6.6: Resolviendo desigualdades polinómicas y racionales

6.6: Resolviendo desigualdades polinómicas y racionales

Solución de desigualdades polinómicas

 

Un polinomio desigualdad 18 es un enunciado matemático que relaciona una expresión polinómica como menor o mayor que otra. Podemos usar gráficos de signos para resolver desigualdades polinómicas con una variable.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Resuelve (x (x + 3) ^ {2} (x-4) <0 ).

 

Solución

 

Comienza por encontrar los números críticos. Para una desigualdad polinómica en forma estándar, con cero en un lado, los números críticos son las raíces. Debido a que (f (x) = x (x + 3) ^ {2} (x – 4) ) se da en su forma factorizada, las raíces son aparentes. Aquí las raíces son: (0, −3 ) y (4 ). Debido a la estricta desigualdad, grábelos usando puntos abiertos en una recta numérica.

 
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Figura 6.6.1
 

En este caso, los números críticos dividen la recta numérica en cuatro regiones. Pruebe los valores en cada región para determinar si f es positivo o negativo. Aquí elegimos los valores de prueba (- 5, −1, 2 ) y (6 ). Recuerde que solo nos preocupa el signo ((+ ) o (-) ) del resultado.

 

( begin {alineado} f ( color {OliveGreen} {- 5} color {black} {)} & = ( color {OliveGreen} {- 5} color {black} {)} ( color {OliveGreen} {- 5} color {black} {+} 3) ^ {2} ( color {OliveGreen} {- 5} color {black} {-} 4) = (-) (-) ^ {2} (-) & = + color {Cerulean} {Positivo} \ f ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} & = ( color {OliveGreen} {- 1 } color {black} {)} ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {+} 3) ^ {2} ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {- } 4) = (-) (+) ^ {2} (-) & = + color {Cerulean} {Positivo} \ f ( color {OliveGreen} {2} color {black} {)} & = ( color {OliveGreen} {2} color {black} {)} ( color {OliveGreen} {2} color {black} {+} 3) ^ {2} ( color {OliveGreen} {2} color {black} {-} 4) = (+) (+) ^ {2} (-) & = – color {Cerulean} {Negativo} \ f ( color {OliveGreen} {6} color {black } {)} & = ( color {OliveGreen} {6} color {black} {)} ( color {OliveGreen} {6} color {black} {+} 3) ^ {2} ( color { Verde oliva} {6} color {negro} {-} 4) = (+) (+) ^ {2} (+) & = + color {Cerulean} {Positivo} end {alineado} )

 

Después de probar los valores, podemos completar un gráfico de signos.

 
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Figura 6.6.2
 

La pregunta nos pide que encontremos los valores donde (f (x) <0 ), o donde la función es negativa. En el gráfico de signos podemos ver que la función es negativa para (x ) - valores entre (0 ) y (4 ).

 
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Figura 6.6.3
 

Podemos expresar este conjunto de soluciones de dos maneras:

 

( begin {alineado} {x | 0 <& x <4 } & color {Cerulean} {Set : notation} \ (0, & 4) & color {Cerulean} {Interval : notación} end {alineado} )

 

En este libro de texto continuaremos presentando conjuntos de soluciones usando notación de intervalo.

 

Respuesta :

 

((0,4) )

 
 

Graficar polinomios como el del ejemplo anterior está más allá del alcance de este libro de texto. Sin embargo, el gráfico de esta función se proporciona a continuación. Compare el gráfico con su tabla de signos correspondiente.

 
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Figura 6.6.4
 

Ciertamente, puede que no sea el caso que el polinomio esté factorizado ni que tenga cero en un lado de la desigualdad. Para modelar una función usando un gráfico de signos, todos los términos deben estar en un lado y cero en el otro. Los pasos generales para resolver una desigualdad polinómica se enumeran en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Resuelve: (2 x ^ {4}> 3 x ^ {3} +9 x ^ {2} ).

 

Solución

 

Paso 1 : Obtenga cero en un lado de la desigualdad. En este caso, reste para obtener un polinomio en el lado izquierdo en estándar de.

 

( begin {alineado} 2 x ^ {4} &> 3 x ^ {3} +9 x ^ {2} \ 2 x ^ {4} -3 x ^ {3} -9 x ^ {2} &> 0 end {alineado} )

 

Paso 2 : Encuentra los números críticos. Aquí podemos encontrar los ceros por factorización.

 

(2 x ^ {4} -3 x ^ {3} -9 x ^ {2} = 0 )
(x ^ {2} left (2 x ^ {2} -3 x-9 right) = 0 )
(x ^ {2} (2 x + 3) (x-3) = 0 )

 

Hay tres soluciones, por lo tanto, tres números críticos (- frac {3} {2}, 0 ) y (3 ). La desigualdad estricta indica que debemos usar puntos abiertos.

 
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Figura 6.6.5
 

Paso 3 : crea un gráfico de signos. En este caso, use (f (x) = x ^ {2} (2x + 3) (x – 3) ) y pruebe los valores (- 2, −1, 1 ) y (4 ) para Determinar el signo de la función en cada intervalo.

 

( begin {alineado} f ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} & = ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} ^ {2} [2 ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {)} + 3] ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {-} 3) & = (- ) ^ {2} (-) (-) = + \ f ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} & = ( color {OliveGreen} {- 1} color {black { } {)} ^ {2} [2 ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} + 3] ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {-} 3 ) & = (-) ^ {2} (+) (-) = – \ f ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)} & = ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)} ^ {2} [2 ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)} + 3] ( color {OliveGreen} {1} color {black} {-} 3) & = (+) ^ {2} (+) (-) = – \ f ( color {OliveGreen} {4} color {black} {)} & = ( color {OliveGreen} {4} color {black} {)} ^ {2} [2 ( color {OliveGreen} {4} color {black} {)} + 3] ( color {OliveGreen} {4} color {black} {- } 3) & = (+) ^ {2} (+) (+) = + end {alineado} )

 

Con esta información podemos completar el cuadro de signos.

 
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Figura 6.6.6
 

Paso 4 : Usa el cuadro de signos para responder la pregunta. Aquí la solución consiste en todos los valores para los cuales (f (x)> 0 ). Sombree los valores que producen resultados positivos y luego exprese este conjunto en notación de intervalo.

 
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Figura 6.6.7
 

Respuesta :

 

( left (- infty, – frac {3} {2} right) cup (3, infty) )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Resuelve: (x ^ {3} + x ^ {2} leq 4 (x + 1) ).

 

Solución

 

Comienza reescribiendo la desigualdad en forma estándar, con cero en un lado.

 

( begin {alineado} x ^ {3} + x ^ {2} y leq 4 (x + 1) \ x ^ {3} + x ^ {2} y leq 4 x + 4 \ x ^ {3} + x ^ {2} -4 x-4 & leq 0 end {alineado} )

 

Luego, encuentra los números críticos de (f (x) = x ^ {3} + x ^ {2} -4 x-4 ):

 

( begin {alineado} x ^ {3} + x ^ {2} -4 x-4 & = 0 quad color {Cerulean} {Factor : by : grouping.} \ x ^ {2} (x + 1) -4 (x + 1) & = 0 \ (x + 1) left (x ^ {2} -4 right) & = 0 \ (x + 1) (x +2) (x-2) & = 0 end {alineado} )

 

Los números críticos son (- 2, −1 ) y (2 ). Debido a la desigualdad inclusiva ((≤) ) los trazaremos usando puntos cerrados.

 
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Figura 6.6.8
 

Utilice los valores de prueba, (- 3 ), (- frac {3} {2} ), (0 ) y (3 ) para crear un gráfico de signos.

 

( begin {alineado} f ( color {OliveGreen} {- 3} color {black} {)} & = ( color {OliveGreen} {- 3} color {black} {+} 1 ) ( color {OliveGreen} {- 3} color {black} {+} 2) ( color {OliveGreen} {- 3} color {black} {-} 2) & = (-) (-) ( -) = – \ f ( color {OliveGreen} {- frac {3} {2}} color {black} {)} & = ( color {OliveGreen} {- frac {3} {2} } color {black} {+} 1) ( color {OliveGreen} {- frac {3} {2}} color {black} {+} 2) ( color {OliveGreen} {- frac {3 } {2}} color {black} {-} 2) & = (-) (+) (-) = + \ f ( color {OliveGreen} {0} color {black} {)} & = ( color {OliveGreen} {0} color {black} {+} 1) ( color {OliveGreen} {0} color {black} {+} 2) ( color {OliveGreen} {0} color { negro} {-} 2) & = (+) (+) (-) = – \ f ( color {OliveGreen} {3} color {black} {)} & = ( color {OliveGreen} {3 } color {black} {+} 1) ( color {OliveGreen} {3} color {black} {+} 2) ( color {OliveGreen} {3} color {black} {-} 2) & = (+) (+) (+) = + end {alineado} )

 

Y tenemos

 
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Figura 6.6.9
 

Use el gráfico de signos para sombrear los valores que tienen resultados negativos ((f (x) ≤ 0) ).

 
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Figura 6.6.10
 

Respuesta

 

((- infty, -2] cup [-1,2] )

 
 

Solución de desigualdades racionales

 

Una racional desigualdad 19 es una declaración matemática que relaciona una expresión racional como menor o mayor que otra. Debido a que las funciones racionales tienen restricciones en el dominio, debemos tener cuidado al resolver desigualdades racionales. Además de los ceros, incluiremos las restricciones al dominio de la función en el conjunto de números críticos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Resolver: ( frac {(x-4) (x + 2)} {(x-1)} geq 0 )

 

Solución

 

Los ceros de una función racional ocurren cuando el numerador es cero y los valores que producen cero en el denominador son las restricciones. En este caso,

 

( begin {array} {c | c} { text {Roots (Numerator)}} & { text {Restriction (Denominator)}} \ {x-4 = 0 text {or} x + 2 = 0} & {x-1 = 0} \ {: : quad quad quad : x = 4 quad quad x = -2} & {x = 1} end {array } )

 

Por lo tanto, los números críticos son (- 2, 1 ) y (4 ). Debido a la desigualdad inclusiva ((≥) ) use un punto cerrado para las raíces ({- 2, 4} ) y siempre use un punto abierto para las restricciones ({1} ). Las restricciones nunca se incluyen en el conjunto de soluciones.

 
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Figura 6.6.11
 

Utilice valores de prueba (x = −4, 0, 2, 6 ).

 

( begin {alineado} f ( color {OliveGreen} {- 4} color {black} {)} & = frac {( color {OliveGreen} {- 4} color {black} { -} 4) ( color {OliveGreen} {- 4} color {black} {+} 2)} {( color {OliveGreen} {- 4} color {black} {-} 1)} & = frac {(-) (-)} {(-)} = – \ f ( color {OliveGreen} {0} color {black} {)} & = frac {( color {OliveGreen} {0} color {black} {-} 4) ( color {OliveGreen} {0} color {black} {+} 2)} {( color {OliveGreen} {0} color {black} {-} 1) } & = frac {(-) (+)} {(-)} = + \ f ( color {OliveGreen} {2} color {black} {)} & = frac {( color {OliveGreen } {2} color {black} {-} 4) ( color {OliveGreen} {2} color {black} {+} 2)} {( color {OliveGreen} {2} color {black} { -} 1)} & = frac {(-) (+)} {(+)} = – \ f ( color {OliveGreen} {6} color {black} {)} & = frac {( color {OliveGreen} {6} color {black} {-} 4) ( color {OliveGreen} {6} color {black} {+} 2)} {( color {OliveGreen} {6} color {negro} {-} 1)} & = frac {(+) (+)} {(+)} = + end {alineado} )

 

Y luego complete la tabla de signos.

 
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Figura 6.6.12
 

La pregunta nos pide que encontremos los valores para los cuales (f (x) ≥ 0 ), en otras palabras, positivo o cero. Sombree en las regiones apropiadas y presente el conjunto de soluciones en notación de intervalo.

 
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Figura 6.6.13
 

Respuesta

 

([- 2,1) cup [4, infty) )

 
 

Graficar funciones racionales como la del ejemplo anterior está más allá del alcance de este libro de texto. Sin embargo, el gráfico de esta función se proporciona a continuación. Compare el gráfico con su tabla de signos correspondiente.

 
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Figura 6.6.14
 

Observe que la restricción (x = 1 ) corresponde a una asíntota vertical que limita las regiones donde la función cambia de positiva a negativa. Si bien no se incluye en el conjunto de soluciones, la restricción es un número crítico. Antes de crear un gráfico de signos debemos asegurarnos de que la desigualdad tenga un cero en un lado. Los pasos generales para resolver una desigualdad racional se resumen en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Resuelve ( frac {7} {x + 3} <2 ).

 

Solución

 

Paso 1 : Comience por obtener cero en el lado derecho.

 

( begin {alineado} frac {7} {x + 3} y <2 \ frac {7} {x + 3} -2 y <0 end {alineado} )

 

Paso 2 : Determine los números críticos. Los números críticos son los ceros y las restricciones. Comience simplificando a una sola fracción algebraica.

 

( begin {alineado} frac {7} {x + 3} – frac {2} {1} y <0 \ frac {7-2 (x + 3)} {x + 3 } & <0 \ frac {7-2 x-6} {x + 3} & <0 \ frac {-2 x + 1} {x + 3} & <0 end {alineado} )

 

Luego encuentra los números críticos. Establezca el numerador y el denominador igual a cero y resuelva.

 

( begin {array} {c | c} { text {Root}} & { text {Restriction}} \ {-2x + 1 = 0} \ {- 2x = -1} & {x + 3 = 0} \ {x = frac {1} {2}} & quad quad : : {x = -3} end {array} )

 

En este caso, la desigualdad estricta indica que debemos usar un punto abierto para la raíz.

 
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Figura 6.6.15
 

Paso 3 : crea un gráfico de signos. Elija los valores de prueba (- 4, 0 ) y (1 ).

 

( begin {alineado} f ( color {OliveGreen} {- 4} color {black} {)} & = frac {-2 ( color {OliveGreen} {- 4} color {black } {)} + 1} { color {OliveGreen} {- 4} color {black} {+} 3} & = frac {+} {-} = – \ f ( color {OliveGreen} {0 } color {black} {)} & = frac {-2 ( color {OliveGreen} {0} color {black} {)} + 1} { color {OliveGreen} {0} color {black} {+} 3} & = frac {+} {+} = + \ f ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)} & = frac {-2 ( color {OliveGreen} {1} color {black} {)} + 1} { color {OliveGreen} {1} color {black} {+} 3} & = frac {-} {+} = – end {alineado} )

 

Y tenemos

 
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Figura 6.6.16
 

Paso 4 : Usa el cuadro de signos para responder la pregunta. En este ejemplo, buscamos los valores para los que la función es negativa, (f (x) <0 ). Sombrea los valores apropiados y luego presenta tu respuesta usando la notación de intervalo.

 
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Figura 6.6.17
 

Respuesta :

 

((- infty, -3) cup left ( frac {1} {2}, infty right) )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Resuelve: ( frac {1} {x ^ {2} -4} leq frac {1} {2-x} ).

 

Solución

 

Comience por obtener cero en el lado derecho.

 

( begin {alineado} frac {1} {x ^ {2} -4} & leq frac {1} {2-x} \ frac {1} {x ^ {2} -4} – frac {1} {2-x} & leq 0 end {alineado} )

 

Luego, simplifica el lado izquierdo a una sola fracción algebraica.

 

( begin {array} {r} { frac {1} {x ^ {2} -4} – frac {1} {2-x} leq 0} \ { frac {1 } {(x + 2) (x-2)} – frac {1} {- (x-2)} leq 0} \ { frac {1} {(x + 2) (x-2) } + frac {1 color {Cerulean} {(x + 2)}} { color {black} {(x-2)} color {Cerulean} {(x + 2)}} color {black} { leq} 0} \ { frac {1 + x + 2} {(x + 2) (x-2)} leq 0} \ { frac {x + 3} {(x + 2) (x-2)} leq 0} end {array} )

 

Los números críticos son (- 3, −2 ) y (2 ). Tenga en cuenta que (± 2 ) son restricciones y, por lo tanto, utilizaremos puntos abiertos al trazarlos en una recta numérica. Debido a la desigualdad inclusiva, utilizaremos un punto cerrado en la raíz (- 3 ).

 
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Figura 6.6.18
 

Elija valores de prueba (- 4, -2 frac {1} {2} = – frac {5} {2}, 0 ) y (3 ).

 

( begin {alineado} f ( color {OliveGreen} {- 4} color {black} {)} & = frac { color {OliveGreen} {- 4} color {black} {+ } 3} {( color {OliveGreen} {- 4} color {black} {+} 2) ( color {OliveGreen} {- 4} color {black} {-} 2)} & = frac { (-)} {(-) (-)} = – \ f ( color {OliveGreen} {- frac {5} {2}} color {black} {)} & = frac { color { OliveGreen} {- frac {5} {2}} color {black} {+} 3} {( color {OliveGreen} {- frac {5} {2}} color {black} {+} 2 ) ( color {OliveGreen} {- frac {5} {2}} color {black} {-} 2)} & = frac {(+)} {(-) (-)} = + \ f ( color {OliveGreen} {0} color {black} {)} & = frac { color {OliveGreen} {0} color {black} {+} 3} {( color {OliveGreen} {0 } color {black} {+} 2) ( color {OliveGreen} {0} color {black} {-} 2)} & = frac {(+)} {(+) (-)} = – \ f ( color {OliveGreen} {3} color {black} {)} & = frac { color {OliveGreen} {3} color {black} {+} 3} {( color {OliveGreen} {3} color {black} {+} 2) ( color {OliveGreen} {3} color {black} {-} 2)} & = frac {(+)} {(+) (+)} = + end {alineado} )

 

Construya un gráfico de signos.

 
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Figura 6.6.19
 

Responde la pregunta; en este caso, busque (x ) donde (f (x) leq 0 ).

 
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Figura 6.6.20
 

Respuesta

 

((- infty, -3] cup (-2,2) )

 
 
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