Un golfista se balancea para golpear una pelota sobre una trampa de arena y hacia el green. Un piloto de línea aérea maniobra un avión hacia una pista estrecha. Un diseñador de vestidos crea la última moda. Que tienen todos ellos en comun? Todos trabajan con ángulos, y también todos nosotros en un momento u otro. A veces necesitamos medir ángulos exactamente con instrumentos. Otras veces los estimamos o juzgamos a simple vista. De cualquier manera, el ángulo adecuado puede marcar la diferencia entre el éxito y el fracaso en muchas empresas. En esta sección, examinaremos las propiedades de los ángulos.
Dibujo de ángulos en posición estándar
Definir correctamente un ángulo primero requiere que definamos un rayo . Un rayo consiste en un punto en una línea y todos los puntos que se extienden en una dirección desde ese punto. El primer punto se llama punto final del rayo. Podemos referirnos a un rayo específico indicando su punto final y cualquier otro punto en él. El rayo en Figura ( PageIndex {1} ) se puede nombrar como rayo EF, o en forma de símbolo ( overrightarrow {EF} ).
Un ángulo es la unión de dos rayos que tienen un punto final común. El punto final se denomina vértice del ángulo, y los dos rayos son los lados del ángulo. El ángulo en Figura ( PageIndex {2} ) está formado por ( overrightarrow {ED} ) y ( overrightarrow {EF} ). Los ángulos se pueden nombrar usando un punto en cada rayo y el vértice, como el ángulo DEF , o en forma de símbolo (∠DEF. )
Las letras griegas se usan a menudo como variables para la medida de un ángulo. La tabla ( PageIndex {1} ) es una lista de letras griegas comúnmente utilizadas para representar ángulos, y se muestra un ángulo de muestra en Figura ( PageIndex {3} ) [19459011 ]
| (θ ) | (φ text {o} ϕ ) | (α ) | (β ) | (γ ) |
| theta | phi | alfa | beta | gamma |
Figura ( PageIndex {3} ) : Ángulo theta, que se muestra como (∠θ ) [ 19459001]
La creación de ángulos es un proceso dinámico. Comenzamos con dos rayos acostados uno encima del otro. Dejamos uno fijo en su lugar y giramos el otro. El rayo fijo es el lado inicial , y el rayo girado es el lado terminal . Para identificar los diferentes lados, indicamos la rotación con un pequeño arco y una flecha cerca del vértice como en Figura ( PageIndex {4} ) .
Como discutimos al comienzo de la sección, hay muchas aplicaciones para los ángulos, pero para usarlos correctamente, debemos poder medirlos. La medida de un ángulo es la cantidad de rotación desde el lado inicial hacia el lado terminal. Probablemente la unidad más familiar de medición de ángulos es el grado. Un grado es ( frac {1} {360} ) de una rotación circular, por lo que una rotación circular completa contiene 360 grados. Un ángulo medido en grados siempre debe incluir la unidad “grados” después del número, o incluir el símbolo de grado °. Por ejemplo, 90 grados = 90 °.
Para formalizar nuestro trabajo, comenzaremos dibujando ángulos en un plano de coordenadas x – y . Los ángulos pueden ocurrir en cualquier posición en el plano de coordenadas, pero para fines de comparación, la convención es ilustrarlos en la misma posición siempre que sea posible. Un ángulo está en la posición estándar si su vértice se encuentra en el origen, y su lado inicial se extiende a lo largo del eje positivo x . Ver Figura ( PageIndex {5} ) .
Si el ángulo se mide en sentido antihorario desde el lado inicial hasta el lado terminal, se dice que el ángulo es un ángulo positivo . Si el ángulo se mide en el sentido de las agujas del reloj, se dice que es un ángulo negativo .
Dibujar un ángulo en la posición estándar siempre comienza de la misma manera: dibuje el lado inicial a lo largo del eje positivo x . Para colocar el lado terminal del ángulo, debemos calcular la fracción de una rotación completa que representa el ángulo. Hacemos eso dividiendo la medida del ángulo en grados por 360 °. Por ejemplo, para dibujar un ángulo de 90 °, calculamos que ( frac {90 °} {360 °} = frac {1} {4} ). Entonces, el lado terminal estará a un cuarto del círculo, moviéndose en sentido antihorario desde el eje positivo x . Para dibujar un ángulo de 360 °, calculamos que ( frac {360 °} {360 °} = 1 ). Por lo tanto, el lado terminal será 1 rotación completa alrededor del círculo, moviéndose en sentido antihorario desde el eje positivo x . En este caso, el lado inicial y el lado terminal se superponen. Ver Figura ( PageIndex {6} ) .
Dado que definimos un ángulo en posición estándar por su lado inicial, tenemos un tipo especial de ángulo cuyo lado terminal se encuentra en un eje, un ángulo cuadrático . Este tipo de ángulo puede tener una medida de 0 °, 90 °, 180 °, 270 ° o 360 °. Ver Figura ( PageIndex {7} ) .
ÁNGULOS CUADRANTALES
Los ángulos cuadrantales son ángulos en posición estándar cuyo lado terminal se encuentra en un eje, que incluye 0 °, 90 °, 180 °, 270 ° o 360 °.
Dada una medida de ángulo en grados, dibuje el ángulo en la posición estándar
- Exprese la medida del ángulo como una fracción de 360 °.
- Reduce la fracción a la forma más simple.
- Dibuje un ángulo que contenga la misma fracción del círculo, comenzando en el eje positivo x y moviéndose en sentido antihorario para ángulos positivos y en sentido horario para ángulos negativos.
Conversión entre grados y radianes
Dividir un círculo en 360 partes es una elección arbitraria, aunque crea la medida del grado familiar. Podemos elegir otras formas de dividir un círculo. Para encontrar otra unidad, piense en el proceso de dibujar un círculo. Imagine que se detiene antes de que se complete el círculo. La porción que dibujó se conoce como un arco. Un arco puede ser una porción de un círculo completo, un círculo completo o más de un círculo completo, representado por más de una rotación completa. La longitud del arco alrededor de un círculo completo se llama circunferencia de ese círculo.
La circunferencia de un círculo es (C = 2πr ). Si dividimos ambos lados de esta ecuación por (r ), creamos la razón de la circunferencia al radio, que siempre es (2π ) independientemente de la longitud del radio. Entonces, la circunferencia de cualquier círculo es (2π≈6.28 ) veces la longitud del radio. Eso significa que si tomamos una cuerda tan larga como el radio y la usamos para medir longitudes consecutivas alrededor de la circunferencia, habría espacio para seis longitudes de cuerda completas y un poco más de un cuarto de séptimo, como se muestra en [19459061 ] Figura ( PageIndex {11} ) .
Esto nos lleva a nuestra nueva medida de ángulo. Un radián es la medida de un ángulo central de un círculo que intercepta un arco de igual longitud que el radio de ese círculo. Un ángulo central es un ángulo formado en el centro de un círculo por dos radios. Debido a que la circunferencia total es igual a (2π ) veces el radio, una rotación circular completa es (2π ) radianes. Entonces
[ begin {align} 2π text {radians} & = 360 ^ ∘ \ π text {radians} & = dfrac {360 ^ ∘} {2} = 180 ^ ∘ \ 1 text {radian} & = dfrac {180 ^ ∘} {π} ≈57.3 ^ ∘ end {align} ]
Ver Figura ( PageIndex {12} ) . Tenga en cuenta que cuando un ángulo se describe sin una unidad específica, se refiere a la medida en radianes. Por ejemplo, una medida de ángulo de 3 indica 3 radianes. De hecho, la medida en radianes no tiene dimensión, ya que es el cociente de una longitud (circunferencia) dividido por una longitud (radio) y las unidades de longitud se cancelan.
Relacionando las longitudes de arco con el radio
Una longitud de arco (s ) es la longitud de la curva a lo largo del arco. Así como la circunferencia completa de un círculo siempre tiene una relación constante con el radio, la longitud del arco producida por cualquier ángulo dado también tiene una relación constante con el radio, independientemente de la longitud del radio.
Esta relación, llamada medida en radianes , es la misma independientemente del radio del círculo: depende solo del ángulo. Esta propiedad nos permite definir una medida de cualquier ángulo como la relación entre la longitud del arco s s y el radio (r ). Ver Figura ( PageIndex {13} ) .
[ begin {align} s & = rθ \ θ & = dfrac {s} {r} end {align} ]
Si (s = r ), entonces (θ = frac {r} {r} = 1 text {radian.} )
Para desarrollar esta idea, considere dos círculos, uno con radio 2 y el otro con radio 3. Recuerde que la circunferencia de un círculo es (C = 2πr ), donde (r ) es el radio. El círculo más pequeño tiene circunferencia (2π (2) = 4π ) y el más grande tiene circunferencia (2π (3) = 6π ). Ahora dibujamos un ángulo de 45 ° en los dos círculos, como en Figura ( PageIndex {14} ) .
Fíjate qué sucede si encontramos la razón de la longitud del arco dividida por el radio del círculo.
[ begin {align} text {Círculo más pequeño:} dfrac { frac {1} {2} π} {2} & = dfrac {1} {4} π \ [2mm] texto {Círculo más grande:} dfrac { frac {3} {4} π} {3} & = dfrac {1} {4} π end {align} ]
Dado que ambas razones son ( frac {1} {4} π ), las medidas de los ángulos de ambos círculos son las mismas, a pesar de que la longitud del arco y el radio difieren.
RADIANOS
Un radián es la medida del ángulo central de un círculo de tal manera que la longitud del arco entre el lado inicial y el lado terminal es igual al radio del círculo. Una revolución completa (360 °) es igual a (2 pi ) radianes. Una media revolución (180 °) es equivalente a ( pi ) radianes.
La medida en radianes de un ángulo es la relación de la longitud del arco subtendido por el ángulo al radio del círculo. En otras palabras, si (s ) es la longitud de un arco de un círculo, y (r ) es el radio del círculo, entonces el ángulo central que contiene ese arco mide ( frac {s} {r } ) radianes. En un círculo de radio 1, la medida en radianes corresponde a la longitud del arco.
: Una medida de 1 radián parece ser aproximadamente 60 °. ¿Es eso correcto?
Sí. Es aproximadamente 57.3 °. Porque (2π ) radianes es igual a 360 °, (1 ) radianes es igual a ( frac {360 °} {2π} ≈57.3 ° ).
Uso de radianes
Dado que la medida radian es la relación de dos longitudes, es una medida sin unidades. Por ejemplo, en Figura ( PageIndex {14} ) , suponga que el radio era de 2 pulgadas y la distancia a lo largo del arco también era de 2 pulgadas. Cuando calculamos la medida en radianes del ángulo, las “pulgadas” se cancelan y tenemos un resultado sin unidades. Por lo tanto, no es necesario escribir la etiqueta “radianes” después de una medida en radianes, y si vemos un ángulo que no está etiquetado con “grados” o el símbolo de grados, podemos suponer que es una medida en radianes.
Considerando el caso más básico, el círculo de unidad (un círculo con radio 1), sabemos que 1 rotación equivale a 360 grados, 360 °. También podemos rastrear una rotación alrededor de un círculo al encontrar la circunferencia, (C = 2πr ), y para el círculo unitario (C = 2π. ) Estas dos formas diferentes de girar alrededor de un círculo nos dan una forma de convertir de grados a radianes.
[ begin {array} {clll} 1 text {rotación} & = 360 ° & = 2π & text {radianes} \ [2mm] dfrac {1} {2} text {rotación} & = 180 ° & = π & text {radianes} \ [2mm] dfrac {1} {4} text {rotación} & = 90 ° & = dfrac {π} {2} & text {radianes } end {array} ]
Identificación de ángulos especiales medidos en radianes
Además de conocer las medidas en grados y radianes de un cuarto de revolución, media revolución y una revolución completa, existen otros ángulos frecuentes en una revolución de un círculo con los que deberíamos estar familiarizados. Es común encontrar múltiplos de 30, 45, 60 y 90 grados. Estos valores se muestran en Figura ( PageIndex {15} ) . Memorizar estos ángulos será muy útil a medida que estudiemos las propiedades asociadas con los ángulos.
Ahora, podemos enumerar los valores de radianes correspondientes a las medidas comunes de un círculo que corresponden a los enumerados en Figura ( PageIndex {15} ) , que se muestran en Figura ( PageIndex {16} ) . Asegúrese de poder verificar cada una de estas medidas.
Ejemplo ( PageIndex {2} ): Encontrar una medida en radianes
Encuentre la medida en radianes de un tercio de una rotación completa.
Solución
Para cualquier círculo, la longitud del arco a lo largo de tal rotación sería un tercio de la circunferencia. Sabemos que
[1 text {rotación} = 2πr ]
Entonces,
[ begin {align} s & = dfrac {1} {3} (2πr) \ [2mm] & = dfrac {2πr} {3} end {align} ]
La medida en radianes sería la longitud del arco dividida por el radio.
[ begin {align} text {radian measure} & = dfrac { frac {2πr} {3}} {r} \ [2mm] & = dfrac {2πr} {3r} \ [2mm] & = dfrac {2π} {3} end {align} ]
( PageIndex {2} )
Halla la medida en radianes de tres cuartos de una rotación completa.
Solución
[ dfrac {3π} {2} ]
Conversión entre radianes y grados
Debido a que los grados y radianes miden los ángulos, necesitamos poder convertirlos entre ellos. Podemos hacerlo fácilmente usando una proporción.
[ dfrac {θ} {180} = dfrac {θ ^ R} {π} ]
Esta proporción muestra que la medida del ángulo (θ ) en grados divididos por 180 es igual a la medida del ángulo (θ ) en radianes divididos por (π. ) O, dicho de otra manera, los grados son 180 como radianes es a (π ).
[ dfrac { text {Degrees}} {180} = dfrac {Radians} {π} ]
CONVERTIR ENTRE RADIANOS Y GRADOS
Para convertir entre grados y radianes, use la proporción
[ dfrac {θ} {180} = dfrac {θ ^ R} {π} ]
Ejemplo ( PageIndex {3} ): Convertir radianes a grados
Convierta cada medida de radianes a grados.
- ( frac {π} {6} )
- 3
Solución
Debido a que se nos dan radianes y queremos grados, debemos establecer una proporción y resolverlo.
- Utilizamos la proporción, sustituyendo la información dada.
[ begin {align} dfrac {θ} {180} & = dfrac {θ ^ R} {π} \ [2mm] dfrac {θ} {180} & = dfrac { frac {π} {6}} {π} \ θ & = dfrac {180} {6} \ θ & = 30 ^ ∘ end {align} ]
- Utilizamos la proporción, sustituyendo la información dada.
[ begin {align} dfrac {θ} {180} & = dfrac {θ ^ R} {π} \ dfrac {θ} {180} & = dfrac {3} {π} \ θ & = dfrac {3 (180)} {π} \ θ & ≈172 ^ ∘ end {align} ]
( PageIndex {3} )
Convierta (- frac {3π} {4} ) radianes a grados.
Solución
−135 °
Ejemplo ( PageIndex {4} ): Convertir grados a radianes
Convertir (15 ) grados a radianes.
Solución
En este ejemplo, comenzamos con grados y queremos radianes, por lo que nuevamente establecemos una proporción y la resolvemos, pero sustituimos la información dada en una parte diferente de la proporción.
[ begin {align} dfrac {θ} {180} & = dfrac {θ ^ R} {π} \ dfrac {15} {180} & = dfrac {θ ^ R} { π} \ dfrac {15π} {180} & = θ ^ R \ dfrac {π} {12} & = θ ^ R end {align} ]
Análisis
Otra forma de pensar sobre este problema es recordando que (30 ^ ∘ = frac {π} {6} ). Porque (15 ^ ∘ = frac {1} {2} (30 ^ ∘) ), podemos encontrar que ( frac {1} {2} ( frac {π} {6}) ) es ( frac {π} {12} ).
( PageIndex {4} )
Convertir 126 ° a radianes.
Solución
( frac {7π} {10} )
Encontrar ángulos coterminales
La conversión entre grados y radianes puede facilitar el trabajo con ángulos en algunas aplicaciones. Para otras aplicaciones, podemos necesitar otro tipo de conversión. Los ángulos negativos y los ángulos mayores que una revolución completa son más difíciles de manejar que aquellos en el rango de 0 ° a 360 °, o de 0 a (2π ). Sería conveniente reemplazar esos ángulos fuera de rango con un ángulo correspondiente dentro del rango de una sola revolución.
Es posible que más de un ángulo tenga el mismo lado terminal. Mire Figura ( PageIndex {17} ) . El ángulo de 140 ° es un ángulo positivo , medido en sentido antihorario. El ángulo de –220 ° es un ángulo negativo , medido en sentido horario. Pero ambos ángulos tienen el mismo lado terminal. Si dos ángulos en posición estándar tienen el mismo lado terminal, son ángulos coterminal . Cada ángulo mayor de 360 ° o menor de 0 ° es coterminal con un ángulo entre 0 ° y 360 °, y a menudo es más conveniente encontrar el ángulo coterminal dentro del rango de 0 ° a 360 ° que trabajar con un ángulo que está fuera de ese rango.
Cualquier ángulo tiene infinitos ángulos coterminales porque cada vez que sumamos 360 ° a ese ángulo, o le restamos 360 °, el valor resultante tiene un lado terminal en la misma ubicación. Por ejemplo, 100 ° y 460 ° son coterminales por este motivo, al igual que −260 °. Reconocer que cualquier ángulo tiene infinitos ángulos coterminales explica la forma repetitiva en los gráficos de funciones trigonométricas.
El ángulo de referencia de un ángulo es la medida del ángulo agudo positivo más pequeño (t ) formado por el lado terminal del ángulo (t ) y el eje horizontal. Así, los ángulos de referencia positivos tienen lados terminales que se encuentran en el primer cuadrante y se pueden usar como modelos para ángulos en otros cuadrantes. Ver Figura ( PageIndex {18} ) para ejemplos de ángulos de referencia para ángulos en diferentes cuadrantes.
ÁNGULOS COTERMINALES Y DE REFERENCIA
- Los ángulos coterminales son dos ángulos en posición estándar que tienen el mismo lado terminal.
- El ángulo de referencia de un ángulo es el tamaño del ángulo agudo más pequeño, (t ′ ), formado por el lado terminal del ángulo (t ) y el eje horizontal.
Dado un ángulo mayor de 360 °, encuentre un ángulo coterminal entre 0 ° y 360 °
- Resta 360 ° del ángulo dado.
- Si el resultado sigue siendo mayor de 360 °, reste 360 ° nuevamente hasta que el resultado esté entre 0 ° y 360 °.
- El ángulo resultante es coterminal con el ángulo original.
Ejemplo ( PageIndex {5} ): Encontrar un ángulo coterminal con un ángulo de medida mayor que 360 °
Encuentre el ángulo positivo mínimo θ que sea coterminal con un ángulo de 800 °, donde (0 ° ≤θ <360 ° ).
Solución
Un ángulo con medida 800 ° es coterminal con un ángulo con medida 800 – 360 = 440 °, pero 440 ° es aún mayor que 360 °, por lo que restamos 360 ° nuevamente para encontrar otro ángulo coterminal: 440 – 360 = 80 °.
El ángulo (θ = 80 ° ) es coterminal con 800 °. En otras palabras, 800 ° equivale a 80 ° más dos rotaciones completas, como se muestra en Figura ( PageIndex {19} ) .
( PageIndex {5} )
Encuentre un ángulo (α ) que sea coterminal con un ángulo que mida 870 °, donde (0 ° ≤α <360 ° ).
Solución
(α = 150 ° )
Dado un ángulo con una medida inferior a 0 °, encuentre un ángulo coterminal que tenga una medida entre 0 ° y 360 °.
- Agrega 360 ° al ángulo dado.
- Si el resultado sigue siendo inferior a 0 °, agregue 360 ° nuevamente hasta que el resultado esté entre 0 ° y 360 °.
- El ángulo resultante es coterminal con el ángulo original.
Ejemplo ( PageIndex {6} ): Encontrar un ángulo coterminal con un ángulo que mide menos de 0 °
Muestre el ángulo con la medida −45 ° en un círculo y encuentre un ángulo coterminal positivo α tal que 0 ° ≤ α <360 °.
Solución
Dado que 45 ° es la mitad de 90 °, podemos comenzar en el eje horizontal positivo y medir la mitad en sentido horario de un ángulo de 90 °.
Debido a que podemos encontrar ángulos coterminales sumando o restando una rotación completa de 360 °, podemos encontrar un ángulo coterminal positivo aquí sumando 360 °:
[- 45 ° + 360 ° = 315 ° ]
Entonces podemos mostrar el ángulo en un círculo, como en Figura ( PageIndex {20} ) .
( PageIndex {6} )
Encuentre un ángulo β que sea coterminal con un ángulo que mida −300 ° tal que (0 ° ≤β <360 ° ).
Solución
(β = 60 ° )
Encontrar ángulos coterminales medidos en radianes
Podemos encontrar coterminal ángulos medidos en radianes de la misma manera que los hemos encontrado usando grados. En ambos casos, encontramos ángulos coterminales al sumar o restar una o más rotaciones completas.
Dado un ángulo mayor que (2 pi ), encuentre un ángulo coterminal entre 0 y (2 pi ).
- Resta (2π ) del ángulo dado.
- Si el resultado sigue siendo mayor que (2π ), reste (2π ) nuevamente hasta que el resultado esté entre (0 ) y (2π ).
- El ángulo resultante es coterminal con el ángulo original.
Ejemplo ( PageIndex {7} ): Encontrar ángulos coterminales usando radianes
Encuentre un ángulo (β ) que sea coterminal con ( frac {19π} {4} ), donde (0≤β <2π. )
Solución
Al trabajar en grados, encontramos ángulos coterminales al sumar o restar 360 grados, una rotación completa. Del mismo modo, en radianes, podemos encontrar ángulos coterminales al sumar o restar rotaciones completas de (2π ) radianes:
[ begin {align} dfrac {19π} {4} −2π & = dfrac {19π} {4} – dfrac {8π} {4} \ & = dfrac {11π} {4 } end {align} ]
El ángulo ( frac {11π} {4} ) es coterminal, pero no menor que (2π ), por lo que restamos otra rotación:
[ begin {align} dfrac {11π} {4} −2π & = dfrac {11π} {4} – dfrac {8π} {4} \ & = dfrac {3π} {4 } end {align} ]
El ángulo ( frac {3π} {4} ) es coterminal con ( frac {19π} {4} ), como se muestra en Figura ( PageIndex {21} ) [ 19459011].
( PageIndex {7} )
Encuentre un ángulo de medida (θ ) que sea coterminal con un ángulo de medida (- frac {17π} {6} ) donde (0≤θ <2π. )
Solución
( frac {7π} {6} )
Determinación de la longitud de un arco
Recuerde que la medida en radianes (θ ) de un ángulo se definió como la relación de la longitud del arco (s ) de un arco circular al radio (r ) del círculo, (θ = frac {s} {r} ). A partir de esta relación, podemos encontrar la longitud del arco a lo largo de un círculo, dado un ángulo.
LONGITUD DEL ARCO EN UN CÍRCULO
En un círculo de radio r , la longitud de un arco (s ) subtendida por un ángulo con medida (θ ) en radianes, que se muestra en Figura ( PageIndex {22} ) , es
[s = rθ ]
Dado un círculo de radio (r, ) calcule la longitud (s ) del arco subtendido por un ángulo de medida dado (θ ).
- Si es necesario, convierte (θ ) a radianes.
- Multiplica el radio (r ) por la medida en radianes de (θ: s = rθ ).
Ejemplo ( PageIndex {8} ): Encontrar la longitud de un arco
Suponga que la órbita de Mercurio alrededor del sol es un círculo perfecto. Mercurio está aproximadamente a 36 millones de millas del sol.
- En un día de la Tierra, Mercurio completa 0.0114 de su revolución total. ¿Cuántas millas recorre en un día?
- Usa tu respuesta de la parte (a) para determinar la medida en radianes del movimiento de Mercurio en un día de la Tierra.
Solución
- Comencemos por encontrar la circunferencia de la órbita de Mercurio.
[ begin {align} C & = 2πr \ & = 2π ( text {36 millones de millas}) \ & ≈226 text {millón de millas} end {align} ]
Dado que Mercurio completa 0.0114 de su revolución total en un día de la Tierra, ahora podemos encontrar la distancia recorrida:
[(0.0114) 226 text {million miles} = 2.58 text {million miles} ]
- Ahora, convertimos a radianes:
[ begin {align} text {radian} & = dfrac { text {arc length}} { text {radius}} \ & = dfrac {2.58 text {million miles}} { 36 text {millones de millas}} \ & = 0.0717 end {align} ]
( PageIndex {8} )
Encuentre la longitud del arco a lo largo de un círculo de radio de 10 unidades sostenido por un ángulo de 215 °.
Solución
[ dfrac {215π} {18} = 37.525 text {unidades} ]
Encontrar el área de un sector de un círculo
Además de la longitud del arco, también podemos usar ángulos para encontrar el área de un sector de un círculo . Un sector es una región de un círculo delimitado por dos radios y el arco interceptado, como una rebanada de pizza o pastel. Recuerde que el área de un círculo con radio (r ) se puede encontrar usando la fórmula (A = πr ^ 2 ). Si los dos radios forman un ángulo de (θ ), medido en radianes, entonces ( frac {θ} {2π} ) es la relación entre la medida del ángulo y la medida de una rotación completa y también es, por lo tanto, , la razón del área del sector al área del círculo. Por lo tanto, el área de un sector es la fracción ( frac {θ} {2π} ) multiplicada por el área completa. (Recuerde siempre que esta fórmula solo se aplica si (θ ) está en radianes).
[ begin {align} text {Area of sector} & = ( dfrac {θ} {2π}) πr ^ 2 \ & = dfrac {θπr ^ 2} {2π} \ & = dfrac {1} {2} θr ^ 2 end {align} ]
ÁREA DE UN SECTOR
El área de un sector de un círculo con radio (r ) subtendido por un ángulo (θ ), medido en radianes, es
[A = dfrac {1} {2} θr ^ 2 ]
Ver Figura ( PageIndex {23} ) .
Dado un círculo de radio (r, ) encuentra el área de un sector definido por un ángulo dado (θ. )
- Si es necesario, convierte (θ ) a radianes.
- Multiply half the radian measure of (θ) by the square of the radius (r: A=frac{1}{2}θr^2.)
Example (PageIndex{9}): Finding the Area of a Sector
An automatic lawn sprinkler sprays a distance of 20 feet while rotating 30 degrees, as shown in Figure (PageIndex{24}) . What is the area of the sector of grass the sprinkler waters?
Solution
First, we need to convert the angle measure into radians. Because 30 degrees is one of our special angles, we already know the equivalent radian measure, but we can also convert:
[begin{align} text{30 degrees} &=30⋅frac{π}{180} \ &=frac{π}{6} text{ radians} end{align}]
The area of the sector is then
[begin{align} text{Area} &= dfrac{1}{2}(dfrac{π}{6})(20)^2 \ & ≈104.72 end{align}]
So the area is about (mathrm{104.72 ; ft^2}).
(PageIndex{9})
In central pivot irrigation, a large irrigation pipe on wheels rotates around a center point. A farmer has a central pivot system with a radius of 400 meters. If water restrictions only allow her to water 150 thousand square meters a day, what angle should she set the system to cover? Write the answer in radian measure to two decimal places.
Solution
1.88
Use Linear and Angular Speed to Describe Motion on a Circular Path
In addition to finding the area of a sector, we can use angles to describe the speed of a moving object. An object traveling in a circular path has two types of speed. Linear speed is speed along a straight path and can be determined by the distance it moves along (its displacement ) in a given time interval. For instance, if a wheel with radius 5 inches rotates once a second, a point on the edge of the wheel moves a distance equal to the circumference, or 10π inches, every second. So the linear speed of the point is (10π) in./s. The equation for linear speed is as follows where (v) is linear speed, (s) is displacement, and (t) is time.
[v=dfrac{s}{t}]
Angular speed results from circular motion and can be determined by the angle through which a point rotates in a given time interval. In other words, angular speed is angular rotation per unit time. So, for instance, if a gear makes a full rotation every 4 seconds, we can calculate its angular speed as (frac{360 text{ degrees}}{4 text{ seconds}}= ) 90 degrees per second. Angular speed can be given in radians per second, rotations per minute, or degrees per hour for example. The equation for angular speed is as follows, where (ω) (read as omega) is angular speed, (θ) is the angle traversed, and (t) is time.
[ω=dfrac{θ}{t}]
Combining the definition of angular speed with the arc length equation, (s=rθ), we can find a relationship between angular and linear speeds. The angular speed equation can be solved for (θ), giving (θ=ωt.) Substituting this into the arc length equation gives:
[begin{align}s &=rθ \ &=rωt end{align}]
Substituting this into the linear speed equation gives:
[begin{align} v & = dfrac{s}{t} &=dfrac{rωt}{t} &=rω end{align}]
ANGULAR AND LINEAR SPEED
As a point moves along a circle of radius (r,) its angular speed , (ω), is the angular rotation (θ) per unit time, (t).
[ω=dfrac{θ}{t}]
The linear speed . (v), of the point can be found as the distance traveled, arc length (s), per unit time, (t.)
[v=frac{s}{t}]
When the angular speed is measured in radians per unit time, linear speed and angular speed are related by the equation
[v=rω]
This equation states that the angular speed in radians, (ω), representing the amount of rotation occurring in a unit of time, can be multiplied by the radius (r) to calculate the total arc length traveled in a unit of time, which is the definition of linear speed.
Given the amount of angle rotation and the time elapsed, calculate the angular speed
- If necessary, convert the angle measure to radians.
- Divide the angle in radians by the number of time units elapsed: (ω=frac{θ}{t}.)
- The resulting speed will be in radians per time unit.
Example (PageIndex{10}): Finding Angular Speed
A water wheel, shown in Figure (PageIndex{25}) , completes 1 rotation every 5 seconds. Find the angular speed in radians per second.
Solution
The wheel completes 1 rotation, or passes through an angle of (2π) radians in 5 seconds, so the angular speed would be (ω=frac{2π}{5}≈1.257) radians per second.
(PageIndex{10})
An old vinyl record is played on a turntable rotating clockwise at a rate of 45 rotations per minute. Find the angular speed in radians per second.
Solution
(−frac{3π}{2}) rad/s
Given the radius of a circle, an angle of rotation, and a length of elapsed time, determine the linear speed
- Convert the total rotation to radians if necessary.
- Divide the total rotation in radians by the elapsed time to find the angular speed: apply (ω=frac{θ}{t}).
- Multiply the angular speed by the length of the radius to find the linear speed, expressed in terms of the length unit used for the radius and the time unit used for the elapsed time: apply (v=rω).
Example (PageIndex{11}): Finding a Linear Speed
A bicycle has wheels 28 inches in diameter. A tachometer determines the wheels are rotating at 180 RPM (revolutions per minute). Find the speed the bicycle is traveling down the road.
Solution
Here, we have an angular speed and need to find the corresponding linear speed, since the linear speed of the outside of the tires is the speed at which the bicycle travels down the road.
We begin by converting from rotations per minute to radians per minute. It can be helpful to utilize the units to make this conversion:
[mathrm{180 dfrac{cancel{rotations}}{minute}⋅dfrac{2π ; radians}{cancel{rotation}}=360πdfrac{radians}{minute}}]
Using the formula from above along with the radius of the wheels, we can find the linear speed:
[begin{align} v & =(14 text{ inches})(360π dfrac{text{radians}}{text{minute}}) \ &=5040π dfrac{text{inches}}{text{minute}} end{align}]
Remember that radians are a unitless measure, so it is not necessary to include them.unitless measure, so it is not necessary to include them.
Finally, we may wish to convert this linear speed into a more familiar measurement, like miles per hour.
[mathrm{5040πdfrac{cancel{inches}}{cancel{minute}}⋅dfrac{1 ; cancel{ feet}}{12 ; cancel{ inches}}⋅dfrac{1 ; cancel{ mile}}{5280 cancel{ feet}}⋅dfrac{60 cancel{ minutes}}{1 ; hour}≈14.99 ; miles ; per ; hour ; (mph)}]
(PageIndex{11})
A satellite is rotating around Earth at 0.25 radians per hour at an altitude of 242 km above Earth. If the radius of Earth is 6378 kilometers, find the linear speed of the satellite in kilometers per hour.
Solution
1655 kilometers per hour
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with angles, arc length, and areas of sectors.
Key Equations
| arc length | (s=rθ) |
| area of a sector | (A=frac{1}{2}θr^2) |
| angular speed | (ω=frac{θ}{t}) |
| linear speed | (v=frac{s}{t}) |
| linear speed related to angular speed | (v=rω) |
Key Concepts
- An angle is formed from the union of two rays, by keeping the initial side fixed and rotating the terminal side. The amount of rotation determines the measure of the angle.
- An angle is in standard position if its vertex is at the origin and its initial side lies along the positive x -axis. A positive angle is measured counterclockwise from the initial side and a negative angle is measured clockwise.
- To draw an angle in standard position, draw the initial side along the positive x -axis and then place the terminal side according to the fraction of a full rotation the angle represents. See Example .
- In addition to degrees, the measure of an angle can be described in radians. See Example .
- To convert between degrees and radians, use the proportion (frac{θ}{180}=frac{θ^R}{π}). See Example and Example .
- Two angles that have the same terminal side are called coterminal angles.
- We can find coterminal angles by adding or subtracting 360° or (2π). See Example and Example .
- Coterminal angles can be found using radians just as they are for degrees. See Example .
- The length of a circular arc is a fraction of the circumference of the entire circle. See Example .
- The area of sector is a fraction of the area of the entire circle. See Example .
- An object moving in a circular path has both linear and angular speed.
- The angular speed of an object traveling in a circular path is the measure of the angle through which it turns in a unit of time. See Example .
- The linear speed of an object traveling along a circular path is the distance it travels in a unit of time. See Example .
Glossary
- angle
- the union of two rays having a common endpoint
- angular speed
- the angle through which a rotating object travels in a unit of time
- arc length
- the length of the curve formed by an arc
- area of a sector
- area of a portion of a circle bordered by two radii and the intercepted arc; the fraction (frac{θ}{2π}) multiplied by the area of the entire circle
- coterminal angles
- description of positive and negative angles in standard position sharing the same terminal side
- degree
- a unit of measure describing the size of an angle as one-360th of a full revolution of a circle
- initial side
- the side of an angle from which rotation begins
- linear speed
- the distance along a straight path a rotating object travels in a unit of time; determined by the arc length
- measure of an angle
- the amount of rotation from the initial side to the terminal side
- negative angle
- description of an angle measured clockwise from the positive x -axis
- positive angle
- description of an angle measured counterclockwise from the positive x -axis
- quadrantal angle
- an angle whose terminal side lies on an axis
- radian measure
- the ratio of the arc length formed by an angle divided by the radius of the circle
- radian
- the measure of a central angle of a circle that intercepts an arc equal in length to the radius of that circle
- ray
- one point on a line and all points extending in one direction from that point; one side of an angle
- reference angle
- the measure of the acute angle formed by the terminal side of the angle and the horizontal axis
- standard position
- the position of an angle having the vertex at the origin and the initial side along the positive x -axis
- terminal side
- the side of an angle at which rotation ends
- vertex
- the common endpoint of two rays that form an angle