las matematicas

7.3: Propiedades conmutativas y asociativas (Parte 2)

7.3: Propiedades conmutativas y asociativas (Parte 2)

                 

Simplificar expresiones usando las propiedades conmutativas y asociativas

 

Cuando tenemos que simplificar las expresiones algebraicas, a menudo podemos facilitar el trabajo aplicando primero la propiedad conmutativa o asociativa en lugar de seguir automáticamente el orden de las operaciones. Observe que en Ejemplo 7.2.4 la parte (b) fue más fácil de simplificar que la parte (a) porque los opuestos estaban uno al lado del otro y su suma es 0. Del mismo modo, la parte (b) en El ejemplo 7.2.5 fue más fácil, con los recíprocos agrupados, porque su producto es 1. En los siguientes ejemplos, usaremos nuestro sentido numérico para buscar formas de aplicar estas propiedades para facilitar nuestro trabajo.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Simplifique: −84n + (−73n) + 84n.

 

Solución

 

Observe que el primer y el tercer término son opuestos, por lo que podemos usar la propiedad conmutativa de la suma para reordenar los términos.

                                                                                                                                                              
Reordenar los términos. −84n + 84n + (−73n)
Agregar de izquierda a derecha. 0 + (−73n)
Agregar. −73n
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} ):

 

Simplifica: −27a + (−48a) + 27a.

 
     
Respuesta
     
     

(- 48a )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} ):

 

Simplifica: 39x + (−92x) + (−39x).

 
     
Respuesta
     
     

(- 92x )

     
 
 
 

Ahora veremos cómo es útil reconocer los reciprocos. Antes de multiplicar de izquierda a derecha, busque los recíprocos: su producto es 1.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Simplifique: ( dfrac {7} {15} cdot dfrac {8} {23} cdot dfrac {15} {7} ).

 

Solución

 

Observe que el primer y el tercer término son recíprocos, por lo que podemos usar la propiedad conmutativa de la multiplicación para reordenar los factores.

                                                                                                                                                              
Reordenar los términos. $$ dfrac {7} {15} cdot dfrac {15} {7} cdot dfrac {8} {23} $$
Multiplica de izquierda a derecha. $$ 1 cdot dfrac {8} {23} $$
Multiplica. $$ dfrac {8} {23} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} ):

 

Simplifique: ( dfrac {9} {16} cdot dfrac {5} {49} cdot dfrac {16} {9} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {5} {49} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} ):

 

Simplifique: ( dfrac {6} {17} cdot dfrac {11} {25} cdot dfrac {17} {6} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {11} {25} )

     
 
 
 

En las expresiones en las que necesitamos sumar o restar tres o más fracciones, combina primero aquellas con un denominador común.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Simplifique: ( left ( dfrac {5} {13} + dfrac {3} {4} right) + dfrac {1} {4} ).

 

Solución

 

Observe que el segundo y el tercer término tienen un denominador común, por lo que este trabajo será más fácil si cambiamos la agrupación.

                                                                                                                                                                                                                                                              
Agrupe los términos con un denominador común. $$ dfrac {5} {13} + left ( dfrac {3} {4} + dfrac {1} {4} right) $$
Agrega los paréntesis primero. $$ dfrac {5} {13} + left ( dfrac {4} {4} right) $$
Simplifica la fracción. $$ dfrac {5} {13} + 1 $$
Agregar. $$ 1 dfrac {5} {13} $$
Convertir a una fracción impropia. $$ dfrac {18} {13} $$
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} ):

 

Simplifique: ( left ( dfrac {7} {15} + dfrac {5} {8} right) + dfrac {3} {8} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {22} {15} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} ):

 

Simplifique: ( left ( dfrac {2} {9} + dfrac {7} {12} right) + dfrac {5} {12} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {11} {9} )

     
 
 
 
 

Al sumar y restar tres o más términos que involucren decimales, busque términos que se combinen para dar números enteros.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Simplificar: (6.47q + 9.99q) + 1.01q.

 

Solución

 

Observe que la suma del segundo y tercer coeficientes es un número entero.

                                                                                                                                                              
Cambiar la agrupación. 6.47q + (9.99q + 1.01q)
Agrega los paréntesis primero. 6,47q + (11,00q)
Agregar. 17.47q
 

Muchas personas tienen buen sentido numérico cuando tratan con dinero. Piense en agregar 99 centavos y 1 centavo. ¿Ves cómo se aplica esto al agregar 9.99 + 1.01?

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} ):

 

Simplificar: (5.58c + 8.75c) + 1.25c.

 
     
Respuesta
     
     

(15,58c )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} ):

 

Simplificar: (8.79d + ​​3.55d) + 5.45d.

 
     
Respuesta
     
     

(17,79d )

     
 
 
 

No importa lo que esté haciendo, siempre es una buena idea pensar con anticipación. Cuando simplifique una expresión, piense cuáles serán sus pasos. El siguiente ejemplo le mostrará cómo usar la Propiedad asociativa de la multiplicación puede facilitar su trabajo si planifica con anticipación.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

 

Simplifique la expresión: [1.67 (8)] (0.25).

 

Solución

 

Observe que multiplicar (8) (0.25) es más fácil que multiplicar 1.67 (8) porque da un número entero. (Piense en tener 8 trimestres, eso hace $ 2).  

                                                                                                                                                            
Reagruparse. 1,67 [(8) (0,25)]
Multiplica entre paréntesis primero. 1,67 [2]
Multiplica. 3,34
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} ):

 

Simplifique: [1.17 (4)] (2.25).

 
     
Respuesta
     
     

(10,53 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} ):

 

Simplifique: [3.52 (8)] (2.5).

 
     
Respuesta
     
     

(70,4 )

     
 
 
 

Al simplificar expresiones que contienen variables, podemos usar las propiedades conmutativas y asociativas para reordenar o reagrupar términos, como se muestra en el siguiente par de ejemplos.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

 

Simplificar: 6 (9x).

 

Solución

                                                                                                              
Usa la propiedad asociativa de la multiplicación para reagrupar. (6 • 9) x
Multiplica entre paréntesis. 54x
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} ):

 

Simplificar: 8 (3 años).

 
     
Respuesta
     
     

(24 años )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} ):

 

Simplificar: 12 (5z).

 
     
Respuesta
     
     

(60z )

     
 
 
 
 

En El lenguaje del álgebra , aprendimos a combinar términos similares reorganizando una expresión para que los términos similares estuvieran juntos. Simplificamos la expresión 3x + 7 + 4x + 5 reescribiéndola como 3x + 4x + 7 + 5 y luego la simplificamos a 7x + 12. Estábamos usando la propiedad conmutativa de la suma.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

 

Simplificar: 18p + 6q + (−15p) + 5q.

 

Solución

 

Use la propiedad conmutativa de la suma para reordenar de modo que los términos similares estén juntos.

                                                                                                              
Reordenar los términos. 18p + (−15p) + 6q + 5q
Combina términos similares. 3p + 11q
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} ):

 

Simplifica: 23r + 14s + 9r + (−15s).

 
     
Respuesta
     
     

(32r-s )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} ):

 

Simplificar: 37m + 21n + 4m + (−15n).

 
     
Respuesta
     
     

(41m + 6n )

     
 
 
 
 

La práctica hace la perfección

 

Utilice las propiedades conmutativas y asociativas

 

En los siguientes ejercicios, use las propiedades conmutativas para reescribir la expresión dada.

 
         
  1. 8 + 9 = ___
    2.      
  2. 7 + 6 = ___
    3.      
  3. 8 (−12) = ___
    4.      
  4. 7 (−13) = ___
    5.      
  5. (−19) (- 14) = ___
    6.      
  6. (−12) (- 18) = ___
    7.      
  7. −11 + 8 = ___
    8.      
  8. −15 + 7 = ___
    9.      
  9. x + 4 = ___
    10.      
  10. y + 1 = ___
    11.      
  11. −2a = ___
    12.      
  12. −3m = ___
    13.  
 

En los siguientes ejercicios, use las propiedades asociativas para reescribir la expresión dada.

 
         
  1. (11 + 9) + 14 = ___
    2.      
  2. (21 + 14) + 9 = ___
    3.      
  3. (12 · 5) • 7 = ___
    4.      
  4. (14 · 6) • 9 = ___
    5.      
  5. (−7 + 9) + 8 = ___
    6.      
  6. (−2 + 6) + 7 = ___
    7.      
  7. ( left (16 cdot dfrac {4} {5} right) • 15 = ___
    8.      
  8. ( left (13 cdot dfrac {2} {3} right) • 18 = ___
    9.      
  9. 3 (4x) = ___
    10.      
  10. 4 (7x) = ___
    11.      
  11. (12 + x) + 28 = ___
    12.      
  12. (17 + y) + 33 = ___
    13.  
 

Evaluar expresiones usando las propiedades conmutativas y asociativas

 

En los siguientes ejercicios, evalúa cada expresión para el valor dado.

 
         
  1. Si y = ( dfrac {5} {8} ), evalúe:      
               
    1. y + 0,49 + (- y)
      2.          
    2. y + (- y) + 0,49
      3.      
         
    2.      
  2. Si z = ( dfrac {7} {8} ), evalúe:      
               
    1. z + 0,97 + (- z)
      2.          
    2. z + (- z) + 0,97
      3.      
         
    3.      
  3. Si c = (- dfrac {11} {4} ), evalúe:      
               
    1. c + 3.125 + (- c)
      2.          
    2. c + (- c) + 3,125
      3.      
         
    4.      
  4. Si d = (- dfrac {9} {4} ), evalúe:      
               
    1. d + 2,375 + (- d)
      2.          
    2. d + (- d) + 2,375
      3.      
         
    5.      
  5. Si j = 11, evalúe:      
               
    1. ( dfrac {5} {6} left ( dfrac {6} {5} j right) )
      2.          
    2. ( left ( dfrac {5} {6} cdot dfrac {6} {5} right) j )
      3.      
         
    6.      
  6. Si k = 21, evalúe:      
               
    1. ( dfrac {4} {13} left ( dfrac {13} {4} k right) )
      2.          
    2. ( left ( dfrac {4} {13} cdot dfrac {13} {4} right) k )
      3.      
         
    7.      
  7. Si m = −25, evalúe:      
               
    1. (- dfrac {3} {7} left ( dfrac {7} {3} m right) )
      2.          
    2. ( left (- dfrac {3} {7} cdot dfrac {7} {3} right) m )
      3.      
         
    8.      
  8. Si n = −8, evalúe:      
               
    1. (- dfrac {5} {21} left ( dfrac {21} {5} n right) )
      2.          
    2. ( left (- dfrac {5} {21} cdot dfrac {21} {5} right) n )
      3.      
         
    9.  
 

Simplificar expresiones usando las propiedades conmutativas y asociativas

 

En los siguientes ejercicios, simplifica.

 
         
  1. −45a + 15 + 45a
    2.      
  2. 9 años + 23 + (−9 años)
    3.      
  3. ( dfrac {1} {2} + dfrac {7} {8} + left (- dfrac {1} {2} right) )
    4.      
  4. ( dfrac {2} {5} + dfrac {5} {12} + left (- dfrac {2} {5} right) )
    5.      
  5. ( dfrac {3} {20} cdot dfrac {49} {11} cdot dfrac {20} {3} )
    6.      
  6. ( dfrac {13} {18} cdot dfrac {25} {7} cdot dfrac {18} {13} )
    7.      
  7. ( dfrac {7} {12} cdot dfrac {9} {17} cdot dfrac {24} {7} )
    8.      
  8. ( dfrac {3} {10} cdot dfrac {13} {23} cdot dfrac {50} {3} )
    9.      
  9. −24 • 7 • ( dfrac {3} {8} )
    10.      
  10. −36 • 11 • ( dfrac {4} {9} )
    11.      
  11. ( left ( dfrac {5} {6} + dfrac {8} {15} right) + dfrac {7} {15} )
    12.      
  12. ( left ( dfrac {1} {12} + dfrac {4} {9} right) + dfrac {5} {9} )
    13.      
  13. ( dfrac {5} {13} + dfrac {3} {4} + dfrac {1} {4} )
    14.      
  14. ( dfrac {8} {15} + dfrac {5} {7} + dfrac {2} {7} )
    15.      
  15. (4,33 p + 1,09 p) + 3,91 p
    16.      
  16. (5,89d + 2,75d) + 1,25d
    17.      
  17. 17 (0,25) (4)
    18.      
  18. 36 (0,2) (5)
    19.      
  19. [2,48 (12)] (0,5)
    20.      
  20. [9,731 (4)] (0,75)
    21.      
  21. 7 (4a)
    22.      
  22. 9 (8 w)
    23.      
  23. −15 (5 m)
    24.      
  24. −23 (2n)
    25.      
  25. 12 ( left ( dfrac {5} {6} p right) )
    26.      
  26. 20 ( left ( dfrac {3} {5} q right) )
    27.      
  27. 14x + 19y + 25x + 3y
    28.      
  28. 15u + 11v + 27u + 19v
    29.      
  29. 43m + (−12n) + (−16m) + (−9n)
    30.      
  30. −22p + 17q + (−35p) + (−27q)
    31.      
  31. ( dfrac {3} {8} g + dfrac {1} {12} h + dfrac {7} {8} g + dfrac {5} {12} h )
    32.      
  32. ( dfrac {5} {6} a + dfrac {3} {10} b + dfrac {1} {6} a + dfrac {9} {10} b )
    33.      
  33. 6.8p + 9.14q + (−4.37p) + (−0.88q)
    34.      
  34. 9.6m + 7.22n + (−2.19m) + (−0.65n)
    35.  
 

Matemáticas cotidianas

 
         
  1. Sellos Allie y Loren necesitan comprar sellos. Allie necesita cuatro sellos de $ 0.49 y nueve sellos de $ 0.02. Loren necesita ocho sellos de $ 0.49 y tres sellos de $ 0.02.      
               
    1. ¿Cuánto costarán los sellos de Allie?
      2.          
    2. ¿Cuánto costarán los sellos de Loren?
      3.          
    3. ¿Cuál es el costo total de los sellos de las niñas?
      4.          
    4. ¿Cuántas estampillas de $ 0.49 necesitan las chicas en total? ¿Cuánto costarán?
      5.          
    5. ¿Cuántas estampillas de $ 0.02 necesitan las niñas en total? ¿Cuánto costarán?
      6.      
         
    2.      
  2. Counting Cash Grant está sumando el efectivo de una cena de recaudación de fondos. En un sobre, tiene veintitrés billetes de $ 5, dieciocho billetes de $ 10 y treinta y cuatro billetes de $ 20. En otro sobre, tiene catorce billetes de $ 5, nueve billetes de $ 10 y veintisiete billetes de $ 20.      
               
    1. ¿Cuánto dinero hay en el primer sobre?
      2.          
    2. ¿Cuánto dinero hay en el segundo sobre?
      3.          
    3. ¿Cuál es el valor total de todo el efectivo?
      4.          
    4. ¿Cuál es el valor de todos los billetes de $ 5?
      5.          
    5. ¿Cuál es el valor de todos los billetes de $ 10?
      6.          
    6. ¿Cuál es el valor de todos los billetes de $ 20?
      7.      
         
    3.  
 

Ejercicios de escritura

 
         
  1. En tus propias palabras, establece la propiedad conmutativa de la suma y explica por qué es útil.
    2.      
  2. En tus propias palabras, establece la propiedad asociativa de la multiplicación y explica por qué es útil.
    3.  
 

Autocomprobación

 

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

 

 

(b) Después de revisar esta lista de verificación, ¿qué hará para tener confianza en todos los objetivos?

 
                                  
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antonio1095

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