las matematicas

6.7: Exponentes enteros y notación científica

6.7: Exponentes enteros y notación científica

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 

Al final de esta sección, podrá:

 
         
  • Usa la definición de un exponente negativo
    •      
  • Simplificar expresiones con exponentes enteros
    •      
  • Convertir de notación decimal a notación científica
    •      
  • Convertir notación científica a forma decimal
    •      
  • Multiplica y divide usando notación científica
    •  
 
 
 

Nota

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. ¿Cuál es el valor posicional del 6 en el número 64891?
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 1.2.1 .
    2.      
  2. Nombre el decimal: 0.0012.
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 1.8.1 .
    3.      
  3. Restar: 5 – (- 3).
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 1.4.33 .
    4.  
 
 

Usa la definición de un exponente negativo

 

Vimos que la Propiedad del cociente para exponentes presentada anteriormente en este capítulo tiene dos formas, dependiendo de si el exponente es mayor en el numerador o en el denominador.

 
 
 

PROPIEDAD DE COTIZACIÓN PARA EXPONENTES

 
 

Si a es un número real, (a neq0 ), ymyn son números enteros, entonces

 

[ dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m-n}, m> n quad ]

 

y

 

[ dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = dfrac {1} {a ^ {n-m}}, n> m ]

 
 
 

¿Qué sucede si solo restamos exponentes independientemente de cuál sea mayor?

 

Consideremos ( dfrac {x ^ {2}} {x ^ {5}} ).

 

Restamos el exponente en el denominador del exponente en el numerador.

 

[ begin {array} {c} { dfrac {x ^ {2}} {x ^ {5}}} \ {x ^ {2-5}} \ {x ^ {- 3 }} end {array} ]

 

También podemos simplificar ( dfrac {x ^ {2}} {x ^ {5}} ) dividiendo factores comunes:

 

Illustrated in this figure is x times x divided by x times x times x times x times x. Two xes cancel out in the numerator and denominator. Below this is the simplified term: 1 divided by x cubed.

 

esto implica que (x ^ {- 3} = dfrac {1} {x ^ {3}} ) y nos lleva a la definición de un exponente negativo .

 
 
 

Definición: EXPONENTE NEGATIVO

 

Si n es un número entero y (a neq 0 ), entonces (a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ {n}} )

 
 

El exponente negativo nos dice que podemos reescribir la expresión tomando el recíproco de la base y luego cambiando el signo del exponente.

 

Cualquier expresión que tenga exponentes negativos no se considera en su forma más simple. Usaremos la definición de un exponente negativo y otras propiedades de los exponentes para escribir la expresión con solo exponentes positivos.

 

Por ejemplo, si después de simplificar una expresión terminamos con la expresión (x ^ {- 3} ), daremos un paso más y escribiremos ( dfrac {1} {x ^ {3}} ). Se considera que la respuesta está en la forma más simple cuando solo tiene exponentes positivos.

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (4 ^ {- 2} )
    2.      
  2. (10 ​​^ {- 3} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( begin {array} {ll} & 4 ^ {- 2} \ { text {Use la definición de un exponente negativo,} a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ {n}},} & { dfrac {1} {4 ^ {2}}} \ { text {Simplify.}} & dfrac {1} {16} end {array} )
    2.          
  2. ( begin {array} {ll} & 10 ^ {- 3} \ { text {Use la definición de un exponente negativo,} a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ {n}},} & dfrac {1} {10 ^ {3}} \ { text {Simplify.}} & dfrac {1} {1000} end {array} )
    3.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (2 ^ {- 3} )
    2.      
  2. (10 ​​^ {- 7} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {1} {8} )
    2.          
  2. ( dfrac {1} {10 ^ {7}} )
    3.      
     
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (3 ^ {- 2} )
    2.      
  2. (10 ​​^ {- 4} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {1} {9} )
    2.          
  2. ( dfrac {1} {10,000} )
    3.      
     
 
 
 
 

En el ejercicio ( PageIndex {1} ) elevamos un número entero a un exponente negativo. ¿Qué sucede cuando elevamos una fracción a un exponente negativo? Comenzaremos observando qué sucede con una fracción cuyo numerador es uno y cuyo denominador es un entero elevado a un exponente negativo.

 

( begin {array} {ll} & dfrac {1} {a ^ {- n}} \ { text {Use la definición de un exponente negativo,} a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ {n}}} & dfrac {1} { dfrac {1} {a ^ {n}}} \ { text {Simplifique la fracción compleja.}} & 1 cdot dfrac {a ^ {n}} {1} \ { text {Multiply.}} y a ^ {n} end {array} )

 

Esto lleva a la propiedad de exponentes negativos.

 
 
 

PROPIEDAD DE LOS EXPONENTES NEGATIVOS

 

Si n es un entero y (a neq 0 ), entonces ( dfrac {1} {a ^ {- n}} = a ^ {n} ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( dfrac {1} {y ^ {- 4}} )
    2.      
  2. ( dfrac {1} {3 ^ {- 2}} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( begin {array} {ll} & dfrac {1} {y ^ {- 4}} \ text {Use la propiedad de un exponente negativo,} dfrac {1} {a ^ { -n}} = a ^ {n}. & y ^ {4} end {array} )
    2.          
  2. ( begin {array} {ll} & dfrac {1} {3 ^ {- 2}} \ text {Use la propiedad de un exponente negativo,} dfrac {1} {a ^ { -n}} = a ^ {n}. & 3 ^ {2} \ text {Simplify.} & 9 end {array} )
    3.      
     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( dfrac {1} {p ^ {- 8}} )
    2.      
  2. ( dfrac {1} {4 ^ {- 3}} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (p ^ {8} )
    2.          
  2. 64
    3.      
     
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( dfrac {1} {q ^ {- 7}} )
    2.      
  2. ( dfrac {1} {2 ^ {- 4}} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (q ^ {7} )
    2.          
  2. 16
    3.      
     
 
 
 

Supongamos que ahora tenemos una fracción elevada a un exponente negativo. Usemos nuestra definición de exponentes negativos para llevarnos a una nueva propiedad.

 

( begin {array} {ll} & left ( dfrac {3} {4} right) ^ {- 2} \ { text {Use la definición de un exponente negativo,} a ^ {-n} = dfrac {1} {a ^ {n}}} & dfrac {1} { left ( dfrac {3} {4} right) ^ {2}} \ { text { Simplifique el denominador.}} & Dfrac {1} { dfrac {9} {16}} \ { text {Simplifique la fracción compleja.}} & Dfrac {16} {9} \ text {Pero sabemos que} dfrac {16} {9} text {is} left ( dfrac {4} {3} right) ^ {2} & \ text {Esto nos dice que:} & left ( dfrac {3} {4} right) ^ {- 2} = left ( dfrac {4} {3} right) ^ {2} end {array} )

 

Para pasar de la fracción original elevada a un exponente negativo al resultado final, tomamos el recíproco de la base, la fracción, y cambiamos el signo del exponente.

 

Esto nos lleva al Cociente a una Propiedad de Poder Negativo .

 
 

COTIENTE A UNA PROPIEDAD EXPONENTE NEGATIVA

 

Si (a ) y (b ) son números reales, (a neq 0, b neq 0, ) y (n ) es un número entero, entonces ( left ( dfrac {a} {b} right) ^ {- n} = left ( dfrac {b} {a} right) ^ {n} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( left ( dfrac {5} {7} right) ^ {- 2} )
    2.      
  2. ( left (- dfrac {2 x} {y} right) ^ {- 3} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( begin {array} {ll} & left ( dfrac {5} {7} right) ^ {- 2} \ text {Use el cociente de una propiedad exponente negativa,} left ( dfrac {a} {b} right) ^ {- n} = left ( dfrac {b} {a} right) ^ {n} & \ text {Tome el recíproco de la fracción y cambie el signo del exponente.} & left ( dfrac {7} {5} right) ^ {2} \ text {Simplify.} & dfrac {49} {25} end {array} )
    2.          
  2. ( begin {array} {ll} & left (- dfrac {2 x} {y} right) ^ {- 3} \ text {Use el cociente de una propiedad exponente negativa,} left ( dfrac {a} {b} right) ^ {- n} = left ( dfrac {b} {a} right) ^ {n} & \ text {Tome el recíproco de la fracción y cambie el signo del exponente.} & left (- dfrac {y} {2 x} right) ^ {3} \ text {Simplify.} & – dfrac {y ^ {3}} { 8 x ^ {3}} end {array} )
    3.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( left ( dfrac {2} {3} right) ^ {- 4} )
    2.      
  2. ( left (- dfrac {6 m} {n} right) ^ {- 2} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {81} {16} )
    2.          
  2. ( dfrac {n ^ {2}} {36 m ^ {2}} )
    3.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( left ( dfrac {3} {5} right) ^ {- 3} )
    2.      
  2. ( left (- dfrac {a} {2 b} right) ^ {- 4} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {125} {27} )
    2.          
  2. ( dfrac {16 b ^ {4}} {a ^ {4}} )
    3.      
     
 
 
 

Al simplificar una expresión con exponentes, debemos tener cuidado de identificar correctamente la base.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((- 3) ^ {- 2} )
    2.      
  2. (- 3 ^ {- 2} )
    3.      
  3. ( left (- dfrac {1} {3} right) ^ {- 2} )
    4.      
  4. (- left ( dfrac {1} {3} right) ^ {- 2} )
    5.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. Aquí el exponente se aplica a la base −3. ( Begin {array} {ll} & (-3) ^ {- 2} \ { text {Tome el recíproco de la base y cambie el signo de el exponente.}} & dfrac {1} {(- 3) ^ {- 2}} \ { text {Simplify.}} & dfrac {1} {9} end {array} ) [19459007 ]          
  2. La expresión (- 3 ^ {- 2} ) significa “encontrar el opuesto de (3 ^ {- 2} )”. Aquí el exponente se aplica a la base 3. ( begin {array} {ll} & -3 ^ {- 2} \ text {Reescribir como producto con} -1 & -1 cdot 3 ^ {- 2} \ text {Tome el recíproco de la base y cambie el signo del exponente.} & -1 cdot dfrac {1} {3 ^ {2}} \ { text {Simplify.}} & – dfrac {1} {9} end {array} )
    3.          
  3. Aquí el exponente se aplica a la base ( left (- dfrac {1} {3} right) ). ( begin {array} {ll} & left (- dfrac {1} {3} right) ^ {- 2} \ { text {Tome el recíproco de la base y cambie el signo del exponente .}} & left (- dfrac {3} {1} right) ^ {2} \ { text {Simplify.}} & 9 end {array} )
    4.          
  4. La expresión (- left ( dfrac {1} {3} right) ^ {- 2} ) significa “encontrar el opuesto de ( left ( dfrac {1} {3} right ) ^ {- 2} ) “. Aquí el exponente se aplica a la base ( left ( dfrac {1} {3} right) ). ( Begin {array} {ll} & – left ( dfrac {1} {3} derecha) ^ {- 2} \ text {Reescribir como producto con} -1 & -1 cdot left ( dfrac {1} {3} right) ^ {- 2} \ text {Tome el recíproco de la base y cambiar el signo del exponente.} & -1 cdot left ( dfrac {3} {1} right) ^ {2} \ { text {Simplify.}} & -9 end {array} )
    5.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((- 5) ^ {- 2} )
    2.      
  2. (- 5 ^ {- 2} )
    3.      
  3. ( left (- dfrac {1} {5} right) ^ {- 2} )
    4.      
  4. (- left ( dfrac {1} {5} right) ^ {- 2} )
    5.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {1} {25} )
    2.          
  2. (- dfrac {1} {25} )
    3.          
  3. 25
    4.          
  4. −25
    5.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ((- 7) ^ {- 2} )
    2.      
  2. (- 7 ^ {- 2} )
    3.      
  3. ( left (- dfrac {1} {7} right) ^ {- 2} )
    4.      
  4. (- left ( dfrac {1} {7} right) ^ {- 2} )
    5.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {1} {49} )
    2.          
  2. (- dfrac {1} {49} )
    3.          
  3. 49
    4.          
  4. −49
    5.      
     
 
 
 

Debemos tener cuidado de seguir la Orden de Operaciones. En el siguiente ejemplo, las partes (a) y (b) se ven similares, pero los resultados son diferentes.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Simplificar:

 
         
  1. 4 ( cdot 2 ^ {- 1} )
    2.      
  2. ((4 cdot 2) ^ {- 1} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( begin {array} {ll} text {Hacer exponentes antes de la multiplicación.} & 4 cdot 2 ^ {- 1} \ text {Use} a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ {n}} y 4 cdot dfrac {1} {2 ^ {1}} \ { text {Simplify.}} & 2 end {array} )
    2.          
  2. ( begin {array} {ll} & (4 cdot 2) ^ {- 1} \ text {Simplifique primero entre paréntesis.} & (8) ^ {- 1} \ text {Use} a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ {n}} & dfrac {1} {8 ^ {1}} \ { text {Simplify.}} & Dfrac {1 } {8} end {array} )
    3.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Simplificar:

 
         
  1. 6 ( cdot 3 ^ {- 1} )
    2.      
  2. ((6 cdot 3) ^ {- 1} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. 2
    2.          
  2. ( dfrac {1} {18} )
    3.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Simplificar:

 
         
  1. 8 ( cdot 2 ^ {- 2} )
    2.      
  2. ((8 cdot 2) ^ {- 2} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. 2
    2.          
  2. ( dfrac {1} {256} )
    3.      
     
 
 
 

Cuando una variable se eleva a un exponente negativo, aplicamos la definición de la misma manera que lo hicimos con los números. Asumiremos que todas las variables son distintas de cero.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (x ^ {- 6} )
    2.      
  2. ( left (u ^ {4} right) ^ {- 3} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( begin {array} {ll} & x ^ {- 6} \ text {Use la definición de un exponente negativo,} a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ {n }} & dfrac {1} {x ^ {6}} end {array} )
    2.          
  2. ( begin {array} {ll} & left (u ^ {4} right) ^ {- 3} \ text {Use la definición de un exponente negativo,} a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ {n}} & dfrac {1} { left (u ^ {4} right) ^ {3}} \ text {Simplify.} & dfrac {1} {u ^ {12}} end {array} )
    3.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (y ^ {- 7} )
    2.      
  2. ( left (z ^ {3} right) ^ {- 5} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {1} {y ^ {7}} )
    2.          
  2. ( dfrac {1} {z ^ {15}} )
    3.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (p ^ {- 9} )
    2.      
  2. ( left (q ^ {4} right) ^ {- 6} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {1} {p ^ {9}} )
    2.          
  2. ( dfrac {1} {q ^ {24}} )
    3.      
     
 
 
 

Cuando hay un producto y un exponente, debemos tener cuidado de aplicar el exponente a la cantidad correcta. De acuerdo con el Orden de Operaciones, simplificamos las expresiones entre paréntesis antes de aplicar exponentes. Veremos cómo funciona esto en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Simplificar:

 
         
  1. 5 (y ^ {- 1} )
    2.      
  2. ((5 años) ^ {- 1} )
    3.      
  3. ((- 5 años) ^ {- 1} )
    4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( begin {array} {ll} & 5 y ^ {- 1} \ text {Observe que el exponente se aplica solo a la base y.} & \ text {Tome el recíproco de} y text {y cambie el signo del exponente.} & 5 cdot dfrac {1} {y ^ {1}} \ text {Simplify.} & dfrac {5} {y} end {array} ) [ 19459007]          
  2. ( begin {array} {ll} & (5 y) ^ {- 1} \ text {Aquí los paréntesis hacen que el exponente se aplique a la base} 5 y. & \ text {Tome el recíproco de} 5 y text {y cambie el signo del exponente.} & dfrac {1} {(5 y) ^ {1}} \ text {Simplify.} & dfrac {1} {5 y } end {array} )
    3.          
  3. ( begin {array} {ll} & (- 5 y) ^ {- 1} \ text {La base aquí es} -5 y & \ text {Tome el recíproco de} -5 y text {y cambie el signo del exponente.} & dfrac {1} {(- 5 y) ^ {1}} \ text {Simplify.} & dfrac {1} {- 5 y} \ text {Use} dfrac {a} {- b} = – dfrac {a} {b} & – dfrac {1} {5 y} end {array} )
    4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Simplificar:

 
         
  1. 8 (p ^ {- 1} )
    2.      
  2. ((8 p) ^ {- 1} )
    3.      
  3. ((- 8 p) ^ {- 1} )
    4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {8} {p} )
    2.          
  2. ( dfrac {1} {8 p} )
    3.          
  3. (- dfrac {1} {8 p} )
    4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Simplificar:

 
         
  1. 11 (q ^ {- 1} )
    2.      
  2. ((11 q) ^ {- 1} – (11 q) ^ {- 1} )
    3.      
  3. ((- 11 q) ^ {- 1} )
    4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {11} {1 q} )
    2.          
  2. ( dfrac {1} {11 q} – dfrac {1} {11 q} )
    3.          
  3. (- dfrac {1} {11 q} )
    4.      
     
 
 
 

Con exponentes negativos, la regla del cociente solo necesita una forma ( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {mn}, ) para (a neq 0 ) 0. Cuando el exponente en el denominador es mayor que el exponente en el numerador, el exponente del cociente será negativo.

 

Simplificar expresiones con exponentes enteros

 

Todas las propiedades de exponente que desarrollamos anteriormente en el capítulo con exponentes de números enteros también se aplican a exponentes enteros. Los reformulamos aquí para referencia.

 
 
 

RESUMEN DE LAS PROPIEDADES EXPONENTES

 

Si (a ) y (b ) son números reales, y (m ) y (n ) son enteros, entonces

 

( begin {array} {lrll} { textbf {Propiedad del producto}} & a ^ {m} cdot a ^ {n} & = & a ^ {m + n} \ { textbf {Power Propiedad}} & left (a ^ {m} right) ^ {n} & = & a ^ {m cdot n} \ { textbf {Producto a una potencia}} & (ab) ^ {m} & = & a ^ {m} b ^ {m} \ { textbf {Propiedad del cociente}} & dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} & = & a ^ {mn}, a neq 0 \ { textbf {Propiedad de exponente cero}} & a ^ {0} & = & 1, a neq 0 \ { textbf {Cociente de una propiedad de potencia}} & left ( dfrac {a} {b } right) ^ {m} & = & dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}}, b neq 0 \ { textbf {Propiedades de los exponentes negativos}} & a ^ {- n } & = & dfrac {1} {a ^ {n}} text {y} dfrac {1} {a ^ {- n}} = a ^ {n} \ { textbf {Cociente de un negativo Exponentes}} & left ( dfrac {a} {b} right) ^ {- n} & = & left ( dfrac {b} {a} right) ^ {n} \ end {array } )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (x ^ {- 4} cdot x ^ {6} )
    2.      
  2. (y ^ {- 6} cdot y ^ {4} )
    3.      
  3. (z ^ {- 5} cdot z ^ {- 3} )
    4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( begin {array} {ll} & x ^ {- 4} cdot x ^ {6} \ text {Use la propiedad del producto,} a ^ {m} cdot a ^ {n} = a ^ {m + n} & x ^ {- 4 + 6} \ text {Simplify.} & x ^ {2} end {array} )
    2.          
  2. ( begin {array} {ll} & y ^ {- 6} cdot y ^ {4} \ text {Observe las mismas bases, así que agregue los exponentes.} & Y ^ {- 6+ 4} \ text {Simplify.} & Y ^ {- 2} \ text {Use la definición de un exponente negativo,} a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ {n}} & dfrac {1} {y ^ {2}} end {array} )
    3.          
  3. ( begin {array} {ll} & z ^ {- 5} cdot z ^ {- 3} \ text {Agregue los exponentes, ya que las bases son las mismas.} & Z ^ {- 5-3} \ text {Simplify.} & Z ^ {- 8} \ text {Tome el recíproco y cambie el signo del exponente,} & dfrac {1} {z ^ {8}} text {usando la definición de un exponente negativo.} end {array} )
    4.      
     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (x ^ {- 3} cdot x ^ {7} )
    2.      
  2. (y ^ {- 7} cdot y ^ {2} )
    3.      
  3. (z ^ {- 4} cdot z ^ {- 5} )
    4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (x ^ {4} )
    2.          
  2. ( dfrac {1} {y ^ {5}} )
    3.          
  3. ( dfrac {1} {z ^ {9}} )
    4.      
     
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (a ^ {- 1} cdot a ^ {6} )
    2.      
  2. (b ^ {- 8} cdot b ^ {4} )
    3.      
  3. (c ^ {- 8} cdot c ^ {- 7} )
    4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (a ^ {5} )
    2.          
  2. ( dfrac {1} {b ^ {4}} )
    3.          
  3. ( dfrac {1} {c ^ {15}} )
    4.      
     
 
 
 

En los siguientes dos ejemplos, comenzaremos usando la propiedad conmutativa para agrupar las mismas variables. Esto facilita la identificación de las bases similares antes de usar la Propiedad del producto.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Simplifique: ( left (m ^ {4} n ^ {- 3} right) left (m ^ {- 5} n ^ {- 2} right) )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & left (m ^ {4} n ^ {- 3} right) left (m ^ {- 5} n ^ {- 2} right) text {Use la propiedad conmutativa para obtener bases similares juntas.} & m ^ {4} m ^ {- 5} cdot n ^ {- 2} n ^ {- 3} \ text {Agregue los exponentes para cada base.} & m ^ {- 1} cdot n ^ {- 5} \ text {Tomar recíprocos y cambiar los signos de los exponentes.} & dfrac {1} {m ^ {1}} cdot dfrac {1} {n ^ {5}} \ text {Simplify.} & dfrac {1} {mn ^ {5}} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Simplifique: ( left (p ^ {6} q ^ {- 2} right) left (p ^ {- 9} q ^ {- 1} right) )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {1} {p ^ 3 q ^ 3} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Simplifique: ( left (r ^ {5} s ^ {- 3} right) left (r ^ {- 7} s ^ {- 5} right) )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {1} {r ^ 2 s ^ 8} )

     
 
 
 

Si los monomios tienen coeficientes numéricos, multiplicamos los coeficientes, tal como lo hicimos antes.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} )

 

Simplifique: ( left (2 x ^ {- 6} y ^ {8} right) left (-5 x ^ {5} y ^ {- 3} right) )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & left (2 x ^ {- 6} y ^ {8} right) left (-5 x ^ {5} y ^ {- 3} right ) \ text {Reescribe con las bases similares juntas.} & 2 (-5) cdot left (x ^ {- 6} x ^ {5} right) cdot left (y ^ {8} y ^ {- 3} right) \ text {Multiplique los coeficientes y agregue los exponentes de cada variable.} & – 10 cdot x ^ {- 1} cdot y ^ {5} \ text {Use el definición de un exponente negativo,} a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ {n}} & – 10 cdot dfrac {1} {x ^ {1}} cdot y ^ {5} \ text {Simplify.} & dfrac {-10 y ^ {5}} {x} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} )

 

Simplifique: ( left (3 u ^ {- 5} v ^ {7} right) left (-4 u ^ {4} v ^ {- 2} right) )

 
     
Respuesta
     
     

(- frac {12v ^ 5} {u} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} )

 

Simplifique: ( left (-6 c ^ {- 6} d ^ {4} right) left (-5 c ^ {- 2} d ^ {- 1} right) ) [19459003 ]  

     
Respuesta
     
     

( frac {30d ^ 3} {c ^ 8} )

     
 
 
 

En los siguientes dos ejemplos, usaremos la Propiedad de energía y el Producto para una Propiedad de energía.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {31} )

 

Simplificar: ( left (6 k ^ {3} right) ^ {- 2} )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & left (6 k ^ {3} right) ^ {- 2} \ text {Use el producto para una propiedad de energía,} (ab) ^ { m} = a ^ {n} b ^ {m} & (6) ^ {- 2} left (k ^ {3} right) ^ {- 2} \ text {Use la propiedad Power,} left (a ^ {m} right) ^ {n} = a ^ {m cdot n} & 6 ^ {- 2} k ^ {- 6} \ text {Use la definición de un exponente negativo,} a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ {n}} & dfrac {1} {6 ^ {2}} cdot dfrac {1} {k ^ {6}} \ text { Simplificar.} & Dfrac {1} {36 k ^ {6}} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {32} )

 

Simplificar: ( left (-4 x ^ {4} right) ^ {- 2} )

   
     
Respuesta
     
     

( frac {1} {16x ^ 8} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {33} )

 

Simplifique: ( left (2 b ^ {3} right) ^ {- 4} )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {1} {16b ^ {12}} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {34} )

 

Simplificar: ( left (5 x ^ {- 3} right) ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & left (5 x ^ {- 3} right) ^ {2} \ text {Use el producto para una propiedad de potencia,} (ab) ^ { m} = a ^ {n} b ^ {m} y 5 ^ {2} left (x ^ {- 3} right) ^ {2} \ begin {array} {l} { text {Simplify} 5 ^ {2} text {y multiplique los exponentes de} x text {usando la Potencia}} \ { text {Propiedad,} left (a ^ {m} right) ^ {n} = a ^ {m cdot n}.} end {array} y 25 cdot x ^ {- 6} \ begin {array} {l} { text {Rewrite} x ^ {- 6} text {usando el Definición de un exponente negativo,}} \ { space a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ {n}}} end {array} & 25 cdot dfrac {1} {x ^ { 6}} \ text {Simplify.} & Dfrac {25} {x ^ {6}} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {35} )

 

Simplifique: ( left (8 a ^ {- 4} right) ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {64} {a ^ 8} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {36} )

 

Simplifique: ( left (2 c ^ {- 4} right) ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {8} {c ^ {12}} )

     
 
 
 

Para simplificar una fracción, usamos la propiedad del cociente y restamos los exponentes.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {37} )

 

Simplifica: ( dfrac {r ^ {5}} {r ^ {- 4}} )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {l} & dfrac {r ^ {5}} {r ^ {- 4}} \ { text {Use la propiedad del cociente,} dfrac {a ^ {n }} {a ^ {n}} = a ^ {mn}} & r ^ {5 – (- 4)} \ { text {Simplify.}} & r ^ {9} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {38} )

 

Simplifica: ( dfrac {x ^ {8}} {x ^ {- 3}} )

 
     
Respuesta
     
     

(x ^ {11} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {39} )

 

Simplifique: ( dfrac {y ^ {8}} {y ^ {- 6}} )

 
     
Respuesta
     
     

(y ^ {14} )

     
 
 
 

Convertir de notación decimal a notación científica

 

¿Recuerdas trabajar con valor posicional para números enteros y decimales? Nuestro sistema numérico se basa en potencias de 10. Utilizamos decenas, cientos, miles, etc. Nuestros números decimales también se basan en potencias de decenas: décimas, centésimas, milésimas, etc. Considere los números 4,000 y 0,004. Sabemos que 4,000 significa (4 times 1,000 ) y 0.004 significa (4 times dfrac {1} {1,000} ).

 

Si escribimos el 1000 como una potencia de diez en forma exponencial, podemos reescribir estos números de esta manera:

 

[ begin {array} {ll} {4,000} & {0.004} \ {4 times 1,000} y {4 times dfrac {1} {1,000}} \ {4 times 10 ^ {3}} & {4 times dfrac {1} {10 ^ {3}}} \ & {4 times 10 ^ {- 3}} end {array} ]

 

Cuando un número se escribe como un producto de dos números, donde el primer factor es un número mayor o igual a uno pero menor que 10, y el segundo factor es una potencia de 10 escrita en forma exponencial, se dice estar en notación científica.

 
 
 

NOTACIÓN CIENTÍFICA

 

Un número se expresa en notación científica cuando tiene la forma

 

[a times 10 ^ {n} text {donde} 1 leq a <10 text {y} n text {es un entero} ]

 
 

Es habitual en notación científica usar como signo de multiplicación ( times ), aunque evitemos usar este signo en otra parte del álgebra.

 
 

Si observamos lo que sucedió con el punto decimal, podemos ver un método para convertir fácilmente de notación decimal a notación científica.

 

This figure illustrates how to convert a number to scientific notation. It has two columns. In the first column is 4000 equals 4 times 10 to the third power. Below this, the equation is repeated, with an arrow demonstrating that the decimal point at the end of 4000 has moved three places to the left, so that 4000 becomes 4.000. The second column has 0.004 equals 4 times 10 to the negative third power. Below this, the equation is repeated, with an arrow demonstrating how the decimal point in 0.004 is moved three places to the right to produce 4.

 

En ambos casos, el decimal se movió 3 lugares para obtener el primer factor entre 1 y 10.

 

( begin {array} {ll} { text {El poder de} 10 text {es positivo cuando el número es mayor que} 1:} & {4,000 = 4 times 10 ^ {3}} \ { text {El poder de} 10 text {es negativo cuando el número está entre} 0 text {y} 1:} & {0.004 = 4 times 10 ^ {- 3}} end {array} )

 
 

Ejercicio ( PageIndex {40} ): CÓMO CONVERTIR DE LA NOTACIÓN DECIMAL A LA NOTACIÓN CIENTÍFICA

 

Escribir en notación científica: 37000.

 
     
Respuesta
     
     

This figure is a table that has three columns and four rows. The first column is a header column, and it contains the names and numbers of each step. The second column contains further written instructions. The third column contains math. On the top row of the table, the first cell on the left reads “Step 1. Move the decimal point so that the first factor is greater than or equal to 1 but less than 10.” The second cell reads “Remember, there is a decimal at the end of 37,000.” The third cell contains 37,000. One line down, the second cell reads “Move the decimal after the 3. 3.7000 is between 1 and 10.” In the second row, the first cell reads “Step 2. Count the number of decimal places, n, that the decimal place was moved. The second cell reads “The decimal point was moved 4 places to the left.” The third cell contains 370000 again, with an arrow showing the decimal point jumping places to the left from the end of the number until it ends up between the 3 and the 7. In the third row, the first cell reads “Step 3. Write the number as a product with a power of 10. If the original number is greater than 1, the power of 10 will be 10 to the n power. If it’s between 0 and 1, the power of 10 will be 10 to the negative n power.” The second cell reads “37,000 is greater than 1, so the power of 10 will have exponent 4.” The third cell contains 3.7 times 10 to the fourth power. In the fourth row, the first cell reads “Step 4. Check.” The second cell reads “Check to see if your answer makes sense.” The third cell reads “10 to the fourth power is 10,000 and 10,000 times 3.7 will be 37,000.” Below this is 37,000 equals 3.7 times 10 to the fourth power.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {41} )

 

Escribir en notación científica: 96000.

 
     
Respuesta
     
     

(9.6 veces 10 ^ {4} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {42} )

 

Escribir en notación científica: 48300.

 
     
Respuesta
     
     

(4,83 veces 10 ^ {4} )

     
 
 
 
 

CÓMO: Convertir de notación decimal a notación científica

 
 
         
  1. Paso 1. Mueva el punto decimal para que el primer factor sea mayor o igual a 1 pero menor que 10.
    2.      
  2. Paso 2. Cuente el número de lugares decimales, n , que se movió el punto decimal.
    3.      
  3. Paso 3. Escribe el número como un producto con una potencia de 10.
    Si el número original es:      
               
    • mayor que 1, la potencia de 10 será 10 n .
      •          
    • entre 0 y 1, la potencia de 10 será 10 −n .
      •      
         
    4.      
  4. Paso 4. Verificar.
    5.  
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {43} )

 

Escribir en notación científica: 0.0052.

 
     
Respuesta
     
     

El número original, 0.0052, está entre 0 y 1, por lo que tendremos una potencia negativa de 10.

          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {44} )

 

Escribir en notación científica: 0.0078

 
     
Respuesta
     
     

(7.8 veces 10 ^ {- 3} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {45} )

 

Escribir en notación científica: 0.0129

 
     
Respuesta
     
     

(1.29 veces 10 ^ {- 2} )

     
 
 
 

Convertir la notación científica en forma decimal

 

¿Cómo podemos convertir de notación científica a forma decimal? Veamos dos números escritos en notación científica y veamos.

 

[ begin {array} {cc} {9.12 times 10 ^ {4}} y {9.12 times 10 ^ {- 4}} \ {9.12 times 10,000} y {9.12 times 0.0001} \ {91,200} y {0.000912} end {array} ]

 

Si observamos la ubicación del punto decimal, podemos ver un método sencillo para convertir un número de notación científica a forma decimal.

 

[9.12 veces 10 ^ {4} = 91,200 quad 9.12 veces 10 ^ {- 4} = 0.000912 ]

 

This figure has two columns. In the left column is 9.12 times 10 to the fourth power equals 91,200. Below this, the same scientific notation is repeated, with an arrow showing the decimal point in 9.12 being moved four places to the right. Because there are no digits after 2, the final two places are represented by blank spaces. Below this is the text “Move the decimal point four places to the right.” In the right column is 9.12 times 10 to the negative fourth power equals 0.000912. Below this, the same scientific notation is repeated, with an arrow showing the decimal point in 9.12 being moved four places to the left. Because there are no digits before 9, the remaining three places are represented by spaces. Below this is the text “Move the decimal point 4 places to the left.”

 

En ambos casos, el punto decimal se movió 4 lugares. Cuando el exponente era positivo, el decimal se movía hacia la derecha. Cuando el exponente era negativo, el punto decimal se movía hacia la izquierda.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {46} )

 

Convertir a forma decimal: (6.2 times 10 ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
     

This figure is a table that has three columns and three rows. The first column is a header column, and it contains the names and numbers of each step. The second column contains further written instructions. The third column contains math. On the top row of the table, the first cell on the left reads “Step 1. Determine the exponent, n, on the factor 10.” The second cell reads “The exponent is 3.” The third cell contains 6.2 times 10 cubed. In the second row, the first cell reads “Step 2. Move the decimal n places, adding zeros if needed. If the exponent is positive, move the decimal point n places to the right. If the exponent is negative, move the decimal point absolute value of n places to the left.” The second cell reads “The exponent is positive so move the decimal point 3 places to the right. We need to add two zeros as placeholders.” The third cell contains 6.200, with an arrow showing the decimal point jumping places to the right, from between the 6 and 2 to after the second 00 in 6.200. Below this is the number 6,200. In the third row, the first cell reads “Step 3. Check to see if your answer makes sense.” The second cell is blank. The third reads “10 cubed is 1000 and 1000 times 6.2 will be 6,200.” Beneath this is 6.2 times 10 cubed equals 6,200.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {47} )

 

Convertir a forma decimal: (1.3 times 10 ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
     

(1,300 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {48} )

 

Convierta a forma decimal: (9.25 veces 10 ^ {4} )

 
     
Respuesta
     
     

(92,500 )

     
 
 
 

Los pasos se resumen a continuación.

 
 
 

CÓMO

 

Convertir notación científica a forma decimal.

 

Para convertir la notación científica en forma decimal:

 
         
  1. Paso 1. Determine el exponente, (n ), en el factor (10 ​​).
    2.      
  2. Paso 2. Mueva los lugares decimales (n ), agregando ceros si es necesario.      
               
    • Si el exponente es positivo, mueve el punto decimal (n ) lugares a la derecha.
      •          
    • Si el exponente es negativo, mueve el punto decimal (| n | ) lugares a la izquierda.
      •      
         
    3.      
  3. Paso 3. Verificar.
    4.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {49} )

 

Convierta a forma decimal: (8.9 times 10 ^ {- 2} )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
8.9 times 10 to the power of negative 2.
Determine el exponente, (n ), en el factor (10 ​​). The exponent is negative 2.
Como el exponente es negativo, mueve el punto decimal 2 lugares a la izquierda. 8.9, with an arrow the decimal place showing the decimal point being moved two places to the left.
Agregue ceros según sea necesario para los marcadores de posición. 8.9 times 10 to the power of negative 2 equals 0.089.
     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {50} )

 

Convierta a forma decimal: (1.2 times 10 ^ {- 4} )

 
     
Respuesta
     
     

(0,00012 )

     
 
 
 
     
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {51} )

 

Convierta a forma decimal: (7.5 times 10 ^ {- 2} )

 
     
Respuesta
     
     

(0,075 )

     
 
 
 

Multiplicar y dividir usando notación científica

 

Los astrónomos usan números muy grandes para describir distancias en el universo y edades de estrellas y planetas. Los químicos usan números muy pequeños para describir el tamaño de un átomo o la carga en un electrón. Cuando los científicos realizan cálculos con números muy grandes o muy pequeños, usan notación científica. La notación científica proporciona una forma de realizar los cálculos sin escribir muchos ceros. Veremos cómo se utilizan las propiedades de los exponentes para multiplicar y dividir números en notación científica.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {52} )

 

Multiplica. Escriba las respuestas en forma decimal: ( left (4 times 10 ^ {5} right) left (2 times 10 ^ {- 7} right) )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & left (4 times 10 ^ {5} right) left (2 times 10 ^ {- 7} right) \ text {Use el Propiedad conmutativa para reorganizar los factores.} & 4 cdot 2 cdot 10 ^ {5} cdot 10 ^ {- 7} \ text {Multiply.} & 8 times 10 ^ {- 2} \ text {Cambie a forma decimal moviendo el decimal dos lugares a la izquierda.} & 0.08 end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {53} )

 

Multiplicar ((3 por 10 ^ {6}) (2 por 10 ^ {- 8}) ). Escribe las respuestas en forma decimal.

 
     
Respuesta
     
     

(0,06 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {54} )

 

Multiplicar ( left (3 times 10 ^ {- 2} right) left (3 times 10 ^ {- 1} right) ). Escribe las respuestas en forma decimal.

 
     
Respuesta
     
     

(0,009 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {55} )

 

Divide. Escriba las respuestas en forma decimal: ( dfrac {9 times 10 ^ {3}} {3 times 10 ^ {- 2}} )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & dfrac {9 times 10 ^ {3}} {3 times 10 ^ {- 2}} \ text {Separe los factores, reescribiendo como producto de dos fracciones.} & dfrac {9} {3} times dfrac {10 ^ {3}} {10 ^ {- 2}} \ text {Divide.} & 3 times 10 ^ {5} \ text {Cambie a forma decimal moviendo el decimal cinco lugares a la derecha.} & 300000 end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {56} )

 

Divide ( dfrac {8 times 10 ^ {4}} {2 times 10 ^ {- 1}}. ) Escribe las respuestas en forma decimal.

 
     
Respuesta
     
     

(400,000 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {57} )

 

Divide ( dfrac {8 times 10 ^ {2}} {4 times 10 ^ {- 2}}. ) Escribe las respuestas en forma decimal.

 
     
Respuesta
     
     

(20,000 )

     
 
 
 
 

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Key Concepts

 
         
  • Property of Negative Exponents      
               
    • If (n) is a positive integer and (a ne 0), then (dfrac{1}{a^{−n}}=a^n)
       
      •      
         
    •      
  • Quotient to a Negative Exponent      
               
    • If (a) and (b) are real numbers, (b ne 0) and (n) is an integer , then (left(dfrac{a}{b}right)^{−n}=left(dfrac{b}{a}right)^n)
       
      •      
         
    •      
  • To convert scientific notation to decimal form:      
               
    1. Determine the exponent, (n) on the factor (10).
      2.          
    2. Move the decimal (n) places, adding zeros if needed.          
                     
      • If the exponent is positive, move the decimal point (n) places to the right.
        •              
      • If the exponent is negative, move the decimal point (|n|) places to the left.
        •          
               
      3.          
    3. Check.
      4.      
         
    •      
  • To convert a decimal to scientific notation:      
               
    1. Move the decimal point so that the first factor is greater than or equal to (1) but less than (10).
      2.          
    2. Count the number of decimal places, (n) that the decimal point was moved.
      3.          
    3. Write the number as a product with a power of (10). If the original number is:          
                     
      • greater than (1), the power of (10) will be (10^n)
        •              
      • between (0) and (1), the power of (10) will be (10^{−n})
        •          
               
      4.          
    4. Check.
      5.      
         
    •  
 

 

 
 
 
 
 

Glossary

 
 
 
     
negative exponent
     
If (n) is a positive integer and (a neq 0), then (a^{-n}=dfrac{1}{a^{n}}).
 
 
     
scientific notation
     
A number is expressed in scientific notation when it is of the form (a times 10^{n}) where (a geq 1) and a<10 and (n) is an integer.
 
 
 
 
                                  
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antonio1095

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