Ejemplo ( PageIndex {3} )

Simplifique: (325.6783 × 10 ^ 2 ).

Solución

Multiplicar por (10 ​​^ 2 ) moverá el punto decimal dos lugares a la derecha. Entonces: [325.6783 × 10 ^ 2 = 32,567.83 nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Simplifique: (1.25 × 10 ^ 5 ).

Solución

Multiplicar por (10 ​​^ 5 ) moverá el punto decimal dos lugares a la derecha. En este caso, necesitamos agregar ceros al final del número para lograr mover los lugares decimales (5 ) a la derecha. [1.25 × 105 = 125,000 nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Simplifique: (14,567.8 × 10 ^ {- 3} ).

Solución

Multiplicar por (10 ​​^ {- 3} ) moverá el punto decimal tres lugares a la izquierda. Así: [14,567.8 × 10 ^ {- 3} = 14 .5678 nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Simplifique: (4.3 × 10 ^ {- 4} ).

Solución

Multiplicar por (10 ​​^ {- 4} ) moverá el punto decimal cuatro lugares a la izquierda. En este caso, necesitamos agregar algunos ceros al principio del número para lograr mover los lugares decimales (4 ) a la izquierda. [4.3 × 10 ^ {- 4} = 0.00043 nonumber ]. Tenga en cuenta también el cero inicial antes del punto decimal. Aunque (. 00043 ) es un número equivalente, la forma (0.00043 ) se prefiere en matemáticas y ciencias.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Coloque el número (1,234 ) en notación científica.

Solución

Mueva el punto decimal tres lugares hacia la izquierda para que se coloque justo después de (1 ). Para hacer que este nuevo número sea igual a (1,234 ), multiplique por (10 ​​^ 3 ). Así: [1.234 = 1.234 × 10 ^ 3 nonumber ]

Verifique: Multiplicar por (10 ​​^ 3 ) mueve el decimal tres lugares a la derecha, entonces: [1.234 × 10 ^ 3 = 1,234 nonumber ] Este es el número original, entonces nuestra forma de notación científica es correcta.

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Coloque el número (0.000025 ) en notación científica.

Solución

Mueva el punto decimal cinco lugares hacia la derecha para que se coloque justo después de (2 ). Para hacer que este nuevo número sea igual a (0.000025 ), multiplique por (10 ​​^ {- 5} ). Por lo tanto: [0.000025 = 2.5 × 10 ^ {- 5} nonumber ]

Verificación: Multiplicar por (10 ​​^ {- 5} ) mueve los cinco decimales a la izquierda, entonces: [2.5 × 10 ^ {- 5} = 0 .000025 nonumber ] Este es el número original, por lo que nuestro formulario de notación científica es correcto.

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Coloque el número (34.5 × 10 ^ {- 11} ) en notación científica.

Solución

Primero, mueva el punto decimal un lugar a la izquierda para que se coloque justo después de los tres. Para hacer que esta nueva forma sea igual a (34.5 ), multiplique por (10 ​​^ 1 ). [34.5 × 10 ^ {- 11} = 3.45 × 10 ^ 1 × 10 ^ {- 11} nonumber ] Ahora, repita la base (10 ​​) y agregue los exponentes.

[= 3 .45 × 10 ^ {- 10} nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {10} )

Coloque el número (0.00093 × 10 ^ {12} ) en notación científica.

Solución

Primero, mueva el punto decimal cuatro lugares hacia la derecha para que se posicione justo después del nueve. Para hacer que esta nueva forma sea igual a (0.00093 ), multiplique por (10 ​​^ {- 4} ). [0.00093 × 10 ^ {12} = 9.3 × 10 ^ {- 4} × 10 ^ {12} nonumber ]

Ahora, repita la base (10 ​​) y agregue los exponentes. [= 9.3 × 10 ^ 8 nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {11} )

Use la calculadora gráfica para simplificar: [(2.35 × 10 ^ {- 12}) (3.25 × 10 ^ {- 4}) nonumber ]

Solución

Primero, tenga en cuenta que podemos aproximar ((2.35 × 10 ^ {- 12}) (3.25 × 10 ^ {- 4}) ) tomando el producto de (2 ) y (3 ) y sumando los poderes de diez.

[ begin {align *} & (2.35 times 10 ^ {- 12}) (3.25 times 10 ^ {- 4}) \ & approx (2 times 10 ^ {- 12}) (3 veces 10 ^ {- 4}) quad color {Rojo} text {Aproximado:} 2.35 aproximadamente 2 texto {y} 3.25 aproximadamente 3 \ y aproximadamente 6 veces 10 ^ {- 16 } quad color {Rojo} 2 cdot 3 = 6 text {y} 10 ^ {- 12} cdot 10 ^ {- 4} = 10 ^ {- 16} end {align *} nonumber ]

La calculadora gráfica proporcionará una respuesta precisa. Ingrese (2.35 mathbf {E} -12 ), presione el botón “times”, luego ingrese 3.25E-4 y presione el botón ENTER. Asegúrese de utilizar el botón “negar” y no el botón “restar” para generar el signo menos. El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ).

Por lo tanto, ((2.35 × 10 ^ {- 12}) (3.25 × 10 ^ {- 4}) = 7 .6375 × 10 ^ {- 16} ). Tenga en cuenta que esto está bastante cerca de nuestra estimación de (6 × 10 ^ {- 16} ).

Ejemplo ( PageIndex {12} )

Use la calculadora gráfica para simplificar: [ dfrac {6.1 times 10 ^ {- 3}} {(2.7 times 10 ^ 4) (1.1 times 10 ^ 8)} nonumber ]

Solución

Nuevamente, no es difícil producir una respuesta aproximada.

[ begin {align *} & dfrac {6.1 times 10 ^ {- 3}} {(2.7 times 10 ^ 4) (1.1 times 10 ^ 8)} \ & approx dfrac {6 por 10 ^ {- 3}} {(3 por 10 ^ 4) (1 por 10 ^ 8)} quad color {Rojo} 6.1 aprox 6, 2.7 aprox 3, texto {y } 1.1 approx 1 \ & approx dfrac {6 times 10 ^ {- 3}} {3 times 10 ^ {12}} quad color {Red} 3 cdot 1 = 3 text {y } 10 ^ {4} cdot 10 ^ {8} = 10 ^ {12} \ & approx dfrac {6} {3} cdot dfrac {10 ^ {- 3}} {10 ^ {12} } quad color {Rojo} dfrac {ac} {bd} = dfrac {a} {b} cdot dfrac {c} {d} \ & approx 2 times 10 ^ {- 15} quad color {Red} dfrac {6} {3} = 2 text {y} dfrac {10 ^ {- 3}} {10 ^ {12}} = 10 ^ {- 15} end {align * } nonumber ]

Vamos a obtener una respuesta precisa con nuestra calculadora. Ingrese el numerador como (6.1 mathbf {E} 3 ), luego presione el botón “división”. Recuerda que debemos rodear el denominador con paréntesis. Entonces presione la tecla de paréntesis abierta, luego ingrese (2.7 mathbf {E} 4 ). Presione la tecla “veces”, luego ingrese (1.1 mathbf {E} 8 ). Presione la tecla cerrar paréntesis y presione el botón ENTER . El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).

Así, (6.1 × 10 ^ {- 3} / (2.7 × 10 ^ 4 × 1.1 × 10 ^ 8) = 2 .05387205 × 10 ^ {- 15} ). Tenga en cuenta que esto está bastante cerca de nuestra estimación de (2 × 10 ^ {- 15} ).

Ejemplo ( PageIndex {13} )

La ley universal de gravitación de Isaac Newton se define por la fórmula [F = dfrac {GmM} {r ^ 2} nonumber ] donde (F ) es la fuerza de atracción entre dos objetos que tienen masa ( m ) y (M ), (r ) es la distancia entre los dos objetos, y (G ) es la constante gravitacional de Newton definida por: [G = 6 .67428 veces 10 ^ {- 11 } text {N (m / kg)} ^ 2 nonumber ] Dado que la masa de la luna es (7.3477 × 10 ^ {22} ) kilogramos (kg), la masa de la tierra es (5.9736 × 10 ^ {24} ) kilogramos (kg), y la distancia promedio entre la luna y la tierra es (3.84403 × 10 ^ 8 ) metros (m), encuentre la fuerza de atracción entre la tierra y la luna ( en newtons (N)).

Solución

Conecte los números dados a la ley universal de gravitación de Newton.

[F = dfrac {GmM} {r ^ 2} nonumber ]

[F = dfrac {(6.673 por 10 ^ {- 11}) (7.3477 por 10 ^ {22}) (5.9736 por 10 ^ {24})} {(3.84403 por 10 ^ 8 ) ^ 2} nonumber ]

Ingrese la expresión en su calculadora (vea la Figura ( PageIndex {5} )) como:

[(6.673 mathbf {E} -11 * 7.3477 mathbf {E} 22 * ​​5.9736 mathbf {E} 24) / (3.84403 mathbf {E} 8) wedge 2 nonumber ] [19459003 ]  

Por lo tanto, la fuerza de atracción entre la tierra y la luna es aproximadamente (1.98 × 10 ^ {20} ) newtons (N).

Ejemplo ( PageIndex {14} )

La estrella más cercana a la tierra es Alpha Centauri, (4.37 ) a años luz de la tierra. Un año luz es la distancia que recorrerá la luz en un año. La velocidad de la luz es (186,000 ) millas por segundo. ¿A cuántas millas de la tierra está Alpha Centauri?

Solución

Debido a que la velocidad de la luz se mide en millas por segundo, calculemos primero la cantidad de segundos en (4.37 ) años. Debido a que hay (365 ) días en un año, (24 ) horas en un día, (60 ) minutos en una hora y (60 ) segundos en un minuto, podemos escribir: [19459003 ]  

[ begin {alineado} 4.37 text {año} & = 4.37 text {año} times 365 dfrac { text {day}} { text {año}} times 24 dfrac { text {hr}} { text {day}} times 60 dfrac { text {min}} { text {hr}} times 60 dfrac { text {s}} { text {min}} \ & = 4.37 { color {Red} not { color {Black} text {yr}}} times 365 dfrac { color {Red} not { color {Black} text {day} }} { color {Red} not { color {Black} text {año}}} times 24 dfrac { color {Red} not { color {Black} text {hr}}} { color {Red} not { color {Black} text {day}}} times 60 dfrac { color {Red} not { color {Black} text {min}}} { color { Rojo} not { color {Black} text {hr}}} times 60 dfrac { text {s}} { color {Red} not { color {Black} text {min}}} end {alineado} nonumber ]

Observe cómo se cancelan las unidades, lo que indica que la respuesta final es en segundos. Con nuestro modo de calculadora configurado en notación científica (vea la imagen de la derecha en Figura ( PageIndex {2} ) ), multiplicamos los números para obtener el resultado que se muestra en la Figura ( PageIndex { 6} ). Redondeando, el número de segundos en (4.37 ) años es aproximadamente (1.38 × 10 ^ 8 ) segundos.

Luego, calculamos la distancia que recorre la luz en (4.37 ) años. Usando el hecho de que la distancia recorrida es igual a la velocidad multiplicada por el tiempo recorrido, tenemos:

[ begin {alineado} text {Distancia} & = text {Velocidad} times text {Time} \ & = 1.86 times 10 ^ 5 dfrac { text {mi}} { text {s}} cdot 1.38 times 10 ^ 8 text {s} \ & = 1.86 times 10 ^ 5 dfrac { text {mi}} { color {Red} not { color {Black } text {s}}} cdot 1.38 times 10 ^ 8 { color {Red} not { color {Black} text {s}}} end {alineado} nonumber ]

Observe cómo se cancelan las unidades, lo que indica que nuestra respuesta está en millas. Nuevamente, con nuestra calculadora configurada en modo de notación científica, calculamos el producto de (1.86 × 10 ^ 5 ) y (1.38 × 10 ^ 8 ). El resultado se muestra en la imagen de la derecha en la Figura ( PageIndex {6} ).

Así, la estrella Alpha Centauri está aproximadamente (2.5668 × 10 ^ {13} ) millas de la tierra, o [2.5668 × 10 ^ {13} text {millas} ≈ 25,668,000,000,000 text {millas} nonumber ] pronunciado “veinticinco cuatrillones, seiscientos sesenta y ocho trillones de millas”.