Funciones exponenciales
En este punto de nuestro estudio del álgebra, comenzamos a analizar las funciones trascendentales o las funciones que parecen “trascender” el álgebra. Hemos estudiado funciones con bases variables y exponentes constantes como (x ^ {2} ) o (y ^ {- 3} ). En esta sección exploramos funciones con una base constante y exponentes variables. Dado un número real (b> 0 ) donde (b ≠ 1 ) una exponencial función 5 tiene la forma
(f (x) = b ^ {x} quad color {Cerulean} {Exponencial : Función} )
Por ejemplo, si la base (b ) es igual a (2 ), entonces tenemos la función exponencial definida por (f (x) = 2 ^ {x} ). Aquí podemos ver que el exponente es la variable. Hasta este punto, los exponentes racionales se han definido pero los exponentes irracionales no. Considere (2 ^ { sqrt {7}} ), donde el exponente es un número irracional en el rango,
(2.64 < sqrt {7} <2.65 )
Podemos usar estos límites para estimar (2 ^ { sqrt {7}} ),
(2 ^ {2.64} <2 ^ { sqrt {7}} <2 ^ {2.65} )
(6.23 <2 ^ { sqrt {7}} <6.28 ) [19459011 ]
Utilizando exponentes racionales de esta manera, se puede obtener una aproximación de (2 ^ { sqrt {7}} ) con cualquier nivel de precisión. En una calculadora,
(2 ^ { wedge} sqrt {7} aprox. 6.26 )
Por lo tanto, el dominio de cualquier función exponencial consiste en todos los números reales ((- ∞, ∞) ). Elija algunos valores para (x ) y luego determine los valores correspondientes de (y ).
| (x ) | (y ) | (f (x) = 2 ^ {x} ) | ( color {Cerulean} {Solutions} ) |
|---|---|---|---|
| (- 2 ) | ( color {Cerulean} { frac {1} {4}} ) | (y = 2 ^ {- 2} = frac {1} {2 ^ {2}} = frac {1} {4} ) | ( left (-2, frac {1} {4} right) ) |
| (- 1 ) | ( color {Cerulean} { frac {1} {2}} ) | (y = 2 ^ {- 1} = frac {1} {2 ^ {1}} = frac {1} {2} ) | ( left (-1, frac {1} {2} right) ) |
| (0 ) | ( color {Cerulean} {1} ) | (y = 2 ^ {0} = 1 ) | ((0,1) ) |
| (1 ) | ( color {Cerulean} {2} ) | (y = 2 ^ {1} = 2 ) | ((1,2) ) |
| (2 ) | ( color {Cerulean} {4} ) | (y = 2 ^ {2} = 4 ) | ((2,4) ) |
| ( sqrt {7} ) | ( color {Cerulean} {6.26} ) | (y = 2 ^ { sqrt {7}} aprox 6.26 ) | ((2.65,6.26) ) |
Debido a que los exponentes se definen para cualquier número real, podemos dibujar el gráfico usando una curva continua a través de estos puntos dados:
Es importante señalar que a medida que (x ) se acerca al infinito negativo, los resultados se vuelven muy pequeños pero nunca llegan a cero. Por ejemplo,
(f (-5) = 2 ^ {- 5} = frac {1} {2 ^ {5}} aprox 0.03125 )
(f (-10) = 2 ^ {- 10} = frac {1} {2 ^ {10}} aprox 0.0009766 )
(f (-15) = 2 ^ {- 15} = frac {1} {2 ^ {- 15} } aprox .00003052 )
Esto describe una asíntota horizontal en (y = 0 ), el eje (x ), y define un límite inferior para el rango de la función: ((0, ∞) ).
La base (b ) de una función exponencial afecta la velocidad a la que crece. A continuación, hemos graficado (y = 2 ^ {x}, y = 3 ^ {x} ) y (y = 10 ^ {x} ) en el mismo conjunto de ejes.
Tenga en cuenta que todas estas funciones exponenciales tienen la misma intersección (y ), es decir, ((0, 1) ). Esto se debe a que (f (0) = b ^ {0} = 1 ) para cualquier función definida usando la forma (f (x) = b ^ {x} ). Como las funciones se leen de izquierda a derecha, se interpretan como que aumentan o crecen exponencialmente. Además, cualquier función exponencial de esta forma tendrá un dominio que consta de todos los números reales ((- ∞, ∞) ) y un rango que consta de valores positivos ((0, ∞) ) delimitados por una asíntota horizontal en (y = 0 ).
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
Dibuje el gráfico y determine el dominio y el rango: (f (x) = 10 ^ {x} +5 ).
Solución
La base (10 ) se usa a menudo, sobre todo con notación científica. Por lo tanto, (10 ) se llama la base común. De hecho, la función exponencial (y = 10 ^ {x} ) es tan importante que encontrará un botón (10 ^ {x} ) dedicado a ella en la mayoría de las calculadoras científicas modernas. En este ejemplo, dibujaremos el gráfico básico (y = 10 ^ {x} ) y luego lo desplazaremos hacia arriba (5 ) unidades.
Tenga en cuenta que la asíntota horizontal de la gráfica básica (y = 10 ^ {x} ) se desplazó hacia arriba (5 ) unidades a (y = 5 ) (se muestra discontinua). Tómese un minuto para evaluar algunos valores de (x ) con su calculadora y convencerse de que el resultado nunca será menor que (5 ).
Respuesta
Dominio: ((- infty, infty) ); Rango: ((5, infty) )
Luego considere las funciones exponenciales con bases fraccionarias (0
(x )
(y )
(f (x) = left ( frac {1} {2} right) ^ {x} )
( color {Cerulean} {Solutions} )
(- 2 )
( color {Cerulean} {4} )
(f left ( frac {1} {2} right) = left ( frac {1} {2} right) ^ {- 2} = frac {1 ^ {- 2} } {2 ^ {- 2}} = frac {2 ^ {2}} {1 ^ {2}} = 4 )
((- 2,4) )
(- 1 )
( color {Cerulean} {2} )
(f left ( frac {1} {2} right) = left ( frac {1} {2} right) ^ {- 1} = frac {1 ^ {- 1} } {2 ^ {- 1}} = frac {2 ^ {1}} {1 ^ {1}} = 2 )
((- 1,2) )
(0 )
( color {Cerulean} {1} )
(f left ( frac {1} {2} right) = left ( frac {1} {2} right) ^ {0} = 1 )
((0,1) )
(1 )
( color {Cerulean} { frac {1} {2}} )
(f left ( frac {1} {2} right) = left ( frac {1} {2} right) ^ {1} = frac {1} {2} )
( left (1, frac {1} {2} right) )
(2 )
( color {Cerulean} { frac {1} {4}} )
(f left ( frac {1} {2} right) = left ( frac {1} {2} right) ^ {2} = frac {1} {4} )
( left (2, frac {1} {4} right) )
Puntos de trazado que tenemos,
Al leer el gráfico de izquierda a derecha, se interpreta que disminuye exponencialmente. La base afecta la velocidad a la que la función exponencial disminuye o decae. A continuación, hemos graficado (y = left ( frac {1} {2} right) ^ {x}, y = left ( frac {1} {3} right) ^ {x} ), y (y = left ( frac {1} {10} right) ^ {x} ) en el mismo conjunto de ejes.
Recuerde que (x ^ {- 1} = frac {1} {x} ) y así podemos expresar funciones exponenciales con bases fraccionarias usando exponentes negativos. Por ejemplo,
(g (x) = left ( frac {1} {2} right) ^ {x} = frac {1 ^ {x}} {2 ^ {x}} = frac {1 } {2 ^ {x}} = 2 ^ {- x} )
Además, dado que (f (x) = 2 ^ {x} ) podemos ver (g (x) = f (-x) = 2 ^ {- x} ) y podemos considerar ( g ) para ser un reflejo de (f ) sobre el eje (y ).
En resumen, dado (b> 0 )
Y para ambos casos,
( begin {alineado} color {Cerulean} {Dominio:} & (- infty, infty) \ color {Cerulean} {Rango:} & (0, infty) \ color {Cerulean} {intersección en y:} & (0,1) \ color {Cerulean} {Asíntota:} & y = 0 end {alineado} )
Además, tenga en cuenta que los gráficos pasan la prueba de la línea horizontal y, por lo tanto, las funciones exponenciales son uno a uno. Utilizamos estos gráficos básicos, junto con las transformaciones, para dibujar los gráficos de funciones exponenciales.
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Dibuje el gráfico y determine el dominio y el rango: (f (x) = 5 ^ {- x} -10 ).
Solución
Comience con el gráfico básico (y = 5 ^ {- x} ) y muévalo hacia abajo (10 ) unidades.
La intersección (y ) – es ((0, −9) ) y la asíntota horizontal es (y = −10 ).
Respuesta
Dominio: ((- infty, infty) ); Rango: ((- 10, infty) )
Encontrar la intersección (x ) – del gráfico en el ejemplo anterior se deja para una sección posterior en este capítulo. Por ahora, nos preocupa más la forma general de las funciones exponenciales.
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Dibuje el gráfico y determine el dominio y el rango de (g (x) = – 2 ^ {x-3} ).
Solución
Comienza con el gráfico básico (y = 2 ^ {x} ) e identifica las transformaciones.
( begin {array} {l} {y = 2 ^ {x}} quad quad quad color {Cerulean} {Basic : graph} \ {y = -2 ^ {x} } quad : : : : color {Cerulean} {Reflection : about : the : x-axis} \ {y = -2 ^ {x-3}} quad color {Cerulean } {Shift : right : 3 : units} end {array} )
Tenga en cuenta que la asíntota horizontal sigue siendo la misma para todas las transformaciones. Para terminar, generalmente queremos incluir la intercepción (y ). Recuerde que para encontrar la intercepción (y ) – establecemos (x = 0 ).
( begin {alineado} g ( color {Cerulean} {0} color {black} {)} & = – 2 ^ { color {Cerulean} {0} color {black} {-} 3} \ & = – 2 ^ {- 3} \ & = – frac {1} {2 ^ {3}} \ & = – frac {1} {8} end {alineado} )
Por lo tanto, la intersección (y ) – es ( left (0, – frac {1} {8} right) ).
Respuesta
Dominio: ((- infty, infty) ); Rango: ((- infty, 0) )
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Dibuje el gráfico y determine el dominio y el rango: (f (x) = 2 ^ {x-1} +3 )
- Respuesta
-
Figura 7.2.13 Dominio: ((- infty, infty) ); Rango: ((3, infty) )
