7.2: Multiplicar y dividir expresiones racionales

7.2: Multiplicar y dividir expresiones racionales

Simplificar expresiones racionales

 

Una fracción se considera simplificada si no hay factores comunes, distintos de 1, en su numerador y denominador. De manera similar, una expresión racional simplificada no tiene factores comunes, aparte de 1, en su numerador y denominador.

 
 
 

EXPRESIÓN RACIONAL SIMPLIFICADA

 

Una expresión racional se considera simplificada si no hay factores comunes en su numerador y denominador.

 
 
 

Por ejemplo,

 

[ begin {array} {l} dfrac {x + 2} {x + 3} text {se simplifica porque no hay factores comunes de} x + 2 text {y} x + 3. \ dfrac {2x} {3x} text {no se simplifica porque x es un factor común de} 2x text {y} 3x. \ end {array} nonumber ]

 

Utilizamos la propiedad de fracciones equivalentes para simplificar fracciones numéricas. Lo reformulamos aquí, ya que también lo usaremos para simplificar expresiones racionales.

 
 
 

PROPIEDAD DE FRACCIONES EQUIVALENTES

 

Si (a ), (b ) y (c ) son números donde (b neq 0, c neq 0, )

 

[ text {entonces} dfrac {a} {b} = dfrac {a · c} {b · c} text {y} dfrac {a · c} {b · c} = dfrac {a} {b} nonumber ]

 
 
 

Observe que en la propiedad de fracciones equivalentes, los valores que harían que los denominadores fueran cero están específicamente prohibidos. Vemos (b neq 0, c neq 0 ) claramente establecido.

 

Para simplificar expresiones racionales, primero escribimos el numerador y el denominador en forma factorizada. Luego eliminamos los factores comunes usando la Propiedad de fracciones equivalentes.

 

Ten mucho cuidado al eliminar factores comunes. Los factores se multiplican para hacer un producto. Puede eliminar un factor de un producto. No puede eliminar un término de una suma.

 

The rational expression is the quantity 2 times 3 times 7 divided by the quantity 3 times 5 times 7 are 3 and 7. Its common factors are 3 and 7, which are factors of the product. When they are removed, the result is two-fifths. The rational expression is the product of 3 x and the quantity x minus 9 divided by the product of 5 and the quantity x minus 9. The common factor is x minus 9, which is a factor of the product. When it is removed, the result is 3 x divided by 5. The rational expression is the quantity x plus 5 divided by 5. There is an x both the numerator and denomiantor. However, it is a term of the sum in the numerator. The rational expression has no common factors.

 

Eliminar los (x ) ‘s de ( dfrac {x + 5} {x} ) sería como cancelar los (2 )’ s en la fracción ( dfrac {2 + 5 } {2}! )

 
 

Cómo simplificar una expresión racional

 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {4} )

 

Simplifica: ( dfrac {x ^ 2 + 5x + 6} {x ^ 2 + 8x + 12} )

 
     
Respuesta
     
     

Step 1 is to factor the numerator and denominator completely in the rational expression, the quantity x squared plus 5 x plus six divided by the quantity x squared 8 x plus 12. The numerator, x squared plus 5 x plus six, factors into the quantity x plus 2 times the quantity x plus 3. The denominator, x squared 8 x plus 12, factors into the quantity x plus 2 times the quantity x plus 6. Step 2 is to simplify the rational expression, the quantity x plus 2 times the quantity x plus 3 all divided by the quantity x plus 2 times the quantity x plus 6, by dividing out the common factor, x plus 6. The result of removing the common factor is the quantity x plus 3 divided by the quantity x plus 6, where x is not equal to 2 and x is not equal to -6.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {5} )

 

Simplifique: ( dfrac {x ^ 2 − x − 2} {x ^ 2−3x + 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {x + 1} {x − 1}, x neq 2, x neq 1 )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {6} )

 

Simplifica: ( dfrac {x ^ 2−3x − 10} {x ^ 2 + x − 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {x − 5} {x − 1}, x neq −2, x neq 1 )

     
 
 
 
 
 

Ahora resumimos los pasos que debe seguir para simplificar expresiones racionales.

 
 
 

SIMPLIFIQUE UNA EXPRESIÓN RACIONAL.

 
         
  1. Factoriza el numerador y el denominador por completo.
  2.      
  3. Simplifica dividiendo factores comunes.
  4.  
 
 
 

Por lo general, dejamos la expresión racional simplificada en forma factorizada. De esta manera, es fácil comprobar que hemos eliminado todos los factores comunes.

 

Usaremos los métodos que hemos aprendido para factorizar los polinomios en los numeradores y denominadores en los siguientes ejemplos.

 

Cada vez que escribimos una expresión racional, debemos hacer una declaración que rechace los valores que harían un denominador cero. Sin embargo, para centrarnos en el trabajo en cuestión, omitiremos escribirlo en los ejemplos.

 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {7} )

 

Simplifique: ( dfrac {3a ^ 2−12ab + 12b ^ 2} {6a ^ 2−24b ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & dfrac {3a ^ 2−12ab + 12b ^ 2} {6a ^ 2−24b ^ 2} \ & \ & \ begin {array} { l} text {Factoriza el numerador y el denominador,} \ text {primero factorizando el MCD.} end {array} & dfrac {3 (a ^ 2−4ab + 4b ^ 2)} {6 (a ^ 2−4b ^ 2)} \ & \ & dfrac {3 (a − 2b) (a − 2b)} {6 (a + 2b) (a − 2b)} \ & \ text { Elimine los factores comunes de} a − 2b text {y} 3. & Dfrac { cancel {3} (a − 2b) cancel {(a − 2b)}} { cancel {3} · 2 (a + 2b) cancel {(a − 2b)}} \ & dfrac {a − 2b} {2 (a + 2b)} end {array} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {8} )

 

Simplifica: ( dfrac {2x ^ 2−12xy + 18y ^ 2} {3x ^ 2−27y ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {2 (x − 3y)} {3 (x + 3y)} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {9} )

 

Simplifica: ( dfrac {5x ^ 2−30xy + 25y ^ 2} {2x ^ 2−50y ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {5 (x − y)} {2 (x + 5y)} )

     
 
 
 
 
 

Ahora veremos cómo simplificar una expresión racional cuyo numerador y denominador tienen factores opuestos. Anteriormente introdujimos la notación opuesta: el opuesto de (a ) es (- a ) y (- a = −1 · a ).

 

La fracción numérica, digamos ( dfrac {7} {- 7} ) se simplifica a (- 1 ). También reconocemos que el numerador y el denominador son opuestos.

 

La fracción ( dfrac {a} {- a} ), cuyo numerador y denominador son opuestos también se simplifica a (- 1 ).

 

[ begin {array} {ll} text {Veamos la expresión} b − a. & b − a \ text {Rewrite.} & −a + b \ text {Factor out} –1. & −1 (a − b) nonumber end {array} ]

 

Esto nos dice que (b − a ) es lo opuesto a (a − b ).

 

En general, podríamos escribir lo contrario de (a − b ) como (b − a ). Entonces la expresión racional ( dfrac {a − b} {b − a} ) se simplifica a (- 1 ).

 
 
 

OPUESTOS EN UNA EXPRESIÓN RACIONAL

 

Lo contrario de (a − b ) es (b − a ).

 

[ dfrac {a − b} {b − a} = – 1 quad a neq b nonumber ]

 

Una expresión y su opuesto se dividen en (- 1 ).

 
 
 

Utilizaremos esta propiedad para simplificar expresiones racionales que contienen opuestos en sus numeradores y denominadores. Tenga cuidado de no tratar (a + b ) y (b + a ) como opuestos. Recuerde que, además, el orden no importa, entonces (a + b = b + a ). Entonces, si (a neq −b ), entonces ( dfrac {a + b} {b + a} = 1 ).

 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {10} )

 

Simplifique: ( dfrac {x ^ 2−4x − 32} {64 − x ^ 2} )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
.
Factoriza el numerador y el denominador. .
Reconoce los factores que son opuestos. .
Simplifica. .
     
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {11} )

 

Simplifique: ( dfrac {x ^ 2−4x − 52} {5 − x ^ 2} )

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {x + 1} {x + 5} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {12} )

 

Simplifique: ( dfrac {x ^ 2 + x − 2} {1 − x ^ 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- dfrac {x + 2} {x + 1} )

     
 
 
 
 
 
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