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las matematicas

7.3: Sumar y restar expresiones racionales

Sumar y restar expresiones racionales con un denominador común

 

¿Cuál es el primer paso que das cuando agregas fracciones numéricas? Verifica si tienen un denominador común. Si lo hacen, agrega los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común. Si no tienen un denominador común, encontrará uno antes de sumar.

 

Es lo mismo con las expresiones racionales. Para agregar expresiones racionales, deben tener un denominador común. Cuando los denominadores son iguales, agrega los numeradores y coloca la suma sobre el denominador común.

 
 
 

ADICION Y SUBTRACCION DE EXPRESION RACIONAL

 
 

Si (p ), (q ) y (r ) son polinomios donde (r neq 0 ), entonces

 

[ dfrac {p} {r} + dfrac {q} {r} = dfrac {p + q} {r} quad text {y} quad dfrac {p} {r} – dfrac {q} {r} = dfrac {p − q} {r} nonumber ]

 
 
 
 

Para sumar o restar expresiones racionales con un denominador común, suma o resta los numeradores y coloca el resultado sobre el común denominador.

 

Siempre simplificamos las expresiones racionales. Asegúrese de factorizar, si es posible, después de restar los numeradores para poder identificar los factores comunes.

 

Recuerde, también, no permitimos valores que hagan que el denominador sea cero. ¿Qué valor de (x ) debe excluirse en el siguiente ejemplo?

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Agregue: ( dfrac {11x + 28} {x + 4} + dfrac {x ^ 2} {x + 4} ).

 
     
Respuesta
     
     

Dado que el denominador es (x + 4 ), debemos excluir el valor (x = −4 ).

     

( begin {array} {ll} & dfrac {11x + 28} {x + 4} + dfrac {x ^ 2} {x + 4}, space x neq −4 \ begin {array} {l} text {Las fracciones tienen un denominador común,} \ text {así que agrega los numeradores y coloca la suma} \ text {sobre el denominador común.} end {array} & dfrac {11x + 28 + x ^ 2} {x + 4} \ & \ text {Escriba los grados en orden descendente.} & dfrac {x ^ 2 + 11x + 28} {x + 4} \ & \ text {Factorizar el numerador.} & dfrac {(x + 4) (x + 7)} {x + 4} \ & \ text {Simplifique eliminando factores comunes.} & dfrac { cancel {(x + 4)} (x + 7)} { cancel {x + 4}} \ & \ text {Simplify.} & x + 7 end {array} )

     

La expresión se simplifica a (x + 7 ) pero la expresión original tenía un denominador de (x + 4 ) entonces (x neq −4 ).

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Simplifica: ( dfrac {9x + 14} {x + 7} + dfrac {x ^ 2} {x + 7} ).

 
     
Respuesta
     
     

(x + 2 )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Simplifica: ( dfrac {x ^ 2 + 8x} {x + 5} + dfrac {15} {x + 5} ).

 
     
Respuesta
     
     

(x + 3 )

     
 
 
 
 
 

Para restar expresiones racionales, también deben tener un denominador común. Cuando los denominadores son iguales, resta los numeradores y coloca la diferencia sobre el denominador común. Tenga cuidado con los signos cuando resta un binomio o trinomio.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Restar: ( dfrac {5x ^ 2−7x + 3} {x ^ 2−3x + 18} – dfrac {4x ^ 2 + x − 9} {x ^ 2−3x + 18} ) .

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} & dfrac {5x ^ 2−7x + 3} {x ^ 2−3x + 18} – dfrac {4x ^ 2 + x − 9} {x ^ 2 −3x + 18} \ & \ begin {array} {l} text {Resta los numeradores y coloca la diferencia} \ text {sobre el denominador común.} End {array} & dfrac {5x ^ 2−7x + 3− (4x ^ 2 + x − 9)} {x ^ 2−3x + 18} \ & \ text {Distribuya el signo en el numerador.} & Dfrac {5x ^ 2− 7x + 3−4x ^ 2 − x + 9} {x ^ 2−3x − 18} \ & \ text {Combinar términos similares.} & Dfrac {x ^ 2−8x + 12} {x ^ 2 −3x − 18} \ & \ text {Factoriza el numerador y el denominador.} & Dfrac {(x − 2) (x − 6)} {(x + 3) (x − 6)} \ & \ text {Simplifique eliminando factores comunes.} & dfrac {(x − 2) cancel {(x − 6)}} {(x + 3) cancel {(x − 6)}} \ & \ & (x − 2) (x + 3) end {array} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Restar: ( dfrac {4x ^ 2−11x + 8} {x ^ 2−3x + 2} – dfrac {3x ^ 2 + x − 3} {x ^ 2−3x + 2} ) .

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {x − 11} {x − 2} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Restar: ( dfrac {6x ^ 2 − x + 20} {x ^ 2−81} – dfrac {5x ^ 2 + 11x − 7} {x ^ 2−81} ).

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {x − 3} {x + 9} )

     
 
 
 
 
 
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