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las matematicas

6.9: Ajuste de modelos exponenciales a datos

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 
         
  • Construya un modelo exponencial a partir de datos.
  •      
  • Construir un modelo logarítmico a partir de datos.
  •      
  • Construir un modelo logístico a partir de datos.
  •  
 
 

En las secciones anteriores de este capítulo, se nos asignó una función explícitamente para graficar o evaluar, o se nos dio un conjunto de puntos que se garantizaba que yacían en la curva. Luego usamos álgebra para encontrar la ecuación que se ajusta exactamente a los puntos. En esta sección, utilizamos una técnica de modelado llamada análisis de regresión para encontrar una curva que modele datos recopilados de observaciones del mundo real. Con el análisis de regresión , no esperamos que todos los puntos se encuentren perfectamente en la curva. La idea es encontrar el modelo que mejor se ajuste a los datos. Luego usamos el modelo para hacer predicciones sobre eventos futuros.

 

No se confunda con la palabra modelo . En matemáticas, a menudo usamos los términos función , ecuación y modelo indistintamente, aunque cada uno tiene su propia definición formal. El término modelo se usa típicamente para indicar que la ecuación o función se aproxima a una situación del mundo real.

 

En esta sección nos concentraremos en tres tipos de modelos de regresión: exponencial, logarítmico y logístico. Haber trabajado con cada una de estas funciones nos da una ventaja. Conocer sus definiciones formales, el comportamiento de sus gráficos y algunas de sus aplicaciones en el mundo real nos brinda la oportunidad de profundizar nuestra comprensión. A medida que se presenta cada modelo de regresión, se incluyen características clave y definiciones de su función asociada para su revisión. Tómese un momento para repensar cada una de estas funciones, reflexionar sobre el trabajo que hemos realizado hasta ahora y luego explorar las formas en que se utiliza la regresión para modelar fenómenos del mundo real.

 

Construyendo un modelo exponencial a partir de datos

 

Como hemos aprendido, hay una multitud de situaciones que pueden modelarse mediante funciones exponenciales, como el crecimiento de la inversión, la desintegración radiactiva, los cambios de presión atmosférica y las temperaturas de un objeto de enfriamiento. ¿Qué tienen en común estos fenómenos? Por un lado, todos los modelos aumentan o disminuyen a medida que avanza el tiempo. Pero esa no es toda la historia. Es la forma forma de aumentar o disminuir los datos lo que nos ayuda a determinar si se modela mejor mediante una ecuación exponencial. Conocer el comportamiento de las funciones exponenciales en general nos permite reconocer cuándo usar la regresión exponencial, así que revisemos el crecimiento exponencial y la decadencia.

 

Recuerde que las funciones exponenciales tienen la forma (y = ab ^ x ) o (y = A_0e ^ {kx} ). Al realizar el análisis de regresión, utilizamos la forma más utilizada en las utilidades gráficas, (y = ab ^ x ). Tómese un momento para reflexionar sobre las características que ya hemos aprendido sobre la función exponencial (y = ab ^ x ) (suponga (a> 0 )):

 
         
  • (b ) debe ser mayor que cero y no igual a uno.
  •      
  • El valor inicial del modelo es (y = a ).      
               
    • Si (b> 1 ), la función modela el crecimiento exponencial. A medida que (x ) aumenta, las salidas del modelo aumentan lentamente al principio, pero luego aumentan más y más rápidamente, sin límite.
    •          
    • Si (0 decaimiento exponencial . A medida que (x ) aumenta, las salidas para el modelo disminuyen rápidamente al principio y luego se nivelan para volverse asintóticas al eje x . En otras palabras, las salidas nunca llegan a ser iguales o menores que cero.
    •      
         
  •  
 

Como parte de los resultados, su calculadora mostrará un número conocido como el coeficiente de correlación , etiquetado por la variable (r ) o (r ^ 2 ). (Puede que tenga que cambiar la configuración de la calculadora para que se muestren). Los valores son una indicación de la “bondad de ajuste” de la ecuación de regresión a los datos. Usamos más comúnmente el valor de (r ^ 2 ) en lugar de (r ), pero cuanto más cercano sea el valor a (1 ), mejor se aproxima la ecuación de regresión a los datos.

 
 
 

REGRESIÓN EXPONENCIAL

 

La regresión exponencial se usa para modelar situaciones en las que el crecimiento comienza lentamente y luego se acelera rápidamente sin límite, o donde la decadencia comienza rápidamente y luego se ralentiza para acercarse más y más a cero. Usamos el comando “ExpReg” en una utilidad gráfica para ajustar una función exponencial a un conjunto de puntos de datos. Esto devuelve una ecuación de la forma,

 

[y = ab ^ x ]

 

Tenga en cuenta que:

 
         
  • (b ) debe ser no negativo.
  •      
  • cuando (b> 1 ), tenemos un modelo de crecimiento exponencial.
  •      
  • cuando (0  
 
 
 

Cómo: dado un conjunto de datos, realizar una regresión exponencial utilizando una utilidad gráfica

 
         
  1. Use el menú STAT y luego EDIT para ingresar los datos dados.      
               
    1. Borrar cualquier dato existente de las listas.
    2.          
    3. Lista los valores de entrada en la columna L1.
    4.          
    5. Lista los valores de salida en la columna L2.
    6.      
         
  2.      
  3. Graficar y observar un diagrama de dispersión de los datos usando la función STATPLOT.      
               
    1. Use ZOOM [9] para ajustar los ejes para que se ajusten a los datos.
    2.          
    3. Verifique que los datos sigan un patrón exponencial.
    4.      
         
  4.      
  5. Encuentra la ecuación que modela los datos.      
               
    1. Seleccione “ExpReg” del menú STAT y luego CALC.
    2.          
    3. Utilice los valores devueltos para a y b para registrar el modelo, (y = ab ^ x ).
    4.      
         
  6.      
  7. Representa gráficamente el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión para verificar que sea un buen ajuste para los datos.
  8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Uso de la regresión exponencial para ajustar un modelo a los datos

 

En 2007, se publicó un estudio universitario que investigaba el riesgo de choque de conducir bajo los efectos del alcohol. Los datos de (2,871 ) accidentes se utilizaron para medir la asociación del nivel de alcohol en la sangre (BAC) de una persona con el riesgo de sufrir un accidente. La tabla ( PageIndex {1} ) muestra los resultados del estudio. El riesgo relativo es una medida de cuántas veces más probabilidades tiene una persona de chocar. Entonces, por ejemplo, una persona con un BAC de (0.09 ) tiene (3.54 ) veces más probabilidades de estrellarse que una persona que no ha estado bebiendo alcohol.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
Tabla ( PageIndex {1} )
BAC 0 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09
Riesgo relativo de estrellarse 1 1,03 1,06 1,38 2,09 3,54
BAC 0,11 0,13 0,15 0,17 0,19 0,21
Riesgo relativo de estrellarse 6,41 12,6 22,1 39.05 65,32 99,78
 
         
  1. Deje que (x ) represente el nivel de BAC y deje que (y ) represente el riesgo relativo correspondiente. Utilice la regresión exponencial para ajustar un modelo a estos datos.
  2.      
  3. Después de (6 ) bebidas, una persona que pese (160 ) libras tendrá un BAC de aproximadamente (0.16 ). ¿Cuántas veces es más probable que una persona con este peso se estrelle si maneja después de tener un (6 ) – paquete de cerveza? Redondea a la centésima más cercana.
  4.  
 

Solución

 
         
  1. Usando el menú STAT y luego EDIT en una utilidad gráfica, enumere los valores BAC en L1 y los valores de riesgo relativo en L2. Luego use la función STATPLOT para verificar que el diagrama de dispersión siga el patrón exponencial que se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ):
  2.  
 
Graph of a scattered plot.
Figura ( PageIndex {1} )
 

Utilice el comando “ExpReg” del menú STAT y luego CALC para obtener el modelo exponencial,

 

(y = 0.58304829 {(2.20720213E10)} ^ x )

 

Convirtiendo de notación científica, tenemos:

 

(y = 0.58304829 {(22,072,021,300)} ^ x )

 

Observe que (r ^ 2≈0.97 ) que indica que el modelo se ajusta bien a los datos. Para ver esto, graficar el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión para verificar que se ajuste bien como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ):

 
Graph of a scattered plot with an estimation line.
Figura ( PageIndex {2} )
 
         
  1. Use el modelo para estimar el riesgo asociado con un BAC de (0.16 ). Sustituya (0.16 ) por (x ) en el modelo y resuelva (y ).
  2.  
 

[ begin {align *} y & = 0.58304829 {(22,072,021,300)} ^ x qquad text {Use el modelo de regresión que se encuentra en la parte} (a) \ & = 0.58304829 {(22,072,021,300)} ^ {0.16 } qquad text {Sustituya 0.16 por x} \ & aprox 26.35 qquad text {Redondear a la centésima más cercana} end {align *} ]

 

Si una persona de (160 ) libras maneja después de tomar (6 ) bebidas, él o ella tiene aproximadamente (26.35 ) veces más probabilidades de chocar que si maneja estando sobrio.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

La tabla ( PageIndex {2} ) muestra el saldo de la tarjeta de crédito de un graduado reciente cada mes después de la graduación.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         
Tabla ( PageIndex {2} )
Mes 1 2 3 4 5 6 7 8
Deuda ($) 620,00 761,88 899,80 1039,93 1270,63 1589.04 1851,31 2154,92
 
         
  1. Utilice la regresión exponencial para ajustar un modelo a estos datos.
  2.      
  3. Si el gasto continúa a este ritmo, ¿cuál será la deuda de la tarjeta de crédito del graduado un año después de graduarse?
  4.  
 
     
Responda a
     
     

El modelo de regresión exponencial que se ajusta a estos datos es (y = 522.88585984 {(1.19645256)} ^ x ).

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

Si el gasto continúa a este ritmo, la deuda de la tarjeta de crédito del graduado será ($ 4,499.38 ) después de un año.

     
 
 
 
 

P y R: ¿Es razonable suponer que un modelo de regresión exponencial representará una situación indefinidamente?

 

No. Recuerde que los modelos están formados por datos del mundo real recopilados para la regresión. Por lo general, es razonable hacer estimaciones dentro del intervalo de observación original (interpolación). Sin embargo, cuando se usa un modelo para hacer predicciones, es importante usar habilidades de razonamiento para determinar si el modelo tiene sentido para entradas más allá del intervalo de observación original (extrapolación).

 
 

Construyendo un modelo logarítmico a partir de datos

 

Al igual que con las funciones exponenciales, existen muchas aplicaciones en el mundo real para las funciones logarítmicas: intensidad del sonido, niveles de pH de las soluciones, rendimiento de las reacciones químicas, producción de productos y crecimiento de los bebés. Al igual que con los modelos exponenciales, los datos modelados por funciones logarítmicas aumentan o disminuyen a medida que avanza el tiempo. Nuevamente, es la forma que aumentan o disminuyen lo que nos ayuda a determinar si un modelo logarítmico es el mejor.

 

Recuerde que las funciones logarítmicas aumentan o disminuyen rápidamente al principio, pero luego lentamente a medida que pasa el tiempo. Al reflexionar sobre las características que ya hemos aprendido sobre esta función, podemos analizar mejor las situaciones del mundo real que reflejan este tipo de crecimiento o decadencia. Al realizar el análisis de regresión logarítmica , utilizamos la forma de la función logarítmica más comúnmente utilizada en las utilidades gráficas, (y = a + b ln (x) ). Para esta función

 
         
  • Todos los valores de entrada, (x ), deben ser mayores que cero.
  •      
  • El punto ((1, a) ) está en la gráfica del modelo.
  •      
  • Si (b> 0 ), el modelo está aumentando. El crecimiento aumenta rápidamente al principio y luego disminuye lentamente con el tiempo.
  •      
  • Si (b <0 ), el modelo está disminuyendo. La descomposición ocurre rápidamente al principio y luego disminuye lentamente con el tiempo.
  •  
 
 
 

REGRESIÓN LOGARITMICA

 

La regresión logarítmica se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento o la descomposición se aceleran rápidamente al principio y luego disminuyen con el tiempo. Usamos el comando “LnReg” en una utilidad gráfica para ajustar una función logarítmica a un conjunto de puntos de datos. Esto devuelve una ecuación de la forma,

 

[y = a + b ln (x) ]

 

Tenga en cuenta que

 
         
  • todos los valores de entrada, (x ), deben ser no negativos.
  •      
  • cuando (b> 0 ), el modelo está aumentando.
  •      
  • cuando (b <0 ), el modelo está disminuyendo.
  •  
 
 
 

Cómo: dado un conjunto de datos, realizar una regresión logarítmica usando una utilidad gráfica

 
         
  1. Use el menú STAT y luego EDIT para ingresar los datos dados.      
               
    1. Borrar cualquier dato existente de las listas.
    2.          
    3. Lista los valores de entrada en la columna L1.
    4.          
    5. Lista los valores de salida en la columna L2.
    6.      
         
  2.      
  3. Graficar y observar un diagrama de dispersión de los datos usando la función STATPLOT.      
               
    1. Use ZOOM [9] para ajustar los ejes para que se ajusten a los datos.
    2.          
    3. Verifique que los datos sigan un patrón logarítmico.
    4.      
         
  4.      
  5. Encuentra la ecuación que modela los datos.      
               
    1. Seleccione “LnReg” del menú STAT y luego CALC.
    2.          
    3. Utilice los valores devueltos para a y b para registrar el modelo, (y = a + b ln (x) ).
    4.      
         
  6.      
  7. Representa gráficamente el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión para verificar que sea un buen ajuste para los datos.
  8.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Uso de la regresión logarítmica para ajustar un modelo a los datos

 

Debido a los avances en la medicina y los niveles más altos de vida, la esperanza de vida ha aumentado en la mayoría de los países desarrollados desde principios del siglo XX . La tabla ( PageIndex {3} ) muestra las expectativas de vida promedio, en años, de los estadounidenses de 1900 a 2010.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
Tabla ( PageIndex {3} )
Año 1900 1910 1920 1930 1940 1950
Esperanza de vida (años) 47,3 50,0 54,1 59,7 62,9 68,2
Año 1960 1970 1980 1990 2000 2010
Esperanza de vida (años) 69,7 70,8 73,7 75,4 76,8 78,7
 
         
  1. Supongamos que (x ) representa el tiempo en décadas comenzando con (x = 1 ) para el año 1900, (x = 2 ) para el año 1910, y así sucesivamente. Deje que (y ) represente la esperanza de vida correspondiente. Utilice la regresión logarítmica para ajustar un modelo a estos datos.
  2.      
  3. Use el modelo para predecir la esperanza de vida estadounidense promedio para el año 2030.
  4.  
 

Solución

 
         
  1. Usando el menú STAT y luego EDIT en una utilidad gráfica, enumere los años usando los valores (1–12 ) en L1 y la esperanza de vida correspondiente en L2. Luego use la función STATPLOT para verificar que el diagrama de dispersión siga un patrón logarítmico como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ):
  2.  
 
Graph of a scattered plot.
Figura ( PageIndex {3} )
 

Utilice el comando “LnReg” del menú STAT y luego CALC para obtener el modelo logarítmico,

 

(y = 42.52722583 + 13.85752327 ln (x) )

 

Luego, grafica el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión para verificar que se ajuste bien como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ):

 
Graph of a scattered plot with an estimation line.
Figura ( PageIndex {4} )
 
         
  1. Para predecir la esperanza de vida de un estadounidense en el año (2030 ), sustituya (x = 14 ) por el en el modelo y resuelva (y ):
  2.  
 

[ begin {align *} y & = 42.52722583 + 13.85752327 ln (x) qquad text {Use el modelo de regresión que se encuentra en la parte} (a) \ & = 42.52722583 + 13.85752327 ln (14) qquad text {Sustituye 14 por x} \ & aprox 79.1 qquad text {Redondea a la décima más cercana} end {align *} ]

 

Si la esperanza de vida continúa aumentando a este ritmo, la esperanza de vida promedio de un estadounidense será (79.1 ) para el año (2030 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Las ventas de un videojuego lanzado en el año 2000 despegaron al principio, pero luego disminuyeron constantemente a medida que pasaba el tiempo. La tabla ( PageIndex {4} ) muestra la cantidad de juegos vendidos, en miles, desde los años 2000-2010.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
Tabla ( PageIndex {4} )
Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Número vendido (miles) 142 149 154 155 159 161
Año 2006 2007 2008 2009 2010
Número vendido (miles) 163 164 164 166 167
 

Sea (x ) el tiempo en años que comienza con (x = 1 ) para el año 2000. Sea (y ) el número de juegos vendidos en miles.

 
         
  1. Utilice la regresión logarítmica para ajustar un modelo a estos datos.
  2.      
  3. Si los juegos continúan vendiéndose a este ritmo, ¿cuántos juegos se venderán en 2015? Redondea al millar más cercano.
  4.  
 
     
Responda a
     
     

El modelo de regresión logarítmica que se ajusta a estos datos es (y = 141.91242949 + 10.45366573 ln (x) )

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

Si las ventas continúan a este ritmo, se venderán alrededor de (171,000 ) juegos en el año (2015 ).

     
 
 
 

Construyendo un modelo logístico a partir de datos

 

Al igual que el crecimiento exponencial y logarítmico, el crecimiento logístico aumenta con el tiempo. Una de las diferencias más notables con los modelos de crecimiento logístico es que, en cierto punto, el crecimiento se desacelera de manera constante y la función se acerca a un límite superior o valor límite . Debido a esto, la regresión logística es mejor para modelar fenómenos donde hay límites en la expansión, como la disponibilidad de espacio vital o nutrientes.

 

Vale la pena señalar que las funciones logísticas realmente modelan un crecimiento exponencial limitado en los recursos. Hay muchos ejemplos de este tipo de crecimiento en situaciones del mundo real, incluido el crecimiento de la población y la propagación de enfermedades, rumores e incluso manchas en la tela. Al realizar el análisis de regresión logística, utilizamos el formulario más utilizado en las utilidades gráficas:

 

(y = dfrac {c} {1 + ae ^ {- bx}} )

 

Recordemos que:

 
         
  • ( dfrac {c} {1 + a} ) es el valor inicial del modelo.
  •      
  • cuando (b> 0 ), el modelo aumenta rápidamente al principio hasta que alcanza su punto de tasa de crecimiento máximo, (( dfrac { ln (a)} {b}, dfrac {c} { 2}) ). En ese punto, el crecimiento se ralentiza constantemente y la función se vuelve asintótica al límite superior (y = c ).
  •      
  • (c ) es el valor límite, a veces llamado capacidad de carga , del modelo.
  •  
 
 
 

REGRESIÓN LOGÍSTICA

 

La regresión logística se usa para modelar situaciones en las que el crecimiento se acelera rápidamente al principio y luego se desacelera constantemente hasta un límite superior. Utilizamos el comando “Logística” en una utilidad gráfica para ajustar una función logística a un conjunto de puntos de datos. Esto devuelve una ecuación de la forma

 

[y = dfrac {c} {1 + ae ^ {- bx}} ]

 

Tenga en cuenta que

 
         
  • El valor inicial del modelo es ( dfrac {c} {1 + a} ).
  •      
  • Los valores de salida para el modelo se acercan cada vez más a (y = c ) a medida que aumenta el tiempo.
  •  
 
 
 

Cómo: dado un conjunto de datos, realizar una regresión logística usando una utilidad gráfica

 
         
  1. Use el menú STAT y luego EDIT para ingresar los datos dados.      
               
    1. Borrar cualquier dato existente de las listas.
    2.          
    3. Lista los valores de entrada en la columna L1.
    4.          
    5. Lista los valores de salida en la columna L2.
    6.      
         
  2.      
  3. Graficar y observar un diagrama de dispersión de los datos usando la función STATPLOT.      
               
    1. Use ZOOM [9] para ajustar los ejes para que se ajusten a los datos.
    2.          
    3. Verifique que los datos sigan un patrón logístico.
    4.      
         
  4.      
  5. Encuentra la ecuación que modela los datos.      
               
    1. Seleccione “Logística” en el menú STAT y luego CALC.
    2.          
    3. Utilice los valores devueltos para (a ), (b ) y (c ) para registrar el modelo, (y = dfrac {c} {1 + ae ^ {- bx}} ).
    4.      
         
  6.      
  7. Representa gráficamente el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión para verificar que sea un buen ajuste para los datos.
  8.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Uso de la regresión logística para ajustar un modelo a los datos

 

El servicio de telefonía móvil ha aumentado rápidamente en Estados Unidos desde mediados de los años noventa. Hoy, casi todos los residentes tienen servicio celular. La tabla ( PageIndex {5} ) muestra el porcentaje de estadounidenses con servicio celular entre los años 1995 y 2012.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         
Tabla ( PageIndex {5} )
Año Americanos con servicio celular (%) Año Americanos con servicio celular (%)
1995 12,69 2004 62.852
1996 16,35 2005 68,63
1997 20,29 2006 76,64
1998 25.08 2007 82,47
1999 30,81 2008 85,68
2000 38,75 2009 89,14
2001 45,00 2010 91,86
2002 49,16 2011 95,28
2003 55,15 2012 98,17
 
         
  1. Sea (x ) el tiempo en años que comienza con (x = 0 ) para el año 1995. Sea (y ) el porcentaje correspondiente de residentes con servicio celular. Utilice la regresión logística para ajustar un modelo a estos datos.
  2.      
  3. Use el modelo para calcular el porcentaje de estadounidenses con servicio celular en el año 2013. Redondee a la décima de porcentaje más cercana.
  4.      
  5. Discuta el valor devuelto para el límite superior, (c ). ¿Qué te dice esto sobre el modelo? ¿Cuál sería el valor límite si el modelo fuera exacto?
  6.  
 

Solución

 
         
  1. Usando el menú STAT y luego EDIT en una utilidad gráfica, enumere los años usando los valores (0–15 ) en L1 y el porcentaje correspondiente en L2. Luego use la función STATPLOT para verificar que el diagrama de dispersión siga un patrón logístico como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ):
  2.  
 
Graph of a scattered plot.
Figura ( PageIndex {5} )
 

Utilice el comando “Logística” del menú STAT y luego CALC para obtener el modelo logístico,

 

[y = 105.73795261 + 6.88328979e ^ {- 0.2595440013x} ]

 

Luego, grafica el modelo en la misma ventana como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) el diagrama de dispersión para verificar que se ajusta bien:

 
Graph of a scattered plot with an estimation line.
Figura ( PageIndex {6} )
 
         
  1. Para aproximar el porcentaje de estadounidenses con servicio celular en el año 2013, sustituya (x = 18 ) por el en el modelo y resuelva (y ):
  2.  
 

[ begin {align *} y & = dfrac {105.7379526} {1 + 6.88328979e ^ {- 0.2595440013x}} qquad text {Use el modelo de regresión que se encuentra en la parte} (a) \ & = dfrac {105.7379526} {1 + 6.88328979e ^ {- 0.2595440013 (18)}} qquad text {Sustituya x por}} \ & approx 99.3 qquad text {Redondee a la décima más cercana} end {align *} ]

 

Según el modelo, aproximadamente el 98.8% de los estadounidenses tenían servicio celular en 2013.

 
         
  1. El modelo proporciona un valor límite de aproximadamente (105 ). Esto significa que el porcentaje máximo posible de estadounidenses con servicio celular sería (105% ), lo cual es imposible. (¿Cómo podría más de (100% ) de una población tener servicio celular?) Si el modelo fuera exacto, el valor límite sería (c = 100 ) y las salidas del modelo se acercarían mucho, pero en realidad nunca alcanzarían (100% ). ¡Después de todo, siempre habrá alguien sin servicio celular!
  2.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

La tabla ( PageIndex {6} ) muestra la población, en miles, de focas de puerto en el Mar de Wadden durante los años 1997 a 2012.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
Tabla ( PageIndex {6} )
Año Población de focas (miles) Año Población de focas (miles)
1997 3.493 2005 19.590
1998 5.282 2006 21,955
1999 6.357 2007 22.862
2000 9.201 2008 23.869
2001 11.224 2009 24.243
2002 12,964 2010 24.344
2003 16,226 2011 24.919
2004 18.137 2012 25.108
 

Sea (x ) el tiempo en años que comienza con (x = 0 ) para el año 1997. Sea (y ) el número de sellos en miles.

 
         
  1. Utilice la regresión logística para ajustar un modelo a estos datos.
  2.      
  3. Use el modelo para predecir la población de focas para el año 2020.
  4.      
  5. Para el número entero más cercano, ¿cuál es el valor límite de este modelo?
  6.  
 
     
Responda a
     
     

El modelo de regresión logística que se ajusta a estos datos es (y = dfrac {25.65665979} {1 + 6.113686306e ^ {- 0.3852149008x}} ).

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

Si la población continúa creciendo a este ritmo, habrá alrededor de (25,634 ) focas en 2020.

     
 
 
     
Respuesta c
     
     

Para el número entero más cercano, la capacidad de carga es (25,657 ).

     
 
 
 
 

Medios

 

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Conceptos clave

 
         
  • La regresión exponencial se usa para modelar situaciones en las que el crecimiento comienza lentamente y luego se acelera rápidamente sin límite, o donde la decadencia comienza rápidamente y luego se desacelera para acercarse más y más a cero.
  •      
  • Utilizamos el comando “ExpReg” en una utilidad gráfica para ajustar la función de la forma (y = ab ^ x ) a un conjunto de puntos de datos. Ver Ejemplo ( PageIndex {1} ).
  •      
  • La regresión logarítmica se usa para modelar situaciones en las que el crecimiento o la descomposición se aceleran rápidamente al principio y luego se ralentizan con el tiempo.
  •      
  • Utilizamos el comando “LnReg” en una utilidad gráfica para ajustar una función de la forma (y = a + b ln (x) ) a un conjunto de puntos de datos. Ver Ejemplo ( PageIndex {2} ).
  •      
  • La regresión logística se usa para modelar situaciones en las que el crecimiento se acelera rápidamente al principio y luego se desacelera constantemente a medida que la función se acerca a un límite superior.
  •      
  • Utilizamos el comando “Logística” en una utilidad gráfica para ajustar una función de la forma (y = dfrac {c} {1 + ae ^ {- bx}} ) a un conjunto de puntos de datos. Ver Ejemplo ( PageIndex {3} ).
  •  
 
                                  
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series , secuencias , trigonometria , factoriales , ecuaciones