En las próximas secciones, veremos las propiedades de los números reales. Muchas de estas propiedades describirán cosas que ya sabe, pero ayudará a dar nombres a las propiedades y definirlas formalmente. De esta manera podremos referirnos a ellos y usarlos a medida que resolvemos ecuaciones en el próximo capítulo.
Utilice las propiedades conmutativas y asociativas
Piensa en sumar dos números, como 5 y 3.
$$ begin {split} 5 & + 3 qquad 3 + 5 \ & ; 8 qquad qquad 8 end {split} $$
Los resultados son los mismos. 5 + 3 = 3 + 5
Aviso, el orden en que agregamos no importa. Lo mismo es cierto cuando se multiplica 5 y 3.
$$ begin {split} 5 & cdot 3 qquad ; 3 cdot 5 \ & 15 qquad quad 15 end {split} $$
Nuevamente, ¡los resultados son los mismos! 5 • 3 = 3 • 5. El orden en que multiplicamos no importa. Estos ejemplos ilustran las propiedades conmutativas de la suma y la multiplicación.
Definición: Propiedades conmutativas
Propiedad conmutativa de la suma: si a y b son números reales, entonces a + b = b + a
Propiedad conmutativa de la multiplicación: si ayb son números reales, entonces a • b = b • a
Las propiedades conmutativas tienen que ver con el orden. Si cambia el orden de los números al sumar o multiplicar, el resultado es el mismo.
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
Use las propiedades conmutativas para reescribir las siguientes expresiones: (a) −1 + 3 = _____ (b) 4 • 9 = _____
Solución
(a) −1 + 3 = _____
| Use la propiedad conmutativa de la suma para cambiar el orden. | −1 + 3 = 3 + (−1) |
(b) 4 • 9 = _____
| Usa la propiedad conmutativa de la multiplicación para cambiar el orden. | 4 • 9 = 9 • 4 |
Ejercicio ( PageIndex {1} ):
Use las propiedades conmutativas para reescribir las siguientes expresiones: (a) −4 + 7 = _____ (b) 6 • 12 = _____
- Responda a
-
(- 4 + 7 = 7 + (- 4) )
- Respuesta b
-
(6 cdot 12 = 12 cdot 6 )
Ejercicio ( PageIndex {2} ):
Use las propiedades conmutativas para reescribir las siguientes expresiones: (a) 14 + (-2) = _____ (b) 3 (-5) = _____
- Responda a
-
(14 + (- 2) = – 2 + 14 )
- Respuesta b
-
(3 (-5) = (- 5) 3 )
¿Qué pasa con la resta? ¿Importa el orden cuando restamos números? ¿7 – 3 da el mismo resultado que 3 – 7?
$$ begin {split} 7 & – 3 qquad 3 – 7 \ & ; 4 qquad quad -4 \ & quad 4 neq -4 end {split} $$
Los resultados no son los mismos. 7 – 3 ≠ 3 – 7
Dado que cambiar el orden de la resta no dio el mismo resultado, podemos decir que la resta no es conmutativa. Veamos qué sucede cuando dividimos dos números. ¿La división es conmutativa?
$$ begin {split} 12 & div 4 qquad 4 div 12 \ & dfrac {12} {4} qquad quad dfrac {4} {12} \ & ; 3 qquad qquad dfrac {1} {3} \ & quad ; 3 neq dfrac {1} {3} end {split} $$
Los resultados no son los mismos. Entonces 12 ÷ 4 ≠ 4 ÷ 12
Dado que cambiar el orden de la división no dio el mismo resultado, la división no es conmutativa.
La suma y la multiplicación son conmutativas. La resta y la división no son conmutativas.
Supongamos que se le pide que simplifique esta expresión.
$$ 7 + 8 + 2 $$
¿Cómo lo harías y cuál sería tu respuesta?
Algunas personas pensarían que 7 + 8 es 15 y luego 15 + 2 es 17. Otros podrían comenzar con 8 + 2 son 10 y luego 7 + 10 son 17.
Ambas formas dan el mismo resultado, como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ). (Recuerde que los paréntesis son símbolos de agrupación que indican qué operaciones deben realizarse primero.)
Figura ( PageIndex {1} )
Al sumar tres números, cambiar la agrupación de los números no cambia el resultado. Esto se conoce como la propiedad asociativa de la suma.
El mismo principio también es válido para la multiplicación. Supongamos que queremos encontrar el valor de la siguiente expresión:
$$ 5 cdot dfrac {1} {3} cdot 3 $$
Cambiar la agrupación de los números da el mismo resultado, como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).
Figura ( PageIndex {2} )
Al multiplicar tres números, cambiar la agrupación de los números no cambia el resultado. Esto se conoce como la propiedad asociativa de la multiplicación.
Si multiplicamos tres números, cambiar la agrupación no afecta el producto. Probablemente lo sepas, pero la terminología puede ser nueva para ti. Estos ejemplos ilustran las Propiedades asociativas .
Definición: Propiedades asociativas
Propiedad asociativa de la suma: si a, byc son números reales, entonces (a + b) + c = a + (b + c)
Propiedad asociativa de la multiplicación: si a, byc son números reales, entonces (a • b) • c = a • (b • c)
Ejemplo ( PageIndex {2} ):
Use las propiedades asociativas para reescribir lo siguiente: (a) (3 + 0.6) + 0.4 = __________ (b) ( left (−4 cdot dfrac {2} {5} right) cdot 15 ) = __________
Solución
(a) (3 + 0.6) + 0.4 = __________
| Cambiar la agrupación. | (3 + 0.6) + 0.4 = 3 + (0.6 + 0.4) |
Observe que 0.6 + 0.4 es 1, por lo que la adición será más fácil si agrupamos como se muestra a la derecha.
(b) ( left (−4 cdot dfrac {2} {5} right) cdot 15 ) = __________
| Cambiar la agrupación. | (3 + 0.6) + 0.4 = 3 + (0.6 + 0.4) |
Observe que ( dfrac {2} {5} cdot 15 ) es 6. La multiplicación será más fácil si agrupamos como se muestra a la derecha.
Ejercicio ( PageIndex {3} ):
Use las propiedades asociativas para reescribir lo siguiente: (a) (1 + 0.7) + 0.3 = __________ (b) (−9 • 8) • ( dfrac {3} {4} ) = __________ [19459001 ]
- Responda a
-
((1 + 0.7) + 0.3 = 1 + (0.7 + 0.3) )
- Respuesta b
-
((- 9 cdot 8) cdot frac {3} {4} = – 9 left (8 cdot frac {3} {4} right) )
Ejercicio ( PageIndex {4} ):
Use las propiedades asociativas para reescribir lo siguiente: (a) (4 + 0.6) + 0.4 = __________ (b) (−2 • 12) • ( dfrac {5} {6} ) = __________ [19459001 ]
- Responda a
-
((4 + 0.6) + 0.4 = 4 + (0.6 + 0.4) )
- Respuesta b
-
((- 2 cdot 12) cdot frac {5} {6} = – 2 left (12 cdot frac {5} {6} right) )
Además de usar las propiedades asociativas para facilitar los cálculos, a menudo lo usaremos para simplificar expresiones con variables.
Ejemplo ( PageIndex {3} ):
Use la propiedad asociativa de la multiplicación para simplificar: 6 (3x).
Solución
| Cambiar la agrupación. | (6 • 3) x |
| Multiplica entre paréntesis. | 18x |
Observe que podemos multiplicar 6 • 3, pero no podríamos multiplicar 3 • x sin tener un valor para x.
Ejercicio ( PageIndex {5} ):
Use la propiedad asociativa de la multiplicación para simplificar la expresión dada: 8 (4x).
- Respuesta
-
(32x )
Ejercicio ( PageIndex {6} ):
Usa la propiedad asociativa de la multiplicación para simplificar la expresión dada: −9 (7y).
- Respuesta
-
(- 63 años )