6.7: Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

6.7: Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 
         
  • Usa bases similares para resolver ecuaciones exponenciales.
  •      
  • Usa logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales.
  •      
  • Usa la definición de un logaritmo para resolver ecuaciones logarítmicas.
  •      
  • Usa la propiedad uno a uno de los logaritmos para resolver ecuaciones logarítmicas.
  •      
  • Resuelve problemas aplicados que involucran ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
  •  
 
 

En 1859, un terrateniente australiano llamado Thomas Austin soltó (24 ) conejos en la naturaleza para cazar. Debido a que Australia tenía pocos depredadores y abundante comida, la población de conejos explotó. En menos de diez años, la población de conejos llegó a millones.

 
Seven rabbits in front of a brick building.
Figura ( PageIndex {1} ): Conejos salvajes en Australia. La población de conejos creció tan rápido en Australia que el evento se conoció como la «plaga del conejo». (crédito: Richard Taylor, Flickr)
 

El crecimiento descontrolado de la población, como en los conejos salvajes en Australia, puede modelarse con funciones exponenciales. Las ecuaciones resultantes de esas funciones exponenciales se pueden resolver para analizar y hacer predicciones sobre el crecimiento exponencial. En esta sección, aprenderemos técnicas para resolver funciones exponenciales.

 

Uso de bases similares para resolver ecuaciones exponenciales

 

La primera técnica involucra dos funciones con bases similares. Recuerde que la propiedad uno a uno de las funciones exponenciales nos dice que, para cualquier número real (b ), (S ) y (T ), donde (b> 0 ), ( b ≠ 1 ), (b ^ S = b ^ T ) si y solo si (S = T ).

 

En otras palabras, cuando una ecuación exponencial tiene la misma base en cada lado, los exponentes deben ser iguales. Esto también se aplica cuando los exponentes son expresiones algebraicas. Por lo tanto, podemos resolver muchas ecuaciones exponenciales usando las reglas de los exponentes para reescribir cada lado como una potencia con la misma base. Luego, usamos el hecho de que las funciones exponenciales son individuales para establecer los exponentes iguales entre sí y resolver lo desconocido.

 

Por ejemplo, considere la ecuación (3 ^ {4x − 7} = dfrac {3 ^ {2x}} {3} ). Para resolver (x ), usamos la propiedad de división de exponentes para reescribir el lado derecho de modo que ambos lados tengan la base común, (3 ). Luego aplicamos la propiedad uno a uno de los exponentes al establecer los exponentes iguales entre sí y resolver (x ):

 

[ begin {align *} 3 ^ {4x-7} & = dfrac {3 ^ {2x}} {3} \ 3 ^ {4x-7} & = dfrac {3 ^ {2x }} {3 ^ 1} qquad text {Reescribe 3 como} 3 ^ 1 \ 3 ^ {4x-7} & = 3 ^ {2x-1} qquad text {Usa la propiedad de división de los exponentes} 4x-7 & = 2x-1 qquad text {Aplicar la propiedad uno a uno de los exponentes} \ 2x & = 6 qquad text {Restar 2x y sumar 7 a ambos lados} \ x & = 3 qquad text {Divide by 3} end {align *} ]

 
 
 

UTILIZANDO LA PROPIEDAD INDIVIDUAL DE FUNCIONES EXPONENCIALES PARA RESOLVER ECUACIONES EXPONENCIALES

 

Para cualquier expresión algebraica (S ) y (T ), y cualquier número real positivo (b ≠ 1 ),

 

[ begin {align} b ^ S = b ^ T text {if and only if} S = T end {align} ]

 
 
 

Cómo: Dada una ecuación exponencial con la forma (b ^ S = b ^ T ), donde (S ) y (T ) son expresiones algebraicas con un desconocido, resolver lo desconocido.

 
         
  1. Usa las reglas de los exponentes para simplificar, si es necesario, de modo que la ecuación resultante tenga la forma (b ^ S = b ^ T ).
  2.      
  3. Use la propiedad uno a uno para establecer los exponentes iguales.
  4.      
  5. Resuelve la ecuación resultante, (S = T ), para lo desconocido.
  6.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Resolver una ecuación exponencial con una base común

 

Resuelve (2 ^ {x − 1} = 2 ^ {2x − 4} ).

 

Solución

 

[ begin {align *} 2 ^ {x-1} & = 2 ^ {2x-4} qquad text {La base común es 2} \ x-1 & = 2x-4 qquad text {Por la propiedad uno a uno los exponentes deben ser iguales} \ x & = 3 qquad text {Resolver para x} end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Resuelve (5 ^ {2x} = 5 ^ {3x + 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = −2 )

     
 
 
 

Reescribiendo ecuaciones para que todas las potencias tengan la misma base

 

A veces, la base común para una ecuación exponencial no se muestra explícitamente. En estos casos, simplemente reescribimos los términos en la ecuación como potencias con una base común, y resolvemos usando la propiedad uno a uno.

 

Por ejemplo, considere la ecuación (256 = 4 ^ {x − 5} ). Podemos reescribir ambos lados de esta ecuación como una potencia de (2 ). Luego aplicamos las reglas de los exponentes, junto con la propiedad uno a uno, para resolver (x ):

 

[ begin {align *} 256 & = 4 ^ {x-5} \ 2 ^ 8 & = {(2 ^ 2)} ^ {x-5} qquad text {Reescribe cada lado como una potencia con base 2} \ 2 ^ 8 & = 2 ^ {2x-10} qquad text {Usar la propiedad uno a uno de los exponentes} \ 8 & = 2x-10 qquad text {Aplicar el uno a -una propiedad de exponentes} \ 18 & = 2x qquad text {Agregue 10 a ambos lados} \ x & = 9 qquad text {Divide by 2} end {align *} ]

 
 

Cómo: dada una ecuación exponencial con bases diferentes, use la propiedad uno a uno para resolverla.

 
         
  1. Reescribe cada lado de la ecuación como una potencia con una base común.
  2.      
  3. Usa las reglas de los exponentes para simplificar, si es necesario, de modo que la ecuación resultante tenga la forma (b ^ S = b ^ T ).
  4.      
  5. Use la propiedad uno a uno para establecer los exponentes iguales.
  6.      
  7. Resuelve la ecuación resultante, (S = T ), para lo desconocido.
  8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Resolver ecuaciones reescribiéndolas para que tengan una base común

 

Resuelve (8 ^ {x + 2} = {16} ^ {x + 1} ).

 

Solución

 

[ begin {align *} 8 ^ {x + 2} & = {16} ^ {x + 1} \ {(2 ^ 3)} ^ {x + 2} & = {(2 ^ 4)} ^ {x + 1} qquad text {Escriba 8 y 16 como potencias de 2} \ 2 ^ {3x + 6} & = 2 ^ {4x + 4} qquad text {Para tomar un poder de una potencia, multiplicar exponentes} \ 3x + 6 & = 4x + 4 qquad text {Use la propiedad uno a uno para establecer los exponentes iguales} \ x & = 2 qquad text {Resolver para x} end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Resuelve (5 ^ {2x} = {25} ^ {3x + 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = −1 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Resolver ecuaciones reescribiendo raíces con exponentes fraccionarios para tener una base común

 

Resuelve (2 ^ {5x} = sqrt {2} ).

 

Solución

 

[ begin {align *} 2 ^ {5x} & = 2 ^ { dfrac {1} {2}} qquad text {Escribe la raíz cuadrada de 2 como una potencia de 2} \ 5x & = dfrac {1} {2} qquad text {Use la propiedad uno a uno} \ x & = dfrac {1} {10} qquad text {Resolver para x} end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resuelve (5 ^ x = sqrt {5} ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = dfrac {1} {2} )

     
 
 
 
 

P y R: ¿Todas las ecuaciones exponenciales tienen una solución? Si no es así, ¿cómo podemos saber si hay una solución durante el proceso de resolución de problemas?

 

No. Recuerde que el rango de una función exponencial siempre es positivo. Al resolver la ecuación, podemos obtener una expresión que no está definida.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Resolviendo una ecuación con poderes positivos y negativos

 

Resuelve (3 ^ {x + 1} = – 2 ).

 

Solución

 

Esta ecuación no tiene solución. No existe un valor real de (x ) que haga que la ecuación sea una declaración verdadera porque cualquier potencia de un número positivo es positiva.

 

Análisis

 

La figura ( PageIndex {2} ) muestra que los dos gráficos no se cruzan, por lo que el lado izquierdo nunca es igual al lado derecho. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución.

 
Graph of 3^(x+1)=-2 and y=-2. The graph notes that they do not cross.
Figura ( PageIndex {2} )
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resuelve (2 ^ x = −100 ).

 
     
Respuesta
     
     

La ecuación no tiene solución.

     
 
 
 

Resolviendo ecuaciones exponenciales usando logaritmos

 

A veces, los términos de una ecuación exponencial no pueden reescribirse con una base común. En estos casos, resolvemos tomando el logaritmo de cada lado. Recuerde, dado que ( log (a) = log (b) ) es equivalente a (a = b ), podemos aplicar logaritmos con la misma base en ambos lados de una ecuación exponencial.

 
 

Cómo: dada una ecuación exponencial en la que no se puede encontrar una base común, resolver lo desconocido

 
         
  1. Aplica el logaritmo de ambos lados de la ecuación.      
               
    • Si uno de los términos en la ecuación tiene base 10, use el logaritmo común.
    •          
    • Si ninguno de los términos en la ecuación tiene base 10, use el logaritmo natural.
    •      
         
  2.      
  3. Usa las reglas de los logaritmos para resolver lo desconocido.
  4.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Resolviendo una ecuación que contiene potencias de diferentes bases

 

Resuelve (5 ^ {x + 2} = 4 ^ x ).

 

Solución

 

[ begin {align *}
5 ^ {x + 2} & = 4 ^ x qquad text {No hay una manera fácil de hacer que los poderes tengan la misma base} \ [19459049 ] ln5 ^ {x + 2} & = ln4 ^ x qquad text {Tome ln de ambos lados} \
(x + 2) ln5 & = x ln4 qquad text {Use las leyes de logs} \
x ln5 + 2 ln5 & = x ln4 qquad text {Use la ley distributiva} \
x ln5-x ln4 & = -2 ln5 qquad text { Obtenga términos que contengan x en un lado, términos sin x en el otro} \
x ( ln5- ln4) & = -2 ln5 qquad text {En el lado izquierdo, factorice una x} \
x ln left ( dfrac {5} {4} right) & = ln left ( dfrac {1} {25} right) qquad text {Use las leyes de los registros } \
x = dfrac { ln left ( dfrac {1} {25} right)} { ln left ( dfrac {5} {4} right)} qquad text {Dividir por el coeficiente de x}
end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resuelve (2 ^ x = 3 ^ {x + 1} ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = dfrac { ln3} { ln left ( dfrac {2} {3} right)} )

     
 
 
 
 

P y R: ¿Hay alguna forma de resolver (2 ^ x = 3 ^ x )?

 

Sí. La solución es (0 ).

 
 

Ecuaciones que contienen (e )

 

Un tipo común de ecuaciones exponenciales son aquellas con base (e ). Esta constante ocurre una y otra vez en la naturaleza, en matemáticas, en ciencia, en ingeniería y en finanzas. Cuando tenemos una ecuación con una base (e ) a cada lado, podemos usar el logaritmo natural para resolverlo.

 
 

Cómo: dada una ecuación de la forma (y = Ae ^ {kt} ), resuelve (t ).

 
         
  1. Divide ambos lados de la ecuación entre (A ).
  2.      
  3. Aplica el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación.
  4.      
  5. Divide ambos lados de la ecuación entre (k ).
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Resolver una ecuación de la forma (y = Ae ^ {kt} )

 

Resuelve (100 = 20e ^ {2t} ).

 

Solución

 

[ begin {align *} 100 & = 20e ^ {2t} \ 5 & = e ^ {2t} qquad text {Divide por el coeficiente de la potencia} \ ln5 & = 2t qquad text {Toma ln de ambos lados. Use el hecho de que} ln (x) text {y} e ^ x text {son funciones inversas} \ t & = dfrac { ln5} {2} qquad text {Divida por el coeficiente de t} end {align *} ]

 

Análisis

 

Usando leyes de registros, también podemos escribir esta respuesta en la forma (t = ln sqrt {5} ). Si queremos una aproximación decimal de la respuesta, usamos una calculadora.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Resuelve (3e ^ {0.5t} = 11 ).

 
     
Respuesta
     
     

(t = 2 ln left ( dfrac {11} {3} right) ) o ( ln { left ( dfrac {11} {3} right)} ^ 2 )

     
 
 
 
 

P y R: ¿Tiene alguna solución cada ecuación de la forma (y = Ae ^ {kt} )?

 

No. Hay una solución cuando (k ≠ 0 ), y cuando (y ) y (A ) son ambos 0 o ninguno 0, y tienen el mismo signo. Un ejemplo de una ecuación con esta forma que no tiene solución es (2 = −3e ^ t ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Resolviendo una ecuación que se puede simplificar a la forma (y = Ae ^ {kt} )

 

Resuelve (4e ^ {2x} + 5 = 12 ).

 

Solución

 

[ begin {align *} 4e ^ {2x} + 5 & = 12 \ 4e ^ {2x} & = 7 qquad text {Combinar términos similares} \ e ^ {2x} & = dfrac {7} {4} qquad text {Dividir por el coeficiente de la potencia} \ 2x & = ln left ( dfrac {7} {4} right) qquad text {Tomar ln de ambos lados} \ x & = dfrac {1} {2} ln left ( dfrac {7} {4} right) qquad text {Resolver para x} end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Resuelve (3 + e ^ {2t} = 7e ^ {2t} ).

 
     
Respuesta
     
     

(t = ln left ( dfrac {1} { sqrt {2}} right) = – dfrac {1} {2} ln (2) )

     
 
 
 

Soluciones extrañas

 

A veces, los métodos utilizados para resolver una ecuación introducen una solución extraña , que es una solución que es correcta algebraicamente pero no satisface las condiciones de la ecuación original. Una de esas situaciones surge al resolver cuando el logaritmo se toma a ambos lados de la ecuación. En tales casos, recuerde que el argumento del logaritmo debe ser positivo. Si el número que estamos evaluando en una función de logaritmo es negativo, no hay salida.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Resolución de funciones exponenciales en forma cuadrática

 

Resuelve (e ^ {2x} −e ^ x = 56 ).

 

Solución:

 

[ begin {align *} e ^ {2x} -e ^ x & = 56 \ e ^ {2x} -e ^ x-56 & = 0 qquad text {Obtenga un lado de la ecuación igual a cero} \ (e ^ x + 7) (e ^ x-8) & = 0 qquad text {Factorizar por el método FOIL} \ e ^ x + 7 & = 0 qquad text {o} \ e ^ x-8 & = 0 qquad text {Si un producto es cero, entonces un factor debe ser cero} \ e ^ x & = -7 qquad text {or} \ e ^ x & = 8 qquad text {Aislar los exponenciales} \ e ^ x & = 8 qquad text {Rechazar la ecuación en la que la potencia es igual a un número negativo} \ x & = ln8 qquad text {Resolver la ecuación en la que la potencia es igual a número positivo} end {align *} ]

 

Análisis

 

Cuando planeamos usar la factorización para resolver un problema, siempre obtenemos cero en un lado de la ecuación, porque el cero tiene la propiedad única de que cuando un producto es cero, uno o ambos factores deben ser cero. Rechazamos la ecuación (e ^ x = −7 ) porque un número positivo nunca es igual a un número negativo. La solución ( ln (−7) ) no es un número real, y en el sistema de números reales esta solución se rechaza como una solución extraña.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Resuelve (e ^ {2x} = e ^ x + 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = ln2 )

     
 
 
 
 

P y R: ¿Cada ecuación logarítmica tiene una solución?

 

No. Tenga en cuenta que solo podemos aplicar el logaritmo a un número positivo. Siempre busque soluciones extrañas.

 
 

Usando la definición de un logaritmo para resolver ecuaciones logarítmicas

 

Ya hemos visto que cada ecuación logarítmica ({ log} _b (x) = y ) es equivalente a la ecuación exponencial (b ^ y = x ). Podemos usar este hecho, junto con las reglas de los logaritmos, para resolver ecuaciones logarítmicas donde el argumento es una expresión algebraica.

 

Por ejemplo, considere la ecuación ({ log} _2 (2) + { log} _2 (3x − 5) = 3 ). Para resolver esta ecuación, podemos usar reglas de logaritmos para reescribir el lado izquierdo en forma compacta y luego aplicar la definición de registros para resolver (x ):

 

[ begin {align *} { log} _2 (2) + { log} _2 (3x-5) & = 3 \ { log} _2 (2 (3x-5)) & = 3 qquad text {Aplicar la regla de producto de logaritmos} \ { log} _2 (6x-10) & = 3 qquad text {Distribuir} \ 2 ^ 3 & = 6x-10 qquad text {Aplicar la definición de un logaritmo} \ 8 & = 6x-10 qquad text {Calcular} 2 ^ 3 \ 18 & = 6x qquad text {Agregue 10 a ambos lados} \ x & = 3 qquad text {Divide por 6} end {align *} ]

 
 
 

UTILIZANDO LA DEFINICIÓN DE UN LOGARITMO PARA RESOLVER LAS ECUACIONES LOGARITMICAS

 

Para cualquier expresión algebraica (S ) y números reales (b ) y (c ), donde (b> 0 ), (b ≠ 1 ),

 

[ begin {align} { log} _b (S) = c text {if and only if} b ^ c = S end {align} ]

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Uso de álgebra para resolver una ecuación logarítmica

 

Resuelve (2 ln x + 3 = 7 ).

 

Solución

 

[ begin {align *} 2 ln x + 3 & = 7 \ 2 ln x & = 4 qquad text {Subtract 3} \ ln x & = 2 qquad text {Divide entre 2 } \ x & = e ^ 2 qquad text {Reescribir en forma exponencial} end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Resuelve (6+ ln x = 10 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = e ^ 4 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Uso de álgebra antes y después de usar la definición del logaritmo natural

 

Resuelve (2 ln (6x) = 7 ).

 

Solución:

 

[ begin {align *} 2 ln (6x) & = 7 \ ln (6x) & = dfrac {7} {2} qquad text {Dividir por 2} \ 6x & = e ^ { left ( dfrac {7} {2} right)} qquad text {Use la definición de} ln \ x & = dfrac {1} {6} e ^ { left ( dfrac {7} {2} right)} qquad text {Dividir por 6} end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Resuelve (2 ln (x + 1) = 10 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = e ^ 5−1 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ): Uso de un gráfico para comprender la solución de una ecuación logarítmica

 

Resuelve ( ln x = 3 ).

 

Solución

 

[ begin {align *} ln x & = 3 \ x & = e ^ 3 qquad text {Use la definición del logaritmo natural} end {align *} ]

 

La figura ( PageIndex {3} ) representa el gráfico de la ecuación. En el gráfico, la coordenada x del punto en el que se cruzan las dos gráficas está cerca de (20 ). En otras palabras (e ^ 3≈20 ). Una calculadora da una mejor aproximación: (e ^ 3≈20.0855 ).

 
Graph of two questions, y=3 and y=ln(x), which intersect at the point (e^3, 3) which is approximately (20.0855, 3).
Figura ( PageIndex {3} ): Las gráficas de (y = ln x ) y (y = 3 ) se cruzan en el punto ((e ^ 3 , 3) ), que es aproximadamente ((20.0855, 3) ).
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Usa una calculadora gráfica para estimar la solución aproximada a la ecuación logarítmica (2 ^ x = 1000 ) a (2 ) lugares decimales.

 
     
Respuesta
     
     

(x≈9,97 )

     
 
 
 

Uso de la propiedad uno a uno de los logaritmos para resolver ecuaciones logarítmicas

 

Al igual que con las ecuaciones exponenciales, podemos usar la propiedad uno a uno para resolver ecuaciones logarítmicas. La propiedad uno a uno de las funciones logarítmicas nos dice que, para cualquier número real (x> 0 ), (S> 0 ), (T> 0 ) y cualquier número real positivo (b ), donde (b ≠ 1 ),

 

({ log} _bS = { log} _bT ) si y solo si (S = T ).

 

Por ejemplo,

 

Si ({ log} _2 (x − 1) = { log} _2 (8) ), entonces (x − 1 = 8 ).

 

Entonces, si (x − 1 = 8 ), entonces podemos resolver para (x ), y obtenemos (x = 9 ). Para verificar, podemos sustituir (x = 9 ) en la ecuación original: ({ log} _2 (9−1) = { log} _2 (8) = 3 ). En otras palabras, cuando una ecuación logarítmica tiene la misma base en cada lado, los argumentos deben ser iguales. Esto también se aplica cuando los argumentos son expresiones algebraicas. Por lo tanto, cuando se le da una ecuación con registros de la misma base en cada lado, podemos usar reglas de logaritmos para reescribir cada lado como un solo logaritmo. Luego usamos el hecho de que las funciones logarítmicas son individuales para establecer los argumentos iguales entre sí y resolver lo desconocido.

 

Por ejemplo, considere la ecuación ( log (3x − 2) – log (2) = log (x + 4) ). Para resolver esta ecuación, podemos usar las reglas de los logaritmos para reescribir el lado izquierdo como un solo logaritmo, y luego aplicar la propiedad uno a uno para resolver (x ):

 

[ begin {align *} log (3x-2) – log (2) & = log (x + 4) \ log left ( dfrac {3x-2} {2} right) & = log (x + 4) qquad text {Aplicar la regla del cociente de logaritmos} \ dfrac {3x-2} {2} & = x + 4 qquad text {Aplicar el una propiedad de un logaritmo} \ 3x-2 & = 2x + 8 qquad text {Multiplica ambos lados de la ecuación por 2} \ x & = 10 qquad text {Resta 2x y suma 2} end {align * } ]

 

Para verificar el resultado, sustituya (x = 10 ) en ( log (3x − 2) – log (2) = log (x + 4) ).

 

[ begin {align *} log (3 (10) -2) – log (2) & = log ((10) +4) \ log (28) – log (2 ) & = log (14) \ log left ( dfrac {28} {2} right) & = log (14) qquad text {La solución verifica} end {align *} ]

 
 
 

UTILIZANDO LA PROPIEDAD INDIVIDUAL DE LOS LOGARITMOS PARA RESOLVER LAS ECUACIONES LOGARITMICAS

 

Para cualquier expresión algebraica (S ) y (T ) y cualquier número real positivo (b ), donde (b ≠ 1 ),

 

[ begin {align} b ^ S = b ^ T text {if and only if} S = T end {align} ]

 

Tenga en cuenta que, al resolver una ecuación que involucra logaritmos, siempre verifique si la respuesta es correcta o si es una solución extraña.

 
 
 

Cómo: dada una ecuación que contiene logaritmos, resolverla usando la propiedad uno a uno

 
         
  1. Use las reglas de los logaritmos para combinar términos similares, si es necesario, de modo que la ecuación resultante tenga la forma ({ log} _bS = { log} _bT ).
  2.      
  3. Use la propiedad uno a uno para establecer los argumentos iguales.
  4.      
  5. Resuelve la ecuación resultante, (S = T ), para lo desconocido.
  6.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ): Resolver una ecuación usando la propiedad uno a uno de los logaritmos

 

Resuelve ( ln (x ^ 2) = ln (2x + 3) ).

 

Solución

 

[ begin {align *} ln (x ^ 2) & = ln (2x + 3) \ x ^ 2 & = 2x + 3 qquad text {Use la propiedad uno a uno de el logaritmo} \ x ^ 2-2x-3 & = 0 qquad text {Obtenga cero en un lado antes de factorizar} \ (x-3) (x + 1) & = 0 qquad text {Factor usando FOIL } \ x-3 & = 0 qquad text {o} x + 1 = 0 text {Si un producto es cero, uno de los factores debe ser cero} \ x = 3 qquad text {o} x & = -11 qquad text {Resolver para x} end {align *} ]

 

Análisis

 

Hay dos soluciones: (3 ) o (- 1 ). La solución (- 1 ) es negativa, pero se verifica cuando se sustituye en la ecuación original porque el argumento de las funciones de logaritmo sigue siendo positivo.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Resuelve ( ln (x ^ 2) = ln1 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = 1 ) o (x = −1 )

     
 
 
 

Solución de problemas aplicados utilizando ecuaciones exponenciales y logarítmicas

 

En secciones anteriores, aprendimos las propiedades y reglas para funciones exponenciales y logarítmicas. Hemos visto que cualquier función exponencial se puede escribir como una función logarítmica y viceversa. Hemos utilizado exponentes para resolver ecuaciones logarítmicas y logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales. Ahora estamos listos para combinar nuestras habilidades para resolver ecuaciones que modelan situaciones del mundo real, ya sea que lo desconocido esté en un exponente o en el argumento de un logaritmo.

 

Una de esas aplicaciones es en la ciencia, al calcular el tiempo que tarda la mitad del material inestable en una muestra de una sustancia radiactiva en descomponerse, llamada su vida media . La tabla ( PageIndex {1} ) enumera la vida media de varias de las sustancias radiactivas más comunes.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Tabla ( PageIndex {1} )
Sustancia Uso Vida media
galio-67 medicina nuclear 80 horas
cobalto-60 fabricación 5,3 años
tecnecio-99m medicina nuclear 6 horas
americio-241 construcción 432 años
carbono-14 datación arqueológica 5,715 años
uranio-235 energía atómica 703,800,000 años
 

Podemos ver cuán ampliamente varían las vidas medias de estas sustancias. Conocer la vida media de una sustancia nos permite calcular la cantidad restante después de un tiempo específico. Podemos usar la fórmula para la desintegración radiactiva:

 

[ begin {align} A (t) & = A_0e ^ { tfrac { ln (0.5)} {T} t} \ A (t) & = A_0e ^ { tfrac { ln ( 0.5) t} {T}} \ A (t) & = A_0 {(e ^ { ln (0.5)})} ^ { tfrac {t} {T}} \ A (t) & = A_0 { left ( dfrac {1} {2} right)} ^ { tfrac {t} {T}} \ end {align} ]

 

donde

 
         
  • (A_0 ) es la cantidad inicialmente presente
  •      
  • (T ) es la vida media de la sustancia
  •      
  • (t ) es el período de tiempo durante el cual se estudia la sustancia
  •      
  • (y ) es la cantidad de la sustancia presente después del tiempo (t )
  •  
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} ): Uso de la fórmula para la descomposición radiactiva para encontrar la cantidad de una sustancia

 

¿Cuánto tiempo tardará en descomponerse el diez por ciento de una muestra de (1000 ) gramos de uranio-235?

 

Solución

 

[ begin {align *} y & = 1000e ^ { tfrac { ln (0.5)} {703,800,000} t} \ 900 & = 1000e ^ { tfrac { ln (0.5)} {703,800,000} t } qquad text {Después} 10 % text {decae, quedan 900 gramos} \ 0.9 & = e ^ { tfrac { ln (0.5)} {703,800,000} t} qquad text {Dividir por 1000} \ ln (0.9) & = ln left (e ^ { tfrac { ln (0.5)} {703,800,000} t} right) qquad text {Tome ln de ambos lados} \ ln (0.9) & = dfrac { ln (0.5)} {703,800,000} t qquad ln (e ^ M) = M \ t & = 703,800,000 times dfrac { ln (0.9)} { ln ( 0.5)} qquad text {años Resuelva para t} \ t & aprox 106.979.777 qquad text {años} end {align *} ]

 

Análisis

 

El diez por ciento de (1000 ) gramos es (100 ) gramos. Si se descomponen (100 ) gramos, la cantidad de uranio-235 restante es (900 ) gramos.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

¿Cuánto tiempo pasará antes de que el veinte por ciento de nuestra muestra de 1000 gramos de uranio-235 haya decaído?

 
     
Respuesta
     
     

(t = 703,800,000 × dfrac { ln (0.8)} { ln (0.5)} ) años ≈ 226,572,993 años.

     
 
 
 
 

Medios

 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar con ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

 
 

Ecuaciones clave

                                                                                                                                                              
Propiedad uno a uno para funciones exponenciales Para cualquier expresión algebraica (S ) y (T ) y cualquier número real positivo (b ), donde (b ^ S = b ^ T ) si y solo si (S = T ).
Definición de un logaritmo Para cualquier expresión algebraica S y números reales positivos (b ) y (c ), donde (b ≠ 1 ), ({ log} _b (S) = c ) si y solo si (b ^ c = S ).
Propiedad uno a uno para funciones logarítmicas Para cualquier expresión algebraica (S ) y (T ) y cualquier número real positivo (b ), donde (b ≠ 1 ),
({ log} _bS = { log} _bT ) si y solo si (S = T ).
 

Conceptos clave

 
         
  • Podemos resolver muchas ecuaciones exponenciales usando las reglas de los exponentes para reescribir cada lado como una potencia con la misma base. Luego usamos el hecho de que las funciones exponenciales son una a una para establecer los exponentes iguales entre sí y resolver lo desconocido.
  •      
  • Cuando se nos da una ecuación exponencial donde las bases se muestran explícitamente como iguales, establece los exponentes iguales entre sí y resuelve lo desconocido. Ver Ejemplo ( PageIndex {1} ).
  •      
  • Cuando se nos da una ecuación exponencial donde las bases no se muestran explícitamente como iguales, reescribe cada lado de la ecuación como potencias de la misma base, luego establece los exponentes iguales entre sí y resuelve por lo desconocido Consulte el Ejemplo ( PageIndex {2} ), el Ejemplo ( PageIndex {3} ) y el Ejemplo ( PageIndex {4} ).
  •      
  • Cuando una ecuación exponencial no se puede reescribir con una base común, resuélvela tomando el logaritmo de cada lado. Ver Ejemplo ( PageIndex {5} ).
  •      
  • Podemos resolver ecuaciones exponenciales con base (e ), aplicando el logaritmo natural de ambos lados porque las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas entre sí. Consulte el Ejemplo ( PageIndex {6} ) y el Ejemplo ( PageIndex {7} ).
  •      
  • Después de resolver una ecuación exponencial, verifique cada solución en la ecuación original para encontrar y eliminar cualquier solución extraña. Ver Ejemplo ( PageIndex {8} ).
  •      
  • Cuando se le da una ecuación de la forma ({ log} _b (S) = c ), donde (S ) es una expresión algebraica, podemos usar la definición de un logaritmo para reescribir la ecuación como ecuación exponencial equivalente (b ^ c = S ), y resuelve lo desconocido. Consulte el Ejemplo ( PageIndex {9} ) y el Ejemplo ( PageIndex {10} ).
  •      
  • También podemos usar gráficos para resolver ecuaciones con la forma ({ log} _b (S) = c ). Graficamos ambas ecuaciones (y = { log} _b (S) ) y (y = c ) en el mismo plano de coordenadas e identificamos la solución como el valor x- del punto de intersección . Ver Ejemplo ( PageIndex {11} ).
  •      
  • Cuando se le da una ecuación de la forma ({ log} _bS = { log} _bT ), donde (S ) y (T ) son expresiones algebraicas, podemos usar el uno-a- Una propiedad de los logaritmos para resolver la ecuación (S = T ) para lo desconocido. Ver Ejemplo ( PageIndex {12} ).
  •      
  • Combinando las habilidades aprendidas en esta y en secciones anteriores, podemos resolver ecuaciones que modelan situaciones del mundo real, ya sea que lo desconocido esté en un exponente o en el argumento de un logaritmo. Ver Ejemplo ( PageIndex {13} ).
  •  
 
                                  
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