7.1: exponentes negativos

7.1: exponentes negativos

                 

Comenzamos con una definición aparentemente tonta pero poderosa sobre lo que significa elevar un número a una potencia de (- 1 ).

 
 

Elevando a un poder de (- 1 )

 

Para elevar un objeto a una potencia de (- 1 ), simplemente invierta el objeto (gírelo al revés).

 

fig 7.1.a.png

 

Más formalmente, invertir un número se conoce como tomar su recíproco .

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

 
         
  1. (4 ^ {- 1} )
  2.      
  3. ( left ( dfrac {2} {3} right) ^ {- 1} )
  4.      
  5. (- left ( dfrac {3} {5} right) ^ {- 1} )
  6.  
 

Solución

 

En cada caso, simplemente invertimos el número dado.

 
         
  1. (4 ^ {- 1} = dfrac {1} {4} )
  2.      
  3. ( left ( dfrac {2} {3} right) ^ {- 1} = dfrac {3} {2} )
  4.      
  5. (- left ( dfrac {3} {5} right) ^ {- 1} = – dfrac {5} {3} )
  6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Simplifique: ( left ( dfrac {7} {4} right) ^ {- 1} )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {4} {7} )

     
 
 
 

Quizás se pregunte «¿Por qué elevar el número a la potencia de menos uno invierte el número?» Para responder a esta pregunta, recuerde el producto de un número y su recíproco es uno. Por ejemplo,

 

[4 cdot dfrac {1} {4} = 1 label {Eq7.1.1} ]

 

Luego, considera lo que sucede cuando multiplicamos (4 ^ 1 ) y (4 ^ {- 1} ). Si aplicamos la ley habitual de exponentes (suponiendo que funcionen para exponentes positivos y negativos), agregaríamos los exponentes ( (1 + (−1) = 0 )).

 

[4 ^ 1 cdot 4 ^ {- 1} = 4 ^ 0 label {Eq7.1.2} ]

 

Sin embargo, porque (4 ^ 1 = 4 ) y (4 ^ 0 = 1 ), esta última ecuación es equivalente a:

 

[4 cdot 4 ^ {- 1} = 1 label {Eq7.1.3} ]

 

Cuando compara la ecuación ref {Eq7.1.1} y ref {Eq7.1.3} , está claro que (4 ^ {- 1} ) y (1/4 ) son ambos recíprocos del número (4 ). Como los recíprocos son únicos, (4 ^ {- 1} = dfrac {1} {4} ) .

 

De manera similar, uno puede descubrir el significado de (a ^ {- n} ). Comience con el hecho de que multiplicar los recíprocos produce una respuesta de uno.

 

[a ^ n cdot dfrac {1} {a ^ n} = 1 label {Eq7.1.4} ]

 

Si multiplicamos (a ^ n ) y (a ^ {- n} ), sumamos los exponentes de la siguiente manera.

 

[a ^ n cdot a ^ {- n} = a ^ 0 nonumber ]

 

Proporcionando (a neq = 0 ), luego (a ^ 0 = 1 ), para que podamos escribir

 

[a ^ n cdot a ^ {- n} = 1 label {Eq7.1.5} ]

 

Comparación de ecuaciones ref {Eq7.1.4} y ref {Eq7.1.5} , observamos que tanto (1 / a ^ n ) como (a ^ {- n} ) son recíprocos de (a ^ n ). Debido a que cada número tiene un recíproco único, (a ^ {- n} ) y (1 / a ^ n ) son iguales.

 
 

Elevando a un entero negativo

 

Proporcionado a neq = 0,

 

[a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ n} nonumber ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

 
         
  1. (2 ^ {- 3} )
  2.      
  3. ((- 5) ^ {- 2} )
  4.      
  5. ((- 4) ^ {- 3} )
  6.  
 

Solución

 

En cada ejemplo, usamos la propiedad (a ^ {- n} = 1 / a ^ n ) para simplificar la expresión dada.

 
         
  1. ( begin {align *} 2 ^ {- 3} & = dfrac {1} {2 ^ 3} \ & = dfrac {1} {8} end {align *} ) [ 19459015]      
  2. ( begin {align *} (-5) ^ {- 2} & = dfrac {1} {(- 5) ^ 2} \ & = dfrac {1} {25} end { alinear *} )
  3.      
  4. ( begin {align *} (-4) ^ {- 3} & = dfrac {1} {(- 4) ^ 3} \ & = – dfrac {1} {64} end {alinear *} )
  5.  
 

En Elevar a un entero negativo , abordaremos cómo puede realizar mentalmente cada uno de los cálculos anteriores.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Simplificar: (3 ^ {- 2} )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {1} {9} )

     
 
 
 

Leyes de exponentes

 

En los argumentos que demuestran que (4 ^ {- 1} = 1/4 ) y (a ^ {- n} = 1 / a ^ n ), recurrimos a una de las leyes de los exponentes aprendidos en Capítulo 5, Sección 5 . Afortunadamente, las leyes de los exponentes funcionan exactamente igual si los exponentes son enteros positivos o negativos.

 
 

Leyes de exponentes

 

Si (m ) y (n ) son enteros, entonces:

 
         
  1. (a ^ ma ^ n = a ^ {m + n} )
  2.      
  3. ( dfrac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {m-n} )
  4.      
  5. ((a ^ m) ^ n = a ^ {mn} )
  6.      
  7. ((ab) ^ n = a ^ nb ^ n )
  8.      
  9. ( left ( dfrac {a} {b} right) ^ n = dfrac {a ^ n} {a ^ n} )
  10.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

 
         
  1. (y ^ 5y ^ {- 7} )
  2.      
  3. (2 ^ {- 2} cdot 2 ^ {- 3} )
  4.      
  5. (x ^ {- 4} x ^ 6 )
  6.  
 

Solución

 

En cada caso, utilizamos la primera ley de exponentes ( (a ^ ma ^ n = a ^ {m + n} )). Debido a que estamos multiplicando como bases, repetimos la base y sumamos los exponentes.

 
         
  1. ( begin {align *} y ^ 5y ^ {- 7} & = y ^ {5 + (- 7)} \ & = y ^ {- 2} end {align *} ) [ 19459015]      
  2. ( begin {align *} 2 ^ {- 2} cdot 2 ^ {- 3} & = 2 ^ {- 2 + (- 3)} \ & = 2 ^ {- 5} end {alinear *} )
  3.      
  4. ( begin {align *} x ^ {- 4} x ^ {6} & = x ^ {- 4 + 6} \ & = x ^ 2 end {align *} )
  5.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Simplifique: (t ^ 8 cdot t ^ {- 4} )

 
     
Respuesta
     
     

(t ^ 4 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

 
         
  1. ( dfrac {x ^ 4} {x ^ 7} )
  2.      
  3. ( dfrac {3 ^ {- 4}} {3 ^ 5} )
  4.      
  5. ( dfrac {z ^ {- 3}} {z ^ {- 5}} )
  6.  
 

Solución

 

En cada caso, usamos la segunda ley de exponentes ( (a ^ m / a ^ n = a ^ {m − n} )). Debido a que estamos dividiendo como bases, repetimos la base y restamos los exponentes. Recuerde que la resta significa «agregar lo contrario».

 
         
  1. ( begin {align *} dfrac {x ^ 4} {x ^ 7} & = x ^ {4-7} \ & = x ^ {4 + (- 7)} \ & = x ^ {- 3} end {align *} )
  2.      
  3. ( begin {align *} dfrac {3 ^ {- 4}} {3 ^ 5} & = 3 ^ {- 4-5} \ & = 3 ^ {- 4 + (- 5) } \ & = 3 ^ {- 9} end {align *} )
  4.      
  5. ( begin {align *} dfrac {z ^ {- 3}} {z ^ {- 5}} & = z ^ {- 3 – (- 5)} \ & = z ^ {- 3 + 5} \ & = z ^ {2} end {align *} )
  6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Simplifique: ( dfrac {y ^ {- 6}} {y ^ {- 2}} )

 
     
Respuesta
     
     

(y ^ {- 4} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

 
         
  1. ((5 ^ {- 2}) ^ 3 )
  2.      
  3. ((a ^ {- 3}) ^ {- 4} )
  4.      
  5. ((w ^ 2) ^ {- 7} )
  6.  
 

Solución

 

En cada caso, estamos utilizando la tercera ley de exponentes ( ((a ^ m) ^ n = a ^ {mn} )). Como estamos elevando una potencia a otra potencia, repetimos la base y multiplicamos los exponentes.

 
         
  1. ( begin {align *} (5 ^ {- 2}) ^ 3 & = 5 ^ {(- 2) (3)} \ & = 5 ^ {- 6} end {align *} )
  2.      
  3. ( begin {align *} (a ^ {- 3}) ^ {- 4} & = a ^ {(- 3) (- 4)} \ & = a ^ {12} end { alinear *} )
  4.      
  5. ( begin {align *} (w ^ 2) ^ {- 7} & = w ^ {(2) (- 7)} \ & = w ^ {- 14} end {align *} )
  6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Simplificar: ((z ^ 5) ^ {- 2} )

 
     
Respuesta
     
     

(z ^ {- 10) )

     
 
 
 

Elevación a un entero negativo

 

Sabemos lo que sucede cuando eleva un número a (- 1 ), invierte el número o lo invierte. Pero, ¿qué sucede cuando eleva un número a un entero negativo que no sea negativo?

 

Como ejemplo, considere la expresión (3 ^ {- 2} ). Usando la tercera ley de exponentes ( ((a ^ m) ^ n = a ^ {mn} )), podemos escribir esta expresión en dos formas equivalentes.

 
         
  1. Tenga en cuenta que (3 ^ {- 2} ) es equivalente a ((3 ^ 2) ^ {- 1} ). Son equivalentes porque la tercera ley de exponentes nos indica que multipliquemos los exponentes al elevar una potencia a otra potencia. Finalmente, tenga en cuenta que para evaluar ((3 ^ 2) ^ {- 1} ), primero cuadramos y luego invertimos el resultado. [ begin {align *} 3 ^ {- 2} & = (3 ^ 2) ^ {- 1} quad color {Red} text {Repita la base y multiplique exponentes.} \ & = 9 ^ { -1} quad color {Rojo} text {Simplificar:} 3 ^ 2 = 9 \ & = dfrac {1} {9} quad color {Rojo} text {Simplificar:} 9 ^ {- 1} = 1/9 end {align *} nonumber ]
  2.      
  3. Tenga en cuenta que (3 ^ {- 2} ) también es equivalente a ((3 ^ {- 1}) ^ 2 ). Son equivalentes porque la tercera ley de exponentes nos indica que multipliquemos los exponentes al elevar una potencia a otra potencia. Finalmente, tenga en cuenta que para evaluar ((3 ^ {- 1}) ^ 2 ), primero invertimos, luego cuadramos el resultado. [ begin {align *} 3 ^ {- 2} & = (3 ^ {- 1}) ^ 2 quad color {Red} text {Repita la base y multiplique los exponentes.} \ & = left ( dfrac {1} {3} right) ^ 2 quad color {Red} text {Simplify:} 3 ^ {- 1} = 1/3 \ & = dfrac {1} {9} quad color {Red} text {Simplify:} (1/3) ^ {2} = 1/9 end {align *} nonumber ]
  4.  
 

Utilizando cualquiera de las técnicas, (3 ^ {- 2} = 1/9 ). Puede invertir o cuadrar, o puede invertir y cuadrar. En cada caso, el (2 ) significa «cuadrado» y el signo menos significa «invertir», y este ejemplo muestra que no importa lo que haga primero.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

 
         
  1. (5 ^ {- 3} )
  2.      
  3. ((- 4) ^ {- 2} )
  4.      
  5. ( left ( dfrac {3} {5} right) ^ {- 2} )
  6.      
  7. ( left (- dfrac {2} {3} right) ^ {- 3} )
  8.  
 

Solución

 
         
  1. Cubicaremos y luego invertiremos. [ begin {align *} 5 ^ {- 3} & = (5 ^ 3) ^ {- 1} quad color {Red} text {Repite la base y multiplica los exponentes.} \ & = 125 ^ { -1} quad color {Rojo} text {Simplificar:} 5 ^ {3} = 125 \ & = dfrac {1} {125} quad color {Rojo} text {Invertir:} 125 ^ {-1} = 1/125 end {align *} nonumber ] Tenga en cuenta que los tres significa «cubo» y el signo menos significa «invertir», por lo que es posible hacer todo este trabajo mentalmente: cubo ( 5 ) para obtener (125 ), luego invierta para obtener (1/125 ).
  2.      
  3. Luego invertiremos al cuadrado. [ begin {align *} (-4) ^ {- 2} & = ((-4) ^ 2) ^ {- 1} quad color {Red} text {Repita la base y multiplique exponentes.} & = 16 ^ {- 1} quad color {Red} text {Simplify:} (-4) ^ {2} = 16 \ & = dfrac {1} {16} quad color {Red { } text {Invertir:} 16 ^ {- 1} = 1/16 end {align *} nonumber ] Tenga en cuenta que los dos significan «cuadrado» y el signo menos significa «invertir», por lo que es posible hacer todo esto funciona mentalmente: cuadrado (- 4 ) para obtener (16 ), luego invierte para obtener (1/16 ).
  4.      
  5. Nuevamente, invertiremos al cuadrado. [ Begin {align *} left ( dfrac {3} {5} right) ^ {- 2} & = left ( left ( dfrac { 3} {5} right) ^ {2} right) ^ {- 1} quad color {Red} text {Repetir base y multiplicar exponentes.} \ & = left ( dfrac {9} { 25} right) ^ {- 1} quad color {Red} text {Simplify:} (3/5) ^ {2} = 9/25 \ & = dfrac {25} {9} quad color {Rojo} text {Invertir:} (9/25) ^ {- 1} = 25/9 end {align *} nonumber ] Tenga en cuenta que los dos significan «cuadrado» y el signo menos significa «invertir , «Por lo que es posible hacer todo este trabajo mentalmente: cuadrado (3/5 ) para obtener (9/25 ), luego invertir para obtener (25/9 ).
  6.      
  7. Esta vez cubicaremos y luego invertiremos. [ Begin {align *} left (- dfrac {2} {3} right) ^ {- 3} & = left ( left (- dfrac {2} {3} right) ^ {3} right) ^ {- 1} quad color {Red} text {Repetir base y multiplicar exponentes.} \ & = left (- dfrac { 8} {27} right) ^ {- 1} quad color {Red} text {Simplify:} (-2/3) ^ {2} = – 8/27 \ & = – dfrac {27 } {8} quad color {Red} text {Invertir:} (-8/27) ^ {- 1} = – 27/8 end {align *} nonumber ] Tenga en cuenta que los tres significan «cubo «Y el signo menos significa» invertir «, por lo que es posible hacer todo este trabajo mentalmente: cubo (- 2/3 ) para obtener (- 8/27 ), luego invertir para obtener (- 27 / 8 ).
  8.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Simplifique: ( left ( dfrac {5} {4} right) ^ {- 3} )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {64} {125} )

     
 
 
 

Aplicación de las leyes de los exponentes

 

En esta sección simplificaremos algunas expresiones más complicadas usando las leyes de los exponentes.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Simplifique: ((2x ^ {- 2} y ^ 3) (- 3x ^ 5y ^ {- 6}) )

 

Solución

 

Todos los operadores involucrados son multiplicación, por lo que las propiedades conmutativas y asociativas de la multiplicación nos permiten cambiar el orden y la agrupación. Mostraremos esta reagrupación aquí, pero este paso puede hacerse mentalmente. [(2x − 2y ^ 3) (- 3x ^ 5y ^ {- 6}) = [(2) (- 3)] (x ^ { −2} x ^ 5) (y ^ 3y ^ {- 6}) nonumber ] Al multiplicar, repetimos la base y sumamos los exponentes. [ Begin {align *} & = -6x ^ {- 2+ 5} y ^ {3 + (- 6)} \ & = -6x ^ 3y ^ {- 3} end {align *} nonumber ] En la solución anterior, probablemente hemos mostrado demasiado trabajo. Es mucho más fácil realizar todos estos pasos mentalmente, multiplicando (2 ) y (- 3 ), luego repitiendo bases y agregando exponentes, como en: [(2x ^ {- 2} y ^ 3) (−3x ^ 5y ^ {- 6}) = – 6x ^ 3y ^ {- 3} nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Simplifique: ((- 5x ^ 8y ^ {- 2}) (- 2x ^ {- 6} y ^ {- 1}) )

 
     
Respuesta
     
     

(10x ^ 2y ^ {- 3} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Simplifique: ( dfrac {6x ^ {- 2} y ^ 5} {9x ^ 3y ^ {- 2}} )

 

Solución

 

El enfoque más simple es escribir primero la expresión como un producto.

 

[ dfrac {6x ^ {- 2} y ^ 5} {9x ^ 3y ^ {- 2}} = dfrac {6} {9} cdot dfrac {x ^ {- 2}} { x ^ 3} cdot dfrac {y ^ 5} {y ^ {- 2}} nonumber ]

 

Reduzca (6/9 ) a los términos más bajos. Debido a que estamos dividiendo como bases, repetimos la base y restamos los exponentes.

 

[ begin {align *} & = dfrac {2} {3} x ^ {- 2-3} y ^ {5 – (- 2)} \ & = dfrac {2} {3 } x ^ {- 2 + (- 3)} y ^ {5 + 2} \ & = dfrac {2} {3} x ^ {- 5} y ^ {7} end {align *} nonumber ] En la solución anterior, probablemente hemos demostrado demasiado trabajo. Es mucho más fácil imaginarse escribiendo la expresión como un producto, reduciendo 6/9, luego repitiendo bases y restando exponentes, como en:

 

[ dfrac {6x ^ {- 2} y ^ 5} {9x ^ 3y ^ {- 2}} = dfrac {2} {3} x ^ {- 5} y ^ {7} nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Simplifique: ( dfrac {10x ^ {3} y ^ {- 1}} {4x ^ {- 2} y ^ {5}} )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {5} {2} x ^ {5} y ^ {- 6} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Simplificar: ((2x ^ {- 2} y ^ 4) ^ {- 3} )

 

Solución

 

La cuarta ley de exponentes ( ((ab) ^ n = a ^ nb ^ n )) dice que cuando eleva un producto a una potencia, debe elevar cada factor a esa potencia. Entonces comenzamos elevando cada factor a la potencia menos tres.

 

[(2x ^ {- 2} y ^ 3) ^ {- 3} = 2 ^ {- 3} (x ^ {- 2}) ^ {- 3} (y ^ 4) ^ {- 3 } nonumber ]

 

Para elevar dos a menos tres, debemos poner el cubo dos e invertir: (2 ^ {- 3} = 1/8 ). En segundo lugar, elevar una potencia a una potencia requiere que repitamos la base y multipliquemos exponentes.

 

[ begin {align *} & = dfrac {1} {8} x ^ {(- 2) (- 3)} y ^ {(4) (- 3)} \ & = dfrac {1} {8} x ^ {6} y ^ {- 12} end {align *} nonumber ]

 

En la solución anterior, probablemente hayamos mostrado demasiado trabajo. Es mucho más fácil aumentar cada factor a los menos tres mentalmente: (2 ^ {- 3} = 1/8 ), luego multiplique cada exponente en los factores restantes por (- 3 ), como en

 

[(2x ^ {- 2} y ^ 4) ^ {- 3} = dfrac {1} {8} x ^ {6} y ^ {- 12} nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Simplificar: ((3x ^ 4y ^ {- 3}) ^ {- 2} )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {1} {9} x ^ {- 8} y ^ {6} )

     
 
 
 

Eliminación de exponentes negativos

 

A menudo, se nos pide que proporcionemos una respuesta final que esté libre de exponentes negativos. Es común escuchar la instrucción «no hay exponentes negativos en la respuesta final». Exploremos un par de técnicas que nos permiten aclarar nuestra respuesta de exponentes negativos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Considere la expresión: [ dfrac {x ^ 2} {y ^ {- 3}} nonumber ]

 

Simplifique para que la expresión equivalente resultante no contenga exponentes negativos.

 

Solución

 

Elevar y a (- 3 ) significa que tenemos que hacer cubos e invertir, entonces (y ^ {- 3} = 1 / y ^ 3 ).

 

[ dfrac {x ^ 2} {y ^ {- 3}} = dfrac {x ^ 2} { tfrac {1} {y ^ 3}} nonumber ]

 

Para dividir (x ^ 2 ) por (1 / y ^ 3 ), invertimos y multiplicamos.

 

[ begin {align *} & = x ^ 2 div dfrac {1} {y ^ {3}} \ & = dfrac {x ^ 2} {1} cdot dfrac {y ^ {3}} {1} \ & = x ^ 2y ^ 3 end {align *} nonumber ]

 

Enfoque alternativo: Un enfoque alternativo aprovecha las leyes de los exponentes. Comenzamos multiplicando el numerador y el denominador por (y ^ 3 ).

 

[ begin {align *} dfrac {x ^ 2} {y ^ {- 3}} & = dfrac {x ^ 2} {y ^ {- 3}} cdot dfrac {y ^ 3} {y ^ {3}} \ & = dfrac {x ^ 2y ^ 3} {y ^ 0} \ & = x ^ 2y ^ 3 end {align *} nonumber ]

 

En el último paso, observe cómo usamos el hecho de que (y ^ 0 = 1 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Simplifique la expresión [ dfrac {y ^ 5} {x ^ {- 2}} nonumber ] para que la expresión equivalente resultante no contenga exponentes negativos.

 
     
Respuesta
     
     

(y ^ 5x ^ 2 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Considere la expresión: [ dfrac {2x ^ 2y ^ {- 2}} {z ^ {3}} nonumber ] Simplifique para que la expresión equivalente resultante no contenga exponentes negativos.

 

Solución

 

Nuevamente, podemos eliminar todos los exponentes negativos tomando recíprocos. En este caso (y ^ {- 2} = 1 / y ^ 2 ) (cuadrado e invertido).

 

[ begin {align *} dfrac {2x ^ 2y ^ {- 2}} {z ^ {3}} & = dfrac {2x ^ 2 cdot tfrac {1} {y ^ 2} } {z ^ {3}} \ & = dfrac { tfrac {2x ^ 2} {y ^ 2}} {z ^ 3} end {align *} nonumber ]

 

Para dividir (2x ^ 2 / y ^ 2 ) por (z ^ 3 ), invertimos y multiplicamos.

 

[ begin {align *} & = dfrac {2x ^ 2} {y ^ 2} div {z ^ {3}} \ & = dfrac {2x ^ 2} {y ^ 2} cdot dfrac {1} {z ^ 3} \ & = dfrac {2x ^ 2} {y ^ 2z ^ 3} end {align *} nonumber ]

 

Enfoque alternativo: Un enfoque alternativo nuevamente aprovecha las leyes de los exponentes. Comenzamos multiplicando numerador y denominador por (y ^ 2 ).

 

[ begin {align *} dfrac {2x ^ 2y ^ {- 2}} {z ^ {3}} & = dfrac {2x ^ 2y ^ {- 2}} {z ^ 3} cdot dfrac {y ^ 2} {y ^ 2} \ & = dfrac {2x ^ 2y ^ 0} {y ^ 2z ^ 3} \ & = dfrac {2x ^ 2} {y ^ 2z ^ 3 } end {align *} nonumber ]

 

En el último paso, observe cómo usamos el hecho de que (y ^ 0 = 1 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Simplifique la expresión [ dfrac {x ^ {- 3} y ^ 2} {3z ^ {- 4}} nonumber ] para que la expresión equivalente resultante no contenga exponentes negativos.

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {y ^ 2z ^ 4} {3x ^ 3} )

     
 
 
 
                                  
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