7.1: Composición y funciones inversas

7.1: Composición y funciones inversas

Composición de funciones

 

En matemáticas, a menudo se evalúa el resultado de una función aplicando una segunda función. Por ejemplo, considere las funciones definidas por (f (x) = x ^ {2} ) y (g (x) = 2x + 5 ). Primero, (g ) se evalúa donde (x = −1 ) y luego el resultado se eleva al cuadrado utilizando la segunda función, (f ).

 
76bef49f46e6fc84db80a2e31612b6f1.png
Figura 7.1.1
 

Este cálculo secuencial da como resultado (9 ). Podemos simplificar este proceso creando una nueva función definida por (f (g (x)) ), que se obtiene explícitamente sustituyendo (g (x) ) en (f (x) ).

 

( begin {alineado} f ( color {Cerulean} {g (x)} color {black} {)} & = f ( color {Cerulean} {2 x + 5} color {black } {)} \ & = (2 x + 5) ^ {2} \ & = 4 x ^ {2} +20 x + 25 end {alineado} )

 

Por lo tanto, (f (g (x)) = 4x ^ {2} + 20x + 25 ) y podemos verificar que cuando (x = −1 ) el resultado es (9 ).

 

( begin {alineado} f (g ( color {Cerulean} {- 1} color {black} {)}) & = 4 ( color {Cerulean} {- 1} color {black} {)} ^ {2} +20 ( color {Cerulean} {- 1} color {black} {)} + 25 \ & = 4-20 + 25 \ & = 9 end {alineado} )

 

El cálculo anterior describe composición de funciones 1 , que se indica usando el operador de composición 2 ((○) ). Si se dan las funciones (f ) y (g ),

 

((f circ g) (x) = f (g (x)) quad color {Cerulean} {Composición : de : Funciones} )

 

La notación (f ○ g ) se lee, » (f ) compuesta con (g )». Esta operación solo se define para valores, ( x ), en el dominio de (g ) de modo que (g (x) ) esté en el dominio de (f ).

 
734320fc36c542d6acee2eb1d78b46ee.png
Figura 7.1.2
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Dado (f (x) = x ^ {2} −x + 3 ) y (g (x) = 2x − 1 ) calcular:

 
         
  1. ((f ○ g) (x) ).
  2.      
  3. ((g ○ f) (x) ).
  4.  
 

Solución

 
         
  1.      

    Sustituye (g ) en (f ).

         

    ( begin {alineado} (f circ g) (x) & = f (g (x)) \ & = f ( color {Cerulean} {2 x-1} color {black} {)} \ & = ( color {Cerulean} {2 x-1} color {black} {)} ^ {2} – ( color {Cerulean} {2 x-1} color {black} { )} + 3 \ & = 4 x ^ {2} -4 x + 1-2 x + 1 + 3 \ & = 4 x ^ {2} -6 x + 5 end {alineado} ) [19459005 ]      

  2.      
  3.      

    Sustituye (f ) en (g ).

         

    ( begin {alineado} (g circ f) (x) & = g (f (x)) \ & = g color {black} { left ( color {Cerulean} {x ^ {2} -x + 3} right)} \ & = 2 color {black} { left ( color {Cerulean} {x ^ {2} -x + 3} right)} – ​​1 \ & = 2 x ^ {2} -2 x + 6-1 \ & = 2 x ^ {2} -2 x + 5 end {alineado} )

         
  4.  
 

Respuesta :

 
         
  1. ((f ○ g) (x) = 4x ^ {2} −6x + 5 )
  2.      
  3. ((g ○ f) (x) = 2x ^ {2} −2x + 5 )
  4.  
 
 
     
 

El ejemplo anterior muestra que la composición de funciones no es necesariamente conmutativa.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Dado (f (x) = x ^ {3} +1 ) y (g (x) = sqrt [3] {3 x-1} ) find ((f ○ g) ( 4) ).

 

Solución

 

Comienza por encontrar ((f ○ g) (x) ).

 

( begin {alineado} (f circ g) (x) & = f (g (x)) \ & = f ( color {Cerulean} { sqrt [3] {3 x-1 }} color {black} {)} \ & = ( color {Cerulean} { sqrt [3] {3 x-1}} color {black} {)} ^ {3} +1 \ & = 3 x-1 + 1 \ & = 3 x end {alineado} )

 

A continuación, sustituya (4 ) por (x ).

 

( begin {alineado} (f circ g) (x) & = 3 x \ (f circ g) ( color {Cerulean} {4} color {black} {)} & = 3 ( color {Cerulean} {4} color {black} {)} \ & = 12 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

((f ○ g) (4) = 12 )

 
 

Las funciones se pueden componer consigo mismas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Dado (f (x) = x ^ {2} −2 ) find ((f ○ f) (x) ).

 

Solución

 

( begin {alineado} (f circ f) (x) & = f ( color {Cerulean} {f (x)} color {black} {)} \ & = f color { negro} { left ( color {Cerulean} {x ^ {2} -2} right)} \ & = color {black} { left ( color {Cerulean} {x ^ {2} -2 } right)} ^ {2} -2 \ & = x ^ {4} -4 x ^ {2} + 4-2 \ & = x ^ {4} -4 x ^ {2} +2 final {alineado} )

 

Respuesta :

 

((f circ f) (x) = x ^ {4} -4 x ^ {2} +2 )

 
 

Funciones inversas

 

Considere la función que convierte grados Fahrenheit a grados Celsius: (C (x) = frac {5} {9} (x-32) ). Podemos usar esta función para convertir (77 ) ° F a grados Celsius de la siguiente manera.

 

( begin {alineado} C ( color {OliveGreen} {77} color {black} {)} & = frac {5} {9} ( color {OliveGreen} {77} color { negro} {-} 32) \ & = frac {5} {9} (45) \ & = 25 end {alineado} )

 

Por lo tanto, (77 ) ° F es equivalente a (25 ) ° C. Si deseamos convertir (25 ) ° C de nuevo a grados Fahrenheit, usaríamos la fórmula: (F (x) = frac {9} {5} x + 32 ).

 

( begin {alineado} F ( color {OliveGreen} {25} color {black} {)} & = frac {9} {5} ( color {OliveGreen} {25} color { negro} {)} + 32 \ & = 45 + 32 \ & = 77 end {alineado} )

 

Observe que las dos funciones (C ) y (F ) invierten el efecto de la otra.

 
8caa73949da1d190c608876254f16954.png
Figura 7.1.3
 

Esto describe una relación inversa. En general, (f ) y (g ) son funciones inversas if,

 

( begin {alineado} (f circ g) (x) & = f (g (x)) = x quad color {Cerulean} {for : all : x : in : el : dominio : de : g : y} \ (g mathrm {O} f) (x) & = g (f (x)) = x quad color {Cerulean} {for : all : x : in : the : domain : of : f.} end {alineado} )

 

En este ejemplo,

 

( begin {alineado} C (F ( color {Cerulean} {25} color {black} {)}) & = C (77) = color {Cerulean} {25} \ F ( C ( color {Cerulean} {77} color {black} {)}) & = F (25) = color {Cerulean} {77} end {alineado} )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Verifique algebraicamente que las funciones definidas por (f (x) = frac {1} {2} x − 5 ) y (g (x) = 2x + 10 ) son inversas.

 

Solución

 

Componga las funciones en ambos sentidos y verifique que el resultado sea (x ).

                                                              
( begin {alineado} (f circ g) (x) & = f (g (x)) \ & = f ( color {Cerulean} {2 x + 10} color {black} {)} \ & = frac {1} {2} ( color {Cerulean} {2 x + 10} color {black} {)} – 5 \ & = x + 5-5 \ & = x : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} ) ( begin {alineado} (g text {Of}) (x) & = g (f (x)) \ & = g color {black} { left ( color {Cerulean} { frac {1} {2} x-5} right)} \ & = 2 color {black} { left ( color {Cerulean} { frac {1} {2} x-5} right )} + 10 \ & = x-10 + 10 \ & = x : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )
 

Tabla 7.1.1

 

Respuesta :

 

Ambos ((f circ g) (x) = (g circ f) (x) = x ); por lo tanto, son inversas.

 
 

A continuación, exploramos la geometría asociada con las funciones inversas. Los gráficos de ambas funciones en el ejemplo anterior se proporcionan en el mismo conjunto de ejes a continuación.

 
cb7ca2e1f51d82cc48ad239db2a2d21a.png
Figura 7.1.4
 

Tenga en cuenta que existe una simetría sobre la línea (y = x ); Los gráficos de (f ) y (g ) son imágenes especulares sobre esta línea. Observe también que el punto ((20, 5) ) está en la gráfica de (f ) y que ((5, 20) ) está en la gráfica de (g ). Ambas observaciones son ciertas en general y tenemos las siguientes propiedades de las funciones inversas:

 
         
  1. Las gráficas de funciones inversas son simétricas con respecto a la línea (y = x ).
  2.      
  3. Si ((a, b) ) está en la gráfica de una función, entonces ((b, a) ) está en la gráfica de su inverso.
  4.  
 

Además, si (g ) es el inverso de (f ) usamos la notación (g = f ^ {- 1} ). Aquí se lee (f ^ {- 1} ), » (f ) inverso», y no debe confundirse con exponentes negativos. En otras palabras, (f ^ {- 1} (x) neq frac {1} {f (x)} ) y tenemos,

 

( begin {array} {l} { left (f circ f ^ {- 1} right) (x) = f left (f ^ {- 1} (x) right) = x text {and}} \ { left (f ^ {- 1} circ f right) (x) = f ^ {- 1} (f (x)) = x} end {array} )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Verifique algebraicamente que las funciones definidas por (f (x) = frac {1} {x} −2 ) y (f ^ {- 1} (x) = frac {1} {x + 2} ) son inversas.

 

Solución

 

Componga las funciones en ambos sentidos para verificar que el resultado sea (x ).

                                                              
( begin {alineado} left (f circ f ^ {- 1} right) (x) & = f left (f ^ {- 1} (x) right) \ & = f color {black} { left ( color {Cerulean} { frac {1} {x + 2}} right)} \ & = frac {1} { color {black} { left ( color {Cerulean} { frac {1} {x + 2}} right)}} – 2 \ & = frac {x + 2} {1} -2 \ & = x + 2-2 & = x : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} ) ( begin {alineado} left (f ^ {- 1} circ f right) (x) & = f ^ {- 1} (f (x)) \ & = f ^ {- 1} color {black} { left ( color {Cerulean} { frac {1} {x} -2} right)} \ & = frac {1} { color {black} { left ( color {Cerulean} { frac {1} {x} -2} right)} + 2} \ & = frac {1} { frac {1} {x}} \ & = x : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )
 

Tabla 7.1.2

 

Respuesta :

 

Dado que ( left (f circ f ^ {- 1} right) (x) = left (f ^ {- 1} circ f right) (x) = x ) son inversas .

 
 

Recuerde que una función es una relación donde cada elemento en el dominio corresponde exactamente a un elemento en el rango. Utilizamos la prueba de línea vertical para determinar si un gráfico representa una función o no. Las funciones pueden clasificarse aún más utilizando una relación inversa. Funciones uno a uno 3 son ​​funciones donde cada valor en el rango corresponde exactamente a un elemento en el dominio. La prueba de línea horizontal 4 se utiliza para determinar si un gráfico representa o no una función uno a uno. Si una línea horizontal se cruza con un gráfico más de una vez, entonces no representa una función uno a uno.

 
dfa7dd7c19f110abc7b3d634d24d64cb.png
Figura 7.1.5
 

La línea horizontal representa un valor en el rango y el número de intersecciones con el gráfico representa el número de valores a los que corresponde en el dominio. La función definida por (f (x) = x ^ {3} ) es uno a uno y la función definida por (f (x) = | x | ) no lo es. Determinar si una función es individual o no es importante porque una función tiene un inverso si y solo si es individual. En otras palabras, una función tiene un inverso si pasa la prueba de la línea horizontal.

 
 

Nota

 

En este texto, cuando decimos « una función tiene un inverso», queremos decir que hay otra función, (f ^ {- 1} ), tal que ((f ○ f ^ {- 1}) (x) = (f ^ {- 1} ○ f) (x) = x ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Determine si la función dada es o no uno a uno.

 
82996f0b834900cba6ae43312d08d655.png
Figura 7.1.6
 

Solución

 
5d09891cfe3496400998b99386499086.png
Figura 7.1.7
 

Respuesta :

 

La función dada pasa la prueba de la línea horizontal y, por lo tanto, es uno a uno.

 
 

De hecho, cualquier función lineal de la forma (f (x) = mx + b ) donde (m ≠ 0 ), es uno a uno y, por lo tanto, tiene un inverso. Los pasos para encontrar el inverso de una función uno a uno se resumen en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Encuentre el inverso de la función definida por (f (x) = frac {3} {2} x − 5 ).

 

Solución

 

Antes de comenzar este proceso, debe verificar que la función sea uno a uno. En este caso, tenemos una función lineal donde (m ≠ 0 ) y, por lo tanto, es uno a uno.

 

Paso 1: Reemplace la notación de función (f (x) ) con (y ).

 

( begin {alineado} f (x) & = frac {3} {2} x-5 \ y & = frac {3} {2} x-5 end {alineado} ) [ 19459005]  

Paso 2: Intercambio (x ) y (y ). Utilizamos el hecho de que si ((x, y) ) es un punto en la gráfica de una función, entonces ((y, x) ) es un punto en la gráfica de su inverso.

 

(x = frac {3} {2} y-5 )

 

Paso 3: Resuelve para (y ).

 

( begin {alineado} x & = frac {3} {2} y-5 \ x + 5 & = frac {3} {2} y \ \ color {Cerulean} { frac {2} {3}} color {black} { cdot} (x + 5) & = color {Cerulean} { frac {2} {3}} color {black} { cdot} frac {3} {2} y \ frac {2} {3} x + frac {10} {3} & = y end {alineado} )

 

Paso 4: La función resultante es la inversa de (f ). Reemplace (y ) con (f ^ {- 1} (x) ).

 

(f ^ {- 1} (x) = frac {2} {3} x + frac {10} {3} )

 

Paso 5: Verificar.

                                                              
( begin {array} {l} { left (f circ f ^ {- 1} right) (x)} \ {= f left (f ^ {- 1} (x) right)} \ {= f color {black} { left ( color {Cerulean} { frac {2} {3} x + frac {10} {3}} right)}} \ { = frac {3} {2} color {black} { left ( color {Cerulean} { frac {2} {3} x + frac {10} {3}} right)} – ​​5} {= x + 5-5} \ {= x} : : color {Cerulean} {✓} end {array} ) ( begin {array} {l} { left (f ^ {- 1} circ f right) (x)} \ {= f ^ {- 1} (f (x))} \ {= f ^ {- 1} color {black} { left ( color {Cerulean} { frac {3} {2} x-5} right)}} \ {= frac {2 } {3} color {black} { left ( color {Cerulean} { frac {3} {2} x-5} right)} + frac {10} {3}} \ {= x – frac {10} {3} + frac {10} {3}} \ {= x} : : color {Cerulean} {✓} end {array} )
 

Tabla 7.1.3

 

Respuesta :

 

(f ^ {- 1} (x) = frac {2} {3} x + frac {10} {3} )

 
 

Si una función no es uno a uno, a menudo es posible restringir el dominio de tal manera que el gráfico resultante sea uno a uno. Por ejemplo, considere la función de cuadratura desplazada una unidad, (g (x) = x ^ {2} +1 ). Tenga en cuenta que no pasa la prueba de la línea horizontal y, por lo tanto, no es uno a uno. Sin embargo, si restringimos el dominio a valores no negativos, (x≥0 ), entonces el gráfico sí pasa la prueba de la línea horizontal.

 
c25e7fa1a35af7403f7293bcef4ecabb.png
Figura 7.1.8
 

En el dominio restringido, (g ) es uno a uno y podemos encontrar su inverso.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Encuentre el inverso de la función definida por (g (x) = x ^ {2} +1 ) donde (x≥0 ).

 

Solución

 

Comience por reemplazar la notación de función (g (x) ) con (y ).

 

( begin {alineado} g (x) & = x ^ {2} +1 \ y & = x ^ {2} +1 text {donde} x geq 0 end {alineado} )

 

Intercambio (x ) y (y ).

 

(x = y ^ {2} +1 ) donde (y geq 0 )

 

Resuelve para (y ).

 

( begin {alineado} x & = y ^ {2} +1 \ x-1 & = y ^ {2} \ pm sqrt {x-1} & = y end {alineado } )

 

Dado que (y≥0 ) solo consideramos el resultado positivo.

 

( begin {alineado} y & = sqrt {x-1} \ g ^ {- 1} (x) & = sqrt {x-1} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(g ^ {- 1} (x) = sqrt {x-1} ). El cheque se deja al lector.

 
 

Los gráficos del ejemplo anterior se muestran en el mismo conjunto de ejes a continuación. Tome nota de la simetría sobre la línea (y = x ).

 
d06c58e089090afc653d5ad4342b90b0.png
Figura 7.1.9
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Encuentre el inverso de la función definida por (f (x) = frac {2 x + 1} {x-3} ).

 

Solución

 

Use una utilidad de gráficos para verificar que esta función sea uno a uno. Comience reemplazando la notación de función (f (x) ) con (y ).

 

( begin {alineado} f (x) & = frac {2 x + 1} {x-3} \ y & = frac {2 x + 1} {x-3} end { alineado} )

 

Intercambio (x ) y (y ).

 

(x = frac {2 y + 1} {y-3} )

 

Resuelve para (y ).

 

( begin {alineado} x & = frac {2 y + 1} {y-3} \ x (y-3) & = 2 y + 1 \ x y-3 x & = 2 y + 1 end {alineado} )

 

Obtenga todos los términos con la variable (y ) en un lado de la ecuación y todo lo demás en el otro. Esto nos permitirá tratar (y ) como un MCD.

 

( begin {alineado} x y-3 x & = 2 y + 1 \ x y-2 y & = 3 x + 1 \ y (x-2) & = 3 x + 1 \ y & = frac {3 x + 1} {x-2} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(f ^ {- 1} (x) = frac {3 x + 1} {x-2} ). El cheque se deja al lector.

 
 

TOMAS CLAVE

 
         
  • El operador de composición ((○) ) indica que debemos sustituir una función por otra. En otras palabras, ((f ○ g) (x) = f (g (x)) ) indica que sustituimos (g (x) ) en (f (x) ).
  •      
  • Si dos funciones son inversas, cada una revertirá el efecto de la otra. Utilizando la notación, ((f ○ g) (x) = f (g (x)) = x ) y ((g ○ f) (x) = g (f (x)) = x ).
  •      
  • Las funciones inversas tienen notación especial. Si (g ) es el inverso de (f ), entonces podemos escribir (g (x) = f ^ {- 1} (x) ). Esta notación a menudo se confunde con exponentes negativos y no es igual a uno dividido por (f (x) ).
  •      
  • Las gráficas de inversas son simétricas sobre la línea (y = x ). Si ((a, b) ) es un punto en el gráfico de una función, entonces ((b, a) ) es un punto en el gráfico de su inverso.
  •      
  • Si cada punto en el rango de una función corresponde exactamente a un valor en el dominio, entonces la función es uno a uno. Use la prueba de línea horizontal para determinar si una función es individual o no.
  •      
  • Una función uno a uno tiene una inversa, que a menudo se puede encontrar intercambiando (x ) e (y ), y resolviendo para (y ). Esta nueva función es la inversa de la función original.
  •  
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Dadas las funciones definidas por (f ) y (g ) find ((f circ g) (x) ) y ((g circ f) (x) ).

 
         
  1. (f (x) = 4 x-1, g (x) = 3 x )
  2.      
  3. (f (x) = – 2 x + 5, g (x) = 2 x )
  4.      
  5. (f (x) = 3 x-5, g (x) = x-4 )
  6.      
  7. (f (x) = 5 x + 1, g (x) = 2 x-3 )
  8.      
  9. (f (x) = x ^ {2} -x + 1, g (x) = 2 x-1 )
  10.      
  11. (f (x) = x ^ {2} -3 x-2, g (x) = x-2 )
  12.      
  13. (f (x) = x ^ {2} +3, g (x) = x ^ {2} -5 )
  14.      
  15. (f (x) = 2 x ^ {2}, g (x) = x ^ {2} -x )
  16.      
  17. (f (x) = 8 x ^ {3} +5, g (x) = sqrt [3] {x-5} )
  18.      
  19. (f (x) = 27 x ^ {3} -1, g (x) = sqrt [3] {x + 1} )
  20.      
  21. (f (x) = frac {1} {x + 5}, g (x) = frac {1} {x} )
  22.      
  23. (f (x) = frac {1} {x} -3, g (x) = frac {3} {x + 3} )
  24.      
  25. (f (x) = 5 sqrt {x}, g (x) = 3 x-2 )
  26.      
  27. (f (x) = sqrt {2 x}, g (x) = 4 x + 1 )
  28.      
  29. (f (x) = frac {1} {2 x}, g (x) = x ^ {2} +8 )
  30.      
  31. (f (x) = 2 x-1, g (x) = frac {1} {x + 1} )
  32.      
  33. (f (x) = frac {1-x} {2 x}, g (x) = frac {1} {2 x + 1} )
  34.      
  35. (f (x) = frac {2 x} {x + 1}, g (x) = frac {x + 1} {x} )
  36.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ((f circ g) (x) = 12 x-1; (g circ f) (x) = 12 x-3 )

     

3. ((f circ g) (x) = 3 x-17; (g circ f) (x) = 3 x-9 )

     

5. ((f circ g) (x) = 4 x ^ {2} -6 x + 3; (g circ f) (x) = 2 x ^ {2} -2 x + 1 )

     

7. ((f circ g) (x) = x ^ {4} -10 x ^ {2} +28; (g circ f) (x) = x ^ {4} +6 x ^ {2} +4 )

     

9. ((f circ g) (x) = 8 x-35; (g circ f) (x) = 2 x )

     

11. ((f circ g) (x) = frac {x} {5 x + 1}; (g circ f) (x) = x + 5 )

     

13. ((f circ g) (x) = 5 sqrt {3 x-2}; (g circ f) (x) = 15 sqrt {x} -2 )

     

15. ( begin {array} {l} {(f circ g) (x) = frac {1} {2 x ^ {2} +16}}; {(g circ f) (x) = frac {1 + 32 x ^ {2}} {4 x ^ {2}}} end {array} )

     

17. ((f circ g) (x) = x; (g circ f) (x) = x )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Dadas las funciones definidas por (f (x) = 3 x ^ {2} -2, g (x) = 5 x + 1 ), y (h (x) = sqrt {x} ), calcule lo siguiente.

 
         
  1. ((f circ g) (2) )
  2.      
  3. ((g circ f) (- 1) )
  4.      
  5. ((g circ f) (0) )
  6.      
  7. ((f circ g) (0) )
  8.      
  9. ((f circ h) (3) )
  10.      
  11. ((g circ h) (16) )
  12.      
  13. ((h circ g) left ( frac {3} {5} right) )
  14.      
  15. ((h circ f) (- 3) )
  16.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (361 )

     

3. (- 9 )

     

5. (7 )

     

7. (2 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Dadas las funciones definidas por (f (x) = sqrt [3] {x + 3}, g (x) = 8 x ^ {3} -3 ) y (h (x) = 2 x-1 ), calcule lo siguiente.

 
         
  1. ((f circ g) (1) )
  2.      
  3. ((g circ f) (- 2) )
  4.      
  5. ((g circ f) (0) )
  6.      
  7. ((f circ g) (- 2) )
  8.      
  9. ((f circ h) (- 1) )
  10.      
  11. ((h circ g) left (- frac {1} {2} right) )
  12.      
  13. ((h circ f) (24) )
  14.      
  15. ((g circ h) (0) )
  16.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (2 )

     

3. (21 )

     

5. (0 )

     

7. (5 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Dada la función, determine ((f circ f) (x) ).

 
         
  1. (f (x) = 3 x-1 )
  2.      
  3. (f (x) = frac {2} {5} x + 1 )
  4.      
  5. (f (x) = x ^ {2} +5 )
  6.      
  7. (f (x) = x ^ {2} -x + 6 )
  8.      
  9. (f (x) = x ^ {3} +2 )
  10.      
  11. (f (x) = x ^ {3} -x )
  12.      
  13. (f (x) = frac {1} {x + 1} )
  14.      
  15. (f (x) = frac {x + 1} {2 x} )
  16.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ((f circ f) (x) = 9 x-4 )

     

3. ((f circ f) (x) = x ^ {4} +10 x ^ {2} +30 )

     

5. ((f circ f) (x) = x ^ {9} +6 x ^ {6} +12 x ^ {3} +10 )

     

7. ((f circ f) (x) = frac {x + 1} {x + 2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

¿Son las funciones dadas uno a uno? Explique.

 

1.

 
4552bf78fb4531f806ecc38a79b75047.png
Figura 7.1.10
 

2.

 
c5829007629d00628c2667c8d5781b99.png
Figura 7.1.11
 

3.

 
98ca4b02ec0df7af7c129ed3a6ae2f6c.png
Figura 7.1.12
 

4.

 
4e2d515464c69e7af411a4d33fbec267.png
Figura 7.1.13
 

5. (f (x) = x + 1 )

 

6. (g (x) = x ^ {2} +1 )

 

7. (h (x) = | x | +1 )

 

8. (r (x) = x ^ {3} +1 )

 

9. (f (x) = sqrt {x + 1} )

 

10. (g (x) = 3 )

 
     
 
     
Respuesta
     
     

1. No, falla el HLT

     

3. Sí, pasa el HLT

     

5. Sí, su gráfico pasa el HLT.

     

7. No, su gráfico falla el HLT.

     

9. Sí, su gráfico pasa el HLT.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Dada la gráfica de una función uno a uno, grafica su inverso.

 

1.

 
698b307e86afa57340a06028e341cbae.png
Figura 7.1.14
 

2.

 
f50a564f236d488685aad311f72c7dcf.png
Figura 7.1.15
 

3.

 
d5790e9104682636ad5555f34f42c8e9.png
Figura 7.1.16
 

4.

 
2b4e466104bdd162755cf06c1e7f99ce.png
Figura 7.1.17
 

5.

 
b6edc9e7a7de375af907fd3be55383fa.png
Figura 7.1.18
 

6.

 
18657bc22a247d2d72aac368a563fe31.png
Figura 7.1.19
 
     
Respuesta
     
     

1.

     
1b238b44df74b9db2a3e2e7cac871feb.png
Figura 7.1.20
     

3.

     
e54dd029e04878c384466b956360bc85.png
Figura 7.1.21
     

5.

     
94eaf7037e6d57de2f0c331a47ee5d78.png
Figura 7.1.22
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Verifique algebraicamente que las dos funciones dadas son inversas. En otras palabras, muestre que ( left (f circ f ^ {- 1} right) (x) = x ) y ( left (f ^ {- 1} circ f right) (x ) = x ).

 
         
  1. (f (x) = 3 x-4, f ^ {- 1} (x) = frac {x + 4} {3} )
  2.      
  3. (f (x) = – 5 x + 1, f ^ {- 1} (x) = frac {1-x} {5} )
  4.      
  5. (f (x) = – frac {2} {3} x + 1, f ^ {- 1} (x) = – frac {3} {2} x + frac {3} {2 } )
  6.      
  7. (f (x) = 4 x- frac {1} {3}, f ^ {- 1} (x) = frac {1} {4} x + frac {1} {12} )
  8.      
  9. (f (x) = sqrt {x-8}, f ^ {- 1} (x) = x ^ {2} +8, x geq 0 )
  10.      
  11. (f (x) = sqrt [3] {6 x} -3, f ^ {- 1} (x) = frac {(x + 3) ^ {3}} {6} )
  12.      
  13. (f (x) = frac {x} {x + 1}, f ^ {- 1} (x) = frac {x} {1-x} )
  14.      
  15. (f (x) = frac {x-3} {3 x}, f ^ {- 1} (x) = frac {3} {1-3 x} )
  16.      
  17. (f (x) = 2 (x-1) ^ {3} +3, f ^ {- 1} (x) = 1 + sqrt [3] { frac {x-3} {2 }} )
  18.      
  19. (f (x) = sqrt [3] {5 x-1} +4, f ^ {- 1} (x) = frac {(x-4) ^ {3} +1} { 5} )
  20.  
 
     
Respuesta
     
     

1. Prueba

     

3. Prueba

     

5. Prueba

     

7. Prueba

     

9. Prueba

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Encuentra los inversos de las siguientes funciones.

 
         
  1. (f (x) = 5 x )
  2.      
  3. (f (x) = frac {1} {2} x )
  4.      
  5. (f (x) = 2 x + 5 )
  6.      
  7. (f (x) = – 4 x + 3 )
  8.      
  9. (f (x) = – frac {2} {3} x + frac {1} {3} )
  10.      
  11. (f (x) = – frac {1} {2} x + frac {3} {4} )
  12.      
  13. (g (x) = x ^ {2} +5, x geq 0 )
  14.      
  15. (g (x) = x ^ {2} -7, x geq 0 )
  16.      
  17. (f (x) = (x-5) ^ {2}, x geq 5 )
  18.      
  19. (f (x) = (x + 1) ^ {2}, x geq-1 )
  20.      
  21. (h (x) = 3 x ^ {3} +5 )
  22.      
  23. (h (x) = 2 x ^ {3} -1 )
  24.      
  25. (f (x) = (2 x-3) ^ {3} )
  26.      
  27. (f (x) = (x + 4) ^ {3} -1 )
  28.      
  29. (g (x) = frac {2} {x ^ {3} +1} )
  30.      
  31. (g (x) = frac {1} {x ^ {3}} – 2 )
  32.      
  33. (f (x) = frac {5} {x + 1} )
  34.      
  35. (f (x) = frac {1} {2 x-9} )
  36.      
  37. (f (x) = frac {x + 5} {x-5} )
  38.      
  39. (f (x) = frac {3 x-4} {2 x-1} )
  40.      
  41. (h (x) = frac {x-5} {10 x} )
  42.      
  43. (h (x) = frac {9 x + 1} {3 x} )
  44.      
  45. (g (x) = sqrt [3] {5 x + 2} )
  46.      
  47. (g (x) = sqrt [3] {4 x-3} )
  48.      
  49. (f (x) = sqrt [3] {x-6} -4 )
  50.      
  51. (f (x) = 2 sqrt [3] {x + 2} +5 )
  52.      
  53. (h (x) = sqrt [5] {x + 1} -3 )
  54.      
  55. (h (x) = sqrt [5] {x-8} +1 )
  56.      
  57. (f (x) = m x + b, m neq 0 )
  58.      
  59. (f (x) = a x ^ {2} + c, x geq 0 )
  60.      
  61. (f (x) = a x ^ {3} + d )
  62.      
  63. (f (x) = a (x-h) ^ {2} + k, x geq h )
  64.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (f ^ {- 1} (x) = frac {x} {5} )

     

3. (f ^ {- 1} (x) = frac {1} {2} x- frac {5} {2} )

     

5. (f ^ {- 1} (x) = – frac {3} {2} x + frac {1} {2} )

     

7. (g ^ {- 1} (x) = sqrt {x-5} )

     

9. (f ^ {- 1} (x) = sqrt {x} +5 )

     

11. (h ^ {- 1} (x) = sqrt [3] { frac {x-5} {3}} )

     

13. (f ^ {- 1} (x) = frac { sqrt [3] {x} +3} {2} )

     

15. (g ^ {- 1} (x) = sqrt [3] { frac {2-x} {x}} )

     

17. (f ^ {- 1} (x) = frac {5-x} {x} )

     

19. (f ^ {- 1} (x) = frac {5 (x + 1)} {x-1} )

     

21. (h ^ {- 1} (x) = – frac {5} {10 x-1} )

     

23. (g ^ {- 1} (x) = frac {x ^ {3} -2} {5} )

     

25. (f ^ {- 1} (x) = (x + 4) ^ {3} +6 )

     

27. (h ^ {- 1} (x) = (x + 3) ^ {5} -1 )

     

29. (f ^ {- 1} (x) = frac {x-b} {m} )

     

31. (f ^ {- 1} (x) = sqrt [3] { frac {x-d} {a}} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Representa gráficamente la función y su inverso en el mismo conjunto de ejes.

 
         
  1. (f (x) = x + 2 )
  2.      
  3. (f (x) = frac {2} {3} x-4 )
  4.      
  5. (f (x) = – 2 x + 2 )
  6.      
  7. (f (x) = – frac {1} {3} x + 4 )
  8.      
  9. (g (x) = x ^ {2} -2, x geq 0 )
  10.      
  11. (g (x) = (x-2) ^ {2}, x geq 2 )
  12.      
  13. (h (x) = x ^ {3} +1 )
  14.      
  15. (h (x) = (x + 2) ^ {3} -2 )
  16.      
  17. (f (x) = 2- sqrt {x} )
  18.      
  19. (f (x) = sqrt {-x} +1 )
  20.  
 
     
Respuesta
     
     

1.

     
c51ec399e7b9b4d65a77395e6b90434b.png
Figura 7.1.23
     

3.

     
9bd79d4be86d7cb5fbd9c020f39ab300.png
Figura 7.1.24
     

5.

     
aa9f833ac8aa1c94bb1ae63e1e0274ec.png
Figura 7.1.25
     

7.

     
4d269414e63c38f5658c5d061f1d107c.png
Figura 7.1.26
     

9.

     
020afbf3c295a6e7f4511c0d6e8a9510.png
Figura 7.1.27
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 
         
  1. ¿La composición de funciones es asociativa? Explique.
  2.      
  3. Explica por qué (C (x) = frac {5} {9} (x-32) ) y (F (x) = frac {9} {5} x + 32 ) definen inversa funciones Demuéstralo algebraicamente.
  4.      
  5. ¿Las gráficas de todas las líneas rectas representan funciones uno a uno? Explique.
  6.      
  7. Si las gráficas de funciones inversas se cruzan, ¿cómo podemos encontrar el punto de intersección? Explique.
  8.  
 
     
Respuesta
     
     

1. La respuesta puede variar

     

3. La respuesta puede variar

     
 
 
 
]]>

,

Deja una respuesta