las matematicas

7.1: Máximo factor común y factor por agrupación

7.1: Máximo factor común y factor por agrupación

Encuentra el máximo común divisor de dos o más expresiones

 

Anteriormente multiplicamos factores para obtener un producto. Ahora, vamos a revertir este proceso; comenzaremos con un producto y luego lo desglosaremos en sus factores. La división de un producto en factores se denomina factorización .

 

This figure has two factors being multiplied. They are 8 and 7. Beside this equation there are other factors multiplied. They are 2x and (x+3). The product is given as 2x^2 plus 6x. Above the figure is an arrow towards the right with multiply inside. Below the figure is an arrow to the left with factor inside.

 

Hemos aprendido cómo factorizar números para encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números. Ahora factorizaremos expresiones y encontraremos el máximo común divisor de dos o más expresiones. El método que usamos es similar al que usamos para encontrar el MCM.

 
 
 

MAYOR FACTOR COMÚN

 
 

El máximo común divisor (MCD) de dos o más expresiones es la expresión más grande que es un factor de todas las expresiones.

 
 
 

Primero encontraremos el MCD de dos números.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} ): CÓMO ENCONTRAR EL FACTOR COMÚN MÁS GRANDE DE DOS O MÁS EXPRESIONES

 

Encuentra el MCD de 54 y 36.

 
     
Respuesta
     
     

This table has three columns. In the first column are the steps for factoring. The first row has the first step, factor each coefficient into primes and write all variables with exponents in expanded form. The second column in the first row has “factor 54 and 36”. The third column in the first row has 54 and 36 factored with factor trees. The prime factors of 54 are circled and are 3, 3, 2, and3. The prime factors of 36 are circled and are 2,3,2,3. The second row has the second step of “in each column, circle the common factors. The second column in the second row has the statement “circle the 2, 3 and 3 that are shared by both numbers”. The third column in the second row has the prime factors of 36 and 54 in rows above each other. The common factors of 2, 3, and 3 are circled. The third row has the step “bring down the common factors that all expressions share”. The second column in the third row has “bring down the 2,3, and 3 then multiply”. The third column in the third row has “GCF = 2 times 3 times 3”. The fourth row has the fourth step “multiply the factors”. The second column in the fourth row is blank. The third column in the fourth row has “GCF = 18” and “the GCF of 54 and 36 is 18”.

     

Observe que, debido a que el MCD es un factor de ambos números, 54 y 36 se pueden escribir como múltiplos de 18.

     

[ begin {array} {l} {54 = 18 cdot 3} \ {36 = 18 cdot 2} end {array} ]

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Encuentra el MCD de 48 y 80.

 
     
Respuesta
     
     

16

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Encuentra el MCD de 18 y 40.

 
     
Respuesta
     
     

2

     
 
 
 
 
 

A continuación resumimos los pasos que usamos para encontrar el MCD.

 
 
 

CÓMO

 

Encuentra el máximo común divisor (MCD) de dos expresiones.

 
         
  1. Paso 1. Factoriza cada coeficiente en primos. Escribe todas las variables con exponentes en forma expandida.
    2.      
  2. Paso 2. Enumere todos los factores: factores comunes coincidentes en una columna. En cada columna, encierra en un círculo los factores comunes.
    3.      
  3. Paso 3. Reduzca los factores comunes que comparten todas las expresiones.
    4.      
  4. Paso 4. Multiplica los factores.
    5.  
 
 
 

En el primer ejemplo, el MCD era una constante. En los siguientes dos ejemplos, obtendremos variables en el máximo factor común.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Encuentra el máximo factor común de (27x ^ 3 ) y (18x ^ 4 ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Factoriza cada coeficiente en números primos y escribe las variables con exponentes en forma expandida. Encierra en un círculo los factores comunes en cada columna. .
Derriba los factores comunes. .
Multiplica los factores. .
El MCD de 27 (x ^ {3} ) y
18 (x ^ {4} ) es 9 (x ^ {3} ).
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Encuentre el MCD: (12 x ^ {2}, 18 x ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
     

(6x ^ 2 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Encuentre el MCD: (16 y ^ {2}, 24 y ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
     

(8 años ^ 2 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Encuentre el MCD de (4 x ^ {2} y, 6 x y ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Factoriza cada coeficiente en números primos y escribe las variables con exponentes en forma expandida. Encierra en un círculo los factores comunes en cada columna. .
Derriba los factores comunes. .
Multiplica los factores. .
El MCD de 4 (x ^ {2} y ) y
6 (x y ^ {3} ) es 2 (x y. )
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Encuentre el MCD: (6 a b ^ {4}, 8 a ^ {2} b )

 
     
Respuesta
     
     

(2ab )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Encuentre el MCD: (9 m ^ {5} n ^ {2}, 12 m ^ {3} n )

 
     
Respuesta
     
     

(3 m ^ 3 n )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Encuentre el MCD de: (21 x ^ {3}, 9 x ^ {2}, 15 x )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Factoriza cada coeficiente en números primos y escribe las variables con exponentes en forma expandida. Encierra en un círculo los factores comunes en cada columna. .
Derriba los factores comunes. .
Multiplica los factores. .
El MCD de (21 x ^ {3}, 9 x ^ {2} )
y 15 (x ) es 3 (x )
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Encuentra el máximo factor común: (25 m ^ {4}, 35 m ^ {3}, 20 m ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

(5 m ^ 2 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Encuentra el máximo común divisor: (14 x ^ {3}, 70 x ^ {2}, 105 x )

 
     
Respuesta
     
     

(7x )

     
 
 
 

Factoriza el mayor factor común de un polinomio

 

Al igual que en aritmética, donde a veces es útil representar un número en forma factorizada (por ejemplo, 12 como 2 · 6o3 · 4), 2 · 6o3 · 4), en álgebra, puede ser útil representar un número polinomio en forma factorizada. Una forma de hacerlo es encontrar el MCD de todos los términos. Recuerde, multiplicamos un polinomio por un monomio de la siguiente manera:

 

[ begin {array} {cc} {2 (x + 7)} & { text {factor}} \ {2 cdot x + 2 cdot 7} & {} \ {2 x +14} y { text {producto}} end {array} ]

 

Ahora comenzaremos con un producto, como (2 x + 14 ), y terminaremos con sus factores, 2 ((x + 7) ). Para hacer esto, aplicamos la Propiedad Distributiva “a la inversa”.

 

Enunciamos la propiedad distributiva aquí tal como la viste en capítulos anteriores y “al revés”.

 
 
 

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

 
 

Si (a, b, c ) son números reales, entonces

 
 
 

[a (b + c) = a b + a c quad text {y} quad a b + a c = a (b + c) ]

 

El formulario de la izquierda se usa para multiplicar. La forma de la derecha se usa para factorizar.

 
 
 
 
 

Entonces, ¿cómo se usa la propiedad distributiva para factorizar un polinomio? ¡Simplemente encuentra el MCD de todos los términos y escribe el polinomio como producto!

 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} ): CÓMO FACTORAR EL MAYOR FACTOR COMÚN DE UN POLINOMIO

 

Factor: (4 x + 12 )

 
     
Respuesta
     
     

This table has three columns. In the first column are the steps for factoring. The first row has the first step, “Find the G C F of all the terms of the polynomial”. The second column in the first row has “find the G C F of 4 x and 12”. The third column in the first row has 4 x factored as 2 times 2 times x and below it 18 factored as 2 times 2 times 3. Then, below the factors are the statements, “G C F = 2 times 2” and “G C F = 4”. The second row has the second step “rewrite each term as a product using the G C F”. The second column in the second row has the statement “Rewrite 4 x and 12 as products of their G C F, 4” Then the two equations 4 x = 4 times x and 12 = 4 times 3. The third column in the second row has the expressions 4x + 12 and below this 4 times x + 4 times 3. The third row has the step “Use the reverse distributive property to factor the expression”. The second column in the third row is blank. The third column in the third row has “4(x + 3)”. The fourth row has the fourth step “check by multiplying the factors”. The second column in the fourth row is blank. The third column in the fourth row has three expressions. The first is 4(x + 3), the second is 4 times x + 4 times 3. The third is 4 x + 12.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Factor: (6 a + 24 )

 
     
Respuesta
     
     

(6 (a + 4) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Factor: (2 b + 14 )

 
     
Respuesta
     
     

(2 (b + 7) )

     
 
 
 
 
 

CÓMO

 

Factoriza el máximo factor común de un polinomio.

 

Paso 1. Encuentra el MCD de todos los términos del polinomio.

 

Paso 2. Reescribe cada término como un producto usando el GCF.

 

Paso 3. Usa la propiedad distributiva “inversa” para factorizar la expresión.

 

Paso 4. Verifica multiplicando los factores.

 
 
 

FACTOR COMO NOMBRE Y VERBO

 
 

Usamos “factor” como sustantivo y verbo.

 
 
This figure has two statements. The first statement has “noun”. Beside it the statement “7 is a factor of 14” labeling the word factor as the noun. The second statement has “verb”. Beside this statement is “factor 3 from 3a + 3 labeling factor as the verb.
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Factor: (5 a + 5 )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
Encuentre el MCD de 5 a y 5 .
.
Reescribe cada término como un producto usando el GCF. .
Use la propiedad distributiva “a la inversa” para factorizar el MCD. .
Comprueba multiplicando los factores para obtener el polinomio original.
5 ((a + 1) )
(5 cdot a + 5 cdot 1 )
(5 a + 5 marca de verificación )
     
 
 
 
     
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Factor: (14 x + 14 )

 
     
Respuesta
     
     

(14 (x + 1) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Factor: (12 p + 12 )

 
     
Respuesta
     
     

(12 (p + 1) )

     
 
 
 

Las expresiones en el siguiente ejemplo tienen varios factores en común. Recuerde escribir el MCD como producto de todos los factores comunes.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Factor: (12 x-60 )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
Encuentre el MCD de 12 x y 60. .
.
Reescribe cada término como un producto usando el GCF. .
Factorizar el MCD. .
Comprueba multiplicando los factores.
12 (x − 5)
(12 cdot x-12 cdot 5 )
(12 x-60 marca de verificación )
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Factor: (18 u-36 )

 
     
Respuesta
     
     

(8 (u-2) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Factor: (30 y-60 )

 
     
Respuesta
     
     

(30 (y-2) )

     
 
 
 

Ahora factorizaremos el mayor factor común de un trinomio. Comenzamos por encontrar el MCD de los tres términos.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Factor: (4 y ^ {2} +24 y + 28 )

 
     
Respuesta
     
     

Comenzamos por encontrar el MCD de los tres términos.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
Encuentre el MCD de (4 y ^ {2}, 24 y ) y 28 .
.
Reescribe cada término como un producto usando el GCF. .
Factorizar el MCD. .
Verificar multiplicando.
4 ( left (y ^ {2} +6 y + 7 right) )
(4 cdot y ^ {2} +4 cdot 6 y + 4 cdot 7 )
(4 y ^ {2} +24 y + 28 marca de verificación )
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Factor: (5 x ^ {2} -25 x + 15 )

 
     
Respuesta
     
     

(5 izquierda (x ^ {2} -5 x + 3 derecha) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Factor: (3 y ^ {2} -12 y + 27 )

 
     
Respuesta
     
     

(3 izquierda (y ^ {2} -4 y + 9 derecha) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Factor: (5 x ^ {3} -25 x ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
Encuentre el MCD de 5 (x ^ {3} ) y 25 (x ^ {2} ) .
.
Reescribe cada término. .
Factorizar el MCD. .
Verificación.
5 (x ^ {2} (x-5) )
(5 x ^ {2} cdot x-5 x ^ {2} cdot 5 )
(5 x ^ {3} -25 x ^ {2} marca de verificación )
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Factor: (2 x ^ {3} +12 x ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

(2x ^ 2 (x + 6) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Factor: (6 y ^ {3} -15 y ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

(3y ^ 2 (2y-5) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} )

 

Factor: (21 x ^ {3} -9 x ^ {2} +15 x )

 
     
Respuesta
     
     

En un ejemplo anterior encontramos que el MCD de (21 x ^ {3}, 9 x ^ {2}, 15 x ) es 3 (x ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
.
Reescribe cada término usando el MCD, 3 x . .
Factoriza el MCD. .
Verificación.
3 (x izquierda (7 x ^ {2} -3 x + 5 derecha) )
(3 x cdot 7 x ^ {2} -3 x cdot 3 x + 3 x cdot 5 )
(21 x ^ {3} -9 x ^ {2} +15 x marca de verificación )
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} )

 

Factor: (20 x ^ {3} -10 x ^ {2} +14 x )

 
     
Respuesta
     
     

(2x (10x ^ 2-5x + 7) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} )

 

Factor: (24 y ^ {3} -12 y ^ {2} -20 y )

 
     
Respuesta
     
     

(4y (6y ^ 2-3y-5) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {31} )

 

Factor: (8 m ^ {3} -12 m ^ {2} n + 20 m n ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
Encuentre el MCD de (8 m ^ {3}, 12 m ^ {2} n, 20 m n ^ {2} ) .
.
Reescribe cada término. .
Factoriza el MCD. .
Verificación.
4 (m izquierda (2 m ^ {2} -3 m n + 5 n ^ {2} derecha) )
(4 m cdot 2 m ^ {2} -4 m cdot 3 m n + 4 m cdot 5 n ^ {2} )
(8 m ^ {3} -12 m ^ {2} n + 20 m n ^ {2} marca de verificación )
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {32} )

 

Factor: (9 x y ^ {2} +6 x ^ {2} y ^ {2} +21 y ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
     

(3y ^ 2 (3x + 2x ^ 2 + 7y) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {33} )

 

Factor: (3 p ^ {3} -6 p ^ {2} q + 9 p q ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
     

(3p (p ^ 2-2pq + 3q ^ 2 )

     
 
 
 

Cuando el coeficiente principal es negativo, factorizamos el negativo como parte del MCD.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {34} )

 

Factor: (- 8 y-24 )

 
     
Respuesta
     
     

Cuando el coeficiente principal es negativo, el MCD será negativo.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
Ignorando los signos de los términos, primero encontramos el MCD de 8 y y 24 es 8. Dado que la expresión −8 y – 24 tiene un coeficiente principal negativo, nosotros use −8 como el MCD. .
Reescribe cada término usando el MCD. .
.
Factoriza el MCD. .
Verificación.
(- 8 (y + 3) )
(- 8 cdot y + (- 8) cdot 3 )
(- 8 y-24 marca de verificación )
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {35} )

 

Factor: (- 16 z-64 )

 
     
Respuesta
     
     

(- 16 (z + 4) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {36} )

 

Factor: (- 9 y-27 )

 
     
Respuesta
     
     

(- 9 (y + 3) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {37} )

 

Factor: (- 6 a ^ {2} +36 a )

 
     
Respuesta
     
     

El coeficiente principal es negativo, por lo que el MCD será negativo.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
Dado que el coeficiente principal es negativo, el MCD es negativo, −6 a . .
.
Reescribe cada término usando el MCD. .
Factoriza el MCD. .
Verificación.
(- 6 a (a-6) )
(- 6 a cdot a + (- 6 a) (- 6) )
(- 6 a ^ {2} +36 a v )
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {38} )

 

Factor: (- 4 b ^ {2} +16 b )

 
     
Respuesta
     
     

(- 4b (b-4) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {39} )

 

Factor: (- 7 a ^ {2} +21 a )

 
     
Respuesta
     
     

(- 7a (a-3) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {40} )

 

Factor: (5 q (q + 7) -6 (q + 7) )

 
     
Respuesta
     
     

El MCD es el binomio q + 7.

                                                                                                                                                                                                            
.
Factorizar el MCD, ( q + 7). .
Comprueba por tu cuenta multiplicando.
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {41} )

 

Factor: (4 m (m + 3) -7 (m + 3) )

 
     
Respuesta
     
     

((m + 3) (4 m-7) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {42} )

 

Factor: (8 n (n-4) +5 (n-4) )

 
     
Respuesta
     
     

((n-4) (8n + 5) )

     
 
 
 

Factorizar por agrupamiento

 

Cuando no hay un factor común de todos los términos de un polinomio, busque un factor común en solo algunos de los términos. Cuando hay cuatro términos, una buena forma de comenzar es separando el polinomio en dos partes con dos términos en cada parte. Luego busque el MCD en cada parte. Si el polinomio puede factorizarse, encontrará un factor común que emerge de ambas partes.

 

(No todos los polinomios pueden factorizarse. Al igual que algunos números son primos, algunos polinomios son primos)

 
 

Ejercicio ( PageIndex {43} )

 

Factor: (x y + 3 y + 2 x + 6 )

 
     
Respuesta
     
     

This table gives the steps for factoring x y + 3 y + 2 x + 6. In the first row there is the statement, “group terms with common factors”. In the next column, there is the statement of no common factors of all 4 terms. The last column shows the first two terms grouped and the last two terms grouped. The second row has the statement, “factor out the common factor from each group”. The second column in the second row states to factor out the GCF from the two separate groups. The third column in the second row has the expression y(x + 3) + 2(x + 3). The third row has the statement, “factor the common factor from the expression”. The second column in this row points out there is a common factor of (x + 3). The third column in the third row shows the factor of (x + 3) factored from the two groups, (x + 3) times (y + 2). The last row has the statement, “check”. The second column in this row states to multiply (x + 3)(y + 2). The product is shown in the last column of the original polynomial x y + 3 y + 2 x + 6.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {44} )

 

Factor: (x y + 8 y + 3 x + 24 )

 
     
Respuesta
     
     

((x + 8) (y + 3) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {45} )

 

Factor: (a b + 7 b + 8 a + 56 )

 
     
Respuesta
     
     

((a + 7) (b + 8) )

     
 
 
 
 

CÓMO

 
 

Factorizar por agrupación.

 
 
 

Paso 1. Agrupar términos con factores comunes.

 

Paso 2. Factoriza el factor común en cada grupo.

 

Paso 3. Factoriza el factor común a partir de la expresión.

 

Paso 4. Verifica multiplicando los factores.

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {46} )

 

Factor: (x ^ {2} +3 x-2 x-6 )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} { text {No hay GCF en los cuatro términos.}} & X ^ {2} +3 x-2 x-6 \ { text {Separar en dos partes.}} & underbrace {x ^ {2} +3 x} underbrace {-2 x-6} \ \ { text {Factorice el MCD de ambas partes. Tenga cuidado}} \ { texto {con los signos al factorizar el MCD de}} & begin {array} {c} {x (x + 3) -2 (x + 3)} \ {(x + 3) (x-2)} end {array} \ { text {los dos últimos términos.}} \ \ text {Verifique por su cuenta mediante multinlying.} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {47} )

 

Factor: (x ^ {2} +2 x-5 x-10 )

 
     
Respuesta
     
     

((x-5) (x + 2) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {48} )

 

Factor: (y ^ {2} +4 y-7 y-28 )

 
     
Respuesta
     
     

((y + 4) (y-7) )

     
 
 
 
 

ACCESO A MEDIOS RECURSOS ADICIONALES EN LÍNEA

 
 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales con los principales factores comunes (GFC) y factorizar agrupando.

 
 
 

 

 
 
 

Glosario

 
     
factoring
     
Factoring es dividir un producto en factores; en otras palabras, es el proceso inverso de multiplicación.
 
 
     
máximo común divisor
     
El máximo común divisor es la mayor expresión que es un factor de dos o más expresiones es el máximo común divisor (MCD).
 
 
 
 
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antonio1095

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