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las matematicas

7.1: Introducción de funciones racionales

                 

En el capítulo anterior, estudiamos polinomios, funciones que tienen forma de ecuación

 

[p (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + cdots + a_ {n} x ^ {n} ]

 

Aunque este polinomio se presenta en poderes ascendentes de (x ), el término principal del polinomio sigue siendo (a_ {n} x ^ {n} ), el término con el poder más alto de ( X). El grado del polinomio es la potencia más alta de (x ) presente, por lo que en este caso, el grado del polinomio es (n ).

 

En esta sección, nuestro estudio nos llevará a las funciones racionales. Tenga en cuenta la palabra raíz “ratio” en el término “racional”. ¿Te recuerda la palabra “fracción”? Debería, ya que las funciones racionales son funciones en una forma fraccionaria muy específica.

 
 

Definición: Funciones racionales

 

Una función racional es una función que se puede escribir como un cociente de dos funciones polinómicas. En símbolos, la función

 

[f (x) = frac {a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + cdots + a_ {n} x ^ {n}} {b_ { 0} + b_ {1} x + b_ {2} x ^ {2} + cdots + b_ {m} x ^ {m}} ]

 

se llama una función racional.

 
 

Por ejemplo,

 

[f (x) = frac {1 + x} {x + 2}, quad g (x) = frac {x ^ {2} -2 x-3} {x + 4}, quad text {y} quad h (x) = frac {3-2 xx ^ {2}} {x ^ {3} +2 x ^ {2} -3 x-5} label {4} ]

 

son ​​funciones racionales, mientras que

 

[f (x) = frac {1+ sqrt {x}} {x ^ {2} +1}, quad g (x) = frac {x ^ {2} +2 x- 3} {1 + x ^ {1/2} -3 x ^ {2}}, quad text {y} quad h (x) = sqrt { frac {x ^ {2} -2 x- 3} {x ^ {2} +4 x-12}} label {5} ]

 

son ​​ no funciones racionales.

 

Cada una de las funciones en la ecuación ref {4} son funciones racionales, porque en cada caso, el numerador y el denominador de la expresión dada es un polinomio válido.

 

Sin embargo, en la ecuación ref {5}, el numerador de (f (x) ) no es un polinomio (los polinomios no permiten la raíz cuadrada de la variable independiente). Por lo tanto, (f ) no es una función racional. Del mismo modo, el denominador de (g (x) ) en la ecuación ref {5} no es un polinomio. Las fracciones no están permitidas como exponentes en polinomios. Por lo tanto, (g ) no es una función racional. Finalmente, en el caso de la función (h ) en la ecuación ref {5}, aunque el radicando (la expresión dentro del radical) es una función racional, la raíz cuadrada evita que h sea una función racional.

 

Una habilidad importante para desarrollar es la capacidad de dibujar la gráfica de una función racional. Comencemos dibujando el gráfico de una de las funciones racionales más simples (pero más fundamentales).

 

La gráfica de y = 1 / x

 

En todas las situaciones nuevas, cuando se nos presenta una ecuación cuyo gráfico no hemos considerado o no reconocemos, comenzamos el proceso de dibujar el gráfico creando una tabla de puntos que satisfaga la ecuación. Es importante recordar que la gráfica de una ecuación es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la ecuación. Notamos que cero no está en el dominio de (y = 1 / x ) (la división por cero no tiene sentido y no está definido), y creamos una tabla de puntos que satisface la ecuación que se muestra en la Figura ( PageIndex {1 } ).

 
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Figura ( PageIndex {1} ): A la derecha hay una tabla de puntos que satisface la ecuación (y = 1 / x ). Estos puntos se trazan como puntos sólidos en el gráfico de la izquierda.
 

En este punto (Figura ( PageIndex {1} )), está bastante claro lo que está haciendo el gráfico entre (x = −3 ) y (x = −1 ). Del mismo modo, está claro lo que está sucediendo entre x = 1 yx = 3. Sin embargo, hay algunas áreas abiertas de preocupación.

 
         
  1. ¿Qué le sucede al gráfico cuando x aumenta sin límite? Es decir, ¿qué le sucede al gráfico cuando x se mueve hacia ( infty )?
  2.      
  3. ¿Qué le sucede al gráfico cuando x disminuye sin límite? Es decir, ¿qué le sucede al gráfico cuando x se mueve hacia (- infty )?
  4.      
  5. ¿Qué le sucede al gráfico cuando x se acerca a cero desde la derecha?
  6.      
  7. ¿Qué le sucede al gráfico cuando x se acerca a cero desde la izquierda?
  8.  
 

Respondamos cada una de estas preguntas a la vez. Comenzaremos discutiendo el “comportamiento final” de la función racional definida por y = 1 / x. Primero, el final correcto. ¿Qué sucede cuando x aumenta sin límite? Es decir, ¿qué sucede cuando x aumenta hacia ∞? En la Tabla ( PageIndex {1a} ), calculamos y = 1 / x para x que equivale a 100, 1000 y 10000. Observe cómo los valores de y en la Tabla ( PageIndex {1a} ) son todos positivos y enfoque cero

 

Los estudiantes de cálculo usan la siguiente notación para esta idea.

 

[ lim _ {x rightarrow infty} y = lim _ {x rightarrow infty} frac {1} {x} = 0 ]

 

Dicen que “el límite de y cuando x se aproxima al infinito es cero”. Es decir, cuando x se acerca al infinito, y se acerca a cero.

                                                                                                                                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {1a} ): Examinando el comportamiento final de y = 1 / x.
x y = 1 / x
100 0,01
1000 0,001
10000 0,0001
 

Un evento completamente similar sucede en el extremo izquierdo. A medida que x disminuye sin límite, es decir, a medida que x disminuye hacia (- infty ), tenga en cuenta que los valores de y en la Tabla ( PageIndex {1} ) (b) son todos negativos y se aproximan a cero. Los estudiantes de cálculo tienen una notación similar para esta idea.

 

[ lim _ {x rightarrow- infty} y = lim _ {x rightarrow- infty} frac {1} {x} = 0 ]

 

Dicen que “el límite de y cuando x se acerca al infinito negativo es cero”. Es decir, cuando x se acerca al infinito negativo, y se acerca a cero.

                                                                                                                                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {1b} ): Examinando el comportamiento final de y = 1 / x.
x y = 1 / x
-100 -0,01
-1000 -0,001
-10000 -0,0001
 

Estos números en las Tablas ( PageIndex {1a} ) y ( PageIndex {1b} ), y las ideas descritas anteriormente, predicen el comportamiento final correcto de la gráfica de (y = 1 / x ). En cada extremo del eje x, los valores y deben acercarse a cero. Esto significa que la gráfica de (y = 1 / x ) debe acercarse al eje x para los valores de x en los extremos derecho e izquierdo del gráfico. En este caso, decimos que el eje x actúa como una asíntota horizontal para la gráfica de (y = 1 / x ). Cuando (x ) se acerca al infinito positivo o negativo, la gráfica de (y = 1 / x ) se acerca al eje x. Este comportamiento se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).

 
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Figura ( PageIndex {2} ): La gráfica de (1 / x ) se acerca al eje x a medida que x aumenta o disminuye sin límite.
 

Nuestra última investigación será sobre el intervalo de (x = −1 ) a (x = 1 ). Se recuerda nuevamente a los lectores que la función y = 1 / x no está definida en x = 0. Por consiguiente, dividiremos esta región por la mitad, primero investigando qué sucede en la región entre x = 0 yx = 1. Evaluamos y = 1 / x en x = 1/2, x = 1/4 yx = 1/8, como se muestra en la tabla de la Figura ( PageIndex {3} ), luego trace los puntos resultantes.

 
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Figura ( PageIndex {3} ): A la derecha hay una tabla de puntos que satisface la ecuación y = 1 / x. Estos puntos se trazan como puntos sólidos en el gráfico de la izquierda.
 

Tenga en cuenta que los valores de x en la tabla de la Figura ( PageIndex {3} ) se aproximan a cero desde la derecha, luego tenga en cuenta que los valores de y correspondientes son cada vez más grandes. Podríamos continuar en esta línea, sumando puntos. Por ejemplo, si (x = 1/16 ), entonces (y = 16 ). Si (x = 1/32 ), entonces (y = 32 ). Si (x = 1/64 ), entonces (y = 64 ). Cada vez que reducimos a la mitad nuestro valor de x, el valor resultante de x está más cerca de cero, y el valor y correspondiente se duplica en tamaño. Los estudiantes de cálculo describen este comportamiento con la notación

 

[ lim _ {x rightarrow 0 ^ {+}} y = lim _ {x rightarrow 0 ^ {+}} frac {1} {x} = infty ]

 

Es decir, cuando “x se aproxima a cero desde la derecha, el valor de y crece hasta el infinito”. Esto es evidente en el gráfico de la Figura ( PageIndex {3} ), donde vemos que los puntos trazados se acercan al eje vertical y al mismo tiempo se mueven hacia arriba sin límite. Algo similar sucede en el otro lado del eje vertical, como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).

 
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Figura ( PageIndex {4} ): A la derecha hay una tabla de puntos que satisface la ecuación y = 1 / x. Estos puntos se trazan como puntos sólidos en el gráfico de la izquierda.
 

Nuevamente, los estudiantes de cálculo escribirían [ lim _ {x rightarrow 0 ^ {-}} y = lim _ {x rightarrow 0 ^ {-}} frac {1} {x} = – infty ]

 

Es decir, “a medida que x se aproxima a cero desde la izquierda, los valores de y disminuyen al infinito negativo”. En la Figura ( PageIndex {4} ), está claro que a medida que los puntos se acercan al eje vertical (cuando x se acerca a cero) desde la izquierda, el gráfico disminuye sin límite. La evidencia reunida hasta este punto indica que th

 

La evidencia reunida hasta este punto indica que el eje vertical está actuando como una asíntota vertical. A medida que x se aproxima a cero desde cualquier lado, el gráfico se acerca al eje vertical, ya sea subiendo al infinito o cayendo al infinito negativo. El gráfico no puede cruzar el eje vertical porque la función no está definida allí. El gráfico completo se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ).

 
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Figura ( PageIndex {5} ): El gráfico completo de y = 1 / x. Observe cómo el eje x actúa como una asíntota horizontal, mientras que el eje y actúa como una asíntota vertical.
 

La gráfica completa de y = 1 / x en la Figura ( PageIndex {5} ) se denomina hipérbola y sirve como punto de partida fundamental para toda discusión posterior en esta sección.

 

Notamos anteriormente que el dominio de la función definida por la ecuación y = 1 / x es el conjunto (D = {x: x neq 0 } ). El cero está excluido del dominio porque la división por cero no está definida. No es casualidad que el gráfico tenga una asíntota vertical en x = 0. Veremos esta relación reforzada en más ejemplos.

 

Traducciones

 

En esta sección, traduciremos la gráfica de y = 1 / x en las direcciones horizontal y vertical.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Dibuja el gráfico de

 

[y = frac {1} {x + 3} -4 nonumber ]

 

Solución

 

Técnicamente, la función definida por y = 1 / (x + 3) – 4 no tiene la forma general (3) de una función racional. Sin embargo, en capítulos posteriores mostraremos cómo y = 1 / (x + 3) – 4 puede manipularse en la forma general de una función racional.

 

Sabemos cómo se ve la gráfica de y = 1 / x. Si reemplazamos x con x + 3, esto desplazará la gráfica de y = 1 / x tres unidades a la izquierda, como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) (a). Tenga en cuenta que la asíntota vertical también se ha desplazado 3 unidades a la izquierda de su posición original (el eje y) y ahora tiene la ecuación x = −3. Por tradición, dibujamos la asíntota vertical como una línea discontinua.

 

Si restamos 4 del resultado en la Figura ( PageIndex {6} ) (a), esto desplazará el gráfico en la Figura ( PageIndex {6} ) (a) cuatro unidades hacia abajo para producir el gráfico que se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) (b). Tenga en cuenta que la asíntota horizontal también se desplazó 4 unidades hacia abajo desde su posición original (el eje x) y ahora tiene la ecuación y = −4.

 
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Figura ( PageIndex {6} ): Desplazando la gráfica de y = 1 / x.
 

Si examina la ecuación (11), observa que no puede usar x = −3 ya que esto hará que el denominador de la ecuación (11) sea igual a cero. En la Figura ( PageIndex {6} ) (b), observe que hay una asíntota vertical en el gráfico de la ecuación (11) en x = −3. Este es un hecho común, que será un tema central de este capítulo.

 
 

Hagamos otra pregunta clave.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

¿Cuáles son el dominio y el rango de la función racional presentada en el Ejemplo ( PageIndex {1} )?

 

Solución

 

Puedes echar un vistazo a la ecuación

 

[y = frac {1} {x + 3} -4 nonumber ]

 

del Ejemplo ( PageIndex {1} ) y tenga en cuenta que x = −3 hace que el denominador sea cero y debe excluirse del dominio. Por lo tanto, el dominio de esta función es (D = {x: x neq-3 } ).

 

Sin embargo, también puede determinar el dominio examinando el gráfico de la función en la Figura ( PageIndex {6} ) (b). Tenga en cuenta que el gráfico se extiende indefinidamente a izquierda y derecha. Primero se podría adivinar que el dominio son todos números reales si no fuera por la asíntota vertical en x = −3 que interrumpe la continuidad del gráfico. Debido a que el gráfico de la función se acerca arbitrariamente a esta asíntota vertical (a cada lado) sin tocar realmente la asíntota, el gráfico no contiene un punto que tenga un valor de x igual a −3. Por lo tanto, el dominio es como el anterior, (D = {x: x neq-3 } ). Es reconfortante que el análisis gráfico concuerde con nuestra determinación analítica anterior del dominio.

 

El gráfico es especialmente útil para determinar el rango de la función. Tenga en cuenta que el gráfico sube al infinito positivo y cae al infinito negativo. Primero se podría adivinar que el rango es todos los números reales si no fuera por la asíntota horizontal en y = −4 que interrumpe la continuidad de la gráfica. Debido a que el gráfico se acerca arbitrariamente a la asíntota horizontal (a cada lado) sin tocar realmente la asíntota, el gráfico no contiene un punto que tenga un valor y igual a −4. Por lo tanto, −4 está excluido del rango. Es decir, (R = {y: y neq-4 } ).

 
 

Escalamiento y reflexión

 

En esta sección, escalaremos y reflejaremos la gráfica de y = 1 / x. Como medida adicional, también lanzamos traducciones en las direcciones horizontal y vertical.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Dibuje el gráfico de [y = – frac {2} {x-4} +3 nonumber ]

 

Solución

 

Primero, multiplicamos la ecuación y = 1 / x por −2 para obtener

 

[y = – frac {2} {x} nonumber ]

 

Multiplicar por 2 debería estirar el gráfico en las direcciones verticales (tanto positivas como negativas) por un factor de 2. Tenga en cuenta que los puntos que están muy cerca del eje x, cuando se duplican, no se alejarán demasiado del eje x, por lo que la asíntota horizontal seguirá siendo la misma. Finalmente, multiplicar por −2 no solo estirará el gráfico, sino que también reflejará el gráfico a través del eje x, como se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ) (b).

 
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Figura ( PageIndex {7} ): Escalando y reflejando la gráfica de y = 1 / x.
 

Reemplazar x con x – 4 desplazará el gráfico 4 unidades hacia la derecha, luego sumar 3 desplazará el gráfico 3 unidades hacia arriba, como se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ). Observe nuevamente que x = 4 hace que el denominador de y = −2 / (x – 4) + 3 sea igual a cero y que hay una asíntota vertical en x = 4. El dominio de esta función es (D = {x: x neq 4 } ).

 

A medida que x se acerca al infinito positivo o negativo, los puntos en la gráfica de y = −2 / (x − 4) + 3 se acercan arbitrariamente a la asíntota horizontal y = 3 pero nunca la tocan. Por lo tanto, no hay ningún punto en el gráfico que tenga un valor y de 3. Por lo tanto, el rango de la función es el conjunto (R = {y: y neq 3 } ).

 
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Figura ( PageIndex {8} ): La gráfica de y = −2 / (x – 4) + 3 se desplaza 4 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba.
 
 

Dificultades con la calculadora gráfica

 

La calculadora gráfica hace un muy buen trabajo dibujando los gráficos de “funciones continuas”.

 
 

Una función continua es aquella que se puede dibujar con un solo trazo continuo, sin levantar nunca la pluma o el lápiz del papel durante el dibujo.

 
 

Los polinomios, como el de la Figura ( PageIndex {9} ), son funciones continuas.

 
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Figura ( PageIndex {9} ): Un polinomio es una función continua.
 

Desafortunadamente, una función racional con asíntota vertical (s) no es una función continua. Primero, debe levantar el lápiz en los puntos donde el denominador es cero, porque la función no está definida en estos puntos. En segundo lugar, no es raro tener que saltar del infinito positivo al infinito negativo (o viceversa) al cruzar una asíntota vertical. Cuando esto sucede, tenemos que levantar nuestra pluma y cambiarla antes de continuar con nuestro dibujo.

 

Sin embargo, la calculadora gráfica no sabe cómo hacer este “levantamiento” de la pluma cerca de las asíntotas verticales. La calculadora gráfica solo conoce una técnica, trazar un punto, luego conectarlo con un segmento al último punto trazado, mover una distancia incremental y repetir. En consecuencia, cuando la calculadora gráfica cruza una asíntota vertical donde hay un cambio de un tipo de infinito a otro (por ejemplo, de positivo a negativo), la calculadora dibuja una “línea falsa” de conexión, una que no debe dibujar. Demostremos esta aberración con un ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Use una calculadora gráfica para dibujar la gráfica de la función racional en el Ejemplo ( PageIndex {3} ).

 

Solución

 

Cargue la ecuación en su calculadora, como se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ) (a). Configure la ventana como se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ) (b), luego presione el botón GRÁFICO para dibujar el gráfico que se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ) (c). Los resultados pueden diferir en algunas calculadoras, pero en nuestro caso, tenga en cuenta la “línea falsa” dibujada desde la parte superior de la pantalla hacia la parte inferior, intentando “conectar” las dos ramas de la hipérbola.

 

Algunos podrían alegrarse y decir: “Oye, mi calculadora gráfica dibuja asíntotas verticales”. Sin embargo, antes de entusiasmarse demasiado, tenga en cuenta que en la Figura ( PageIndex {8} ) la asíntota vertical debe aparecer exactamente en x = 4. Si observa con mucha atención la “línea vertical” en la Figura ( PageIndex { 10} ) (c), notará que simplemente pasa por alto la marca de verificación en x = 4. Esta “línea vertical” es una línea que la calculadora no debe dibujar. La calculadora está intentando dibujar una función continua donde no existe.

 
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Figura ( PageIndex {10} ). La calculadora intenta dibujar una función continua cuando no debería.
 

Una posible solución es presionar el botón MODE en su teclado, que abre el menú que se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ) (a). Use las teclas de flecha para resaltar DOT en lugar de CONECTADO y presione la tecla ENTER para hacer que la selección sea permanente. Presione el botón GRÁFICO para dibujar el gráfico en la Figura ( PageIndex {11} ) (b).

 
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Figura ( PageIndex {11} ). El mismo gráfico en “modo punto”.
 

Este “modo de puntos” en su calculadora calcula el siguiente punto en el gráfico y traza el punto, pero no lo conecta con un segmento de línea al punto previamente trazado. Este modo es útil para demostrar que la línea vertical en la Figura ( PageIndex {10} ) (c) no es realmente parte del gráfico, pero perdemos algunas partes del gráfico que realmente nos gustaría ver. El compromiso está en orden.

 

Este ejemplo muestra claramente que el uso inteligente de la calculadora es un componente obligatorio de este curso. La calculadora no es simplemente una “caja negra” que automáticamente hace lo que usted quiere que haga. En particular, cuando dibuja funciones racionales, es útil saber de antemano la ubicación de las asíntotas verticales. El conocimiento de las asíntotas, junto con lo que ve en la pantalla de su calculadora, debería permitirle dibujar un gráfico tan preciso como el que se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ).

 
 

Recordatorio suave. Querrá volver a configurar su calculadora en “modo conectado”. Para hacer esto, presione el botón MODE en su teclado para abrir el menú en la Figura ( PageIndex {10} ) (a) una vez más. Use las teclas de flecha para resaltar CONECTADO, luego presione la tecla ENTER para que la selección sea permanente.

   

Ejercicio

 

En Ejercicios 1 14 , realiza cada una de las siguientes tareas para la función racional dada.

 
         
  1.      

    Configure un sistema de coordenadas en una hoja de papel cuadriculado. Rotula y escala cada eje.

         
  2.      
  3.      

    Usa transformaciones geométricas como en los ejemplos 10, 12 y 13 para dibujar las gráficas de cada una de las siguientes funciones racionales. Dibuje las asíntotas verticales y horizontales como líneas discontinuas y etiquete cada una con su ecuación. Puede usar su calculadora para verificar su solución, pero debería poder dibujar la función racional sin el uso de una calculadora.

         
  4.      
  5.      

    Utilice la notación de generador de conjuntos para describir el dominio y el rango de la función racional dada.

         
  6.  
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {1} )

 

(f (x) = – frac {2} {x} )

 
     
Respuesta
     
     

D = {x: (x ne 0 )}, R = {y: (y ne 0 )}

     

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EJERCICIO ( PageIndex {2} )

 

(f (x) = frac {3} {x} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {3} )

 

(f (x) = frac {1} {x − 4} )

 
     
Respuesta
     
     

D = {x: (x ne 4 )}, R = {y: (y ne 0 )}

     

Screen Shot 2019-08-16 at 6.00.44 PM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {4} )

 

(f (x) = frac {1} {x + 3} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {5} )

 

(f (x) = frac {2} {x − 5} )

 
     
Respuesta
     
     

D = {x: (x ne 5 )}, R = {y: (y ne 0 )}

     

Screen Shot 2019-08-16 at 6.01.59 PM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {6} )

 

(f (x) = – frac {3} {x + 6} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {7} )

 

(f (x) = frac {1} {x} −2 )

 
     
Respuesta
     
     

D = {x: (x ne 0 )}, R = {y: (y ne −2 )}

     

Screen Shot 2019-08-16 at 6.03.06 PM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {8} )

 

(f (x) = – frac {1} {x} +4 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {9} )

 

(f (x) = – frac {2} {x} −5 )

 
     
Respuesta
     
     

D = {x: (x ne 0 )}, R = {y: (y ne −5 )}

     

Screen Shot 2019-08-16 at 6.04.05 PM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {10} )

 

(f (x) = frac {3} {x} −5 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {11} )

 

(f (x) = frac {1} {x − 2} −3 )

 
     
Respuesta
     
     

D = {x: (x ne 2 )}, R = {y: (y ne −3 )}

     

Screen Shot 2019-08-16 at 6.05.10 PM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {12} )

 

(f (x) = – frac {1} {x + 1} +5 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {13} )

 

(f (x) = – frac {2} {x − 3} −4 )

 
     
Respuesta
     
     

D = {x: (x ne 3 )}, R = {y: (y ne −4 )}

     

Screen Shot 2019-08-16 at 6.05.48 PM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {14} )

 

(f (x) = frac {3} {x + 5} −2 )

 
 

En Ejercicios 15 22 , encuentre todos verticales como ymptotes , si hay alguno , de la gráfica de la función dada.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {15} )

 

(f (x) = – frac {5} {x + 1} −3 )

 
     
Respuesta
     
     

Asíntota vertical: x = −1

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {16} )

 

(f (x) = frac {6} {x + 8} +2 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {17} )

 

(f (x) = – frac {9} {x + 2} −6 )

 
     
Respuesta
     
     

Asíntota vertical: x = −2

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {18} )

 

(f (x) = – frac {8} {x − 4} −5 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {19} )

 

(f (x) = frac {2} {x + 5} +1 )

 
     
Respuesta
     
     

Asíntota vertical: x = −5

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {20} )

 

(f (x) = – frac {3} {x + 9} +2 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {21} )

 

(f (x) = frac {7} {x + 8} −9 )

 
     
Respuesta
     
     

Asíntota vertical: x = −8

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {22} )

 

(f (x) = frac {6} {x − 5} −8 )

 
 

En Ejercicios 23 30 , encuentre todas las asíntotas horizontales, si las hay, de la gráfica de la función dada.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {23} )

 

(f (x) = frac {5} {x + 7} +9 )

 
     
Respuesta
     
     

Asíntota horizontal: y = 9

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {24} )

 

(f (x) = – frac {8} {x + 7} −4 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {25} )

 

(f (x) = frac {8} {x + 5} −1 )

 
     
Respuesta
     
Asíntota horizontal: y = −1
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {26} )

 

(f (x) = – frac {2} {x + 3} +8 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {27} )

 

(f (x) = frac {7} {x + 1} −9 )

 
     
Respuesta
     
     

Asíntota horizontal: y = −9

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {28} )

 

(f (x) = – frac {2} {x − 1} +5 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {29} )

 

(f (x) = frac {5} {x + 2} −4 )

 
     
Respuesta
     
     

Asíntota horizontal: y = −4

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {30} )

 

(f (x) = – frac {6} {x − 1} −2 )

 
 

En Ejercicios 31 38 , establece el dominio de la función racional dada usando la notación de generador de conjuntos.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {31} )

 

(f (x) = – frac {4} {x + 5} +5 )

 
     
Respuesta
     
     

Dominio = {x: (x ne −5 )}

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {32} )

 

(f (x) = – frac {7} {x − 6} +1 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {33} )

 

(f (x) = frac {6} {x − 5} +1 )

 
     
Respuesta
     
     

Dominio = {x: (x ne 5 )}

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {34} )

 

(f (x) = – frac {5} {x − 3} −9 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {35} )

 

(f (x) = frac {1} {x + 7} +2 )

 
     
Respuesta
     
     

Dominio = {x: (x ne −7 )}

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {36} )

 

(f (x) = – frac {2} {x − 5} +4 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {37} )

 

(f (x) = – frac {4} {x + 2} +2 )

 
     
Respuesta
     
     

Dominio = {x: (x ne −2 )}

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {38} )

 

(f (x) = frac {2} {x + 6} +9 )

 
 

En Ejercicios 39 46 , encuentre el rango de la función dada y exprese su respuesta en notación fija.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {39} )

 

(f (x) = frac {2} {x − 3} +8 )

 
     
Respuesta
     
     

Rango = {y: (y ne 8 )}

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {40} )

 

(f (x) = frac {4} {x − 3} +5 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {41} )

 

(f (x) = – frac {5} {x − 8} −5 )

 
     
Respuesta
     
     

Rango = {y: (y ne −5 )}

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {42} )

 

(f (x) = – frac {2} {x + 1} +6 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {43} )

 

(f (x) = frac {7} {x + 7} +5 )

 
     
Respuesta
     
     

Rango = {y: (y ne 5 )}

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {44} )

 

(f (x) = – frac {8} {x + 3} +9 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {45} )

 

(f (x) = frac {4} {x + 3} −2 )

 
     
Respuesta
     
     

Rango = {y: (y ne −2 )}

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {46} )

 

(f (x) = – frac {5} {x − 4} +9 )

 
     
                                  
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