las matematicas

7.3: Funciones logarítmicas y sus gráficos

7.3: Funciones logarítmicas y sus gráficos

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Definir y evaluar logaritmos.
    •      
  • Identifica el logaritmo común y natural.
    •      
  • Dibuja el gráfico de funciones logarítmicas.
    •  
 
 

Definición del logaritmo

 

Comenzamos con la función exponencial definida por (f (x) = 2 ^ {x} ) y observamos que pasa la prueba de la línea horizontal.

 
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Figura 7.3.1
 
 

Por lo tanto, es uno a uno y tiene un inverso. Al reflejar (y = 2 ^ {x} ) sobre la línea (y = x ) podemos dibujar el gráfico de su inverso. Recuerde que si ((x, y) ) es un punto en el gráfico de una función, entonces ((y, x) ) será un punto en el gráfico de su inverso.

 
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Figura 7.3.2
 
 

Para encontrar el inverso algebraicamente, comience intercambiando (x ) y (y ) y luego intente resolver (y ).

 

( begin {alineado} f (x) & = 2 ^ {x} \ y & = 2 ^ {x} quad color {Cerulean} { Rightarrow} quad color {black} { x} = 2 ^ {y} end {alineado} )

 

Nos damos cuenta rápidamente de que no hay un método para resolver (y ). Esta función parece “trascender” el álgebra. Por lo tanto, definimos el inverso como la base – (2 ) logaritmo, denotado ( log _ {2} x ). Los siguientes son equivalentes:

 

(y = log _ {2} x color {Cerulean} { Leftrightarrow} color {black} {x} = 2 ^ {y} )

 

Esto nos da otra función trascendental definida por (f ^ {- 1} (x) = log _ {2} x ), que es la inversa de la función exponencial definida por (f (x) = 2 ^ {x} ).

 
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Figura 7.3.3
 
 

El dominio consta de todos los números reales positivos ((0, ∞) ) y el rango consta de todos los números reales ((- ∞, ∞) ). John Napier es ampliamente acreditado por inventar el término logaritmo.

 
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Figura 7.3.4: John Napier (1550-1617)
 
 

En general, dada la base (b> 0 ) donde (b ≠ 1 ), el logaritmo base b 8 se define como sigue:

 

(y = log _ {b} x quad color {Cerulean} {if : and : only : if} quad color {black} {x} = b ^ {y} )

 

Use esta definición para convertir logaritmos a forma exponencial y viceversa.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Tabla 7.3.1
Forma logarítmica Forma exponencial
( log _ {2} 16 = 4 ) (2 ^ {4} = 16 )
( log _ {5} 25 = 2 ) (5 ^ {2} = 25 )
( log _ {6} 1 = 0 ) (6 ^ {0} = 1 )
( log _ {3} sqrt {3} = frac {1} {2} ) (3 ^ {1/2} = sqrt {3} )
( log _ {7} left ( frac {1} {49} right) = – 2 ) (7 ^ {- 2} = frac {1} {49} )
 

Es útil notar que el logaritmo es en realidad el exponente (y ) al cual se eleva la base (b ) para obtener el argumento (x ).

 
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Figura 7.3.5
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Evaluar:

 
         
  1. ( log _ {5} 125 )
    2.      
  2. ( log _ {2} left ( frac {1} {8} right) )
    3.      
  3. ( log _ {4} 2 )
    4.      
  4. ( log _ {11} 1 )
    5.  
 

Solución

 
         
  1. ( log _ {5} 125 = 3 ) porque (5 ^ {3} = 125 ).
    2.      
  2. ( log _ {2} left ( frac {1} {8} right) = – 3 ) porque (2 ^ {- 3} = frac {1} {2 ^ {3 }} = frac {1} {8} ).
    3.      
  3. ( log _ {4} 2 = frac {1} {2} ) porque (4 ^ {1/2} = sqrt {4} = 2 ).
    4.      
  4. ( log _ {11} 1 = 0 ) porque (11 ^ {0} = 1 )
    5.  
 
 

Tenga en cuenta que el resultado de un logaritmo puede ser negativo o incluso cero. Sin embargo, el argumento de un logaritmo no está definido para números negativos o cero:

 

[ begin {alineado} log _ {2} (- 4) & = color {Cerulean} {?} Color {black} { Longrightarrow} 2 ^ { color {Cerulean} {?} } color {black} {=} -4 \ log _ {2} (0) & = color {Cerulean} {?} color {black} { Longrightarrow} 2 ^ { color {Cerulean} { ?}} color {black} {=} 0 end {alineado} ]

 

No hay potencia de dos que resulte en (- 4 ) o (0 ). Los números negativos y cero no están en el dominio del logaritmo. En este punto, puede ser útil volver y revisar todas las reglas de los exponentes.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Encuentra (x ):

 
         
  1. ( log _ {7} x = 2 )
    2.      
  2. ( log _ {16} x = frac {1} {2} )
    3.      
  3. ( log _ {1/2} x = -5 )
    4.  
 

Solución

 

Convierta cada uno a forma exponencial y luego simplifique usando las reglas de exponentes.

 
         
  1. ( log _ {7} x = 2 ) es equivalente a (7 ^ {2} = x ) y, por lo tanto, (x = 49 ).
    2.      
  2. ( begin {array} {l} { log _ {16} x = frac {1} {2} text {es equivalente a} 16 ^ {1/2} = x text {o } sqrt {16} = x text {y así}} {x = 4.} end {array} )
    3.      
  3. ( begin {array} {l} { log _ {1/2} x = -5 text {es equivalente a} left ( frac {1} {2} right) ^ {- 5} = x text {o} 2 ^ {5} = x text {y por lo tanto}} {x = 32} end {array} ),
    4.  
 
 

El logaritmo común y natural

 

Un logaritmo puede tener cualquier número real positivo, que no sea (1 ), como base. Si la base es (10 ​​), el logaritmo se llama común logaritmo 9 .

 

(f (x) = log _ {10} x = log x quad color {Cerulean} {Común : logaritmo} )

 

Cuando un logaritmo se escribe sin una base, se supone que es el logaritmo común.

 
 

Esta convención varía con respecto al tema en el que aparece. Por ejemplo, los informáticos a menudo permiten que ( log : x ) represente la base logarítmica (2 ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Evaluar:

 
         
  1. ( log 10 ^ {5} )
    2.      
  2. ( log sqrt {10} )
    3.      
  3. ( log 0.01 )
    4.  
 

Solución

 
         
  1. ( log 10 ^ {5} = 5 ) porque (10 ​​^ {5} = 10 ^ {5} ).
    2.      
  2. ( log sqrt {10} = frac {1} {2} ) porque (10 ​​^ {1/2} = sqrt {10} ).
    3.      
  3. ( begin {array} {l} { log 0.01 = log left ( frac {1} {100} right) = – 2 text {porque}} {10 ^ {- 2} = frac {1} {10 ^ {2}} = frac {1} {100} = 0.01} end {array} )
    4.  
 
 

El resultado de un logaritmo no siempre es aparente. Por ejemplo, considere (log : 75 ).

 

( begin {alineado} log 10 & = 1 \ log 75 & = color {Cerulean} {?} \ log 100 & = 2 end {alineado} )

 

Podemos ver que el resultado de (log : 75 ) está en algún lugar entre (1 ) y (2 ). En la mayoría de las calculadoras científicas hay un botón de logaritmo común LOG . Úselo para encontrar el (log : 75 ) de la siguiente manera:

 

(LOG : 75 = 1.87506 )

 

Por lo tanto, redondeado a la milésima más cercana, (log : 75 ≈ 1.875 ). Como verificación, podemos usar una calculadora para verificar que (10 ​​^ { wedge} 1.875 aprox 75 ).

 

Si la base de un logaritmo es (e ), el logaritmo se llama natural logaritmo 10 .

 

(f (x) = log _ {e} x = ln x quad color {Cerulean} {Natural : logarithm} )

 

El logaritmo natural se usa ampliamente y a menudo se abrevia (ln : x ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Evaluar:

 
         
  1. ( ln e )
    2.      
  2. ( ln sqrt [3] {e ^ {2}} )
    3.      
  3. ( ln left ( frac {1} {e ^ {4}} right) )
    4.  
 

Solución

 
         
  1. ( ln e = 1 text {porque} ln e = log _ {e} e = 1 text {y} e ^ {1} = e ).
    2.      
  2. ( ln left ( sqrt [3] {e ^ {2}} right) = frac {2} {3} ) porque (e ^ {2/3} = sqrt [ 3] {e ^ {2}} ).
    3.      
  3. ( ln left ( frac {1} {e ^ {4}} right) = – 4 ) porque (e ^ {- 4} = frac {1} {e ^ {4 }} ).
    4.  
 
 

En una calculadora encontrará un botón para el logaritmo natural LN .

 

(LN : 75 : = : 4.317488 )

 

Por lo tanto, redondeado a la milésima más cercana, (ln 🙁 75) ≈ 4.317 ). Como verificación, podemos usar una calculadora para verificar que (e ^ { wedge} 4.317 aprox 75 ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Encuentra (x ). Redondea las respuestas a la milésima más cercana.

 
         
  1. ( log x = 3.2 )
    2.      
  2. ( ln x = -4 )
    3.      
  3. ( log x = – frac {2} {3} )
    4.  
 

Solución

 

Convierta cada uno a forma exponencial y luego use una calculadora para aproximar la respuesta.

 
         
  1. ( log x = 3.2 ) es equivalente a (10 ​​^ {3.2} = x ) y por lo tanto (x aprox 1584.893 ).
    2.      
  2. ( ln x = -4 ) es equivalente a (e ^ {- 4} = x ) y por lo tanto (x aproximadamente 0.018 ).
    3.      
  3. ( log x = – frac {2} {3} ) es equivalente a (10 ​​^ {- 2/3} = x ) y, por lo tanto, (x aprox 0.215 ).
    4.  
 
 

Representación gráfica de funciones logarítmicas

 

Podemos usar las traducciones para graficar funciones logarítmicas. Cuando la base (b> 1 ), la gráfica de (f (x) = log_ {b} x ) tiene la siguiente forma general:

 
7a127bf059854091f42e9f91c52eafe7.png  
Figura 7.3.6
 
 

El dominio consta de números reales positivos, ((0, ∞) ) y el rango consta de todos los números reales, ((- ∞, ∞) ). El eje (y ), o (x = 0 ), es una asíntota vertical y la intersección (x ) es ((1, 0) ). Además, (f (b) = log_ {b} b = 1 ) y entonces ((b, 1) ) es un punto en el gráfico, sin importar cuál sea la base.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Dibuje el gráfico y determine el dominio y el rango: (f (x) = log _ {3} (x + 4) -1 ).

 

Solución

 

Comience por identificar el gráfico básico y las transformaciones.

 

( begin {array} {l} {y = log _ {3} x} quad quad quad quad : : : : color {Cerulean} {Basic : graph .} \ {y = log _ {3} (x + 4)} quad quad : : color {Cerulean} {Shift : left : 4 : unidades.} \ {y = log _ {3} (x + 4) -1} : : : color {Cerulean} {Shift : down : 1 : unit.} end {array} )

 
0f7801acf63f6e639572be184b1d0e39.png  
Figura 7.3.7
 
 

Observe que la asíntota también se desplazó (4 ) unidades a la izquierda. Esto define el límite inferior del dominio. El gráfico final se presenta sin los pasos intermedios.

 

Respuesta :

 
c358300af36d93f47e75457dc0aa0c43.png  
Figura 7.3.8
 
 

Dominio: ((- 4, infty) ); Rango: ((- infty, infty) )

 
 

Encontrar las intersecciones de la gráfica en el ejemplo anterior se deja para una sección posterior en este capítulo. Por ahora, nos preocupa más la forma general de las funciones logarítmicas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Dibuje el gráfico y determine el dominio y el rango: (f (x) = – log (x-2) ).

 

Solución

 

Comience por identificar el gráfico básico y las transformaciones.

 

( begin {array} {l} {y = log x} quad quad quad quad color {Cerulean} {Basic : graph.} \ {y = – log x} quad quad quad color {Cerulean} {Reflection : about : the : x-axis.} \ {y = – log (x-2)} : : : color {Cerulean } {Shift : right : 2 : units.} End {array} )

 
2a351db284993548ea06068881d2c701.png  
Figura 7.3.9
 
 

Aquí la asíntota vertical se desplazó dos unidades hacia la derecha. Esto define el límite inferior del dominio.

 

Respuesta

 
1017435ad51cf4813534623285135d09.png  
Figura 7.3.10
 
 

Dominio: ((2, infty) ); Rango: ((- infty, infty) )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Dibuje el gráfico y determine el dominio y el rango: (g (x) = ln (-x) +2 ).

 
     
Respuesta
     
     
1069adcdf3ebecf27ae3a8f08579e1a6.png      
Figura 7.3.11
     
     

Dominio: ((- infty, 0) ); Rango: ((- infty, infty) )

     

     
 
 
 

A continuación, considere las funciones exponenciales con bases fraccionarias, como la función definida por (f (x) = ( frac {1} {2}) ^ {x} ). El dominio consta de todos los números reales. Elija algunos valores para (x ) y luego encuentre los valores (y ) correspondientes.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         
Tabla 7.3.2
(x ) (y ) ( color {Cerulean} {Solutions} )
(- 2 ) ( color {Cerulean} {4} ) (f (-2) = left ( frac {1} {2} right) ^ {- 2} = 2 ^ {2} = 4 ) ((- 2,4) )
(- 1 ) ( color {Cerulean} {2} ) (f (-1) = left ( frac {1} {2} right) ^ {- 1} = 2 ^ {1} = 2 ) ((- 1,2) )
(0 ) ( color {Cerulean} {1} ) (f (0) = left ( frac {1} {2} right) ^ {0} = 1 ) ((0,1) )
(1 ) ( color {Cerulean} { frac {1} {2}} ) (f (1) = left ( frac {1} {2} right) ^ {1} = frac {1} {2} ) ( left (1, frac {1} {2} right) )
(2 ) ( color {Cerulean} { frac {1} {4}} ) (f (2) = left ( frac {1} {2} right) ^ {2} = frac {1} {4} ) ( left (2, frac {1} {4} right) )
 

Use estos puntos para dibujar el gráfico y observe que pasa la prueba de la línea horizontal.

 
8034b4e3cf055259fe554490a0de061f.png  
Figura 7.3.12
 
 

Por lo tanto, esta función es uno a uno y tiene una inversa. Reflejando el gráfico sobre la línea (y = x ) tenemos:

 
6aac3a5837c26ef0bf84c1ef94957134.png  
Figura 7.3.13
 
 

que nos da una imagen de la gráfica de (f ^ {- 1} (x) = log _ {1/2} x ). En general, cuando la base (b> 1 ), la gráfica de la función definida por (g (x) = log _ {1 / b} x ) tiene la siguiente forma.

 
416382eb90f5147a82118ea1062c8787.png  
Figura 7.3.14
 
 

El dominio consta de números reales positivos, ((0, ∞) ) y el rango consta de todos los números reales, ((- ∞, ∞) ). El eje (y ), o (x = 0 ), es una asíntota vertical y la intersección (x ) es ((1, 0) ). Además, (f (b) = log _ {1 / b} b = -1 ) y entonces ((b, −1) ) es un punto en el gráfico.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Dibuje el gráfico y determine el dominio y el rango: (f (x) = log _ {1/3} (x + 3) +2 ).

 

Solución

 

Comience por identificar el gráfico básico y las transformaciones.

 

[ begin {array} {l} {y = log _ {1/3} x} quad quad quad quad : : : : color {Cerulean} {Basic : gráfico.} \ {y = log _ {1/3} (x + 3)} quad quad : : color {Cerulean} {Shift : left : 3 : unidades.} {y = log _ {1/3} (x + 3) +2} : : : color {Cerulean} {Shift : up : 2 : units.} end {array} ]

 
80f2c4d9437cd84148b3336a9eb92d8d.png  
Figura 7.3.15
 
 

En este caso, las unidades de desplazamiento hacia la izquierda (3 ) movieron la asíntota vertical a (x = −3 ) que define el límite inferior del dominio.

 

Respuesta :

 
15e8a94ad41a3f362b5719b2886fcfba.png  
Figura 7.3.16
 
 

Dominio: ((- 3, infty) ); Rango: ((- infty, infty) )

 
 

En resumen, si (b> 1 )

 
f1633e851be66af857255967781871ba.png  
Figura 7.3.17
 
 

Y para ambos casos,

 

[ begin {alineado} color {Cerulean} {Dominio:} & color {black} {(} 0, infty) \ color {Cerulean} {Rango:} & color {black} {(} – infty, infty) \ color {Cerulean} {intersección x:} & color {black} {(} 1,0) \ color {Cerulean} {Asymptote:} & color {negro} {x} = 0 end {alineado} ]

 

Puntos clave

 
         
  • La función logarítmica base – (b ) se define como la inversa de la función exponencial base – (b ). En otras palabras, (y = log_ {b} x ) si y solo si (b ^ {y} = x ) donde (b> 0 ) y (b ≠ 1 ).
    •      
  • El logaritmo es en realidad el exponente al que se eleva la base para obtener su argumento.
    •      
  • La base de logaritmo (10 ​​) se denomina logaritmo común y se denota ( log : x ).
    •      
  • La base de logaritmo (e ) se llama logaritmo natural y se denota ( ln : x ).
    •      
  • Las funciones logarítmicas con definiciones de la forma (f (x) = log_ {b} x ) tienen un dominio que consiste en números reales positivos ((0, ∞) ) y un rango que consiste en todos los números reales ((- ∞, ∞) ).
    •      
  • El eje (y ), o (x = 0 ), es una asíntota vertical y la intersección (x ) es ((1, 0) ).
    •      
  • Para graficar funciones logarítmicas podemos trazar puntos o identificar la función básica y usar las transformaciones. Asegúrese de indicar que hay una asíntota vertical utilizando una línea discontinua. Esta asíntota define el límite del dominio.
    •  
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Evaluar.

 
         
  1. ( log _ {3} 9 )
    2.      
  2. ( log _ {7} 49 )
    3.      
  3. ( log _ {4} 4 )
    4.      
  4. ( log _ {5} 1 )
    5.      
  5. ( log _ {5} 625 )
    6.      
  6. ( log _ {3} 243 )
    7.      
  7. ( log _ {2} left ( frac {1} {16} right) )
    8.      
  8. ( log _ {3} left ( frac {1} {9} right) )
    9.      
  9. ( log _ {5} left ( frac {1} {125} right) )
    10.      
  10. ( log _ {2} left ( frac {1} {64} right) )
    11.      
  11. ( log _ {4} 4 ^ {10} )
    12.      
  12. ( log _ {9} 9 ^ {5} )
    13.      
  13. ( log _ {5} sqrt [3] {5} )
    14.      
  14. ( log _ {2} sqrt {2} )
    15.      
  15. ( log _ {7} left ( frac {1} { sqrt {7}} right) )
    16.      
  16. ( log _ {9} left ( frac {1} { sqrt [3] {9}} right) )
    17.      
  17. ( log _ {1/2} 4 )
    18.      
  18. ( log _ {1/3} 27 )
    19.      
  19. ( log _ {2/3} left ( frac {2} {3} right) )
    20.      
  20. ( log _ {3/4} left ( frac {9} {16} right) )
    21.      
  21. ( log _ {25} 5 )
    22.      
  22. ( log _ {8} 2 )
    23.      
  23. ( log _ {4} left ( frac {1} {2} right) )
    24.      
  24. ( log _ {27} left ( frac {1} {3} right) )
    25.      
  25. ( log _ {1/9} 1 )
    26.      
  26. ( log _ {3/5} left ( frac {5} {3} right) )
    27.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (2 )

     

3. (1 )

     

5. (4 )

     

7. (- 4 )

     

9. (- 3 )

     

11. (10 ​​)

     

13. ( frac {1} {3} )

     

15. (- frac {1} {2} )

     

17. (- 2 )

     

19. (1 )

     

21. ( frac {1} {2} )

     

23. (- frac {1} {2} )

     

25. (0 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Encuentra (x ).

 
         
  1. ( log _ {3} x = 4 )
    2.      
  2. ( log _ {2} x = 5 )
    3.      
  3. ( log _ {5} x = -3 )
    4.      
  4. ( log _ {6} x = -2 )
    5.      
  5. ( log _ {12} x = 0 )
    6.      
  6. ( log _ {7} x = -1 )
    7.      
  7. ( log _ {1/4} x = -2 )
    8.      
  8. ( log _ {2/5} x = 2 )
    9.      
  9. ( log _ {1/9} x = frac {1} {2} )
    10.      
  10. ( log _ {1/4} x = frac {3} {2} )
    11.      
  11. ( log _ {1/3} x = -1 )
    12.      
  12. ( log _ {1/5} x = 0 )
    13.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (81 )

     

3. ( frac {1} {125} )

     

5. (1 )

     

7. (16 )

     

9. ( frac {1} {3} )

     

11. (3 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Evaluar. Redondee a la centésima más cercana donde corresponda.

 
         
  1. ( log 1000 )
    2.      
  2. ( log 100 )
    3.      
  3. ( log 0.1 )
    4.      
  4. ( log 0.0001 )
    5.      
  5. ( log 162 )
    6.      
  6. ( log 23 )
    7.      
  7. ( log 0.025 )
    8.      
  8. ( log 0.235 )
    9.      
  9. ( ln e ^ {4} )
    10.      
  10. ( ln 1 )
    11.      
  11. ( ln left ( frac {1} {e} right) )
    12.      
  12. ( ln left ( frac {1} {e ^ {5}} right) )
    13.      
  13. ( ln (25) )
    14.      
  14. ( ln (100) )
    15.      
  15. ( ln (0,125) )
    16.      
  16. ( ln (0,001) )
    17.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (3 )

     

3. (- 1 )

     

5. (2.21 )

     

7. (- 1.60 )

     

9. (4 )

     

11. (- 1 )

     

13. (3.22 )

     

15. (- 2.08 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Encuentra (x ). Redondea a la centésima más cercana.

 
         
  1. ( log x = 2.5 )
    2.      
  2. ( log x = 1.8 )
    3.      
  3. ( log x = -1,22 )
    4.      
  4. ( log x = -0.8 )
    5.      
  5. ( ln x = 3.1 )
    6.      
  6. ( ln x = 1.01 )
    7.      
  7. ( ln x = -0,69 )
    8.      
  8. ( ln x = -1 )
    9.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (316.23 )

     

3. (0.06 )

     

5. (22.20 )

     

7. (0.50 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Encuentra (a ) sin usar una calculadora.

 
         
  1. ( log _ {3} left ( frac {1} {27} right) = a )
    2.      
  2. ( ln e = a )
    3.      
  3. ( log _ {2} a = 8 )
    4.      
  4. ( log _ {2} sqrt [5] {2} = a )
    5.      
  5. ( log 10 ^ {12} = a )
    6.      
  6. ( ln a = 9 )
    7.      
  7. ( log _ {1/8} left ( frac {1} {64} right) = a )
    8.      
  8. ( log _ {6} a = -3 )
    9.      
  9. ( ln a = frac {1} {5} )
    10.      
  10. ( log _ {4/9} left ( frac {2} {3} right) = a )
    11.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (- 3 )

     

3. (256 )

     

5. (12 )

     

7. (2 )

     

9. ( sqrt [5] {e} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

En 1935 Charles Richter desarrolló una escala utilizada para medir terremotos en un sismógrafo. La magnitud (M ) de un terremoto viene dada por la fórmula,

 

(M = log left ( frac {I} {I_ {0}} right) )

 

Aquí (I ) representa la intensidad del terremoto medida en el sismógrafo (100 ) km del epicentro y (I_ {0} ) es la intensidad mínima utilizada para la comparación. Por ejemplo, si la intensidad de un terremoto se mide como (100 ) veces la del mínimo, entonces (I = 100I_ {0} ) y

 

(M = log left ( frac {100 I_ {0}} {I_ {0}} right) = log (100) = 2 )

 

Se diría que el terremoto tiene una magnitud (2 ) en la escala de Richter. Determine las magnitudes de las siguientes intensidades en la escala de Richter. Redondea a la décima más cercana.

 
         
  1. (I ) es (3 ) millones de veces la intensidad mínima.
    2.      
  2. (I ) es (6 ) millones de veces la intensidad mínima.
    3.      
  3. (I ) es lo mismo que la intensidad mínima.
    4.      
  4. (I ) es (30 ) millones de veces la intensidad mínima.
    5.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (6.5 )

     

3. (0 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

En química, el pH es una medida de acidez y viene dada por la fórmula,

 

( mathrm {pH} = – log left (H ^ {+} right) )

 

Aquí (H ^ {+} ) representa la concentración de iones de hidrógeno (medida en moles de hidrógeno por litro de solución). Determine el pH dadas las siguientes concentraciones de iones de hidrógeno.

 
         
  1. Agua pura: (H ^ {+} = 0.0000001 )
    2.      
  2. Arándano: (H ^ {+} = 0.0003162 )
    3.      
  3. Jugo de limón: (H ^ {+} = 0.01 )
    4.      
  4. Ácido de batería: (H ^ {+} = 0.1 )
    5.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (7 )

     

3. (2 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Dibuje la función y determine el dominio y el rango. Dibuja la asíntota vertical con una línea discontinua.

 
         
  1. (f (x) = log _ {2} (x + 1) )
    2.      
  2. (f (x) = log _ {3} (x-2) )
    3.      
  3. (f (x) = log _ {2} x-2 )
    4.      
  4. (f (x) = log _ {3} x + 3 )
    5.      
  5. (f (x) = log _ {2} (x-2) +4 )
    6.      
  6. (f (x) = log _ {3} (x + 1) -2 )
    7.      
  7. (f (x) = – log _ {2} x + 1 )
    8.      
  8. (f (x) = – log _ {3} (x + 3) )
    9.      
  9. (f (x) = log _ {2} (- x) +1 )
    10.      
  10. (f (x) = 2- log _ {3} (- x) )
    11.      
  11. (f (x) = log x + 5 )
    12.      
  12. (f (x) = log x-1 )
    13.      
  13. (f (x) = log (x + 4) -8 )
    14.      
  14. (f (x) = log (x-5) +10 )
    15.      
  15. (f (x) = – log (x + 2) )
    16.      
  16. (f (x) = – log (x-1) +2 )
    17.      
  17. (f (x) = ln (x-3) )
    18.      
  18. (f (x) = ln x + 3 )
    19.      
  19. (f (x) = ln (x-2) +4 )
    20.      
  20. (f (x) = ln (x + 5) )
    21.      
  21. (f (x) = 2- ln x )
    22.      
  22. (f (x) = – ln (x-1) )
    23.      
  23. (f (x) = log _ {1/2} x )
    24.      
  24. (f (x) = log _ {1/3} x + 2 )
    25.      
  25. (f (x) = log _ {1/2} (x-2) )
    26.      
  26. (f (x) = log _ {1/3} (x + 1) -1 )
    27.      
  27. (f (x) = 2- log _ {1/4} x )
    28.      
  28. (f (x) = 1 + log _ {1/4} (- x) )
    29.      
  29. (f (x) = 1- log _ {1/3} (x-2) )
    30.      
  30. (f (x) = 1 + log _ {1/2} (- x) )
    31.  
 
     
Respuesta
     
     

1. Dominio: ((- 1, ∞) ); Rango: ((- ∞, ∞) )

     
262d8241e3eee557e9ace79d00ed26cf.png      
Figura 7.3.19
     
     

3. Dominio: ((0, ∞) ); Rango: ((- ∞, ∞) )

     
b4fc45e07f9e5dd402f7feefcfe7337f.png      
Figura 7.3.20
     
     

5. Dominio: ((2, ∞) ); Rango: ((- ∞, ∞) )

     
a0fed4182de1096ba09a6929a1d4bc48.png      
Figura 7.3.21
     
     

7. Dominio: ((0, ∞) ); Rango: ((- ∞, ∞) )

     
a3b4330ad8cdda9afa1404c5d49266dd.png      
Figura 7.3.22
     
     

9. Dominio: ((- ∞, 0) ); Rango: ((- ∞, ∞) )

     
6703b4dd22d73a774810ac3c720c8c71.png      
Figura 7.3.23
     
     

11. Dominio: ((0, ∞) ); Rango: ((- ∞, ∞) )

     
543e3bd9fd14b3ffcc942ca04645222d.png      
Figura 7.3.24
     
     

13. Dominio: ((- 4, ∞) ); Rango: ((- ∞, ∞) )

     
fa0a4c29ef4db9b2c0fcec84ba853693.png      
Figura 7.3.25
     
     

15. Dominio: ((- 2, ∞) ); Rango: ((- ∞, ∞) )

     
85eaece20f3696811d2e26ef2557940e.png      
Figura 7.3.26
     
     

17. Dominio: ((3, ∞) ); Rango: ((- ∞, ∞) )

     
2a26f9ebd76f89b53eb7eca1ff058ebb.png      
Figura 7.3.27
     
     

19. Dominio: ((2, ∞) ); Rango: ((- ∞, ∞) )

     
59c3c813f519710df16615aa95137fe2.png      
Figura 7.3.28
     
     

21. Dominio: ((0, ∞) ); Rango: ((- ∞, ∞) )

     
28a1ac3541e46e8a2bc2475a5abc7ca6.png      
Figura 7.3.29
     
     

23. Dominio: ((0, ∞) ); Rango: ((- ∞, ∞) )

     
7597f544c3fe5e53622ecc55094323ec.png      
Figura 7.3.30
     
     

25. Dominio: ((2, ∞) ); Rango: ((- ∞, ∞) )

     
330e786d26a069f20f68a6f117d8cb76.png      
Figura 7.3.31
     
     

27. Dominio: ((0, ∞) ); Rango: ((- ∞, ∞) )

     
17406e7b30af7957887eac740aa1aee9.png      
Figura 7.3.32
     
     

29. Dominio: ((2, ∞) ); Rango: ((- ∞, ∞) )

     
c474ed2038fe57d9f1300571e35add93.png      
Figura 7.3.33
     
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 
         
  1. Investigue y discuta los orígenes y la historia del logaritmo. ¿Cómo trabajaron los estudiantes con ellos antes de la disponibilidad común de calculadoras?
    2.      
  2. Investigue y discuta la historia y el uso de la escala de Richter. ¿Qué representa cada unidad en la escala de Richter?
    3.      
  3. Investigue y discuta la vida y las contribuciones de John Napier.
    4.  
 
     
Respuesta
     
     

1. La respuesta puede variar

     

3. La respuesta puede variar

     
 
 
 

Notas a pie de página

 

8 El exponente al que se eleva la base (b ) para obtener un valor específico. En otras palabras, (y = log_ {b} x ) es equivalente a (b ^ {y} = x ).

 

9 La base logarítmica (10 ​​), denotada (log : x ).

 

10 La base logarítmica (e ), denotada (ln : x ).

 
                                  
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