En esta sección usaremos los ceros y las asíntotas de la función racional para ayudar a dibujar la gráfica de una función racional. También investigaremos el comportamiento final de las funciones racionales. Comencemos con un ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Dibuje la gráfica de la función racional [f (x) = frac {x + 2} {x-3} ]
Solución
Primero, tenga en cuenta que tanto el numerador como el denominador ya están factorizados. La función tiene una restricción, x = 3. A continuación, tenga en cuenta que x = −2 hace que el numerador de la ecuación (9) sea cero y no es una restricción. Por lo tanto, x = −2 es un cero de la función. Recuerde que una función es cero donde su gráfica cruza el eje horizontal. Por lo tanto, la gráfica de f cruzará el eje x en (−2, 0), como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).
Tenga en cuenta que la función racional (9) ya está reducida a los términos más bajos. Por lo tanto, la restricción en x = 3 colocará una asíntota vertical en x = 3, que también se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).
En este punto, sabemos dos cosas:
- La gráfica cruzará el eje x en (−2, 0).
- En cada lado de la asíntota vertical en x = 3, puede suceder una de dos cosas. O el gráfico se elevará al infinito positivo o el gráfico caerá al infinito negativo.
Para descubrir el comportamiento cerca de la asíntota vertical, tracemos un punto a cada lado de la asíntota vertical, como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ).
Considere el lado derecho de la asíntota vertical y el punto trazado (4, 6) a través del cual debe pasar nuestro gráfico. A medida que el gráfico se acerca a la asíntota vertical en x = 3, solo puede suceder una de dos cosas. O el gráfico sube al infinito positivo o el gráfico cae al infinito negativo. Sin embargo, para que esto último suceda, el gráfico primero debe pasar por el punto (4, 6), luego cruzar el eje x entre x = 3 yx = 4 en su descenso a infinito menos. Pero ya sabemos que la única intersección x está en el punto (2, 0), por lo que esto no puede suceder. Por lo tanto, a la derecha, el gráfico debe pasar por el punto (4, 6), luego elevarse al infinito positivo, como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ).
Un argumento similar se mantiene a la izquierda de la asíntota vertical en x = 3. La gráfica no puede pasar por el punto (2, −4) y elevarse al infinito positivo a medida que se acerca a la asíntota vertical, porque para hacerlo sería necesario que cruza el eje x entre x = 2 yx = 3. Sin embargo, no hay intersección x en esta región disponible para este propósito. Por lo tanto, a la izquierda, el gráfico debe pasar por el punto (2, −4) y caer al infinito negativo a medida que se acerca a la asíntota vertical en x = 3. Este comportamiento se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) .
Finalmente, ¿qué pasa con el comportamiento final de la función racional? ¿Qué le sucede a la gráfica de la función racional cuando x aumenta sin límite? ¿Qué sucede cuando x disminuye sin límite? Una manera simple de responder estas preguntas es usar una tabla para investigar el comportamiento numéricamente. La calculadora gráfica facilita esta tarea.
Primero, ingrese su función como se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ) (a), luego presione 2nd TBLSET para abrir la ventana que se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ) (b). Por lo que estamos a punto de hacer, todas las configuraciones en esta ventana son irrelevantes, excepto una. Asegúrese de usar las teclas de flecha para resaltar PREGUNTAR por la variable Indpnt (independiente) y presione ENTER para seleccionar esta opción. Finalmente, seleccione 2nd TABLE, luego ingrese los valores x 10, 100, 1000 y 10000, presionando ENTER después de cada uno.
Observe los valores y resultantes en la segunda columna de la tabla (la columna Y1) en la Figura ( PageIndex {7} ) (c). A medida que x aumenta sin límite, los valores de y son mayores que 1, pero parecen acercarse al número 1. Por lo tanto, a medida que nuestro gráfico se mueve hacia el extremo derecho, debe acercarse a la asíntota horizontal en y = 1, como se muestra en Figura ( PageIndex {9} ).
Un esfuerzo similar predice el comportamiento final a medida que x disminuye sin límite, como se muestra en la secuencia de imágenes en la Figura ( PageIndex {8} ). A medida que x disminuye sin límite, los valores de y son menores que 1, pero nuevamente se acercan al número 1, como se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ) (c).
La evidencia en la Figura ( PageIndex {8} ) (c) indica que a medida que nuestro gráfico se mueve hacia el extremo izquierdo, debe acercarse a la asíntota horizontal en y = 1, como se muestra en la Figura ( PageIndex { 9} ).
¿Qué tipo de trabajo realizará la calculadora gráfica con el gráfico de esta función racional? En la Figura ( PageIndex {10} ) (a), ingresamos la función, ajustamos los parámetros de la ventana como se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ) (b), luego presionamos el botón GRAPH para producir el resultado en la Figura ( PageIndex {10} ) (c).
Como se discutió en la primera sección, la calculadora gráfica maneja los gráficos de funciones “continuas” extremadamente bien, pero tiene dificultades para dibujar gráficos con discontinuidades. En el caso de la función racional actual, el gráfico “salta” de negativo
infinito a infinito positivo a través de la asíntota vertical x = 3. La calculadora solo sabe una cosa: trazar un punto, luego conectarlo al punto previamente trazado con un segmento de línea. En consecuencia, hace lo que se le dice y “conecta” infinitos cuando no debería.
Sin embargo, si nos hemos preparado de antemano, identificando ceros y asíntotas verticales, entonces podemos interpretar lo que vemos en la pantalla en la Figura ( PageIndex {10} ) (c), y usar esa información para producir el gráfico correcto que se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ). Incluso podemos agregar la asíntota horizontal a nuestro gráfico, como se muestra en la secuencia en la Figura ( PageIndex {11} ).
Este es un punto apropiado para pausar y resumir los pasos necesarios para dibujar el gráfico de una función racional.
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Dibuje la gráfica de la función racional [f (x) = frac {x-2} {x ^ {2} -3 x-4} ]
Solución
Seguiremos el esquema presentado en el Procedimiento para graficar funciones racionales.
Paso 1 : Primero, factoriza el numerador y el denominador.
[f (x) = frac {x-2} {(x + 1) (x-4)} ]
Paso 2 : Por lo tanto, f tiene dos restricciones, x = −1 yx = 4. Es decir, el dominio de f es (D_ {f} = {s: x neq -1,4 } ).
Paso 3 : El numerador de la ecuación (12) es cero en x = 2 y este valor no es una restricción. Por lo tanto, 2 es un cero de f y (2, 0) es una intersección x de la gráfica de f, como se muestra en la Figura ( PageIndex {12} ).
Paso 4 : Tenga en cuenta que la función racional ya está reducida a los términos más bajos (si no fuera así, la reduciríamos en este punto). Tenga en cuenta que las restricciones x = −1 yx = 4 siguen siendo restricciones de la forma reducida. Por lo tanto, estas son las ubicaciones y ecuaciones de las asíntotas verticales, que también se muestran en la Figura ( PageIndex {12} ).
Todas las restricciones de la función original siguen siendo restricciones de la forma reducida. Por lo tanto, no habrá “agujeros” en la gráfica de f.
Paso 5 : Trace los puntos a la derecha e izquierda inmediata de cada asíntota, como se muestra en la Figura ( PageIndex {13} ). Estos puntos adicionales determinan completamente el comportamiento del gráfico cerca de cada asíntota vertical. Por ejemplo, considere el punto (5, 1/2) a la derecha inmediata de la asíntota vertical x = 4 en la Figura ( PageIndex {13} ). Como no hay intersección x entre x = 4 y x = 5, y el gráfico ya está por encima del eje x en el punto (5, 1/2), el gráfico se ve obligado a aumentar a infinito positivo a medida que se acerca asíntota vertical x = 4. Comentarios similares están en orden para el comportamiento en cada lado de cada asíntota vertical.
Paso 6 : Use la utilidad de tabla en su calculadora para determinar el comportamiento final de la función racional a medida que x disminuye y / o aumenta sin límite. Para determinar el comportamiento final cuando x va al infinito (aumenta sin límite), ingrese la ecuación en su calculadora, como se muestra en la Figura ( PageIndex {14} ) (a). Seleccione 2nd TBLSET y resalte ASK para la variable independiente. Seleccione 2nd TABLE, luego ingrese 10, 100, 1000 y 10000, como se muestra en la Figura ( PageIndex {14} ) (c).
Si examina los valores de y en la Figura ( PageIndex {14} ) (c), verá que se dirigen hacia cero (1e-4 significa (1 por 10 ^ {- 4} ), que es igual a 0,0001). Esto implica que la línea y = 0 (el eje x) está actuando como una asíntota horizontal.
También puede determinar el comportamiento final cuando x se acerca al infinito negativo (disminuye sin límite), como se muestra en la secuencia de la Figura ( PageIndex {15} ). El resultado en la Figura ( PageIndex {15} ) (c) proporciona evidencia clara de que los valores de y se aproximan a cero cuando x va al infinito negativo. De nuevo, esto hace que y = 0 sea una asíntota horizontal.
Agregue la asíntota horizontal y = 0 a la imagen en la Figura ( PageIndex {13} ).
Paso 7 : Podemos usar toda la información reunida hasta la fecha para dibujar la imagen que se muestra en la Figura ( PageIndex {16} ).
Paso 8 : Como se indicó anteriormente, no hay “agujeros” en el gráfico de f.
Paso 9 : Usa tu calculadora gráfica para verificar la validez de tu resultado. Observe cómo la calculadora gráfica maneja el gráfico de esta función racional en la secuencia de la Figura ( PageIndex {17} ). La imagen en la Figura ( PageIndex {17} ) (c) no está cerca de la calidad de la imagen que tenemos en la Figura ( PageIndex {16} ), pero hay suficiente para intuir el gráfico real si prepararse adecuadamente de antemano (ceros, asíntotas verticales, análisis de comportamiento final, etc.).
