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las matematicas

6.8: Modelos exponenciales y logarítmicos

Ya hemos explorado algunas aplicaciones básicas de funciones exponenciales y logarítmicas. En esta sección, exploramos algunas aplicaciones importantes con mayor profundidad, incluidos los isótopos radiactivos y la Ley de enfriamiento de Newton.

Modelado del crecimiento exponencial y la decadencia

 

En aplicaciones del mundo real, necesitamos modelar el comportamiento de una función. En el modelado matemático, elegimos una función general familiar con propiedades que sugieren que modelará el fenómeno del mundo real que deseamos analizar. En el caso de crecimiento rápido, podemos elegir la función de crecimiento exponencial:

 

[y = A_0e ^ {kt} ]

 

donde (A_0 ) es igual al valor en el tiempo cero, (e ) es la constante de Euler y (k ) es una constante positiva que determina la tasa (porcentaje) de crecimiento. Podemos usar la función de crecimiento exponencial en aplicaciones que involucran duplicación del tiempo , el tiempo que le toma a una cantidad duplicarse. Fenómenos como las poblaciones de vida silvestre, las inversiones financieras, las muestras biológicas y los recursos naturales pueden exhibir un crecimiento basado en un tiempo de duplicación. Sin embargo, en algunas aplicaciones, como veremos cuando analicemos la ecuación logística, el modelo logístico a veces se ajusta mejor a los datos que el modelo exponencial.

 

Por otro lado, si una cantidad cae rápidamente hacia cero, sin llegar a cero, entonces probablemente deberíamos elegir el modelo de decadencia exponencial . Nuevamente, tenemos la forma (y = A_0e ^ {kt} ) donde (A_0 ) es el valor inicial, y (e ) es la constante de Euler. Ahora (k ) es una constante negativa que determina la tasa de descomposición. Podemos usar el modelo de decaimiento exponencial cuando estamos calculando la vida media, o el tiempo que le toma a una sustancia decaer exponencialmente a la mitad de su cantidad original. Utilizamos la vida media en aplicaciones que involucran isótopos radiactivos.

 

En nuestra elección de una función que sirva como modelo matemático, a menudo utilizamos puntos de datos recopilados por observación y medición cuidadosas para construir puntos en un gráfico y esperamos poder reconocer la forma del gráfico. Los gráficos de crecimiento exponencial y decaimiento tienen una forma distintiva, como podemos ver en la Figura ( PageIndex {2} ) y la Figura ( PageIndex {3} ). Es importante recordar que, aunque partes de cada uno de los dos gráficos parecen estar en el eje (x ), están realmente a una pequeña distancia sobre el eje (x ).

 
Graph of y=2e^(3x) with the labeled points (-1/3, 2/e), (0, 2), and (1/3, 2e) and with the asymptote at y=0.
Figura ( PageIndex {2} ): Un gráfico que muestra el crecimiento exponencial. La ecuación es (y = 2e ^ {3x} ).
 
Graph of y=3e^(-2x) with the labeled points (-1/2, 3e), (0, 3), and (1/2, 3/e) and with the asymptote at y=0.
Figura ( PageIndex {3} ): Un gráfico que muestra la disminución exponencial. La ecuación es (y = 3e ^ {- 2x} ).
 

El crecimiento exponencial y la descomposición a menudo implican números muy grandes o muy pequeños. Para describir estos números, a menudo usamos órdenes de magnitud. El orden de magnitud es la potencia de diez, cuando el número se expresa en notación científica, con un dígito a la izquierda del decimal. Por ejemplo, la distancia a la estrella más cercana, Proxima Centauri , medida en kilómetros, es (40,113,497,200,000 ) kilómetros. Expresado en notación científica, esto es (4.01134972 × 1013 ). Entonces, podríamos describir este número como teniendo un orden de magnitud (1013 ).

 
 

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL, (y = a_0e ^ {kt} )

 

Una función exponencial con la forma (y = A_0e ^ {kt} ) tiene las siguientes características:

 
         
  • función uno a uno
  •      
  • asíntota horizontal: (y = 0 )
  •      
  • dominio: ((- infty, infty) )
  •      
  • rango: ((0, infty) )
  •      
  • (x ) intercepción: ninguna
  •      
  • (y ) – intercepción: ((0, A_0) )
  •      
  • aumentando si (k> 0 ) (ver Figura ( PageIndex {4} ))
  •      
  • disminuyendo si (k <0 ) (ver Figura ( PageIndex {4} ))
  •  
 
Two graphs of y=(A_0)(e^(kt)) with the asymptote at y=0. The first graph is of when k>0 and with the labeled points (1/k, (A_0)e), (0, A_0), and (-1/k, (A_0)/e). The second graph is of when k<0 and with the labeled points (-1/k, (A_0)e), (0, A_0), and (1/k, (A_0)/e).
Figura ( PageIndex {4} ): una función exponencial modela el crecimiento exponencial cuando (k> 0 ) y la disminución exponencial cuando (k <0 ).
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Representación gráfica del crecimiento exponencial

 

Una población de bacterias se duplica cada hora. Si el cultivo comenzó con (10 ​​) bacterias, graficar la población en función del tiempo.

 

Solución

 

Cuando una cantidad crece a un porcentaje fijo por unidad de tiempo, el crecimiento es exponencial. Para encontrar (A_0 ) usamos el hecho de que (A_0 ) es la cantidad en el tiempo cero, entonces (A_0 = 10 ). Para encontrar (k ), use el hecho de que después de una hora ((t = 1) ) la población se duplica de (10 ​​) a (20 ). La fórmula se deriva de la siguiente manera

 

[ begin {align *} 20 & = 10e ^ {k cdot 1} \ 2 & = e ^ k qquad text {Dividir por 10} \ ln2 & = k qquad text {Tome el logaritmo natural} end {align *} ]

 

entonces (k = ln (2) ). Por lo tanto, la ecuación que queremos graficar es (y = 10e ^ {( ln2) t} = 10 {(e ^ { ln2})} ^ t = 10 · 2 ^ t ). El gráfico se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ).

 
A graph starting at ten on the y-axis and rising rapidly to the right.
Figura ( PageIndex {5} ): La gráfica de (y = 10e ^ {( ln2) t} )
 

Análisis

 

La población de bacterias después de diez horas es (10,240 ). Podríamos describir que esta cantidad es del orden de magnitud (10 ​​^ 4 ). La población de bacterias después de veinte horas es (10,485,760 ) que es del orden de magnitud (10 ​​^ 7 ), por lo que podríamos decir que la población ha aumentado en tres órdenes de magnitud en diez horas.

 
 
 

Half-Life

 

Ahora pasamos a decadencia exponencial . Uno de los términos comunes asociados con la disminución exponencial, como se indicó anteriormente, es semivida , el tiempo que tarda una cantidad en descomposición exponencial en disminuir a la mitad de su cantidad original. Cada isótopo radiactivo tiene una vida media, y el proceso que describe la descomposición exponencial de un isótopo se llama descomposición radiactiva.

 

Para encontrar la vida media de una función que describe la disminución exponencial, resuelva la siguiente ecuación:

 

( dfrac {1} {2} A_0 = A_0e ^ {kt} )

 

Encontramos que la vida media depende solo de la constante (k ) y no de la cantidad inicial (A_0 ).

 

La fórmula se deriva de la siguiente manera

 

[ begin {align *} dfrac {1} {2} A_0 & = A_0e ^ {kt} \ dfrac {1} {2} & = e ^ {kt} qquad text {Divide entre } A_0 \ ln left ( dfrac {1} {2} right) & = ktv qquad text {Tome el registro natural} \ – ln (2) & = kt qquad text {Aplicar leyes de logaritmos} \ – ln (2) k & = t qquad text {Divide by k} end {align *} ]

 

Dado que (t ), el tiempo, es positivo, (k ) debe, como se esperaba, ser negativo. Esto nos da la fórmula de la vida media

 

[t = – dfrac { ln (2)} {k} ]

 
 

Cómo: Dada la vida media, encuentre la tasa de descomposición.

 
         
  1. Escribe (A = A_0e ^ {kt} ).
  2.      
  3. Reemplazar (A ) por ( dfrac {1} {2} A_0 ) y reemplazar (t ) por la vida media dada.
  4.      
  5. Resuelve para encontrar (k ). Exprese (k ) como un valor exacto (no redondee).
  6.  
 

Nota: También es posible encontrar la tasa de descomposición usando (k = – ln (2) t ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Encontrar la función que describe la desintegración radiactiva

 

La vida media del carbono-14 es (5,730 ) años. Exprese la cantidad de carbono-14 restante en función del tiempo, (t ).

 

Solución

 

Esta fórmula se deriva de la siguiente manera.

 

[ begin {align *} A & = A_0e ^ {kt} qquad text {La fórmula de crecimiento continuo} \ 0.5A_0 & = A_0e ^ {k cdot 5730} qquad text {Sustituya la mitad- vida para t y} 0.5A_0 text {para} f (t) \ 0.5 & = e ^ {5730k} qquad text {Divide by} A_0 \ ln (0.5) & = 5730k qquad text { Tome el logaritmo natural de ambos lados} \ k & = dfrac { ln (0.5)} {5730} qquad text {Divida por el coeficiente de k} \ A & = A_0e ^ { left ( tfrac { ln (0.5)} {5730} right) t} qquad text {Sustituya r en la fórmula de crecimiento continuo} end {align *} ]

 

La función que describe esta disminución continua es (f (t) = A_0e ^ { left ( tfrac { ln (0.5)} {5730} right) t} ). Observamos que el coeficiente de (t ), ( dfrac { ln (0.5)} {5730} ≈ − 1.2097 × 10 ^ {- 4} ) es negativo, como se esperaba en el caso de la disminución exponencial.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

La vida media del plutonio-244 es (80,000,000 ) años. La función de búsqueda proporciona la cantidad de carbono 14 restante en función del tiempo, medida en años.

 
     
Respuesta
     
     

(f (t) = A_0e ^ {- 0.0000000087t} )

     
 
 
 

Datación por radiocarbono

 

La fórmula para la desintegración radiactiva es importante en datación por radiocarbono , que se utiliza para calcular la fecha aproximada de muerte de una planta o animal. La datación por radiocarbono fue descubierta en 1949 por Willard Libby, quien ganó un Premio Nobel por su descubrimiento. Compara la diferencia entre la proporción de dos isótopos de carbono en un artefacto orgánico o fósil con la proporción de esos dos isótopos en el aire. Se cree que tiene una precisión de aproximadamente (1 % ) error para plantas o animales que murieron en los últimos (60,000 ) años.

 

El carbono-14 es un isótopo radiactivo de carbono que tiene una vida media de (5,730 ) años. Ocurre en pequeñas cantidades en el dióxido de carbono en el aire que respiramos. La mayor parte del carbono en la Tierra es el carbono 12, que tiene un peso atómico de (12 ) y no es radiactivo. Los científicos han determinado la proporción de carbono 14 a carbono 12 en el aire durante los últimos (60,000 ) años, utilizando anillos de árboles y otras muestras orgánicas de fechas conocidas, aunque la proporción ha cambiado ligeramente a lo largo de los siglos.

 

Mientras una planta o animal esté vivo, la proporción de los dos isótopos de carbono en su cuerpo es cercana a la proporción en la atmósfera. Cuando muere, el carbono 14 en su cuerpo se descompone y no se reemplaza. Al comparar la relación de carbono-14 a carbono-12 en una muestra en descomposición con la relación conocida en la atmósfera, se puede aproximar la fecha en que murió la planta o el animal.

 

Dado que la vida media del carbono-14 es (5,730 ) años, la fórmula para la cantidad de carbono-14 restante después de (t ) años es

 

(A≈A_0e ^ { left ( tfrac { ln (0.5)} {5730} right) t} )

 

donde

 
         
  • (A ) es la cantidad de carbono-14 restante
  •      
  • (A_0 ) es la cantidad de carbono-14 cuando la planta o el animal comenzó a descomponerse.
  •  
 

Esta fórmula se deriva de la siguiente manera:

 

[ begin {align *} A & = A_0e ^ {kt} qquad text {La fórmula de crecimiento continuo} \ 0.5A_0 & = A_0e ^ {k cdot 5730} qquad text {Sustituya la mitad- vida para t y} 0.5A_0 text {para f (t)} \ 0.5 & = e ^ {5730k} qquad text {Divide by} A_0 \ ln (0.5) & = 5730k qquad text { Tome el logaritmo natural de ambos lados} \ k & = dfrac { ln (0.5)} {5730} qquad text {Divida por el coeficiente de k} \ A & = A_0e ^ { left ( tfrac { ln (0.5)} {5730} right) t} qquad text {Sustituya r en la fórmula de crecimiento continuo} \ end {align *} ]

 

Para encontrar la edad de un objeto, resolvemos esta ecuación para (t ):

 

(t = dfrac { ln left ( dfrac {A} {A_0} right)} {- 0.000121} )

 

Por necesidad, descuidamos aquí los muchos detalles que un científico tiene en cuenta al hacer dataciones con carbono 14, y solo miramos la fórmula básica. La relación de carbono-14 a carbono-12 en la atmósfera es aproximadamente (0.0000000001% ). Sea (r ) la relación de carbono-14 a carbono-12 en el artefacto orgánico o fósil a fechar, determinado por un método llamado centelleo líquido. De la ecuación (A≈A_0e ^ {- 0.000121t} ) sabemos que la relación del porcentaje de carbono-14 en el objeto que estamos fechando con el porcentaje de carbono-14 en la atmósfera es (r = dfrac {A} {A_0} ^e ^ {- 0.000121t} ). Resolvemos esta ecuación para (t ), para obtener

 

(t = dfrac { ln (r)} {- 0.000121} )

 
 

Cómo: Dado el porcentaje de carbono-14 en un objeto, determine su edad.

 
         
  1. Exprese el porcentaje dado de carbono-14 como un decimal equivalente, (k ).
  2.      
  3. Sustituye (k ) en la ecuación (t = dfrac { ln (r)} {- 0.000121} ) y resuelve la edad, (t ).
  4.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Encontrar la edad de un hueso

 

Se encuentra un fragmento de hueso que contiene (20 % ) de su carbono 14 original. Al año más cercano, ¿cuántos años tiene el hueso?

 

Solución

 

Sustituimos (20 % = 0.20 ) por (k ) en la ecuación y resolvemos (t ):

 

[ begin {align *} t & = dfrac { ln (r)} {- 0.000121} qquad text {Use la forma general de la ecuación} \ & = dfrac { ln (0.20 )} {- 0.000121} qquad text {Sustituya r} \ & aprox 13301 qquad text {Redondear al año más cercano} end {align *} ]

 

El fragmento óseo tiene aproximadamente (13,301 ) años.

 

Análisis

 

Los instrumentos que miden el porcentaje de carbono-14 son extremadamente sensibles y, como mencionamos anteriormente, un científico necesitará hacer mucho más trabajo que nosotros para estar satisfecho. Aun así, la datación por carbono solo tiene una precisión de aproximadamente (1 % ), por lo que esta edad se debe dar como (13,301 ) años ( pm 1 % ) o (13,301 ) años ( pm 133 ) años.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

El cesio-137 tiene una vida media de aproximadamente (30 ) años. Si comenzamos con (200 ) mg de cesio-137, ¿tomará más o menos de (230 ) años hasta que solo quede (1 ) miligramo?

 
     
Respuesta
     
     

menos de (230 ) años, (229.3157 ) para ser exactos

     
 
 
 

Cálculo del tiempo de duplicación

 

Para cantidades en descomposición, determinamos cuánto tiempo tardó en decaer la mitad de una sustancia. Para cantidades crecientes, es posible que deseemos averiguar cuánto tarda una cantidad en duplicarse. Como mencionamos anteriormente, el tiempo que tarda una cantidad en duplicarse se denomina tiempo de duplicación .

 

Dada la ecuación de crecimiento exponencial básico (A = A_0e ^ {kt} ), el tiempo de duplicación se puede encontrar resolviendo cuándo la cantidad original se ha duplicado, es decir, resolviendo (2A_0 = A_0e ^ {kt} ).

 

La fórmula se deriva de la siguiente manera:

 

[ begin {align *} 2A_0 & = A_0e ^ {kt} \ 2 & = e ^ {kt} qquad text {Divide by} A_0 \ ln2 & = kt qquad text {Take the natural logaritmo} \ t & = dfrac { ln2} {k} qquad text {Dividir por el coeficiente de t} end {align *} ]

 

Por lo tanto, el tiempo de duplicación es

 

[t = dfrac { ln2} {k} ]

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Encontrar una función que describa el crecimiento exponencial

 

De acuerdo con la Ley de Moore, el tiempo de duplicación para la cantidad de transistores que se pueden poner en un chip de computadora es de aproximadamente dos años. Dele una función que describa este comportamiento.

 

Solución

 

La fórmula se deriva de la siguiente manera:

 

[ begin {align *} t & = dfrac { ln2} {k} qquad text {La fórmula del tiempo de duplicación} \ 2 & = dfrac { ln2} {k} qquad text { Use un tiempo de duplicación de dos años} \ k & = dfrac { ln2} {2} qquad text {Multiplicar por k y dividir por 2} \ A & = A_0e ^ { tfrac { ln2} {2} t} qquad text {Sustituye k en la fórmula de crecimiento continuo} end {align *} ]

 

La función es (A = A_0e ^ { dfrac { ln2} {2} t} ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Datos recientes sugieren que, a partir de 2013, la tasa de crecimiento prevista por la Ley de Moore ya no se mantiene. El crecimiento se ha desacelerado a un tiempo de duplicación de aproximadamente tres años. Encuentre la nueva función que tiene en cuenta ese tiempo de duplicación más largo.

 
     
Respuesta
     
     

(f (t) = A_0e ^ { tfrac { ln2} {3} t} )

     
 
 
 

Usando la Ley de Enfriamiento de Newton

 

La disminución exponencial también se puede aplicar a la temperatura. Cuando se deja un objeto caliente en el aire circundante que está a una temperatura más baja, la temperatura del objeto disminuirá exponencialmente, estabilizándose a medida que se acerca a la temperatura del aire circundante. En un gráfico de la función de temperatura, la nivelación corresponderá a una asíntota horizontal a la temperatura del aire circundante. A menos que la temperatura ambiente sea cero, esto corresponderá a un desplazamiento vertical de la función genérica exponencial . Esta traducción conduce a la Ley de Enfriamiento de Newton , la fórmula científica para la temperatura en función del tiempo, ya que la temperatura de un objeto se iguala con la temperatura ambiente

 

(T (t) = ae ^ {kt} + T_s )

 

Esta fórmula se deriva de la siguiente manera:

 

[ begin {align *} T (t) & = Ab ^ {ct} + T_s \ T (t) & = Ae ^ { ln (b ^ {ct})} + T_s qquad text {Leyes de logaritmos} \ T (t) & = Ae ^ {ct ln b} + T_s qquad text {Leyes de logaritmos} \ T (t) & = Ae ^ {kt} + T_s qquad text {Cambie el nombre de la constante c} ln b text {, llamándola} k \ end {align *} ]

 
 
 

LEY DE REFRIGERACIÓN DE NEWTON

 

La temperatura de un objeto, (T ), en el aire circundante con temperatura (T_s ) se comportará de acuerdo con la fórmula

 

[T (t) = Ae ^ {kt} + T_s ]

dónde  
         
  • (t ) es tiempo
  •      
  • (A ) es la diferencia entre la temperatura inicial del objeto y el entorno
  •      
  • (k ) es una constante, la velocidad continua de enfriamiento del objeto
  •  
 
 
 

Cómo: Dadas una serie de condiciones, aplique la Ley de Enfriamiento de Newton.

 
         
  1. Establezca (T_s ) igual a la coordenada (y ) de la asíntota horizontal (generalmente la temperatura ambiente).
  2.      
  3. Sustituya los valores dados en la fórmula de crecimiento continuo (T (t) = Ae ^ {kt} + T_s ) para encontrar los parámetros (A ) y (k ).
  4.      
  5. Sustituir en el tiempo deseado para encontrar la temperatura o la temperatura deseada para encontrar el tiempo.
  6.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Uso de la Ley de Enfriamiento de Newton

 

Se saca una tarta de queso del horno con una temperatura interna ideal de (165 ° F ) y se coloca en un refrigerador (35 ° F ). Después de (10 ​​) minutos, la tarta de queso se ha enfriado a (150 ° F ). Si debemos esperar hasta que el pastel de queso se haya enfriado a (70 ° F ) antes de comerlo, ¿cuánto tiempo tendremos que esperar?

 

Solución

 

Debido a que la temperatura del aire circundante en el refrigerador es de (35 ) grados, la temperatura del pastel de queso disminuirá exponencialmente hacia (35 ), siguiendo la ecuación

 

(T (t) = Ae ^ {kt} +35 )

 

Sabemos que la temperatura inicial fue (165 ), entonces (T (0) = 165 ).

 

[ begin {align *} 165 & = Ae ^ {k0} +35 qquad text {Substitute} (0,165) \ A & = 130 qquad text {Resolver para A} end {align *} ]

 

Nos dieron otro punto de datos, (T (10) = 150 ), que podemos usar para resolver (k ).

 

[ begin {align *} 150 & = 130e ^ {k10} +35 qquad text {Substitute} (10, 150) \ 115 & = 130e ^ {k10} qquad text {Subtract 35} dfrac {115} {130} & = e ^ {10k} qquad text {Dividir entre 130} \ ln left ( dfrac {115} {130} right) & = 10k qquad text {Tome el registro natural de ambos lados} \ k & = dfrac { ln left ( dfrac {115} {130} right)} {10} \ & = -0.0123 qquad text {Divide por el coeficiente de k} end {align *} ]

 

Esto nos da la ecuación para el enfriamiento del pastel de queso: (T (t) = 130e ^ {- 0.0123t} +35 ).

 

Ahora podemos resolver el tiempo que tardará la temperatura en enfriarse a (70 ) grados.

 

[ begin {align *} 70 & = 130e ^ {- 0.0123t} +35 qquad text {Sustituya en 70 por} T (t) \ 35 & = 130e ^ {- 0.0123t} qquad texto {Restar 35} \ dfrac {35} {130} & = e ^ {- 0.0123t} qquad text {Divide by 130} \ ln left ( dfrac {35} {130} right ) & = -0.0123t qquad text {Tome el registro natural de ambos lados} \ t & = dfrac { ln left ( dfrac {35} {130} right)} {- 0.0123} \ & aprox 106.68 qquad text {Dividir por el coeficiente de t} end {align *} ]

 

Le tomará aproximadamente (107 ) minutos, o una hora y (47 ) minutos, que el pastel de queso se enfríe a (70 ° F ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Una jarra de agua a (40 ) grados Fahrenheit se coloca en una habitación de (70 ) grados. Una hora después, la temperatura ha aumentado a (45 ) grados. ¿Cuánto tiempo tomará para que la temperatura suba a (60 ) grados?

 
     
Respuesta
     
     

(6.026 ) horas

     
 
 
 

Uso de modelos de crecimiento logístico

 

El crecimiento exponencial no puede continuar para siempre. Los modelos exponenciales, si bien pueden ser útiles a corto plazo, tienden a desmoronarse a medida que continúan. Considere una aspirante a escritora que escribe una sola línea el primer día y planea duplicar la cantidad de líneas que escribe cada día durante un mes. A finales de mes, debe escribir más de (17 ) billones de líneas, o medio billón de páginas. No es práctico, si no imposible, que alguien escriba tanto en tan poco tiempo. Finalmente, un modelo exponencial debe comenzar a acercarse a algún valor límite, y luego el crecimiento se ve obligado a disminuir. Por esta razón, a menudo es mejor usar un modelo con un límite superior en lugar de un modelo de crecimiento exponencial, aunque el modelo de crecimiento exponencial sigue siendo útil a corto plazo, antes de acercarse al valor límite.

 

El modelo de crecimiento logístico es aproximadamente exponencial al principio, pero tiene una tasa de crecimiento reducida a medida que el producto se acerca al límite superior del modelo, llamado capacidad de carga [ 19459008]. Para las constantes (a ), (b ) y (c ), el crecimiento logístico de una población a lo largo del tiempo (x ) está representado por el modelo

 

(f (x) = dfrac {c} {1 + ae ^ {- bx}} )

 

El gráfico de la Figura ( PageIndex {6} ) muestra cómo la tasa de crecimiento cambia con el tiempo. El gráfico aumenta de izquierda a derecha, pero la tasa de crecimiento solo aumenta hasta que alcanza su punto de tasa máxima de crecimiento, momento en el cual disminuye la tasa de aumento.

 
Graph of f(x)=c/(1+ae^(-tx)). The carrying capacity is the asymptote at y=c. The initial value of population is (0, c/(1+a)). The point of maximum growth is (ln(a)/b, c/2).
Figura ( PageIndex {6} )
 
 
 

CRECIMIENTO LOGÍSTICO

 

El modelo de crecimiento logístico es

 

[f (x) = dfrac {c} {1 + ae ^ {- bx}} ]

 

donde

 
         
  • ( dfrac {c} {1 + a} ) es el valor inicial
  •      
  • (c ) es la capacidad de carga o valor límite
  •      
  • (b ) es una constante determinada por la tasa de crecimiento.
  •  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Uso del modelo de crecimiento logístico

 

Una epidemia de influenza se propaga rápidamente a través de una población, a un ritmo que depende de dos factores: cuantas más personas tienen gripe, más rápidamente se propaga, y más personas no infectadas hay, más rápidamente se propaga. Estos dos factores hacen que el modelo logístico sea bueno para estudiar la propagación de enfermedades transmisibles. Y, claramente, existe un valor máximo para la cantidad de personas infectadas: toda la población.

 

Por ejemplo, en el momento (t = 0 ) hay una persona en una comunidad de (1,000 ) personas que tiene gripe. Entonces, en esa comunidad, a lo sumo (1,000 ) las personas pueden tener gripe. Los investigadores encuentran que para esta cepa particular de la gripe, la constante de crecimiento logístico es (b = 0.6030 ). Calcule la cantidad de personas en esta comunidad que habrán tenido esta gripe después de diez días. Predecir cuántas personas en esta comunidad habrán tenido esta gripe después de un largo período de tiempo.

 

Solución

 

Sustituimos los datos dados en el modelo de crecimiento logístico

 

(f (x) = dfrac {c} {1 + ae ^ {- bx}} )

 

Debido a que a lo sumo (1,000 ) personas, toda la población de la comunidad, puede contraer la gripe, sabemos que el valor límite es (c = 1000 ). Para encontrar (a ), utilizamos la fórmula de que el número de casos en el momento (t = 0 ) es ( dfrac {c} {1 + a} = 1 ), de donde se deduce que (a = 999 ). Este modelo predice que, después de diez días, el número de personas que han tenido gripe es (f (x) = dfrac {1000} {1 + 999e ^ {- 0.6030x}} ≈ 293,8 ). Debido a que el número real debe ser un número entero (una persona ha tenido gripe o no) redondeamos a (294 ). A largo plazo, la cantidad de personas que contraerán la gripe es el valor límite, (c = 1000 ).

 

Análisis

 

Recuerde que, debido a que estamos lidiando con un virus, no podemos predecir con certeza el número de personas infectadas. El modelo solo se aproxima a la cantidad de personas infectadas y no nos dará valores exactos o reales.

 

El gráfico en la Figura ( PageIndex {7} ) da una buena idea de cómo este modelo se ajusta a los datos.

 
Graph of f(x)=1000/(1+999e^(-0.5030x)) with the y-axis labeled as “Cases” and the x-axis labeled as “Days”. There was 1 case on day 0, 20 on day 5, 294 on day 10, and 1000 on day 21.
Figura ( PageIndex {7} ): La gráfica de (f (x) = dfrac {1000} {1 + 999e ^ {- 0.6030x }} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Utilizando el modelo del ejemplo anterior, calcule el número de casos de gripe en el día (15 ).

 
     
Respuesta
     
     

(895 ) casos en el día (15 )

     
 
 
 

Elección de un modelo apropiado para datos

 

Ahora que hemos discutido varios modelos matemáticos, necesitamos aprender a elegir el modelo apropiado para los datos sin procesar que tenemos. Muchos factores influyen en la elección de un modelo matemático, entre los que se encuentran la experiencia, las leyes científicas y los patrones en los datos mismos. No todos los datos pueden describirse mediante funciones elementales. A veces, se elige una función que se aproxima a los datos en un intervalo dado. Por ejemplo, supongamos que se recopilaron datos sobre el número de viviendas compradas en los Estados Unidos desde los años 1960 a 2013. Después de trazar estos datos en un diagrama de dispersión, notamos que la forma de los datos de los años 2000 a 2013 sigue una evolución logarítmica curva. Podríamos restringir el intervalo entre 2000 y 2010, aplicar el análisis de regresión utilizando un modelo logarítmico y usarlo para predecir el número de compradores de vivienda para el año 2015.

 

Tres tipos de funciones que a menudo son útiles en modelos matemáticos son funciones lineales, funciones exponenciales y funciones logarítmicas. Si los datos se encuentran en una línea recta, o parecen estar aproximadamente a lo largo de una línea recta, un modelo lineal puede ser mejor. Si los datos no son lineales, a menudo consideramos un modelo exponencial o logarítmico, aunque también pueden considerarse otros modelos, como los modelos cuadráticos.

 

Al elegir entre un modelo exponencial y un modelo logarítmico, observamos la forma en que se curvan los datos. Esto se llama la concavidad. Si dibujamos una línea entre dos puntos de datos, y todos (o la mayoría) de los datos entre esos dos puntos se encuentran sobre esa línea, decimos que la curva es cóncava hacia abajo. Podemos pensar en él como un recipiente que se dobla hacia abajo y, por lo tanto, no puede retener agua. Si todos (o la mayoría) de los datos entre esos dos puntos se encuentran debajo de la línea, decimos que la curva es cóncava hacia arriba. En este caso, podemos pensar en un recipiente que se dobla hacia arriba y, por lo tanto, puede contener agua. Una curva exponencial, ya sea ascendente o descendente, ya sea que represente crecimiento o decadencia, siempre está cóncava lejos de su asíntota horizontal. Una curva logarítmica siempre está cóncava lejos de su asíntota vertical. En el caso de los datos positivos, que es el caso más común, una curva exponencial siempre es cóncava hacia arriba y una curva logarítmica siempre cóncava hacia abajo.

 

Una curva logística cambia la concavidad. Comienza cóncavo hacia arriba y luego cambia a cóncavo hacia abajo más allá de cierto punto, llamado punto de inflexión.

 

Después de usar el gráfico para ayudarnos a elegir un tipo de función para usar como modelo, sustituimos puntos y resolvemos para encontrar los parámetros. Reducimos el error de redondeo eligiendo puntos lo más separados posible.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Elección de un modelo matemático

 

¿Un modelo lineal, exponencial, logarítmico o logístico se ajusta mejor a los valores enumerados en la Tabla ( PageIndex {1} )? Encuentre el modelo y use un gráfico para verificar su elección.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
Tabla ( PageIndex {1} )
(x ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(y ) 0 1.386 2.197 2.773 3.219 3,584 3.892 4.159 4.394
 

Solución

 

Primero, trace los datos en un gráfico como en la Figura ( PageIndex {8} ). Para graficar, redondea los datos a dos dígitos significativos.

 
Graph of the previous table’s values.
Figura ( PageIndex {8} )
 

Claramente, los puntos no se encuentran en una línea recta, por lo que rechazamos un modelo lineal. Si dibujamos una línea entre cualquiera de los dos puntos, la mayoría o la totalidad de los puntos entre esos dos puntos se encuentran sobre la línea, por lo que el gráfico es cóncavo hacia abajo, lo que sugiere un modelo logarítmico. Podemos probar (y = a ln (bx) ). Al conectar el primer punto, ((1,0) ), se obtiene (0 = a ln b ). Rechazamos el caso de que (a = 0 ) (si lo fuera, todas las salidas serían (0 )), por lo que sabemos ( ln (b) = 0 ). Por lo tanto, (b = 1 ) y (y = a ln (x) ). A continuación, podemos usar el punto ((9,4.394) ) para resolver (a ):

 

[ begin {align *} y & = a ln (x) \ 4.394 & = a ln (9) \ a & = dfrac {4.394} { ln (9)} end {align *} ]

 

Debido a que (a = dfrac {4.394} { ln (9)} ≈2 ), un modelo apropiado para los datos es (y = 2 ln (x) ).

 

Para verificar la precisión del modelo, graficamos la función junto con los puntos dados como en la Figura ( PageIndex {9} ).

 
Graph of previous table’s values showing that it fits the function y=2ln(x) with an asymptote at x=0.
Figura ( PageIndex {9} ): La gráfica de (y = 2 ln x ).
 

Podemos concluir que el modelo se ajusta bien a los datos.

 

Compare la Figura ( PageIndex {9} ) con la gráfica de (y = ln (x ^ 2) ) que se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ).

 
Graph of previous table’s values showing that it fits the function y=2ln(x) with an asymptote at x=0.
Figura ( PageIndex {10} ): La gráfica de (y = ln (x ^ 2) )
 

Los gráficos parecen ser idénticos cuando (x> 0 ). Una comprobación rápida confirma esta conclusión: (y = ln (x ^ 2) = 2 ln (x) ) para (x> 0 ).

 

Sin embargo, si (x <0 ), el gráfico de (y = ln (x ^ 2) ) incluye una rama "extra", como se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ) . Esto ocurre porque, mientras (y = 2 ln (x) ) no puede tener valores negativos en el dominio (ya que dichos valores obligarían a que el argumento sea negativo), la función (y = ln (x ^ 2) ) puede tener valores de dominio negativos.

 
Graph of y=ln(x^2).
Figura ( PageIndex {11} )
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

¿Un modelo lineal, exponencial o logarítmico se ajusta mejor a los datos de la Tabla ( PageIndex {2} )? Encuentra el modelo.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
Tabla ( PageIndex {2} )
(x ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(y) 3.297 5.437 8.963 14.778 24.365 40.172 66.231 109.196 180.034
 
     
Answer
     
     

Exponential (y=2e^{0.5x}).

     
 
 
 
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