El objetivo de esta sección es aprender cómo reducir una expresión racional a “términos más bajos”. Por supuesto, eso significa que tendremos que entender lo que significa la frase “términos más bajos”. Con ese pensamiento en mente, comenzamos con una discusión sobre el máximo divisor común de un par de enteros.
Primero, definimos lo que queremos decir con “divisibilidad”.
Definición
Supongamos que tenemos un par de enteros ay b. Decimos que “a es un divisor de b” o “a divide b” si y solo si hay otro número entero k, de modo que b = ak. Otra forma de decir lo mismo es decir que a divide b si, al dividir b por a, el resto es cero.
Veamos un ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
¿Cuáles son los divisores de 12?
Solución
Debido a que (12 = 1 por 12 ), tanto 1 como 12 son divisores de 12. Porque (12 = 2 por 6 ), ambos 2 y 6 son divisores de 12. Finalmente, porque ( 12 = 3 por 4 ), tanto 3 como 4 son divisores de 12. Si los enumeramos en orden ascendente, los divisores de 12 son [1,2,3,4,6, text {y} 12 ]
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {2} )
¿Cuáles son los divisores de 18?
Solución
Debido a que (18 = 1 times 18 ), tanto 1 como 18 son divisores de 18. Del mismo modo, (18 = 2 times 9 ) y (18 = 3 times 6 ), entonces en orden ascendente, los divisores de 18 son
[1,2,3,6,9, text {y} 18 ]
El máximo común divisor de dos o más enteros es el mayor divisor que los enteros comparten en común. Un ejemplo debería aclarar esto.
Ejemplo ( PageIndex {3} )
¿Cuál es el máximo común divisor de 12 y 18?
Solución
En el ejemplo 2 y el ejemplo 3, vimos lo siguiente.
Hemos enmarcado los divisores que 12 y 18 tienen en común. Son 1, 2, 3 y 6. El “mayor” de estos divisores “comunes” es 6. Por lo tanto, decimos que “el máximo común divisor de 12 y 18 es 6.”
Definición
El máximo común divisor de dos enteros ayb es el mayor divisor que tienen en común. Usaremos la notación [MCD (a, b) ] para representar el máximo divisor común de a y b.
Así, como vimos en el Ejemplo 4, MCD (12, 18) = 6.
Cuando el máximo común divisor de un par de enteros es uno, le damos a ese par un nombre especial.
Definición
Sean a y b enteros. Si el máximo común divisor de a y b es uno, es decir, si MCD (a, b) = 1, entonces decimos que a y b son relativamente primos.
Por ejemplo:
- 9 y 12 no son relativamente primos porque MCD (9, 12) = 3.
- 10 y 15 no son relativamente primos porque MCD (10, 15) = 5.
- 8 y 21 son relativamente primos porque MCD (8, 21) = 1.
Ahora podemos definir qué se entiende cuando decimos que un número racional se reduce a los términos más bajos.
Definición
Se dice que un número racional en la forma p / q, donde p y q son enteros, se reduce a los términos más bajos si y solo si GCD (p, q) = 1. Es decir, p / q se reduce a términos más bajos si el máximo común divisor de numerador y denominador es 1.
Como vimos en el Ejemplo ( PageIndex {3} ), el máximo común divisor de 12 y 18 es 6. Por lo tanto, la fracción 12/18 no se reduce a los términos más bajos. Sin embargo, podemos reducir 12/18 a los términos más bajos dividiendo tanto el numerador como el denominador por su máximo divisor común. Es decir,
[ frac {12} {18} = frac {12 div 6} {18 div 6} = frac {2} {3} ]
Tenga en cuenta que GCD (2, 3) = 1, por lo que 2/3 se reduce a los términos más bajos.
Cuando es difícil determinar el máximo divisor común, encontraremos más eficiente proceder de la siguiente manera:
• Factoriza tanto el numerador como el denominador.
• Cancelar factores comunes.
Por lo tanto, para reducir 12/18 a los términos más bajos, primero expresa el numerador y el denominador como producto de números primos, luego cancela los números primos comunes.
[ frac {12} {18} = frac {2 cdot 2 cdot 3} {2 cdot 3 cdot 3} = frac { not {2} cdot 2 cdot not {3}} { not {2} cdot 3 cdot not {3}} = frac {2} {3} ]
Cuando cancela un 2, en realidad está dividiendo tanto el numerador como el denominador entre 2. Cuando cancela un 3, en realidad está dividiendo tanto el numerador como el denominador entre 3. Tenga en cuenta que haciendo ambos (dividiendo entre 2 y luego dividiendo por 3) es equivalente a dividir tanto el numerador como el denominador entre 6.
Favoreceremos esta última técnica, precisamente porque es idéntica a la técnica que usaremos para reducir las funciones racionales a los términos más bajos. Sin embargo, esta técnica de “cancelación” tiene algunos inconvenientes, así que tomemos un momento para discutir algunos errores comunes de cancelación.
Cancelación
Puede provocar un debate bastante acalorado entre los educadores de matemáticas al mencionar inocentemente la palabra “cancelación”. Parece que hay dos campamentos diametralmente opuestos, aquellos a los que no les importa cuando sus estudiantes usan la técnica de cancelación y, por otro lado, aquellos que se niegan a usar el término “cancelación” en sus clases.
Ambos lados del argumento tienen mérito. Como mostramos en la ecuación (8), podemos reducir 12/18 de manera bastante eficiente simplemente cancelando factores comunes. Por otro lado, los instructores del segundo campamento prefieren usar la frase “factorizar un 1” en lugar de la frase “cancelar”, alentando a sus estudiantes a reducir 12/18 de la siguiente manera.
[ frac {12} {18} = frac {2 cdot 2 cdot 3} {2 cdot 3 cdot 3} = frac {2} {3} cdot color {azul} { frac {2 cdot 3} {2 cdot 3}} = frac {2} {3} cdot 1 = frac {2} {3} ]
Esta es una técnica perfectamente válida y que, honestamente, evita las arenas movedizas de los “errores de cancelación”. Es muy probable que los instructores que se cansan de ver a sus estudiantes “cancelar” cuando no deberían promover esta última técnica.
Sin embargo, si podemos ayudar a nuestros estudiantes a evitar “errores de cancelación”, preferimos permitir que nuestros estudiantes cancelen factores comunes (como hicimos en la ecuación (8)) al reducir fracciones como 12/18 a los términos más bajos. Entonces, con estos pensamientos en mente, analicemos algunos de los errores de cancelación más comunes.
Comencemos con un consejo muy importante.
Cómo evitar errores de cancelación
Solo puede cancelar factores, no sumar. Para evitar errores de cancelación, factorice completamente antes de comenzar a cancelar.
Advertencia
Muchos de los cálculos posteriores son incorrectos. Son ejemplos de errores comunes que se realizan al realizar la cancelación. Asegúrese de leer detenidamente y evite simplemente “escanear” estos cálculos.
Como primer ejemplo, considere la expresión racional
[ frac {2 + 6} {2} ]
que claramente equivale a 8/2, o 4. Sin embargo, si cancela en esta situación, como en
[ frac {2 + 6} {2} = frac { not {2} +6} { not {2}} ]
ciertamente no obtienes el mismo resultado. ¿Entonces qué pasó?
Tenga en cuenta que en el numerador de la ecuación (10), el 2 y el 6 están separados por un signo más. Por lo tanto, no son factores; son adiciones! No está permitido cancelar adiciones, solo factores.
Suponga, por comparación, que la expresión racional había sido
[ frac {2 cdot 6} {2} ]
que claramente equivale a 12/2, o 6. En este caso, el 2 y el 6 en el numerador están separados por un símbolo de multiplicación, por lo que son factores y se permite la cancelación, como en
[ frac {2 cdot 6} {2} = frac { not {2} cdot 6} { not {2}} = 6 ]
Ahora, antes de descartar estos ejemplos como triviales, considere los siguientes ejemplos que tienen una estructura idéntica. Primero, considere
[ frac {x + (x + 2)} {x} = frac { not {x} + (x + 2)} { not {x}} = x + 2 ]
Esta cancelación es idéntica a la realizada en la ecuación (10) y no está permitida. En el numerador, tenga en cuenta que x y (x + 2) están separadas por un símbolo de suma, por lo que son sumas. ¡No está permitido cancelar los sumandos!
Por el contrario, considere el siguiente ejemplo.
[ frac {x (x + 2)} {x} = frac { not {x} (x + 2)} { not {x}} = x + 2 ]
En el numerador de este ejemplo, x y (x + 2) están separados por multiplicación implícita. Por lo tanto, son factores y la cancelación está permitida.
Mire nuevamente la ecuación (10), donde la respuesta correcta debería haber sido 8/2, o 4. Encontramos erróneamente que la respuesta era 6, porque cancelamos los sumandos. Una solución alternativa sería primero factorizar el numerador de la ecuación (10), luego cancelar, de la siguiente manera.
[ frac {2 + 6} {2} = frac {2 (1 + 3)} {2} = frac { not {2} (1 + 3)} { not {2} } = 1 + 3 = 4 ]
Tenga en cuenta que cancelamos factores en este enfoque, lo cual es permisible, y obtuve la respuesta correcta 4.
Advertencia
Hemos terminado de discutir los errores comunes de cancelación y es posible que no continúe leyendo con la confianza de que todas las matemáticas se presentan correctamente.
Reducción de expresiones racionales en x
Ahora que hemos discutido algunas ideas y técnicas fundamentales, apliquemos lo que hemos aprendido a expresiones racionales que son funciones de una variable independiente (generalmente x). Comencemos con un ejemplo simple.
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Reduzca la expresión racional [ frac {2 x-6} {x ^ {2} -7 x + 12} ] a los términos más bajos. ¿Para qué valores de x es válido su resultado?
Solución
En el numerador, factoriza un 2, como en 2x – 6 = 2 (x – 3).
El denominador es un trinomio cuadrático con ac = (1) (12) = 12. El par entero −3 y −4 tiene el producto 12 y la suma −7, por lo que el denominador se factoriza como se muestra.
[ frac {2 x-6} {x ^ {2} -7 x + 12} = frac {2 (x-3)} {(x-3) (x-4)} ]
Ahora que tanto el numerador como el denominador están factorizados, podemos cancelar factores comunes.
[ frac {2 x-6} {x ^ {2} -7 x + 12} = frac {2 (x-3) } { (x-3 ) (x-4)} = frac {2} {x-4} ]
Por lo tanto, hemos demostrado que [ frac {2 x-6} {x ^ {2} -7 x + 12} = frac {2} {x-4} ]
En la ecuación (15), estamos afirmando que la expresión de la izquierda (la expresión original) es idéntica a la expresión de la derecha para todos los valores de x.
En realidad, hay dos excepciones notables, la primera de las cuales es x = 3. Si sustituimos x = 3 en el lado izquierdo de la ecuación (15), obtenemos
[ frac {2 x-6} {x ^ {2} -7 x + 12} = frac {2 (3) -6} {(3) ^ {2} -7 (3) + 12} = frac {0} {0} ]
No podemos dividir por cero, por lo que el lado izquierdo de la ecuación (15) no está definido si x = 3. Por lo tanto, el resultado en la ecuación (15) no es válido si x = 3.
Del mismo modo, si insertamos x = 4 en el lado izquierdo de la ecuación (15),
[ frac {2 x-6} {x ^ {2} -7 x + 12} = frac {2 (4) -6} {(4) ^ {2} -7 (4) + 12} = frac {2} {0} ]
Nuevamente, la división por cero no está definida. El lado izquierdo de la ecuación (15) no está definido si x = 4, por lo que el resultado en la ecuación (15) no es válido si x = 4. Tenga en cuenta que el lado derecho de la ecuación (15) tampoco está definido en x = 4.
Sin embargo, el trabajo algebraico que hicimos anteriormente garantiza que el lado izquierdo de la ecuación (15) será idéntico al lado derecho de la ecuación (15) para todos los demás valores de x. Por ejemplo, si sustituimos x = 5 en el lado izquierdo de la ecuación (15),
[ frac {2 x-6} {x ^ {2} -7 x + 12} = frac {2 (5) -6} {(5) ^ {2} -7 (5) + 12} = frac {4} {2} = 2 ]
Por otro lado, si sustituimos x = 5 en el lado derecho de la ecuación (15),
[ frac {2} {x-4} = frac {2} {5-4} = 2 ]
Por lo tanto, ambos lados de la ecuación (15) son idénticos cuando x = 5. De manera similar, podríamos verificar la validez de la identidad en la ecuación (15) para todos los demás valores de x
Puede usar la calculadora gráfica para verificar la identidad en la ecuación (15). Cargue los lados izquierdo y derecho de la ecuación (15) en el menú Y =, como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) (a). Presione 2nd TBLSET y ajuste la configuración como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) (b). Asegúrese de resaltar AUTO para las variables independientes y dependientes y presione ENTER en cada una para que la selección sea permanente. En la Figura ( PageIndex {1} ) (b), tenga en cuenta que hemos establecido TblStart = 0 y ∆Tbl = 1. Presione 2nd TABLE para producir los resultados tabulares que se muestran en la Figura ( PageIndex {1} ) (C).
Recuerde que colocamos los lados izquierdo y derecho de la ecuación (15) en Y1 e Y2, respectivamente.
- En los resultados tabulares de la Figura ( PageIndex {1} ) (c), observe el mensaje ERR (error) en Y1 cuando x = 3 yx = 4. Esto concuerda con nuestros hallazgos anteriores, donde la izquierda lado de la ecuación (15) no estaba definido debido a la presencia de cero en el denominador cuando x = 3 o x = 4.
- En los resultados tabulares de la Figura ( PageIndex {1} ) (c), tenga en cuenta que el valor de Y1 e Y2 concuerdan con todos los demás valores de x.
Nos conducen al siguiente resultado clave.
Restricciones
En general, cuando reduce una expresión racional a los términos más bajos, la expresión obtenida debe ser idéntica a la expresión original para todos los valores de las variables en cada expresión, guarde los valores de las variables que hacen cualquier denominador igual a cero. Esto se aplica al denominador en la expresión original, a todas las expresiones intermedias en su trabajo y al resultado final. Nos referiremos a cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea igual a cero como restricciones .
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Reduce la expresión [ frac {2 x ^ {2} +5 x-12} {4 x ^ {3} +16 x ^ {2} -9 x-36} ] a los términos más bajos. Indique todas las restricciones.
Solución
El numerador es un trinomio cuadrático con ac = (2) (- 12) = −24. El par entero −3 y 8 tienen el producto −24 y la suma 5. Divide el término medio del polinomio en el numerador en una suma usando este par entero, luego factoriza por agrupamiento.
[ begin {alineado} 2 x ^ {2} +5 x-12 & = 2 x ^ {2} -3 x + 8 x-12 \ & = x (2 x-3) +4 (2 x-3) \ & = (x + 4) (2 x-3) end {alineado} ]
Factoriza el denominador agrupando.
[ begin {alineado} 4 x ^ {3} +16 x ^ {2} -9 x-36 & = 4 x ^ {2} (x + 4) -9 (x + 4) \ & = left (4 x ^ {2} -9 right) (x + 4) \ & = (2 x + 3) (2 x-3) (x + 4) end {alineado} ] [ 19459002]
Observe cómo se usó la diferencia del patrón de dos cuadrados para factorizar (4x ^ 2 – 9 = (2x + 3) (2x – 3) ) en el último paso.
Ahora que hemos factorizado tanto el numerador como el denominador, cancelamos factores comunes.
[ begin {alineado} frac {2 x ^ {2} +5 x-12} {4 x ^ {3} +16 x ^ {2} -9 x-36} & = frac { (x + 4) (2 x-3)} {(2 x + 3) (2 x-3) (x + 4)} \ & = frac { (x + 4) (2 x- 3) } {(2 x + 3) (2 x-3) (x + 4) } \ & = frac {1} {2 x + 3} end {alineado } ]
Ahora debemos determinar las restricciones. Esto significa que debemos encontrar los valores de x que hacen que cualquier denominador sea igual a cero.
- En el cuerpo de nuestro trabajo, tenemos el denominador (2x + 3) (2x – 3) (x + 4). Si establecemos esto igual a cero, la propiedad del producto cero implica que [2 x + 3 = 0 quad text {o} quad 2 x-3 = 0 quad text {o} quad x + 4 = 0 ]
Cada uno de estos factores lineales se puede resolver de forma independiente [x = -3 / 2 quad text {or} quad x = 3/2 quad text {or} quad x = -4 ] [ 19459002]
Cada uno de estos valores x es una restricción.
- En la expresión racional final, el denominador es 2x + 3. Esta expresión es igual a cero cuando x = −3/2 y no proporciona nuevas restricciones.
- Debido a que el denominador de la expresión original, a saber, (4 x ^ {3} +16 x ^ {2} -9 x-36 ), es idéntico a su forma factorizada en el cuerpo de nuestro trabajo, este denominador será No producir nuevas restricciones.
Por lo tanto, para todos los valores de x [ frac {2 x ^ {2} +5 x-12} {4 x ^ {3} +16 x ^ {2} -9 x-36} = frac {1} {2 x + 3} ]
proporcionó (x neq −3/2, 3/2 o −4 ). Estas son las restricciones. Las dos expresiones son idénticas para todos los demás valores de x.
Finalmente, verifiquemos este resultado con nuestra calculadora gráfica. Cargue cada lado de la ecuación (18) en el menú Y =, como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (a). Sabemos que tenemos una restricción en x = −3/2, así que configuremos TblStart = −2 y ( Delta mathrm {Tbl} = 0.5 ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (si). Asegúrese de tener AUTO configurado para variables independientes y dependientes. Presione el botón TABLE para producir la visualización tabular que se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (c).
Recuerde que colocamos los lados izquierdo y derecho de la ecuación (18) en Y1 e Y2, respectivamente.
- En la Figura ( PageIndex {2} ) (c), tenga en cuenta que las expresiones Y1 e Y2 coinciden en todos los valores de x excepto x = −1.5. Esta es la restricción −3/2 que encontramos arriba.
- Use la tecla de flecha hacia abajo para desplazarse hacia abajo en la tabla que se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (c) para producir la vista tabular que se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (d). Tenga en cuenta que Y1 e Y2 coinciden para todos los valores de x excepto x = 1.5. Esta es la restricción 3/2 que encontramos arriba.
- Dejamos a nuestros lectores que descubran la restricción en x = −4 utilizando la uparrow para desplazarse hacia arriba en la tabla hasta alcanzar un valor x de −4. Debería descubrir otro mensaje ERR (error) en este valor x porque es una restricción. Obtiene el mensaje ERR debido al hecho de que el denominador del lado izquierdo de la ecuación (18) es cero en x = −4.
Cambios en las señales
No es raro que tenga que manipular los signos en una fracción para obtener factores comunes que luego se pueden cancelar. Considere, por ejemplo, la expresión racional
[ frac {3-x} {x-3} ]
Un enfoque posible es factorizar -1 del numerador para obtener
[ frac {3-x} {x-3} = frac {- (x-3)} {x-3} ]
Ahora puede cancelar factores comunes.
[ frac {3-x} {x-3} = frac {- (x-3)} {x-3} = frac {- (x-3) } { x-3 } = – 1 ]
Este resultado es válido para todos los valores de x, siempre que (x neq 3 ).
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Reduzca la expresión racional [ frac {2 x-2 x ^ {3}} {3 x ^ {3} +4 x ^ {2} -3 x-4} ] a los términos más bajos. Indique todas las restricciones.
Solución
En el numerador, factoriza 2x, luego completa la factorización usando el patrón de diferencia de dos cuadrados.
[2 x-2 x ^ {3} = 2 x left (1-x ^ {2} right) = 2 x (1 + x) (1-x) ]
El denominador puede factorizarse agrupando.
[ begin {alineado} 3 x ^ {3} +4 x ^ {2} -3 x-4 & = x ^ {2} (3 x + 4) -1 (3 x + 4) & = left (x ^ {2} -1 right) (3 x + 4) \ & = (x + 1) (x-1) (3 x + 4) end {alineado} ] [ 19459002]
Observe cómo se aplicó la diferencia del patrón de dos cuadrados en el último paso.
En este punto, [ frac {2 x-2 x ^ {3}} {3 x ^ {3} +4 x ^ {2} -3 x-4} = frac {2 x (1 + x) (1-x)} {(x + 1) (x-1) (3 x + 4)} ]
Debido a que tenemos 1 – x en el numerador yx – 1 en el denominador, factorizaremos un −1 de 1 – x, y debido a que el orden de los factores no afecta su producto, moveremos el −1 al frente del numerador.
[ frac {2 x-2 x ^ {3}} {3 x ^ {3} +4 x ^ {2} -3 x-4} = frac {2 x (1 + x) ( -1) (x-1)} {(x + 1) (x-1) (3 x + 4)} = frac {-2 x (1 + x) (x-1)} {(x + 1 ) (x-1) (3 x + 4)} ]
Ahora podemos cancelar factores comunes.
[ begin {alineado} frac {2 x-2 x ^ {3}} {3 x ^ {3} +4 x ^ {2} -3 x-4} & = frac {-2 x (1 + x) (x-1)} {(x + 1) (x-1) (3 x + 4)} \ & = frac {-2 x (1 + x) (x -1) } { (x + 1) (x-1) (3 x + 4)} \ & = frac {-2 x} {3 x + 4} end {alineado} ]
Tenga en cuenta que x + 1 es idéntico a 1 + x y cancela. Por lo tanto,
[ frac {2 x-2 x ^ {3}} {3 x ^ {3} +4 x ^ {2} -3 x-4} = frac {-2 x} {3 x + 4} ]
para todos los valores de x, proporcionados (x neq-1,1, ) o (- 4/3 ). Estas son las restricciones, valores de x que hacen que los denominadores sean iguales a cero.
La regla de cambio de signo para fracciones
Veamos un enfoque alternativo al último ejemplo. Primero, compartamos el precepto de que cada fracción tiene tres signos, uno en el numerador, uno en el denominador y un tercero en la barra de fracción. Por lo tanto,
[ frac {-2} {3} quad text {ha entendido signos} quad + frac {-2} {+ 3} ]
Establezcamos la regla de cambio de signo para fracciones.
La regla de cambio de signo para fracciones
Cada fracción tiene tres signos, uno en el numerador, uno en el denominador y uno en la barra de fracción. Si no ve un signo explícito, se entiende un signo más. Si niega cualquiera de estas dos partes,
- numerador y denominador, o
- numerador y barra de fracción, o
- barra de fracción y denominador,
entonces la fracción permanece sin cambios.
Por ejemplo, comencemos con −2/3, luego hagamos dos negaciones: numerador y barra de fracción. Entonces,
[+ frac {-2} {+ 3} = – frac {+2} {+ 3}, quad text {o con signos más entendidos,} quad frac {-2} { 3} = – frac {2} {3} ]
Este es un resultado familiar, ya que dos negativos divididos por tres positivos equivalen a dos tercios negativos.
En otra nota, podríamos decidir negar el numerador y el denominador. Entonces −2/3 se convierte en
[+ frac {-2} {+ 3} = frac {+2} {- 3}, quad text {o con signos más entendidos,} quad frac {-2} {3 } = frac {2} {- 3} ]
Nuevamente, un resultado familiar. Ciertamente, dos negativos divididos por tres positivos son lo mismo que dos positivos divididos por tres negativos. Ambos son iguales menos dos tercios.
Entonces ahí lo tienes. Niega dos partes de una fracción y permanece sin cambios. En la superficie, esto parece una observación trivial, pero se puede usar bien al reducir las expresiones racionales. Supongamos, por ejemplo, que tomamos la expresión racional original del Ejemplo ( PageIndex {6} ) y negamos el numerador y la barra de fracción.
[ frac {2 x-2 x ^ {3}} {3 x ^ {3} +4 x ^ {2} -3 x-4} = – frac {2 x ^ {3} – 2 x} {3 x ^ {3} +4 x ^ {2} -3 x-4} ]
Observe cómo hemos realizado dos cambios de signo. Hemos negado la barra de fracción, hemos negado el numerador ( left (- left (2 x-2 x ^ {3} right) = 2 x ^ {3} -2 x right) ) y dejó solo el denominador. Por lo tanto, la fracción no cambia de acuerdo con nuestra regla de cambio de signo.
Ahora, factoriza y cancela los factores comunes (dejamos los pasos para nuestros lectores; son similares a los que tomamos en el Ejemplo ( PageIndex {6} )).
[ begin {alineado} frac {2 x-2 x ^ {3}} {3 x ^ {3} +4 x ^ {2} -3 x-4} & = – frac {2 x ^ {3} -2 x} {3 x ^ {3} +4 x ^ {2} -3 x-4} \ & = – frac {2 x (x + 1) (x- 1) } { (x + 1) (x-1) (3 x + 4)} \ & = – frac {2 x (x + 1) (x-1) } {(x + 1) (x-1) (3 x + 4)} \ & = – frac {2 x} {3 x + 4} end {alineado} ]
¿Pero esta respuesta coincide con la respuesta en la ecuación (22)? Lo hace, como se puede ver haciendo dos negaciones, barra de fracción y numerador.
[- frac {2 x} {3 x + 4} = frac {-2 x} {3 x + 4} ]
La línea secante
Considere la gráfica de la función f que hemos dibujado en la Figura ( PageIndex {3} ). Tenga en cuenta que hemos elegido dos puntos en la gráfica de f, a saber (a, f (a)) y (x, f (x)), y hemos dibujado una línea L a través de ellos que los matemáticos llaman la “línea secante . ”
La pendiente de la línea secante L se encuentra dividiendo el cambio en y por el cambio en x.
[ text {Slope} = frac { Delta y} { Delta x} = frac {f (x) -f (a)} {x-a} ]
Esta pendiente proporciona la tasa de cambio promedio de la variable y con respecto a la variable x. Los estudiantes en cálculo usan esta “tasa de cambio promedio” para desarrollar la noción de “tasa de cambio instantánea”. Sin embargo, dejaremos esa tarea a los estudiantes de cálculo y nos concentraremos en el desafío de simplificar la ecuación de expresión (23) para la tasa de cambio promedio.
Ejemplo ( PageIndex {7} )
Dada la función (f (x) = x ^ 2 ), simplifique la expresión para la tasa de cambio promedio, a saber, [ frac {f (x) -f (a)} {xa} ]
Solución
Primero, tenga en cuenta que (f (x) = x ^ {2} ) y (f (a) = a ^ {2}, ) para que podamos escribir [ frac {f (x) -f (a)} {xa} = frac {x ^ {2} -a ^ {2}} {xa} ]
Ahora podemos usar la diferencia del patrón de dos cuadrados para factorizar el numerador y cancelar factores comunes.
[ frac {x ^ {2} -a ^ {2}} {xa} = frac {(x + a) (xa) } { xa } = x + a ]
Por lo tanto, [ frac {f (x) -f (a)} {x-a} = x + a ]
siempre, por supuesto, que (x neq a ).
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {8} )
Considere la función (f (x) = x ^ {2} -3 x-5 ). Simplifique [ frac {f (x) -f (2)} {x-2} ]
Solución
Primero, (f (x) = x ^ {2} -3 x-5 ) y por lo tanto (f (2) = (2) ^ {2} -3 (2) -5 = -7 , ) para que podamos escribir
[ frac {f (x) -f (2)} {x-2} = frac { left (x ^ {2} -3 x-5 right) – (- 7)} { x-2} = frac {x ^ {2} -3 x + 2} {x-2} ]
Ahora podemos factorizar el numerador y cancelar factores comunes.
[ frac {x ^ {2} -3 x + 2} {x-2} = frac {( x-2 ) (x-1)} { x -2 } = x-1 ]
Por lo tanto, [ frac {f (x) -f (2)} {x-2} = x-1 ] proporcionó, por supuesto, que (x neq 2 ).
Ejercicio
En Ejercicios 1 – 12 , reduzca cada número racional a los términos más bajos aplicando los siguientes pasos:
-
Factoriza primero el numerador y el denominador.
-
Cancelar factores primos comunes.
-
Simplifique el numerador y el denominador del resultado.
EJERCICIO ( PageIndex {1} )
( frac {147} {98} )
- Respuesta
-
( frac {3} {2} )
EJERCICIO ( PageIndex {2} )
( frac {3087} {245} )
EJERCICIO ( PageIndex {3} )
( frac {1715} {196} )
- Respuesta
-
( frac {35} {4} )
EJERCICIO ( PageIndex {4} )
( frac {225} {50} )
EJERCICIO ( PageIndex {5} )
( frac {1715} {441} )
- Respuesta
-
( frac {35} {9} )
EJERCICIO ( PageIndex {6} )
( frac {56} {24} )
EJERCICIO ( PageIndex {7} )
( frac {108} {189} )
- Respuesta
-
( frac {4} {7} )
EJERCICIO ( PageIndex {8} )
( frac {75} {500} )
EJERCICIO ( PageIndex {9} )
( frac {100} {28} )
- Respuesta
-
( frac {25} {7} )
EJERCICIO ( PageIndex {10} )
( frac {98} {147} )
EJERCICIO ( PageIndex {11} )
( frac {1125} {175} )
- Respuesta
-
( frac {45} {7} )
EJERCICIO ( PageIndex {12} )
( frac {3087} {8575} )
En Ejercicios 13 – 18 , reduce la expresión dada a los términos más bajos. Indique todas las restricciones.
EJERCICIO ( PageIndex {13} )
( frac {x ^ 2−10x + 9} {5x − 5} )
- Respuesta
-
( frac {x − 9} {5} ), proporcionado (x ne 1 )
EJERCICIO ( PageIndex {14} )
( frac {x ^ 2−9x + 20} {x ^ 2 − x − 20} )
EJERCICIO ( PageIndex {15} )
( frac {x ^ 2−2x − 35} {x ^ 2−7x} )
- Respuesta
-
( frac {x + 5} {x} ), proporcionado (x ne 0, 7 )
EJERCICIO ( PageIndex {16} )
( frac {x ^ 2−15x + 54} {x ^ 2 + 7x − 8} )
EJERCICIO ( PageIndex {17} )
( frac {x ^ 2 + 2x − 63} {x ^ 2 + 13x + 42} )
- Respuesta
-
( frac {(x − 7) (x + 9)} {(x + 7) (x + 6)} ), proporcionado (x ne −7, −6 )
EJERCICIO ( PageIndex {18} )
( frac {x ^ 2 + 13x + 42} {9x + 63} )
En Ejercicios 19 – 24 , niega dos partes de la fracción, luego factoriza (si es necesario) y cancela factores comunes para reducir la expresión racional a los términos más bajos. Indique todas las restricciones.
EJERCICIO ( PageIndex {19} )
( frac {x + 2} {- x − 2} )
- Respuesta
-
−1, proporcionado (x ne −2 )
EJERCICIO ( PageIndex {20} )
( frac {4 − x} {x − 4} )
EJERCICIO ( PageIndex {21} )
( frac {2x − 6} {3 − x} )
- Respuesta
-
−2, proporcionado (x ne 3 )
EJERCICIO ( PageIndex {22} )
( frac {3x + 12} {- x − 4} )
EJERCICIO ( PageIndex {23} )
( frac {3x ^ 2 + 6x} {- x − 2} )
- Respuesta
-
−3x, proporcionado (x ne −2 )
EJERCICIO ( PageIndex {24} )
( frac {8x − 2x ^ 2} {x − 4} )
En Ejercicios 25 – 38 , reduce cada una de las expresiones racionales dadas a los términos más bajos. Indique todas las restricciones.
EJERCICIO ( PageIndex {25} )
( frac {x ^ 2 − x − 20} {25 − x ^ 2} )
- Respuesta
-
(- frac {x + 4} {x + 5} ), proporcionado (x ne −5, 5 )
EJERCICIO ( PageIndex {26} )
( frac {x − x ^ 2} {x ^ 2−3x + 2} )
EJERCICIO ( PageIndex {27} )
( frac {x ^ 2 + 3x − 28} {x ^ 2 + 5x − 36} )
- Respuesta
-
( frac {x + 7} {x + 9} ), proporcionado (x ne 4, −9 )
EJERCICIO ( PageIndex {28} )
( frac {x ^ 2 + 10x + 9} {x ^ 2 + 15x + 54} )
EJERCICIO ( PageIndex {29} )
( frac {x ^ 2 − x − 56} {8x − x ^ 2} )
- Respuesta
-
(- frac {x + 7} {x} ), proporcionado (x ne 0, 8 )
EJERCICIO ( PageIndex {30} )
( frac {x ^ 2−7x + 10} {5x − x ^ 2} )
EJERCICIO ( PageIndex {31} )
( frac {x ^ 2 + 13x + 42} {x ^ 2−2x − 63} )
- Respuesta
-
(- frac {x + 6} {x − 9} ), proporcionado (x ne −7, 9 )
EJERCICIO ( PageIndex {32} )
( frac {x ^ 2−16} {x ^ 2 − x − 12} )
EJERCICIO ( PageIndex {33} )
( frac {x ^ 2−9x + 14} {49 − x ^ 2} )
- Respuesta
-
(- frac {x − 2} {x + 7} ), proporcionado (x ne 7, −7 )
EJERCICIO ( PageIndex {34} )
( frac {x ^ 2 + 7x + 12} {9 − x ^ 2} )
EJERCICIO ( PageIndex {35} )
( frac {x ^ 2−3x − 18} {x ^ 2−6x + 5} )
- Respuesta
-
( frac {(x − 6) (x + 3)} {(x − 1) (x − 5)} ), siempre (x ne 1, 5 )
EJERCICIO ( PageIndex {36} )
( frac {x ^ 2 + 5x − 6} {x ^ 2−1} )
EJERCICIO ( PageIndex {37} )
( frac {x ^ 2−3x − 10} {- 9x − 18} )
- Respuesta
-
(- frac {x − 5} {9} ), proporcionado (x ne −2 )
EJERCICIO ( PageIndex {38} )
(frac{x^2−6x+8}{16−x^2})
In Exercises 39 – 42 , reduce each rational function to lowest terms, and then perform each of the following tasks.
- Load the original rational expression into Y1 and the reduced rational expression (your answer) into Y2 of your graphing calculator.
- In TABLE SETUP, set TblStart equal to zero, ∆Tbl equal to 1, then make sure both independent and dependent variables are set to Auto. Select TABLE and scroll with the up- and down-arrows on your calculator until the smallest restriction is in view. Copy both columns of the table onto your homework paper, showing the agreement between Y1 and Y2 and what happens at all restrictions.
EJERCICIO ( PageIndex {39} )
(frac{x^2−8x+7}{x^2−11x+28})
- Answer
-
(frac{x−1}{x−4}), provided (x ne 7, 4)
EJERCICIO ( PageIndex {40} )
(frac{x^2−5x}{x^2−9x})
EJERCICIO ( PageIndex {41} )
(frac{8x−x^2}{x^2−x−56})
- Answer
-
(−frac{x}{x+7}), provided (x ne −7, 8)
EJERCICIO ( PageIndex {42} )
(frac{x^2+13x+40}{−2x−16})
Given f(x) = 2x+5, simplify each of the expressions in Exercises 43 – 46 . Be sure to reduce your answer to lowest terms and state any restrictions.
EJERCICIO ( PageIndex {43} )
(frac{f(x)−f(3)}{x−3})
- Answer
-
2, provided (x ne 3)
EJERCICIO ( PageIndex {44} )
(frac{f(x)−f(6)}{x−6})
EJERCICIO ( PageIndex {45} )
(frac{f(x)−f(a)}{x−a})
- Answer
-
2, provided (x ne a)
EJERCICIO ( PageIndex {46} )
(frac{f(a+h)−f(a)}{h})
Given (f(x) = x^2+2x), simplify each of the expressions in Exercises 47 – 50 . Be sure to reduce your answer to lowest terms and state any restrictions.
EXERCISE (PageIndex{47})
(frac{f(x)−f(1)}{x−1})
- Answer
-
x+3, provided (x ne 1)
EXERCISE (PageIndex{48})
(frac{f(x)−f(a)}{x−a})
EXERCISE (PageIndex{49})
(frac{f(a+h)−f(a)}{h})
- Answer
-
2a+h+2, provided (h ne 0)
EXERCISE (PageIndex{50})
(frac{f(x+h)−f(x)}{h})
Drill for Skill . In Exercises 51 – 54 , evaluate the given function at the given expression and simplify your answer.
EXERCISE (PageIndex{51})
Suppose that f is the function
(f(x) = −frac{x−6}{8x+7})
Evaluate f(−3x+2) and simplify your answer.
- Answer
-
(−frac{3x+4}{24x−23})
EXERCISE (PageIndex{52})
Suppose that f is the function
(f(x) = −frac{5x+3}{7x+6})
Evaluate f(−5x+1) and simplify your answer.
EXERCISE (PageIndex{53})
Suppose that f is the function
(f(x) = −frac{3x−6}{4x+6})
Evaluate f(−x−3) and simplify your answer.
- Answer
-
(−frac{3x+15}{4x+6})
EXERCISE (PageIndex{54})
Suppose that f is the function
(f(x) = frac{4x−1}{2x−4})
Evaluate f(5x) and simplify your answer.