7.2: notación científica

7.2: notación científica

Comenzamos esta sección examinando poderes de diez.

[ begin {align *} 10 ^ 1 & = 10 \ 10 ^ 2 & = 10 cdot 10 = 100 \ 10 ^ 3 & = 10 cdot 10 cdot 10 = 1,000 \ 10 ^ 4 & = 10 cdot 10 cdot 10 cdot 10 = 10,000 end {align *} nonumber ]

Tenga en cuenta que la respuesta for (10 ​​^ 3 ) es uno seguido de tres ceros. La respuesta para (10 ​​^ 4 ) es una seguida de cuatro ceros. ¿Ves el patrón?

A continuación, examinemos los poderes negativos de diez.

[ begin {align *} 10 ^ {- 1} & = dfrac {1} {10} = 0.1 \ 10 ^ {- 2} & = dfrac {1} {100} = 0.01 \ 10 ^ {- 3} & = dfrac {1} {1000} = 0.001 \ 10 ^ {- 4} & = dfrac {1} {10000} = 0.0001 end {align *} nonumber ]

Tenga en cuenta que la respuesta para (10 ​​^ {- 3} ) tiene tres decimales y la respuesta para (10 ​​^ {- 4 } ) contiene cuatro decimales.

Multiplicando números decimales por potencias de diez

 

Multiplicamos (1.234567 ) por (10 ​​^ 3 ), o equivalentemente, por (1,000 ).

 

[ begin {array} {ccc} 1.234567 \ ; ; times 1000 \ hline 1234.567000 end {array} nonumber ]

 

La suma total de dígitos a la derecha del punto decimal en (1.234567 ) y (1000 ) es (6 ). Por lo tanto, colocamos el punto decimal en el producto para que haya seis dígitos a la derecha del punto decimal.

 

Sin embargo, los ceros finales pueden eliminarse sin cambiar el valor del producto. Es decir, (1.234567 ) veces (1000 ) es (1234.567 ). Tenga en cuenta que el punto decimal en el producto está tres lugares más a la derecha que en el factor original. Esta observación lleva al siguiente resultado.

 
 

Multiplicando por una potencia no negativa de diez

 

Multiplicando un número decimal por (10 ​​^ n ), donde (n = 0, 1, 2, 3, ldots, ) moverá el punto decimal (n ) lugares a la derecha.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Simplifique: (325.6783 × 10 ^ 2 ).

 

Solución

 

Multiplicar por (10 ​​^ 2 ) moverá el punto decimal dos lugares a la derecha. Entonces: [325.6783 × 10 ^ 2 = 32,567.83 nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Simplificar: (23.57889 × 10 ^ 3 )

 
     
Respuesta
     
     

(23,578.89 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Simplifique: (1.25 × 10 ^ 5 ).

 

Solución

 

Multiplicar por (10 ​​^ 5 ) moverá el punto decimal dos lugares a la derecha. En este caso, necesitamos agregar ceros al final del número para lograr mover los lugares decimales (5 ) a la derecha. [1.25 × 105 = 125,000 nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Simplificar: (2.35 × 10 ^ 4 )

 
     
Respuesta
     
     

(23,500 )

     
 
 
 

Multiplicamos (453.9 ) por (10 ​​^ {- 2} ), o equivalentemente, por (0.01 ).

 

[ begin {array} {ccc} 453.9 \ times 0.01 \ hline 4.539 end {array} nonumber ]

 

La suma total de dígitos a la derecha del punto decimal en (453.9 ) y (0.01 ) es (3 ). Por lo tanto, colocamos el punto decimal en el producto para que haya (3 ) dígitos a la derecha del punto decimal. Es decir, (453.9 × 10 ^ {- 2} = 4.539 ). Tenga en cuenta que el punto decimal en el producto está dos lugares más a la izquierda que en el factor original. Esta observación lleva al siguiente resultado.

 
 

Multiplicando por una potencia negativa de diez

 

Multiplicando un número decimal por (10 ​​^ {- n} ), donde (n = 1, 2, 3, ldots, ) moverá el punto decimal (n ) lugares a la izquierda.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Simplifique: (14,567.8 × 10 ^ {- 3} ).

 

Solución

 

Multiplicar por (10 ​​^ {- 3} ) moverá el punto decimal tres lugares a la izquierda. Así: [14,567.8 × 10 ^ {- 3} = 14 .5678 nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Simplificar: (3,854.2 × 10 ^ {- 1} )

 
     
Respuesta
     
     

(385 .42 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Simplifique: (4.3 × 10 ^ {- 4} ).

 

Solución

 

Multiplicar por (10 ​​^ {- 4} ) moverá el punto decimal cuatro lugares a la izquierda. En este caso, necesitamos agregar algunos ceros al principio del número para lograr mover los lugares decimales (4 ) a la izquierda. [4.3 × 10 ^ {- 4} = 0.00043 nonumber ]. Tenga en cuenta también el cero inicial antes del punto decimal. Aunque (. 00043 ) es un número equivalente, la forma (0.00043 ) se prefiere en matemáticas y ciencias.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Simplificar: (2.2 × 10 ^ {- 2} )

 
     
Respuesta
     
     

(0,022 )

     
 
 
 

Formulario de notación científica

 

Comenzamos definiendo la forma de un número llamado notación científica .

 
 

Notación científica

 

Un número que tiene la forma [a × 10 ^ b nonumber ] donde (b ) es un número entero y (1 ≤ | a | <10 ), se dice que está en cientí fi co notación .

 
 

El requisito (1 ≤ | a | <10 ) dice que la magnitud de a debe ser al menos (1 ) y menor que (10 ​​).

 
         
  • El número (12.34 × 10 ^ {- 4} ) es no en notación científica porque (| 12.34 | = 12.34 ) es mayor que (10 ​​).
  •      
  • El número (- 0.95 × 10 ^ 3 ) es no en notación científica porque (| −0.95 | = 0.95 ) es menor que (1 ).
  •      
  • El número (7.58 × 10 ^ {- 12} ) está en notación científica porque (| 7.58 | = 7.58 ) es mayor o igual que (1 ) y menor que (10 ​​).
  •      
  • El número (- 1.0 × 10 ^ {15} ) está en notación científica porque (| −1.0 | = 1.0 ) es mayor o igual que (1 ) y menos de 10).
  •  
 

Después de contemplar estos ejemplos, se deduce que un número en notación científica debe tener exactamente uno de los dígitos (1, 2, 3, ldots, 9 ) antes del punto decimal. Exactamente uno, ni más ni menos. Por lo tanto, cada uno de los siguientes números está en notación científica.

 

[4.7 × 10 ^ 8, quad −3.764 × 10 ^ {- 1}, quad 3.2 × 10 ^ 0, quad text {y} quad −1.25 × 10 ^ {- 22} no número ]

 

Colocación de un número en notación científica

 

Para colocar un número en notación científica, necesitamos mover el punto decimal para que exactamente uno de los dígitos (1, 2, 3, ldots, 9 ) quede a la izquierda del punto decimal , luego multiplique por la potencia apropiada de (10 ​​) para que el resultado sea equivalente al número original.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Coloque el número (1,234 ) en notación científica.

 

Solución

 

Mueva el punto decimal tres lugares hacia la izquierda para que se coloque justo después de (1 ). Para hacer que este nuevo número sea igual a (1,234 ), multiplique por (10 ​​^ 3 ). Así: [1.234 = 1.234 × 10 ^ 3 nonumber ]

 

Verifique: Multiplicar por (10 ​​^ 3 ) mueve el decimal tres lugares a la derecha, entonces: [1.234 × 10 ^ 3 = 1,234 nonumber ] Este es el número original, entonces nuestra forma de notación científica es correcta.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Coloque el número (54,321 ) en notación científica.

 
     
Respuesta
     
     

(5 .4321 × 10 ^ 4 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Coloque el número (0.000025 ) en notación científica.

 

Solución

 

Mueva el punto decimal cinco lugares hacia la derecha para que se coloque justo después de (2 ). Para hacer que este nuevo número sea igual a (0.000025 ), multiplique por (10 ​​^ {- 5} ). Por lo tanto: [0.000025 = 2.5 × 10 ^ {- 5} nonumber ]

 

Verificación: Multiplicar por (10 ​​^ {- 5} ) mueve los cinco decimales a la izquierda, entonces: [2.5 × 10 ^ {- 5} = 0 .000025 nonumber ] Este es el número original, por lo que nuestro formulario de notación científica es correcto.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Coloque el número (0.0175 ) en notación científica.

 
     
Respuesta
     
     

(1.75 × 10 ^ {- 2} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Coloque el número (34.5 × 10 ^ {- 11} ) en notación científica.

 

Solución

 

Primero, mueva el punto decimal un lugar a la izquierda para que se coloque justo después de los tres. Para hacer que esta nueva forma sea igual a (34.5 ), multiplique por (10 ​​^ 1 ). [34.5 × 10 ^ {- 11} = 3.45 × 10 ^ 1 × 10 ^ {- 11} nonumber ] Ahora, repita la base (10 ​​) y agregue los exponentes.

 

[= 3 .45 × 10 ^ {- 10} nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Coloque el número (756.98 × 10 ^ {- 5} ) en notación científica.

 
     
Respuesta
     
     

(7,5698 × 10 ^ {- 3} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Coloque el número (0.00093 × 10 ^ {12} ) en notación científica.

 

Solución

 

Primero, mueva el punto decimal cuatro lugares hacia la derecha para que se posicione justo después del nueve. Para hacer que esta nueva forma sea igual a (0.00093 ), multiplique por (10 ​​^ {- 4} ). [0.00093 × 10 ^ {12} = 9.3 × 10 ^ {- 4} × 10 ^ {12} nonumber ]

 

Ahora, repita la base (10 ​​) y agregue los exponentes. [= 9.3 × 10 ^ 8 nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Coloque el número (0.00824 × 10 ^ 8 ) en notación científica.

 
     
Respuesta
     
     

(8,24 × 10 ^ 5 )

     
 
 
 

Notación científica y la calculadora gráfica

 

La calculadora gráfica TI-84 tiene un botón especial para ingresar números en notación científica. Ubique la tecla «coma» casi la tecla número (7 ) en el teclado de la calculadora (consulte la Figura ( PageIndex {1} )). Justo encima de la tecla «coma», impresa en la caja de la calculadora está el símbolo EE . Está en el mismo color que la tecla 2 nd , por lo que deberá usar la tecla 2 nd para acceder a este símbolo .

 
fig 7.2.1.png
Figura ( PageIndex {1} ): Localice la etiqueta EE encima de la tecla «coma» en el teclado.
 

Sabemos que (2.3 × 10 ^ 2 = 230 ). Veamos si la calculadora da la misma interpretación.

 
         
  1. Ingrese (2.3 ).
  2.      
  3. Presione la tecla 2 nd , luego la tecla de coma. Esto pondrá E en la pantalla de vista de la calculadora.
  4.      
  5. Ingrese un (2 ).
  6.      
  7. Presione ENTER .
  8.  
 
fig 7.2.2.png
Figura ( PageIndex {2} ): Introducción de números en notación científica.
 

El resultado de estos pasos se muestra en la primera imagen en la Figura ( PageIndex {2} ). Tenga en cuenta que la calculadora interpreta (2.3 mathbf {E} 2 ) como (2.3 × 10 ^ 2 ) y da la respuesta correcta, (230 ). Puede continuar ingresando números en notación científica (vea la imagen del medio en la Figura ( PageIndex {2} )). Sin embargo, en algún momento los números se vuelven demasiado grandes y la calculadora responde enviando los números en una nota científica. También puede forzar a su calculadora a mostrar números en notación científica en todas las situaciones, primero presionando la tecla MODE , luego seleccionando SCI en la primera línea y presionando ENTER [ 19459013] (vea la tercera imagen en la Figura ( PageIndex {2} )). Puede regresar su calculadora al modo «normal» seleccionando NORMAL y presionando la tecla ENTER .

 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Use la calculadora gráfica para simplificar: [(2.35 × 10 ^ {- 12}) (3.25 × 10 ^ {- 4}) nonumber ]

 

Solución

 

Primero, tenga en cuenta que podemos aproximar ((2.35 × 10 ^ {- 12}) (3.25 × 10 ^ {- 4}) ) tomando el producto de (2 ) y (3 ) y sumando los poderes de diez.

 

[ begin {align *} & (2.35 times 10 ^ {- 12}) (3.25 times 10 ^ {- 4}) \ & approx (2 times 10 ^ {- 12}) (3 veces 10 ^ {- 4}) quad color {Rojo} text {Aproximado:} 2.35 aproximadamente 2 texto {y} 3.25 aproximadamente 3 \ y aproximadamente 6 veces 10 ^ {- 16 } quad color {Rojo} 2 cdot 3 = 6 text {y} 10 ^ {- 12} cdot 10 ^ {- 4} = 10 ^ {- 16} end {align *} nonumber ]

 

La calculadora gráfica proporcionará una respuesta precisa. Ingrese (2.35 mathbf {E} -12 ), presione el botón «times», luego ingrese 3.25E-4 y presione el botón ENTER. Asegúrese de utilizar el botón «negar» y no el botón «restar» para generar el signo menos. El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ).

 
fig 7.2.3.png
Figura ( PageIndex {3} ): Computación ((2.35 × 10 ^ {- 12}) (3.25 × 10 ^ {- 4}) ).
 

Por lo tanto, ((2.35 × 10 ^ {- 12}) (3.25 × 10 ^ {- 4}) = 7 .6375 × 10 ^ {- 16} ). Tenga en cuenta que esto está bastante cerca de nuestra estimación de (6 × 10 ^ {- 16} ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Usa la calculadora gráfica para simplificar: [(3.42 × 10 ^ 6) (5.86 × 10 ^ {- 9}) nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

(2.00412 × 10 ^ {- 2} )

     
 
 
 
 

Informar su respuesta en su tarea

 

Después de calcular la respuesta al Ejemplo ( PageIndex {11} ) en su calculadora, escriba lo siguiente en su tarea: [(2.35 × 10 ^ {- 12}) (3.25 × 10 ^ {- 4} ) = 7.6375 × 10 ^ {- 16} nonumber ] No escriba (7.6375 mathbf {E} -16 ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Use la calculadora gráfica para simplificar: [ dfrac {6.1 times 10 ^ {- 3}} {(2.7 times 10 ^ 4) (1.1 times 10 ^ 8)} nonumber ]

 

Solución

 

Nuevamente, no es difícil producir una respuesta aproximada.

 

[ begin {align *} & dfrac {6.1 times 10 ^ {- 3}} {(2.7 times 10 ^ 4) (1.1 times 10 ^ 8)} \ & approx dfrac {6 por 10 ^ {- 3}} {(3 por 10 ^ 4) (1 por 10 ^ 8)} quad color {Rojo} 6.1 aprox 6, 2.7 aprox 3, texto {y } 1.1 approx 1 \ & approx dfrac {6 times 10 ^ {- 3}} {3 times 10 ^ {12}} quad color {Red} 3 cdot 1 = 3 text {y } 10 ^ {4} cdot 10 ^ {8} = 10 ^ {12} \ & approx dfrac {6} {3} cdot dfrac {10 ^ {- 3}} {10 ^ {12} } quad color {Rojo} dfrac {ac} {bd} = dfrac {a} {b} cdot dfrac {c} {d} \ & approx 2 times 10 ^ {- 15} quad color {Red} dfrac {6} {3} = 2 text {y} dfrac {10 ^ {- 3}} {10 ^ {12}} = 10 ^ {- 15} end {align * } nonumber ]

 

Vamos a obtener una respuesta precisa con nuestra calculadora. Ingrese el numerador como (6.1 mathbf {E} 3 ), luego presione el botón «división». Recuerda que debemos rodear el denominador con paréntesis. Entonces presione la tecla de paréntesis abierta, luego ingrese (2.7 mathbf {E} 4 ). Presione la tecla «veces», luego ingrese (1.1 mathbf {E} 8 ). Presione la tecla cerrar paréntesis y presione el botón ENTER . El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).

 
fig 7.2.4.png
Figura ( PageIndex {4} ): Computación (6.1 × 10 ^ {- 3} / (2.7 × 10 ^ 4 × 1.1 × 10 ^ 8) ).
 

Así, (6.1 × 10 ^ {- 3} / (2.7 × 10 ^ 4 × 1.1 × 10 ^ 8) = 2 .05387205 × 10 ^ {- 15} ). Tenga en cuenta que esto está bastante cerca de nuestra estimación de (2 × 10 ^ {- 15} ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Use la calculadora gráfica para simplificar: [ dfrac {2.6 times 10 ^ {4}} {(7.1 times 10 ^ {- 2}) (6.3 times 10 ^ 7)} nonumber ] [ 19459003]  

     
Respuesta
     
     

(5.8126537 × 10 ^ {- 3} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} )

 

La ley universal de gravitación de Isaac Newton se define por la fórmula [F = dfrac {GmM} {r ^ 2} nonumber ] donde (F ) es la fuerza de atracción entre dos objetos que tienen masa ( m ) y (M ), (r ) es la distancia entre los dos objetos, y (G ) es la constante gravitacional de Newton definida por: [G = 6 .67428 veces 10 ^ {- 11 } text {N (m / kg)} ^ 2 nonumber ] Dado que la masa de la luna es (7.3477 × 10 ^ {22} ) kilogramos (kg), la masa de la tierra es (5.9736 × 10 ^ {24} ) kilogramos (kg), y la distancia promedio entre la luna y la tierra es (3.84403 × 10 ^ 8 ) metros (m), encuentre la fuerza de atracción entre la tierra y la luna ( en newtons (N)).

 

Solución

 

Conecte los números dados a la ley universal de gravitación de Newton.

 

[F = dfrac {GmM} {r ^ 2} nonumber ]

 

[F = dfrac {(6.673 por 10 ^ {- 11}) (7.3477 por 10 ^ {22}) (5.9736 por 10 ^ {24})} {(3.84403 por 10 ^ 8 ) ^ 2} nonumber ]

 

Ingrese la expresión en su calculadora (vea la Figura ( PageIndex {5} )) como:

 

[(6.673 mathbf {E} -11 * 7.3477 mathbf {E} 22 * ​​5.9736 mathbf {E} 24) / (3.84403 mathbf {E} 8) wedge 2 nonumber ] [19459003 ]  

fig 7.2.5.png
Figura ( PageIndex {5} ): Calcular la fuerza de atracción entre la tierra y la luna.
 

Por lo tanto, la fuerza de atracción entre la tierra y la luna es aproximadamente (1.98 × 10 ^ {20} ) newtons (N).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

La masa de la Estación Espacial Internacional es (450,000 ) kg, y su distancia promedio al centro de la tierra es (387,000 ) m. Encuentre la fuerza de atracción entre la tierra y la estación (en newtons (N)).

 
     
Respuesta
     
     

(≈ 1.20 × 109 N )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} )

 

La estrella más cercana a la tierra es Alpha Centauri, (4.37 ) a años luz de la tierra. Un año luz es la distancia que recorrerá la luz en un año. La velocidad de la luz es (186,000 ) millas por segundo. ¿A cuántas millas de la tierra está Alpha Centauri?

 

Solución

 

Debido a que la velocidad de la luz se mide en millas por segundo, calculemos primero la cantidad de segundos en (4.37 ) años. Debido a que hay (365 ) días en un año, (24 ) horas en un día, (60 ) minutos en una hora y (60 ) segundos en un minuto, podemos escribir: [19459003 ]  

[ begin {alineado} 4.37 text {año} & = 4.37 text {año} times 365 dfrac { text {day}} { text {año}} times 24 dfrac { text {hr}} { text {day}} times 60 dfrac { text {min}} { text {hr}} times 60 dfrac { text {s}} { text {min}} \ & = 4.37 { color {Red} not { color {Black} text {yr}}} times 365 dfrac { color {Red} not { color {Black} text {day} }} { color {Red} not { color {Black} text {año}}} times 24 dfrac { color {Red} not { color {Black} text {hr}}} { color {Red} not { color {Black} text {day}}} times 60 dfrac { color {Red} not { color {Black} text {min}}} { color { Rojo} not { color {Black} text {hr}}} times 60 dfrac { text {s}} { color {Red} not { color {Black} text {min}}} end {alineado} nonumber ]

 

Observe cómo se cancelan las unidades, lo que indica que la respuesta final es en segundos. Con nuestro modo de calculadora configurado en notación científica (vea la imagen de la derecha en Figura ( PageIndex {2} ) ), multiplicamos los números para obtener el resultado que se muestra en la Figura ( PageIndex { 6} ). Redondeando, el número de segundos en (4.37 ) años es aproximadamente (1.38 × 10 ^ 8 ) segundos.

 

Luego, calculamos la distancia que recorre la luz en (4.37 ) años. Usando el hecho de que la distancia recorrida es igual a la velocidad multiplicada por el tiempo recorrido, tenemos:

 

[ begin {alineado} text {Distancia} & = text {Velocidad} times text {Time} \ & = 1.86 times 10 ^ 5 dfrac { text {mi}} { text {s}} cdot 1.38 times 10 ^ 8 text {s} \ & = 1.86 times 10 ^ 5 dfrac { text {mi}} { color {Red} not { color {Black } text {s}}} cdot 1.38 times 10 ^ 8 { color {Red} not { color {Black} text {s}}} end {alineado} nonumber ]

 

Observe cómo se cancelan las unidades, lo que indica que nuestra respuesta está en millas. Nuevamente, con nuestra calculadora configurada en modo de notación científica, calculamos el producto de (1.86 × 10 ^ 5 ) y (1.38 × 10 ^ 8 ). El resultado se muestra en la imagen de la derecha en la Figura ( PageIndex {6} ).

 
fig 7.2.6.png
Figura ( PageIndex {6} ): Calcular la distancia a Alpha Centauri en millas.
 

Así, la estrella Alpha Centauri está aproximadamente (2.5668 × 10 ^ {13} ) millas de la tierra, o [2.5668 × 10 ^ {13} text {millas} ≈ 25,668,000,000,000 text {millas} nonumber ] pronunciado «veinticinco cuatrillones, seiscientos sesenta y ocho trillones de millas».

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

La ​​estrella Sirio está (8,58 ) años luz de la tierra. ¿A cuántas millas de la tierra está Sirio?

 
     
Respuesta
     
     

(≈ 5.2425 × 10 ^ {13} ) millas

     
 
 
 
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