30.      
  31. ( dfrac { dfrac {1} {3}} {3} = dfrac {9} {n} )
  32.  
 

Resolver aplicaciones usando proporciones

 

En los siguientes ejercicios, resuelve el problema de la proporción.

 
         
  1. Los pediatras recetan 5 mililitros (ml) de acetaminofeno por cada 25 libras de peso de un niño. ¿Cuántos mililitros de acetaminofeno le recetará el médico a Jocelyn, que pesa 45 libras?
  2.      
  3. Brianna, que pesa 6 kg, acaba de recibir sus inyecciones y necesita un analgésico. El analgésico se prescribe para niños a 15 miligramos (mg) por cada 1 kilogramo (kg) de peso del niño. ¿Cuántos miligramos le recetará el médico?
  4.      
  5. En el gimnasio, Carol toma su pulso durante 10 segundos y cuenta 19 latidos. ¿Cuántos latidos por minuto es esto? ¿Carol ha alcanzado su frecuencia cardíaca objetivo de 140 latidos por minuto?
  6.      
  7. Kevin quiere mantener su ritmo cardíaco a 160 latidos por minuto mientras entrena. Durante su entrenamiento cuenta 27 latidos en 10 segundos. ¿Cuántos latidos por minuto es esto? ¿Kevin ha alcanzado su ritmo cardíaco objetivo?
  8.      
  9. Una nueva bebida energética anuncia 106 calorías por 8 onzas. ¿Cuántas calorías hay en 12 onzas de la bebida?
  10.      
  11. Una lata de refresco de 12 onzas tiene 150 calorías. Si Josiah bebe el gran tamaño de 32 onzas del mini-mercado local, ¿cuántas calorías obtiene?
  12.      
  13. Karen come ( dfrac {1} {2}) taza de avena que cuenta con 2 puntos en su programa de pérdida de peso. Su esposo, Joe, puede tomar 3 puntos de avena para el desayuno. ¿Cuánta avena puede tener?
  14.      
  15. Una receta de galletas de avena requiere ( dfrac {1} {2} ) taza de mantequilla para hacer 4 docenas de galletas. Hilda necesita hacer 10 docenas de galletas para la venta de pasteles. ¿Cuántas tazas de mantequilla necesitará?
  16.      
  17. Janice viaja a Canadá y cambiará $ 250 dólares estadounidenses a dólares canadienses. Al tipo de cambio actual, $ 1 US es igual a $ 1.01 canadiense. ¿Cuántos dólares canadienses obtendrá para su viaje?
  18.      
  19. Todd viaja a México y necesita cambiar $ 450 en pesos mexicanos. Si cada dólar vale 12.29 pesos, ¿cuántos pesos obtendrá para su viaje?
  20.      
  21. Steve cambió $ 600 a 480 euros. ¿Cuántos euros recibió por dólar estadounidense?
  22.      
  23. Martha cambió $ 350 en 385 dólares australianos. ¿Cuántos dólares australianos recibió por dólar estadounidense?
  24.      
  25. En la lavandería, Lucy cambió $ 12.00 en cuartos. ¿Cuántos cuartos obtuvo ella?
  26.      
  27. Cuando llegó a un casino, Gerty cambió $ 20 a cinco centavos. ¿Cuántas monedas de cinco centavos obtuvo?
  28.      
  29. El auto de Jesse obtiene 30 millas por galón de gasolina. Si Las Vegas está a 285 millas de distancia, ¿cuántos galones de gasolina se necesitan para llegar allí y luego a casa? Si el combustible cuesta $ 3.09 por galón, ¿cuál es el costo total del combustible para el viaje?
  30.      
  31. Danny quiere conducir a Phoenix para ver a su abuelo. Phoenix está a 370 millas de la casa de Danny y su auto tiene 18.5 millas por galón. ¿Cuántos galones de gasolina necesitará Danny para ir y venir de Phoenix? Si el combustible cuesta $ 3.19 por galón, ¿cuál es el costo total del combustible para ver a su abuelo?
  32.      
  33. Hugh sale temprano una mañana para conducir desde su casa en Chicago para ir al Monte Rushmore, a 812 millas de distancia. Después de 3 horas, ha recorrido 190 millas. A ese ritmo, ¿cuánto tiempo durará todo el viaje?
  34.      
  35. Kelly sale de su casa en Seattle para conducir a Spokane, a una distancia de 280 millas. Después de 2 horas, ella ha recorrido 152 millas. A ese ritmo, ¿cuánto tiempo durará todo el viaje?
  36.      
  37. Phil quiere fertilizar su césped. Cada bolsa de fertilizante cubre aproximadamente 4,000 pies cuadrados de césped. El césped de Phil mide aproximadamente 13,500 pies cuadrados. ¿Cuántas bolsas de fertilizante tendrá que comprar?
  38.      
  39. April quiere pintar el exterior de su casa. Un galón de pintura cubre aproximadamente 350 pies cuadrados, y el exterior de la casa mide aproximadamente 2000 pies cuadrados. ¿Cuántos galones de pintura tendrá que comprar?
  40.  
 

Escribir ecuaciones porcentuales como proporciones

 

En los siguientes ejercicios, traduzca a una proporción.

 
         
  1. ¿Qué número es 35% de 250?
  2.      
  3. ¿Qué número es 75% de 920?
  4.      
  5. ¿Qué número es 110% de 47?
  6.      
  7. ¿Qué número es 150% de 64?
  8.      
  9. 45 es 30% de qué número?
  10.      
  11. 25 es 80% de qué número?
  12.      
  13. 90 es 150% de qué número?
  14.      
  15. 77 es 110% de qué número?
  16.      
  17. ¿Qué porcentaje de 85 es 17?
  18.      
  19. ¿Qué porcentaje de 92 es 46?
  20.      
  21. ¿Qué porcentaje de 260 es 340?
  22.      
  23. ¿Qué porcentaje de 180 es 220?
  24.  
 

Traducir y resolver proporciones porcentuales

 

En los siguientes ejercicios, traduce y resuelve usando proporciones.

 
         
  1. ¿Qué número es 65% de 180?
  2.      
  3. ¿Qué número es 55% de 300?
  4.      
  5. 18% de 92 es qué número?
  6.      
  7. 22% de 74 es qué número?
  8.      
  9. 175% de 26 es qué número?
  10.      
  11. 250% de 61 es qué número?
  12.      
  13. ¿Cuál es el 300% de 488?
  14.      
  15. ¿Cuál es el 500% de 315?
  16.      
  17. ¿17% de qué número es $ 7.65?
  18.      
  19. ¿19% de qué número es $ 6.46?
  20.      
  21. $ 13.53 es 8.25% de qué número?
  22.      
  23. $ 18.12 es 7.55% de qué número?
  24.      
  25. ¿Qué porcentaje de 56 es 14?
  26.      
  27. ¿Qué porcentaje de 80 es 28?
  28.      
  29. ¿Qué porcentaje de 96 es 12?
  30.      
  31. ¿Qué porcentaje de 120 es 27?
  32.  
 

Matemáticas cotidianas

 
         
  1. Mezclando un concentrado Sam compró una botella grande de solución de limpieza concentrada en la tienda del almacén. Debe mezclar el concentrado con agua para hacer una solución para lavar sus ventanas. Las instrucciones le dicen que mezcle 3 onzas de concentrado con 5 onzas de agua. Si pone 12 onzas de concentrado en un balde, ¿cuántas onzas de agua debería agregar? ¿Cuántas onzas de solución tendrá en total?
  2.      
  3. Mezclando un concentrado Travis va a lavar su auto. Las instrucciones en la botella de concentrado de lavado de autos dicen que mezclar 2 onzas de concentrado con 15 onzas de agua. Si Travis pone 6 onzas de concentrado en un balde, ¿cuánta agua debe mezclar con el concentrado?
  4.  
 

Ejercicios de escritura

 
         
  1. Para resolver “¿qué número es el 45% de 350”, prefiere usar una ecuación como lo hizo en la sección de Operaciones decimales o una proporción como lo hizo en esta sección? Explica tu razón.
  2.      
  3. Para resolver “¿qué porcentaje de 125 es 25”, prefiere usar una ecuación como lo hizo en la sección de Operaciones decimales o una proporción como lo hizo en esta sección? Explica tu razón.
  4.  
 

Autocomprobación

 

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

 

 

(b) En general, después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para el próximo Capítulo? ¿Por qué o por qué no?

 
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