7.2: Factorizar trinomios cuadráticos con coeficiente principal 1

7.2: Factorizar trinomios cuadráticos con coeficiente principal 1

Trinomios de factor de la forma (x ^ {2} + b x + c )

 

Ya has aprendido cómo multiplicar binomios usando FOIL. Ahora deberá «deshacer» esta multiplicación, para comenzar con el producto y terminar con los factores. Veamos un ejemplo de multiplicación de binomios para refrescar su memoria.

 

This figure shows the steps of multiplying the factors (x + 2) times (x + 3). The multiplying is completed using FOIL to demonstrate. The first term is x squared and is below F. The second term is 3 x below “O”. The third term is 2 x below “I”. The fourth term is 6 below L. The simplified product is then given as x 2 plus 5 x + 6.

 

Factorizar el trinomio significa comenzar con el producto, (x ^ {2} +5 x + 6 ), y terminar con los factores, ((x + 2) (x + 3) ). Debe pensar de dónde provienen cada uno de los términos del trinomio.

 

El primer término vino de multiplicar el primer término en cada binomio. Entonces, para obtener (x ^ {2} ) en el producto, cada binomio debe comenzar con un x .

 

[ begin {array} {l} {x ^ {2} +5 x + 6} \ {(x quad) (x quad)} end {array} ]

 

El último término en el trinomio vino de multiplicar el último término en cada binomio. Entonces los últimos términos deben multiplicarse por 6.

 

¿Qué dos números se multiplican por 6?

 

Los factores de 6 podrían ser 1 y 6, o 2 y 3. ¿Cómo sabes qué par usar?

 

Considere el término medio . Vino de agregar los términos externos e internos.

 

Entonces, los números que deben tener un producto de 6 necesitarán una suma de 5. Probaremos ambas posibilidades y resumiremos los resultados en la Tabla ( PageIndex {1} ) – la tabla será muy útil cuando trabaje con números que se pueden factorizar de muchas maneras diferentes.

                                                                                                                                                                           
Factores de 6 Suma de factores
1,6 (1 + 6 = 7 )
2,3 (2 + 3 = 5 )
 

Tabla ( PageIndex {1} )

 

Vemos que 2 y 3 son los números que se multiplican por 6 y suman 5. Por lo tanto, tenemos los factores de (x ^ {2} +5 x + 6 ). Son ((x + 2) (x + 3) ).

 

[ begin {array} {ll} {x ^ {2} +5 x + 6} & { text {product}} \ {(x + 2) (x + 3)} & { texto {factores}} end {array} ]

 

Debes verificar esto multiplicando.

 

Mirando hacia atrás, comenzamos con (x ^ {2} +5 x + 6 ), que tiene la forma (x ^ {2} + b x + c ), donde b = 5 y c = 6. Lo factorizamos en dos binomios de la forma (x + m) y (x + n).

 

[ begin {array} {ll} {x ^ {2} +5 x + 6} & {x ^ {2} + b x + c} \ {(x + 2) (x + 3 )} & {(x + m) (x + n)} end {array} ]

 

Para obtener los factores correctos, encontramos dos números m y n cuyo producto es c y la suma es b .

 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} ): CÓMO FACTORAR LOS TRINOMIALES DE LA FORMA (x ^ {2} + b x + c )

 

Factor: (x ^ {2} +7 x + 12 )

 
     
Respuesta
     
     

This table gives the steps for factoring x squared + 7 x + 12. The first row states the first step “write the factors as two binomials with first terms x”. In the second column of the first row it states, “write two sets of parentheses and put x as the first term”. In the third column, it has the expression x squared + 7 x +12. Below the expression are two sets of parentheses with x as the first term. The second row states the second step “find two numbers m and n that multiply to c, m times n = c and add to b, m + n = b”. In the second column of the second row are the factors of 12 and their sums. 1,12 with sum 1 + 12 = 13. 2, 6 with sum 2 + 6 =8. 3, 4 with sum 3 + 4 = 7. The third row states “use m and n as the last terms of the factors”. The second column states “use 3 and 4 as the last terms of the binomials”. The third column in this row has the product (x + 3)(x + 4). In the fourth row the statement is “check by multiplying the factors”. The product of (x + 3)(x +4) is shown to be x 2 + 7 x + 12.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Factor: (x ^ {2} +6 x + 8 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Factor: (y ^ {2} +8 y + 15 )

 
 

Resumamos los pasos que utilizamos para encontrar los factores.

 
 

CÓMO

 

Factoriza trinomios de la forma (x ^ {2} + b x + c ).

 

Paso 1. Escribe los factores como dos binomios con los primeros términos x : ((x quad) (x quad) )

 

Paso 2. Encuentra dos números m y n que
Multiplica por c , (m cdot n = c ) [19459043 ] Agregar a b , (m + n = b )

 

Paso 3. Utilice m y n como los últimos términos de los factores: ((x + m) (x + n) )

 

Paso 4. Verifica multiplicando los factores.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Factor: (u ^ {2} +11 u + 24 )

 
     
Respuesta
     
     

Observe que la variable es u , por lo que los factores tendrán primeros términos u .

     

( begin {array} {ll} & u ^ {2} +11 u + 24 \ { text {Escribe los factores como dos binomios con los primeros términos} u text {.}} & (U quad) (u quad) \ { text {Encuentre dos números que: multiplique a} 24 text {y agregue a} 11.} & end {array} )

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Factores de 24 Suma de factores
1,24 1 + 24 = 25
2,12 2 + 12 = 14
3,8 3 + 8 = 11 *
4,6 4 + 6 = 10
     

( begin {array} {ll} text {Use} 3 text {y} 8 text {como los últimos términos de los binomios.} & (U + 3) (u + 8) \ \ text {Verificar.} \ \ begin {array} {l} {(u + 3) (u + 8)} \ {u ^ {2} +3 u + 8 u + 24} {u ^ {2} +11 u + 24 v} marca de verificación end {array} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Factor: (q ^ {2} +10 q + 24 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Factor: (t ^ {2} +14 t + 24 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Factor: (y ^ {2} +17 y + 60 )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & y ^ {2} +17 y + 60 \ text {Escribe los factores como dos binomios con los primeros términos y.} & (Y quad) (y quad) end {array} )

     

Encuentra dos números que se multiplican por 60 y suman 17.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Factores de 60 Suma de factores
1,60 1 + 60 = 61
2,30 2 + 30 = 32
3,20 3 + 20 = 23
4,15 4 + 15 = 19
5,12 5 + 12 = 17 *
6,10
     ( begin {array} {ll} text {Use} 5 text {y} 12 text {como los últimos términos.} & (y + 5) (y + 12) \ text {Verificar.} & \ \ begin {array} {l} {(y + 5) (y + 12)} \ { left (y ^ {2} +12 y + 5 y + 60 right)} \ { left (y ^ {2} +17 y + 60 right)} checkmark end {array} end {array} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Factor: (x ^ {2} +19 x + 60 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Factor: (v ^ {2} +23 v + 60 )

 
 

Trinomios de factor de la forma x 2 + bx + c [19459009004 con ] b Negativo, c Positivo

 

En los ejemplos hasta ahora, todos los términos en el trinomio fueron positivos. ¿Qué sucede cuando hay términos negativos? Bueno, depende de qué término sea negativo. Veamos primero los trinomios con solo el término medio negativo.

 

Recuerde: para obtener una suma negativa y un producto positivo, los números deben ser negativos.

 

Nuevamente, piense en FOIL y de dónde viene cada término en el trinomio. Igual que antes,

 
         
  • el primer término, (x ^ 2 ), proviene del producto de los dos primeros términos en cada factor binomial, x y y ;
  •      
  • el último término positivo es el producto de los dos últimos términos
  •      
  • el término medio negativo es la suma de los términos externo e interno.
  •  
 

¿Cómo se obtiene un producto positivo y una suma negativa ? Con dos números negativos.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Factor: (t ^ {2} -11 t + 28 )

 
     
Respuesta
     
     

Nuevamente, con el último término positivo, 28, y el término medio negativo, −11t, necesitamos dos factores negativos. Encuentra dos números que multiplican 28 y suman a −11.

     

( begin {array} {ll} & t ^ {2} -11 t + 28 \ text {Escribe los factores como dos binomios con los primeros términos} t & (t qquad) (t qquad ) end {array} )

     

Encuentra dos números que: se multiplican por 28 y se suman a −11.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Factores de 28 Suma de factores
−1, −28 −1 + (- 28) = – 29
−2, −14 −2 + (- 14) = – 16
−4, −7 (- 4 + (- 7) = – 11 ^ {*} )
     ( begin {array} {ll} text {Use} -4, -7 text {como los últimos términos de los binomios.} & (t-4) (t-7) \ text {Marque. } \\ begin {array} {l} {(t-4) (t-7)} \ {t ^ {2} -7 t-4 t + 28} \ {t ^ {2} -11 t + 28} marca de verificación end {array} end {array} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Factor: (u ^ {2} -9 u + 18 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Factor: (y ^ {2} -16 y + 63 )

 
 

Factor de trinomios de la forma x2 + bx + c con c Negativo

 

Ahora, ¿qué pasa si el último término en el trinomio es negativo? Piensa en FOIL. El último término es el producto de los últimos términos en los dos binomios. Un producto negativo resulta de multiplicar dos números con signos opuestos. Debe tener mucho cuidado al elegir los factores para asegurarse de obtener también el signo correcto para el mediano plazo.

 

Recuerde: para obtener un producto negativo, los números deben tener signos diferentes.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Factor: (z ^ {2} +4 z-5 )

 
     
Respuesta
     
     

Para obtener un último término negativo, multiplique uno positivo y uno negativo. Necesitamos factores de −5 que se suman a los positivos 4.

                                                                                                                                                                                                                                                   
Factores de −5 Suma de factores
1, −5 1 + (- 5) = – 4
−1,5 −1 + 5 = 4 *
     

Aviso: enumeramos 1, −5 y −1,5 para asegurarnos de que el signo del término medio es correcto.

     

( begin {array} {ll} & z ^ {2} +4 z-5 \ text {Los factores serán dos binomios con los primeros términos z.} & (Z qquad) (z qquad) \ text {Use} -1,5 text {como los últimos términos de los binomios.} & (z-1) (z + 5) \ text {Check.} & \ \ begin { matriz} {l} {(z-1) (z + 5)} \ {z ^ {2} +5 z-1 z-5} \ {z ^ {2} +4 z-5} marca de verificación end {array} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Factor: (h ^ {2} +4 h-12 )

 
     
Respuesta
     
     

((h-2) (h + 6) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Factor: (: 2 ^ {2} + k-20 )

 
     
Respuesta
     
     

((k-4) (k + 5) )

     
 
 
 

Hagamos un pequeño cambio en el último trinomio y veamos qué efecto tiene sobre los factores.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Factor: (z ^ {2} -4 z-5 )

 
     
Respuesta
     
     

Esta vez, necesitamos factores de −5 que sumen a −4.

                                                                                                                                                                                                                                                   
Factores de −5 Suma de factores
1, −5 1 + (- 5) = – 4 *
−1,5 −1 + 5 = 4
     

( begin {array} {ll} & z ^ {2} -4 z-5 \ text {Los factores serán dos binomios con los primeros términos z.} & (Z qquad) (z qquad) \ text {Use} 1, -5 text {como los últimos términos de los binomios.} & (z + 1) (z-5) \ text {Check.} & \ \ begin { array} {l} {(z + 1) (z-5)} \ z ^ {2} -5 z + 1 z-5 \ z ^ {2} -4 z-5 checkmark end {array } end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Factor: (x ^ {2} -4 x-12 )

 
     
Respuesta
     
     

((x + 2) (x-6) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Factor: (y ^ {2} -y-20 )

 
     
Respuesta
     
     

((y + 4) (y-5) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Factor: (q ^ {2} -2 q-15 )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & q ^ {2} -2 q-15 \ text {Los factores serán dos binomios con los primeros términos q.} & (Q qquad) (q qquad) \ text {Puede usar} 3, -5 text {como los últimos términos de los binomios.} & (q + 3) (q-5) \ end {array} )

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Factores de −15 Suma de factores
1, −15 1 + (- 15) = – 14
−1,15 −1 + 15 = 14
3, −5 3 + (- 5) = – 2 *
−3,5
     

( begin {array} {ll} text {Check.} & \ \ begin {array} {l} {(q + 3) (q-5)} \ q ^ {2 } -5 q + 3 z-15 \ q ^ {2} -2q-15 marca de verificación end {array} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Factor: (r ^ {2} -3 r-40 )

 
     
Respuesta
     
     

((r + 5) (r-8) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Factor: (s ^ {2} -3 s-10 )

 
     
Respuesta
     
     

((s + 2) (s-5) )

     
 
 
 

Algunos trinomios son primos. La única forma de asegurarse de que un trinomio es primo es enumerar todas las posibilidades y demostrar que ninguna de ellas funciona.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Factor: (y ^ {2} -6 y + 15 )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & y ^ {2} -6 y + 15 \ text {Los factores serán dos binomios con el primero} & (y qquad) (y qquad) \ texto {términos y.} end {array} )

                                                                                                                                                                                                                                                   
Factores de 15 Suma de factores
−1, −15 −1 + (- 15) = – 16
−3, −5 −3 + (- 5) = – 8
     

Como se muestra en la tabla, ninguno de los factores se suma a −6; por lo tanto, la expresión es primo.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Factor: (m ^ {2} +4 m + 18 )

 
     
Respuesta
     
     

primo

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Factor: (n ^ {2} -10 n + 12 )

 
     
Respuesta
     
     

primo

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Factor: (2 x + x ^ {2} -48 )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & 2 x + x ^ {2} -48 \ text {Primero ponemos los términos en orden de grado decreciente.} & X ^ {2} +2 x-48 \ text {Los factores serán dos binomios con los primeros términos} x text {.} & (x qquad) (x qquad) end {array} )

     

Como se muestra en la tabla, puede usar −6,8 como los últimos términos de los binomios.

     

[(x-6) (x + 8) ]

                                                                                                                                                                                                                                                   
Factores de −48 Suma de factores
−1,48 −1 + 48 = 47
−2,24
−3,16
−4,12
−6,8
−2 + 24 = 22
−3 + 16 = 13
−4 + ​​12 = 8
−6 + 8 = 2
     

( begin {array} {l} { text {Check.}} \ {(x-6) (x + 8)} \ {x ^ {2} -6 q + 8 q- 48} \ {x ^ {2} +2 x-48} marca de verificación end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Factor: (9 m + m ^ {2} +18 )

 
     
Respuesta
     
     

((m + 3) (m + 6) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Factor: (- 7 n + 12 + n ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

((n-3) (n-4) )

     
 
 
 

Resumamos el método que acabamos de desarrollar para factorizar trinomios de la forma (x ^ {2} + b x + c )

 
 

Nota

 

Cuando factorizamos un trinomio, primero observamos los signos de sus términos para determinar los signos de los factores binomiales.

 

[ begin {array} {c} {x ^ {2} + b x + c} \ {(x + m) (x + n)} end {array} ]

 

Cuando c es positivo, m y n tienen el mismo signo.

 

[ begin {array} {cc} { text {b positive}} & { text {b negative}} \ {m, n text {positive}} & {m, n text { negativo}} \ {x ^ {2} +5 x + 6} y {x ^ {2} -6 x + 8} \ {(x + 2) (x + 3)} & {(x-4 ) (x-2)} \ { text {mismos signos}} & { text {mismos signos}} end {array} ]

 

Cuando c es negativo, m y n tienen signos opuestos.

 

[ begin {array} {cc} {x ^ {2} + x-12} y {x ^ {2} -2 x-15} \ {(x + 4) (x-3) } & {(x-5) (x + 3)} \ { text {signos opuestos}} & { text {signos opuestos}} end {array} ]

 

Observe que, en el caso de que m y n tengan signos opuestos, el signo del que tiene el valor absoluto mayor coincide con el signo de b .

 
 

Factor trinomiales de la forma x 2 + bxy + cy cy cy 2

 

A veces necesitarás factorizar trinomios de la forma (x ^ {2} + bx y + cy ^ {2} ) con dos variables, como (x ^ {2} +12 x y + 36 y ^ {2} ). El primer término, (x ^ 2 ), es el producto de los primeros términos de los factores binomiales, (x cdot x ). El (y ^ 2 ) en el último término significa que los segundos términos de los factores binomiales deben contener y . Para obtener los coeficientes b y c , utilice el mismo proceso resumido en el objetivo anterior.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} )

 

Factor: (x ^ {2} +12 x y + 36 y ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & x ^ {2} +12 x y + 36 y ^ {2} \ text {Tenga en cuenta que los primeros términos son} x, text {últimos términos} & left (x _ {-} y right) left (x _ {-} y right) \ text {contener} y end {array} )

     

Encuentra los números que se multiplican por 36 y suman 12.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Factores de 36 Suma de factores
1, 36 1 + 36 = 37
2, 18 2 + 18 = 20
3, 12 3 + 12 = 15
4, 9 4 + 9 = 13
6, 6 6 + 6 = 12 *
     

( begin {array} {ll} { text {Use} 6 text {y} 6 text {como los coeficientes de los últimos términos.}} & (X + 6 y) (x + 6 y) \ { text {Verifique su respuesta.}} end {array} )

     

( begin {array} {l} {(x + 6 y) (x + 6 y)} \ {x ^ {2} +6 x y + 6 x y + 36 y ^ {2} } \ {x ^ {2} +12 x y + 36 y ^ {2}} marca de verificación end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} )

 

Factor: (u ^ {2} +11 u v + 28 v ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

((u + 4 v) (u + 7 v) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} )

 

Factor: (x ^ {2} +13 x y + 42 y ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

((x + 6 y) (x + 7 y) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {31} )

 

Factor: (r ^ {2} -8 r s-9 s ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

Necesitamos (r ) en el primer término de cada binomio y (s ) en el segundo término. El último término del trinomio es negativo, por lo que los factores deben tener signos opuestos.

     

( begin {array} {ll} & r ^ {2} -8 r s-9 s ^ {2} \ text {Tenga en cuenta que los primeros términos son} r, text {los últimos términos contienen } s & left (r _ {-} s right) left (r _ {-} s right) end {array} )

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Factores de −9 Suma de factores
1, −9 1 + (- 9) = – 8 *
−1,9 −1 + 9 = 8
3, −3 3 + (- 3) = 0
     

( begin {array} {ll} text {Use} 1, -9 text {como coeficientes de los últimos términos.} & (R + s) (r-9 s) \ { text {Verifique su respuesta.}} End {array} )

     

( begin {array} {l} {(r-9 s) (r + s)} \ {r ^ {2} + r s-9 r s-9 s ^ {2}} {r ^ {2} -8 r s-9 s ^ {2}} marca de verificación end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {32} )

 

Factor: (a ^ {2} -11 a b + 10 b ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

((a-b) (a-10 b) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {33} )

 

Factor: (m ^ {2} -13 m n + 12 n ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

((m-n) (m-12 n) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {34} )

 

Factor: (u ^ {2} -9 u v-12 v ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

Necesitamos u en el primer término de cada binomio yv en el segundo término. El último término del trinomio es negativo, por lo que los factores deben tener signos opuestos.

     

( begin {array} {ll} & u ^ {2} -9 u v-12 v ^ {2} \ text {Tenga en cuenta que los primeros términos son} u, text {los últimos términos contienen } v & left (u _ {-} v right) left (u _ {-} v right) end {array} )

     

Encuentra los números que se multiplican por −12 y se suman a −9.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Factores de −12 Suma de factores
1, −12 1 + (- 12) = – 11
−1,12 −1 + 12 = 11
2, −6 2 + (- 6) = – 4
−2,6 −2 + 6 = 4
3, −4 3 + (- 4) = – 1
−3,4 −3 + 4 = 1
     

Tenga en cuenta que no hay pares de factores que nos den −9 como suma. El trinomio es primo.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {35} )

 

Factor: (x ^ {2} -7 x y-10 y ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

primo

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {36} )

 

Factor: (p ^ {2} +15 p q + 20 q ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

primo

     
 
 
 
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