7.1: Números racionales e irracionales

7.1: Números racionales e irracionales

¡Felicidades! ¡Has completado los primeros seis capítulos de este libro! Es hora de hacer un balance de lo que ha hecho hasta ahora en este curso y pensar en lo que le espera. Has aprendido a sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros, fracciones, enteros y decimales. Se ha familiarizado con el lenguaje y los símbolos del álgebra, y ha simplificado y evaluado las expresiones algebraicas. Has resuelto muchos tipos diferentes de aplicaciones. Usted ha establecido una buena base sólida que necesita para poder tener éxito en álgebra.

En este capítulo, nos aseguraremos de que sus habilidades estén firmemente establecidas. Echaremos otro vistazo a los tipos de números con los que hemos trabajado en todos los capítulos anteriores. Trabajaremos con propiedades de números que lo ayudarán a mejorar su sentido numérico. Y practicaremos su uso de maneras que usaremos cuando resolvamos ecuaciones y completemos otros procedimientos en álgebra.

Ya hemos descrito números como números de conteo, números enteros y enteros. ¿Recuerdas cuál es la diferencia entre estos tipos de números?

Números racionales

 

¿Qué tipo de números obtendrías si comenzaras con todos los enteros y luego incluyeras todas las fracciones? Los números que tendrías forman el conjunto de números racionales. Un número racional es un número que puede escribirse como una razón de dos enteros.

 
 

Definición: Números racionales

 

Un número racional es un número que se puede escribir en la forma ( dfrac {p} {q} ), donde p y q son enteros y q ≠ 0.

 
 

Todas las fracciones, tanto positivas como negativas, son números racionales. Algunos ejemplos son

 

$$ dfrac {4} {5}, – dfrac {7} {8}, dfrac {13} {4}, ; y; – dfrac {20} {3} $$

 

Cada numerador y cada denominador es un número entero.

 

Necesitamos observar todos los números que hemos usado hasta ahora y verificar que sean racionales. La definición de números racionales nos dice que todas las fracciones son racionales. Ahora veremos los números de conteo, números enteros, enteros y decimales para asegurarnos de que sean racionales.

 

¿Son los números enteros racionales? Para decidir si un entero es un número racional, tratamos de escribirlo como una razón de dos enteros. Una manera fácil de hacer esto es escribirlo como una fracción con el denominador uno.

 

$$ 3 = dfrac {3} {1} quad -8 = dfrac {-8} {1} quad 0 = dfrac {0} {1} $$

 

Dado que cualquier entero puede escribirse como la razón de dos enteros, todos los enteros son números racionales. Recuerde que todos los números de conteo y todos los números enteros también son enteros, por lo que también son racionales.

 

¿Qué pasa con los decimales? ¿Son racionales? Veamos algunos para ver si podemos escribir cada uno de ellos como la razón de dos enteros. Ya hemos visto que los enteros son números racionales. El entero −8 podría escribirse como el decimal −8.0. Entonces, claramente, algunos decimales son racionales.

 

Piensa en el decimal 7.3. ¿Podemos escribirlo como una razón de dos enteros? Debido a que 7.3 significa (7 dfrac {3} {10} ), podemos escribirlo como una fracción impropia, (7 dfrac {3} {10} ). Entonces 7.3 es la razón de los enteros 73 y 10. Es un número racional.

 

En general, cualquier decimal que termine después de varios dígitos (como 7.3 o −1.2684) es un número racional. Podemos usar el recíproco (o inverso multiplicativo) del valor posicional del último dígito como denominador al escribir el decimal como una fracción.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Escribe cada uno como la razón de dos enteros: (a) −15 (b) 6.81 (c) (- 3 dfrac {6} {7} ).

 

Solución

 

(a) −15

                                                              
Escribe el entero como una fracción con denominador 1. $$ dfrac {-15} {1} $$
 

(b) 6,81

                                                                                                              
Escribe el decimal como un número mixto. $$ 6 dfrac {81} {100} $$
Luego conviértalo a una fracción impropia. $$ dfrac {681} {100} $$
 

(c) (- 3 dfrac {6} {7} )

                                                              
Convierta el número mixto a una fracción impropia. $$ – dfrac {27} {7} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

 

Escribe cada uno como la razón de dos enteros: (a) −24 (b) 3.57.

 
     
Responda a
     
     

( frac {-24} {1} )

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

( frac {357} {100} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

 

Escribe cada uno como la razón de dos enteros: (a) −19 (b) 8.41.

 
     
Responda a
     
     

( frac {-19} {1} )

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

( frac {841} {100} )

     
 
 
 

Veamos la forma decimal de los números que sabemos que son racionales. Hemos visto que cada número entero es un número racional, ya que a = ( dfrac {a} {1} ) para cualquier número entero, a. También podemos cambiar cualquier número entero a un decimal agregando un punto decimal y un cero.

 

$$ begin {split} Entero qquad & -2, quad -1, quad 0, quad 1, ; ; 2, ; 3 \ Decimal qquad & -2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0 end {split} $$

 

Estos números decimales se detienen.

 

También hemos visto que cada fracción es un número racional. Mira la forma decimal de las fracciones que acabamos de considerar.

 

$$ begin {split} Ratio ; de; Enteros qquad dfrac {4} {5}, quad – dfrac {7} {8}, quad dfrac {13} {4}, ; & – dfrac {20} {3} \ Decimal ; formas qquad 0.8, -0.875, 3.25 y -6.666 ldots \ & -6. overline {66} end {split} $$

 

Estos decimales se detienen o se repiten.

 

¿Qué te dicen estos ejemplos? Cada número racional se puede escribir como una razón de enteros y como un decimal que se detiene o se repite. La siguiente tabla muestra los números que observamos expresados ​​como una razón de enteros y como un decimal.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
Números racionales
Fracciones Enteros
Número $$ dfrac {4} {5}, – dfrac {7} {8}, dfrac {13} {4}, dfrac {-20} {3} $$ $$ – 2, -1, 0, 1, 2, 3 $$
Relación de enteros $$ dfrac {4} {5}, dfrac {-7} {8}, dfrac {13} {4}, dfrac {-20} {3} $$ $$ dfrac {-2} {1}, dfrac {-1} {1}, dfrac {0} {1}, dfrac {1} {1}, dfrac {2} {1 }, dfrac {3} {1} $$
Número decimal $$ 0,8, -0,875, 3,25, -6. Overline {6} $$ $$ – 2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0 $$
 

Números irracionales

 

¿Hay decimales que no se detengan o no se repitan? Si. El número ( pi ) (la letra griega pi, pronunciada «pie»), que es muy importante para describir círculos, tiene una forma decimal que no se detiene ni se repite.

 

$$ pi = 3.141592654 ldots ldots $$

 

Del mismo modo, las representaciones decimales de raíces cuadradas de números enteros que no son cuadrados perfectos nunca se detienen y nunca se repiten. Por ejemplo,

 

$$ sqrt {5} = 2.236067978 ldots ldots $$

 

Un decimal que no se detiene y no se repite no puede escribirse como la razón de enteros. Llamamos a este tipo de número un número irracional .

 
 

Definición: Número irracional

 

Un número irracional es un número que no se puede escribir como la razón de dos enteros. Su forma decimal no se detiene y no se repite.

 
 
 

Resumamos un método que podemos usar para determinar si un número es racional o irracional.

 

Si la forma decimal de un número

 
         
  • se detiene o repite, el número es racional.
  •      
  • no se detiene y no se repite, el número es irracional.
  •  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Identifique cada uno de los siguientes como racional o irracional: (a) 0.58 ( overline {3} ) (b) 0.475 (c) 3.605551275…

 

Solución

 

(a) 0.58 ( overline {3} )

 

La barra sobre el 3 indica que se repite. Por lo tanto, 0.583 – es un decimal repetido, y por lo tanto es un número racional.

 

(b) 0,475

 

Este decimal se detiene después del 5, por lo que es un número racional.

 

(c) 3.605551275…

 

La elipsis (…) significa que este número no se detiene. No hay un patrón repetitivo de dígitos. Como el número no se detiene y no se repite, es irracional.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

 

Identifique cada uno de los siguientes como racional o irracional: (a) 0.29 (b) 0.81 ( overline {6} ) (c) 2.515115111…

 
     
Responda a
     
     

racional

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

racional

     
 
 
     
Respuesta c
     
     

irracional

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} ):

 

Identifique cada uno de los siguientes como racional o irracional: (a) 0.2 ( overline {3} ) (b) 0.125 (c) 0.418302…

 
     
Responda a
     
     

racional

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

racional

     
 
 
     
Respuesta c
     
     

irracional

     
 
 
 

Pensemos ahora en las raíces cuadradas. Las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos son siempre números enteros, por lo que son racionales. Pero las formas decimales de las raíces cuadradas de los números que no son cuadrados perfectos nunca se detienen y nunca se repiten, por lo que estas raíces cuadradas son irracionales.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Identifique cada uno de los siguientes como racional o irracional: (a) 36 (b) 44

 

Solución

 

(a) El número 36 es un cuadrado perfecto, ya que 6 2 = 36. Entonces ( sqrt {36} ) = 6. Por lo tanto ( sqrt {36} ) es racional.

 

(b) Recuerde que 6 2 = 36 y 7 2 = 49, entonces 44 no es un cuadrado perfecto. Esto significa que ( sqrt {44} ) es irracional.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

 

Identifique cada uno de los siguientes como racional o irracional: (a) ( sqrt {81} ) (b) ( sqrt {17} )

 
     
Responda a
     
     

racional

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

irracional

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

 

Identifique cada uno de los siguientes como racional o irracional: (a) ( sqrt {116} ) (b) ( sqrt {121} )

 
     
Responda a
     
     

irracional

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

racional

     
 
 
 

Clasificar números reales

 

Hemos visto que todos los números contables son números enteros, todos los números enteros son enteros y todos los enteros son números racionales. Los números irracionales son una categoría separada propia. Cuando juntamos los números racionales y los números irracionales, obtenemos el conjunto de números reales . La Figura ( PageIndex {1} ) ilustra cómo se relacionan los conjuntos de números.

 

The image shows a large rectangle labeled “Real Numbers”. The rectangle is split in half vertically. The right half is labeled “Irrational Numbers”. The left half is labeled “Rational Numbers” and contains three concentric rectangles. The outer most rectangle is labeled “Integers”, the next rectangle is “Whole Numbers” and the inner most rectangle is “Natural Numbers”.

 

Figura ( PageIndex {1} ) – Este diagrama ilustra las relaciones entre los diferentes tipos de números reales.

 
 

Definición: Números reales

 

Los números reales son números que son racionales o irracionales.

 
 
 

¿Te parece extraño el término «números reales»? ¿Hay números que no sean «reales» y, de ser así, cuáles podrían ser? Durante siglos, los únicos números que la gente conocía eran los que ahora llamamos números reales. Entonces los matemáticos descubrieron el conjunto de números imaginarios . No encontrará números imaginarios en este curso, pero más adelante lo hará en sus estudios de álgebra.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Determine si cada uno de los números en la siguiente lista es un (a) número entero, (b) entero, (c) número racional, (d) número irracional y (e) número real.

 

$$ – 7, dfrac {14} {5}, 8, sqrt {5}, 5.9, – sqrt {64} $$

 

Solución

 
         
  1. Los números enteros son 0, 1, 2, 3, … El número 8 es el único número entero dado.
  2.      
  3. Los enteros son los números enteros, sus opuestos y 0. De los números dados, −7 y 8 son enteros. Además, observe que 64 es el cuadrado de 8, entonces (- sqrt {64} ) = −8. Entonces los enteros son −7, 8, (- sqrt {64} ).
  4.      
  5. Dado que todos los enteros son racionales, los números −7, 8 y (- sqrt {64} ) también son racionales. Los números racionales también incluyen fracciones y decimales que terminan o se repiten, por lo que ( dfrac {14} {5} ) y 5.9 son racionales.
  6.      
  7. El número 5 no es un cuadrado perfecto, por lo que ( sqrt {5} ) es irracional.
  8.      
  9. Todos los números enumerados son reales.
  10.  
 

Resumiremos los resultados en una tabla.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Número Entero Entero Racional Irracional Real
-7 ( marca de verificación ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación )
( dfrac {14} {5} ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación )
8 ( marca de verificación ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación )
( sqrt {5} ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación )
5,9 ( marca de verificación ) ( marca de verificación )
(- sqrt {64} ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} ):

 

Determine si cada número es un (a) número entero, (b) entero, (c) número racional, (d) número irracional y (e) número real: −3, (- sqrt {2} , 0. overline {3}, dfrac {9} {5} ), 4, ( sqrt {49} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
Número Entero Entero Racional Irracional Real
-3 ( marca de verificación ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación )
(- sqrt {2} ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación )
(0. overline {3} ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación )
( dfrac {9} {5} ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación )
(4 ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación )
( sqrt {49} ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación )
     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

 

Determine si cada número es un (a) número entero, (b) entero, (c) número racional, (d) número irracional y (e) número real: (- sqrt {25}, – dfrac {3} {8} ), −1, 6, ( sqrt {121} ), 2.041975…

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
Número Entero Entero Racional Irracional Real
(- sqrt {25} ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación )
(- dfrac {3} {8} ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación )
(- 1 ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación )
(6 ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación )
( sqrt {121} ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación )
(2.041975… ) ( marca de verificación ) ( marca de verificación )
     
 
 
 
 

Autocomprobación

 

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

 

 

(b) Si la mayoría de sus cheques fueran:

 

… con confianza. ¡Felicidades! Has logrado los objetivos en esta sección. Reflexione sobre las habilidades de estudio que utilizó para poder seguir usándolas. ¿Qué hiciste para confiar en tu capacidad para hacer estas cosas? Se específico.

 

… con algo de ayuda. Esto debe abordarse rápidamente porque los temas que no domina se convierten en baches en su camino hacia el éxito. En matemáticas, cada tema se basa en trabajos previos. Es importante asegurarse de tener una base sólida antes de continuar. ¿A quién puedes pedir ayuda? Tus compañeros e instructor son buenos recursos. ¿Hay un lugar en el campus donde hay tutores de matemáticas disponibles? ¿Se pueden mejorar tus habilidades de estudio?

 

… no, ¡no lo entiendo! Esta es una señal de advertencia y no debe ignorarla. Debe obtener ayuda de inmediato o se sentirá abrumado rápidamente. Consulte a su instructor lo antes posible para analizar su situación. Juntos pueden elaborar un plan para obtener la ayuda que necesitan.

 
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