7.3: Factorizar trinomios cuadráticos con coeficiente principal distinto de 1

7.3: Factorizar trinomios cuadráticos con coeficiente principal distinto de 1

Reconocer una estrategia preliminar para factoring

 

Resumamos dónde estamos hasta ahora con factorizar polinomios. En las dos primeras secciones de este capítulo, utilizamos tres métodos de factorización: factorizar el MCD, factorizar por agrupación y factorizar un trinomio por «deshacer» FOIL. Seguirán más métodos a medida que continúe en este capítulo, así como más adelante en sus estudios de álgebra.

 

¿Cómo sabrá cuándo usar cada método de factorización? A medida que aprenda más métodos de factorización, ¿cómo sabrá cuándo aplicar cada método y no confundirlos? Ayudará a organizar los métodos de factorización en una estrategia que pueda guiarlo para usar el método correcto.

 

Cuando comience a factorizar un polinomio, siempre pregunte primero: «¿Existe un factor común máximo?» Si lo hay, factorizarlo primero.

 

Lo siguiente a considerar es el tipo de polinomio. ¿Cuántos términos tiene? ¿Es un binomio? Un trinomio? ¿O tiene más de tres términos?

 
         
  • Si es un trinomio donde el coeficiente principal es uno, (x ^ {2} + b x + c ), utilice el método «deshacer FOIL».
  •      
  • Si tiene más de tres términos, pruebe el método de agrupación. Este es el único método a utilizar para polinomios de más de tres términos.
  •  
 

Algunos polinomios no se pueden factorizar. Se llaman «prime». A continuación resumimos los métodos que tenemos hasta ahora.

 

This figure lists strategies for factoring polynomials. At the top of the figure is G C F, where factoring always starts. From there, the figure has three branches. The first is binomial, the second is trinomial with the form x ^ 2 + b x +c, and the third is “more than three terms”, which is labeled with grouping.

 
 
 

ELIJA UNA ESTRATEGIA PARA FACTORAR LOS POLINOMOMOS COMPLETAMENTE.

 
         
  1. ¿Existe un factor común máximo?           
  2.      
  3. ¿Es el polinomio un binomio, trinomio o hay más de tres términos?      
               
    • Si es un binomio, en este momento no tenemos ningún método para factorizarlo.
    •          
    • Si es un trinomio de la forma (x ^ {2} + b x + c ): Deshacer FOIL ((x qquad) (x qquad) )
    •          
    • Si tiene más de tres términos: utilice el método de agrupación.
    •      
         
  4.      
  5. Comprueba multiplicando los factores.
  6.  
 
 
 

Usa la estrategia preliminar para factorizar completamente un polinomio. Un polinomio se factoriza completamente si, aparte de los monomios, todos sus factores son primos.

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Identifica el mejor método para usar para factorizar cada polinomio.

 
         
  1. (6 y ^ {2} -72 )
  2.      
  3. (r ^ {2} -10 r-24 )
  4.      
  5. (p ^ {2} +5 p + p q + 5 q )
  6.  
 
     
Responda a
     
     

[ begin {array} {ll} & 6 y ^ {2} -72 \ text {¿Existe un factor común máximo? } & text {Sí, 6.} \ text {Factoriza el} 6 y 6 left (y ^ {2} -12 right) \ text {¿Es un binomio, trinomio o hay} & text {Binomial, no tenemos método para factorizar} \ text {más de} 3 text {términos? } & text {binomios todavía. } end {array} nonumber ]

     
     
Respuesta b
     
     

[ begin {array} {ll} & r ^ {2} -10 r-24 \ text {¿Existe un factor común máximo? } & text {No, no hay un factor común. } \ text {¿Es binomial, trinomial o hay}} {Trinomial, con coeficiente inicial} 1, text {so} \ text {más de tres términos? } & text {«deshacer» FOIL. } end {array} nonumber ]

     
     
Respuesta c
     
     

[ begin {array} {ll} & p ^ {2} +5 p + p q + 5 q \ text {¿Existe un factor común máximo? } & text {No, no hay un factor común. } \ text {¿Es binomial, trinomial o hay}} text {Más de tres términos, así que factoriza usando} \ text {más de tres términos? } & text {agrupación. } end {array} nonumber ]

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Identifique el mejor método para usar para factorizar cada polinomio:

 
         
  1. (4 años ^ {2} +32 )
  2.      
  3. (y ^ {2} +10 y + 21 )
  4.      
  5. (y z + 2 y + 3 z + 6 )
  6.  
 
     
Responda a
     
     

sin método

     
     
Respuesta b
     
     

deshacer usando FOIL

     
     
Respuesta c
     
     

factor con agrupación

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Identifique el mejor método para usar para factorizar cada polinomio:

 
         
  1. (a b + a + 4 b + 4 )
  2.      
  3. (3 k ^ {2} +15 )
  4.      
  5. (p ^ {2} +9 p + 8 )
  6.  
 
     
Responda a
     
     

factor mediante agrupación

     
     
Respuesta b
     
     

sin método

     
     
Respuesta c
     
     

deshacer usando FOIL

     
 
 
 

Trinomios de factor de la forma ax 2 + bx + c con un GCF

 

Ahora que hemos organizado lo que hemos cubierto hasta ahora, estamos listos para factorizar trinomios cuyo coeficiente principal no es 1, trinomios de la forma (a x ^ {2} + b x + c ). ¡Recuerde siempre buscar primero un GCF! A veces, después de factorizar el MCD, el coeficiente principal del trinomio se convierte en 1 y puede factorizarlo mediante los métodos de la última sección. Hagamos algunos ejemplos para ver cómo funciona esto. Tenga cuidado con las señales en los siguientes dos ejemplos.

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Factoriza completamente: (2 n ^ {2} -8 n-42 ).

 
     
Respuesta
     
     

Usa la estrategia preliminar.

     

( begin {array} {ll} text {¿Existe un factor común máximo?} & 2 n ^ {2} -8 n-42 \ text {Sí, GCF} = 2. Text { Factorízalo.} & 2 left (n ^ {2} -4 n-21 right) \ text {Dentro de los paréntesis, ¿es un binomio, un trinomio o está allí} & \ text {más que tres términos?} & \ text {Es un trinomio cuyo coeficiente es} 1, text {así que deshacer FOIL.} & 2 (n qquad) (n qquad) \ text {Use} 3 text {y} -7 text {como los últimos términos de los binomios.} & 2 (n + 3) (n-7) end {array} )

                                                                                                                                                                                                                                                   
Factores de −21 Suma de factores
1, −21 1 + (- 21) = – 20
3, −7 3 + (- 7) = – 4 *
     

( begin {array} {l} { text {Check.}} \ {2 (n + 3) (n-7)} \ {2 left (n ^ {2} -7 n + 3 n-21 right)} \ {2 left (n ^ {2} -4 n-21 right)} \ {2 n ^ {2} -8 n-42} checkmark end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Factoriza completamente: (4 m ^ {2} -4 m-8 )

 
     
Respuesta
     
     

4 ((m + 1) (m-2) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Factoriza completamente: (5 k ^ {2} -15 k-50 )

 
     
Respuesta
     
     

5 ((k + 2) (k-5) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Factoriza completamente: (4 y ^ {2} -36 y + 56 )

 
     
Respuesta
     
     

Usa la estrategia preliminar.
( begin {array} {ll} text {¿Existe un factor común máximo?} & 4 y ^ {2} -36 y + 56 \ text {Sí, GCF} = 4. Text { Factorizarlo.} & 4 left (y ^ {2} -9 y + 14 right) \ text {Dentro de los paréntesis, es un binomio, trinomio o hay}} text {más de tres términos?} & \ text {Es un trinomio cuyo coeficiente es} 1, text {así que deshacer FOIL.} & 4 (y qquad) (y qquad) \ text {Use una tabla como la uno a continuación para encontrar dos números que se multiplican a} & \ 14 text {y se suman a} -9 \ text {Ambos factores de} 14 text {deben ser negativos.} & 4 (y-2) (y -7) end {array} )

                                                                                                                                                                                                                                                   
Factores de 14 Suma de factores
−1, −14 −1 + (- 14) = – 15
−2, −7 −2 + (- 7) = – 9 *
     

( begin {array} {l} { text {Check.}} \ {4 (y-2) (y-7)} \ {4 left (y ^ {2} -7 y-2 y + 14 right)} \ {4 left (y ^ {2} -9 y + 14 right)} \ {4 y ^ {2} -36 y + 42} checkmark end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Factoriza completamente: (3 r ^ {2} -9 r + 6 )

 
     
Respuesta
     
     

3 ((r-1) (r-2) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Factoriza completamente: (2 t ^ {2} -10 t + 12 )

 
     
Respuesta
     
     

2 ((t-2) (t-3) )

     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, el MCD incluirá una variable.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Factoriza completamente: (4 u ^ {3} +16 u ^ {2} -20 u )

 
     
Respuesta
     
     

Usa la estrategia preliminar.
( begin {array} {ll} text {¿Existe un factor común máximo?} & 4 u ^ {3} +16 u ^ {2} -20 u \ text {Sí, GCF} = 4 u. Text {Factorizarlo} & 4 u left (u ^ {2} +4 u-5 right) \ text {Binomial, trinomial o más de tres términos?} & \ text { más de tres términos?} & \ text {Es un trinomio. Así que «deshacer FOIL»} & 4u (u qquad) (u qquad) \ text {Use una tabla como la tabla a continuación para encontrar dos números que} & 4 u (u-1) (u + 5) \ text {multiplicar a} -5 text {y agregar a} 4 end {array} )

                                                                                                                                                                                                                                                   
Factores de −5 Suma de factores
−1,5 −1 + 5 = 4 *
1, −5 1 + (- 5) = – 4
     

Verificar.

     

( begin {array} {l} {4 u (u-1) (u + 5)} \ {4 u left (u ^ {2} +5 uu-5 right)} {4 u left (u ^ {2} +4 u-5 right)} \ {4 u ^ {3} +16 u ^ {2} -20 u} checkmark end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Factoriza completamente: (5 x ^ {3} +15 x ^ {2} -20 x )

 
     
Respuesta
     
     

5 (x (x-1) (x + 4) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Factoriza completamente: (6 y ^ {3} +18 y ^ {2} -60 y )

 
     
Respuesta
     
     

6 (y (y-2) (y + 5) )

     
 
 
 

Factorizar trinomios usando prueba y error

 

¿Qué sucede cuando el coeficiente principal no es 1 y no hay un MCD? Existen varios métodos que pueden usarse para factorizar estos trinomios. Primero usaremos el método de prueba y error.

 

Factoricemos el trinomio (3 x ^ {2} +5 x + 2 )

 

De nuestro trabajo anterior, esperamos que esto se convierta en dos binomios.

 

[ begin {array} {c} {3 x ^ {2} +5 x + 2} \ {( qquad) ( qquad)} end {array} ]

 

Sabemos que los primeros términos de los factores binomiales se multiplicarán para darnos 3 (x ^ {2} ). Los únicos factores de 3 (x ^ {2} ) son (1 x, 3 x ). Podemos colocarlos en los binomios.

 

This figure has the polynomial 3 x^ 2 +5 x +2. Underneath there are two terms, 1 x, and 3 x. Below these are the two factors x and (3 x) being shown multiplied.

 

Verificar. ¿ (1 x cdot 3 x = 3 x ^ {2} )?

 

Sabemos que los últimos términos de los binomios se multiplicarán a 2. Dado que este trinomio tiene todos los términos positivos, solo necesitamos considerar factores positivos. Los únicos factores de 2 son 1 y 2. Pero ahora tenemos dos casos a considerar, ya que marcará la diferencia si escribimos 1, 2 o 2, 1.

 

This figure demonstrates the possible factors of the polynomial 3x^2 +5x +2. The polynomial is written twice. Underneath both, there are the terms 1x, 3x under the 3x^2. Also, there are the factors 1,2 under the 2 term. At the bottom of the figure there are two possible factorizations of the polynomial. The first is (x + 1)(3x + 2) and the next is (x + 2)(3x + 1).

 

¿Qué factores son correctos? Para decidir eso, multiplicamos los términos internos y externos.

 

This figure demonstrates the possible factors of the polynomial 3 x^ 2 + 5 x +2. The polynomial is written twice. Underneath both, there are the terms 1 x, 3 x under the 3 x ^ 2. Also, there are the factors 1, 2 under the 2 term. At the bottom of the figure there are two possible factorizations of the polynomial. The first is (x + 1)(3 x + 2). Underneath this factorization are the products 3 x from multiplying the middle terms 1 and 3 x. Also there is the product of 2 x from multiplying the outer terms x and 2. These products of 3 x and 2 x add to 5 x. Underneath the second factorization are the products 6 x from multiplying the middle terms 2 and 3 x. Also there is the product of 1 x from multiplying the outer terms x and 1. These two products of 6 x and 1 x add to 7 x.

 

Dado que el término medio del trinomio es 5 x , los factores en el primer caso funcionarán. Hagamos FOIL para verificar.

 

[ begin {array} {l} {(x + 1) (3 x + 2)} \ {3 x ^ {2} +2 x + 3 x + 2} \ {3 x ^ {2} +5 x + 2} marca de verificación end {array} ]

 

Nuestro resultado de la factorización es:

 

[ begin {array} {l} {3 x ^ {2} +5 x + 2} \ {(x + 1) (3 x + 2)} end {array} ] [19459005 ]  

 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Factoriza completamente: (2 a ^ {2} +5 a + 3 )

 
     
Respuesta
     
     

((a + 1) (2 a + 3) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Factoriza completamente: (4 b ^ {2} +5 b + 1 )

 
     
Respuesta
     
     

((b + 1) (4 b + 1) )

     
 
 
 
 
 

FACTOR TRINOMIALES DE LA FORMA (ax ^ 2 + bx + c ) USANDO PRUEBA Y ERROR.

 
 
         
  1. Escribe el trinomio en orden descendente de grados.
  2.      
  3. Encuentra todos los pares de factores del primer término.
  4.      
  5. Encuentra todos los pares de factores del tercer término.
  6.      
  7. Pruebe todas las combinaciones posibles de los factores hasta encontrar el producto correcto.
  8.      
  9. Verificar multiplicando.
  10.  
 
 
 

Cuando el término medio es negativo y el último término es positivo, los signos en los binomios deben ser negativos.

 
 
 
     
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Factoriza completamente: (6 b ^ {2} -13 b + 5 )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
El trinomio ya está en orden descendente. .
Halla los factores del primer término. .
Halla los factores del último término. Considera las señales. Desde el último término, 5 es positivo, sus factores deben ser tanto positivos como negativos. El coeficiente del término medio es negativo, entonces usamos los factores negativos. .
    Considere todas las combinaciones de factores.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  
(6 b ^ {2} -13 b + 5 )
Factores posibles Producto
(b − 1) (6b − 5) (6 b ^ {2} -11 b + 5 )
(b − 5) (6b − 1) (6 b ^ {2} -31 b + 5 )
(2b − 1) (3b − 5) (6 b ^ {2} -13 b + 5 ) *
(2b − 5) (3b − 1) (6 b ^ {2} -17 b + 5 )
     ( begin {array} {ll} text {Los factores correctos son aquellos cuyo producto} & \ text {es el trinomio original.} & (2 b-1) (3 b-5) \\ text {Verificar multiplicando.} \\ begin {array} {l} {(2 b-1) (3 b-5)} \ {6 b ^ {2} -10 b-3 b + 5} \ {6 b ^ {2} -13 b + 5 v} marca de verificación end {array} end {array} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Factoriza completamente: (8 x ^ {2} -14 x + 3 )

 
     
Respuesta
     
     

((2 x-3) (4 x-1) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Factoriza completamente: (10 ​​y ^ {2} -37 y + 7 )

 
     
Respuesta
     
     

((2 y-7) (5 y-1) )

     
 
 
 

Cuando factorizamos una expresión, siempre buscamos primero un máximo factor común. Si la expresión no tiene un factor común máximo, tampoco puede haber uno en sus factores. Esto puede ayudarnos a eliminar algunas de las posibles combinaciones de factores.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Factoriza completamente: (14 x ^ {2} -47 x-7 )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
El trinomio ya está en orden descendente. .
Encuentre los factores del primer término. .
Halla los factores del último término. Considera las señales. Como es negativo, un factor debe ser positivo y otro negativo. .
    Considere todas las combinaciones de factores. Usamos cada par de factores de 14 (x ^ {2} ) con cada par de factores de −7.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Factores de (14x ^ 2 ) Emparejar con Factores de −7
(x, 14 x ) 11, −7
−7, 11
(orden inverso)
(x, 14 x ) −1, 77
77, −1
(orden inverso)
(2x, 7x ) 11, −7
−7, 11
(orden inverso)
(2x, 7x ) −1, 77
77, −1
(orden inverso)
     

Estos emparejamientos conducen a las siguientes ocho combinaciones.

     This table has the heading 14 x ^ 2 – 47 x minus 7. This table has two columns. The first column is labeled “possible factors” and the second column is labeled “product”. The first column lists all the combinations of possible factors and the second column has the products. In the first row under “possible factors” it reads (x+1) and (14 x minus 7). Under product, in the next column, it says “not an option”. In the next row down, it shows (x minus 7) and (14 x plus 1). In the next row down, it shows (x minus 1) and (14 x plus 7). Next to this in the product column, it says “not an option.” The next row down under “possible factors”, it has the equation (x plus 7 and 14 x minus 1. Next to this in the product column it has 14 x ^2 plus 97 x minus 7. The next row down under possible factors, it has 2 x plus 1 and 7 x minus 7. Next to this under the product column, is says “not an option”. The next row down reads 2 x minus 7 and 7x plus 1. Next to this under the product column, it has 14 x ^2 minus 47 x minus 7 with the asterisk following the 7. The next row down reads 2 x minus 1 and 7 x plus 7. Next to this in the product column it reads “not an option”. The final row reads 2 x plus 7 and 7 x minus 1. Next to this in the product column it reads 14, x, ^ 2 plus 47 x minus 7. Next to the table is a box with four arrows point to each “not an option” row. The reason given in the textbox is “if the trinomial has no common factors, then neither factor can contain a common factor. That means that each of these combinations is not an option.”
( begin {array} {ll} text {Los factores correctos son aquellos cuyo producto} & \ text {es el trinomio original.} & (2 x-7) (7 x + 1) \\ text {Verificar multiplicando.} \\ begin {array} {l} {(2 b-1) (3 b-5)} \ {6 b ^ {2} – 10 b-3 b + 5} \ {6 b ^ {2} -13 b + 5} marca de verificación end {array} end {array} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Factoriza completamente: (8 a ^ {2} -3 a-5 )

 
     
Respuesta
     
     

((a-1) (8 a + 5) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Factoriza completamente: (6 b ^ {2} -b-15 )

 
     
Respuesta
     
     

((2 b + 3) (3 b-5) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Factoriza completamente: (18 n ^ {2} -37 n + 15 )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
El trinomio ya está en orden descendente. (18 n ^ {2} -37 n + 15 )
Halla los factores del primer término. .
Halla los factores del último término. Considera las señales. Como 15 es positivo y el coeficiente del término medio es negativo, usamos los factores negativos. .
     

Considere todas las combinaciones de factores.

     This table has the heading 18 n ^ 2 – 37n + 15. This table has two columns. The first column is labeled possible factors and the second column is labeled product. The first column lists all the combinations of possible factors and the second column has the products. Eight rows list the product is not an option. There is a textbox giving the reason for no option. The reason in the textbox is “if the trinomial has no common factors, then neither factor can contain a common factor”. The row containing the factors (2n – 3)(9n – 5) with the product 18n^2 minus 37 n + 15 has an asterisk.
( begin {array} {ll} text {Los factores correctos son aquellos cuyo producto} & \ text {es el trinomio original.} & (2 n-3) (9 n- 5) \\ text {Verificar multiplicando.} \\ begin {array} {l} {(2 n-3) (9 n-5)} \ {18 n ^ {2} – 10 n-27 n + 15} \ {18 n ^ {2} -37 n + 15} marca de verificación end {array} end {array} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Factoriza completamente: (18 x ^ {2} -3 x-10 )

 
     
Respuesta
     
     

((3 x + 2) (6 x-5) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Factoriza completamente: (30 y ^ {2} -53 y-21 )

 
     
Respuesta
     
     

((3 y + 1) (10 y-21) )

     
 
 
 

No olvides buscar un GCF primero.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Factoriza completamente: (10 ​​y ^ {4} +55 y ^ {3} +60 y ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
(10 ​​y ^ {4} +55 y ^ {3} +60 y ^ {2} )
Observe el máximo factor común, y factorícelo primero. 5 (y ^ {2} left (2 y ^ {2} +11 y + 12 right) )
Factoriza el trinomio. .
     

Considera todas las combinaciones.

     This table has the heading 2 y squared + 11 y + 12 This table has two columns. The first column is labeled “possible factors” and the second column is labeled “product”. The first column lists all the combinations of possible factors and the second column has the products. Four rows list the product is not an option. There is a textbox giving the reason for no option. The reason in the textbox is “if the trinomial has no common factors, then neither factor can contain a common factor”. The row containing the factors (y + 4)(2y + 3) with the product 2 y squared + 11 y + 12 has an asterisk.
( begin {array} {ll} text {Los factores correctos son aquellos cuyo producto} & 5 y ^ {2} (y + 4) (2 y + 3) \ text {es el trinomio original. Recuerde incluir} & \ text {el factor} 5 y ^ {2} \ text {Marque multiplicando.} \\ begin {array} {l} {5 y ^ { 2} (y + 4) (2 y + 3)} \ {5 y ^ {2} left (2 y ^ {2} +8 y + 3 y + 12 right)} \ {10 y ^ {4} +55 y ^ {3} +60 y ^ {2}} marca de verificación end {array} end {array} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Factoriza completamente: (15 n ^ {3} -85 n ^ {2} +100 n )

 
     
Respuesta
     
     

5 (n (n-4) (3 n-5) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Factoriza completamente: (56 q ^ {3} +320 q ^ {2} -96 q )

 
     
Respuesta
     
     

8 (q (q + 6) (7 q-2) )

     
 
 
 

Factorizar trinomios utilizando el método «ac»

 

Otra forma de factorizar trinomios de la forma (ax ^ 2 + bx + c ) es el método «ac». (El método «ac» a veces se denomina método de agrupación). El método «ac» es en realidad una extensión de los métodos que utilizó en la última sección para factorizar trinomios con el coeficiente principal uno. Este método es muy estructurado (es decir, paso a paso), ¡y siempre funciona!

 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} )

 

Factor: (6 x ^ {2} +13 x + 2 )

 
     
Respuesta
     
     

((x + 2) (6 x + 1) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} )

 

Factor: (4 y ^ {2} +8 y + 3 )

 
     
Respuesta
     
     

((2 y + 1) (2 y + 3) )

     
 
 
 
 
 

FACTOR TRINOMIALES DE LA FORMA UTILIZANDO EL MÉTODO «AC».

 
         
  1. Factorizar cualquier GCF.
  2.      
  3. Encontrar el producto ac.
  4.      
  5. Encuentra dos números m y n que:
    ( begin {array} {ll} { text {Multiplicar a} ac} y {m cdot n = a cdot c} \ { text {Agregar a} b} & {m + n = b} end {array} )
  6.      
  7. Divida el término medio usando m y n : This figure shows two equations. The top equation reads a times x squared plus b times x plus c. Under this, is the equation a times x squared plus m times x plus n times x plus c. Above the m times x plus n times x is a bracket with b times x above it.
  8.      
  9. Factorizar por agrupación.
  10.      
  11. Comprueba multiplicando los factores.
  12.  
 
 
 

Cuando el tercer término del trinomio es negativo, los factores del tercer término tendrán signos opuestos.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {31} )

 

Factor: (8 u ^ {2} -17 u-21 )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    
¿Existe un factor común máximo? No. .
Encuentra (a cdot c ) (a cdot c )
8 (−21)
−168
     

Encuentra dos números que se multipliquen a −168 y sumen a −17. El factor más grande debe ser negativo.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Factores de −168 Suma de factores
1, −168 1 + (- 168) = – 167
2, −84 2 + (- 84) = – 82
3, −56 3 + (- 56) = – 53
4, −42 4 + (- 42) = – 38
6, −28 6 + (- 28) = – 22
7, −24 7 + (- 24) = – 17 *
8, −21 8 + (- 21) = – 13
     

( begin {array} {lc} text {Divida el término medio usando} 7 u text {y} -24 u & 8 u ^ {2} -17 u-21 \ & qquad space swarrow searrow \ & underbrace {8 u ^ {2} +7 u} underbrace {-24 u-21} \ text {Factoriza por agrupación.} & u (8 u + 7) -3 ( 8 u + 7) \ & (8 u + 7) (u-3) \ text {Verificar multiplicando.} & Begin {array} {l} {(8 u + 7) (u-3) } \ {8 u ^ {2} -24 u + 7 u-21} \ {8 u ^ {2} -17 u-21} checkmark end {array} end {array} ) [19459005 ]      

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {32} )

 

Factor: (20 h ^ {2} +13 h-15 )

 
     
Respuesta
     
     

((4 h-5) (5 h + 3) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {33} )

 

Factor: (6 g ^ {2} +19 g-20 )

 
     
Respuesta
     
     

((q + 4) (6 q-5) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {34} )

 

Factor: (2 x ^ {2} +6 x + 5 )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
¿Existe un factor común máximo? No. .
Encuentra a⋅c ac
2 (5)
10
     

Encuentra dos números que se multiplican por 10 y suma a 6.

                                                                                                                                                                                                                                                   
Factores de 10 Suma de factores
1,10 1 + 10 = 11
2, 5 2 + 5 = 7
     

No hay factores que se multipliquen por 10 y sumen 6. El polinomio es primo.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {35} )

 

Factor: (10 ​​t ^ {2} +19 t-15 )

 
     
Respuesta
     
     

((2 t + 5) (5 t-3) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {36} )

 

Factor: (3 u ^ {2} +8 u + 5 )

 
     
Respuesta
     
     

((u + 1) (3 u + 5) )

     
 
 
 

¡No olvides buscar un factor común!

 
 

Ejercicio ( PageIndex {37} )

 

Factor: (10 ​​y ^ {2} -55 y + 70 )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
¿Existe un factor común máximo? Si. El MCD es 5. .
Factorizarlo. ¡Tenga cuidado de mantener el factor 5 en toda la solución! .
El trinomio dentro de los paréntesis tiene un coeficiente principal que no es 1. .
Factoriza el trinomio. .
Verifica multiplicando los tres factores.
5 ( left (2 y ^ {2} -2 y-4 y + 14 right) )
5 ( left (2 y ^ {2} -11 y + 14 right) )
(10 ​​y ^ {2} -55 y + 70 ) ✓
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {38} )

 

Factor: (16 x ^ {2} -32 x + 12 )

 
     
Respuesta
     
     

4 ((2 x-3) (2 x-1) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {39} )

 

Factor: (18 w ^ {2} -39 w + 18 )

 
     
Respuesta
     
     

3 ((3 w-2) (2 w-3) )

     
 
 
 

Ahora podemos actualizar la estrategia de factorización preliminar, como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) y se detalla en Elija una estrategia para factorizar polinomios completamente (actualizado) , para incluir trinomios de la forma (ax ^ {2} + b x + c ). Recuerde, algunos polinomios son primos y, por lo tanto, no se pueden factorizar.

 
This figure has the strategy for factoring polynomials. At the top of the figure is GCF. Below this, there are three options. The first is binomial. The second is trinomial. Under trinomial there are x squared + b x + c and a x squared + b x +c. The two methods here are trial and error and the “a c” method. The third option is for more than three terms. It is grouping.  
Figura ( PageIndex {1} )
 
 
 
 

ELIJA UNA ESTRATEGIA PARA LOS FACTORES POLINOMIALES COMPLETAMENTE (ACTUALIZADA).

 
         
  1. ¿Existe un factor común máximo?           
  2.      
  3. ¿Es el polinomio un binomio, trinomio o hay más de tres términos?      
               
    • Si es un binomio, en este momento no tenemos ningún método para factorizarlo.
    •          
    • Si es un trinomio de la forma (x ^ {2} + b x + c )
      Deshacer FOIL \ ((x qquad) (x qquad) ).
    •          
    • Si es un trinomio de la forma (a x ^ {2} + b x + c )
      Use Prueba y error o el método «ac».
    •          
    • Si tiene más de tres términos
      Use el método de agrupación.
    •      
         
  4.      
  5. Comprueba multiplicando los factores.
  6.  
 
 
 

Nota

 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales con factorización de trinomios de la forma (a x ^ {2} + b x + c )

 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Trinomios de factor de la forma (ax ^ {2} + b x + c ) usando Prueba y error: [19459027 ] Ver Ejemplo .      
               
    1. Escribe el trinomio en orden descendente de grados.
    2.          
    3. Encuentra todos los pares de factores del primer término.
    4.          
    5. Encuentra todos los pares de factores del tercer término.
    6.          
    7. Pruebe todas las combinaciones posibles de los factores hasta encontrar el producto correcto.
    8.          
    9. Verificar multiplicando.
    10.      
         
  •      
  • Trinomios de factor de la forma (ax ^ {2} + b x + c ) Usando el método «ac»: Ver Ejemplo [ 19459150] .      
               
    1. Factorizar cualquier GCF.
    2.          
    3. Encontrar el producto ac.
    4.          
    5. Encuentra dos números m y n que: ( begin {array} {ll} { text {Multiplicar a} ac} & {m cdot n = a cdot c} \ { text {Añadir a} b} & {m + n = b} end {array} )
    6.          
    7. Divida el término medio usando m y n :
      This figure shows two equations. The top equation reads a times x squared plus b times x plus c. Under this, is the equation a times x squared plus m times x plus n times x plus c. Above the m times x plus n times x is a bracket with b times x above it.
    8.          
    9. Factorizar por agrupación.
    10.          
    11. Comprueba multiplicando los factores.
    12.      
         
  •      
  • Elija una estrategia para factorizar polinomios completamente (actualizado):      
               
    1. ¿Existe un factor común máximo? Factorizarlo.
    2.          
    3. ¿Es el polinomio un binomio, trinomio o hay más de tres términos?
      Si es un binomio, en este momento no tenemos ningún método para factorizarlo.
      Si es un trinomio de la forma (x ^ 2 + bx + c )
      Deshacer FOIL ((x qquad) (x qquad) ).
      Si es un trinomio de la forma (ax ^ 2 + bx + c )
      Use Prueba y Error o el método «ac».
      Si tiene más de tres términos
      Utilice el método de agrupación.
    4.          
    5. Comprueba multiplicando los factores.
    6.      
         
  •  
 

 

 
 

Glosario

 
     
polinomios primarios
     
Los polinomios que no se pueden factorizar son polinomios primos.
 
 
 
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