Ejercicio ( PageIndex {1} )
Dado el triángulo que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ), encuentre el valor de ( sin t ).
- Respuesta
-
( frac {7} {25} )
7.3: Trigonometría del triángulo rectángulo
Ángulos relacionados y sus funciones
Al trabajar con triángulos rectángulos, se aplican las mismas reglas independientemente de la orientación del triángulo. De hecho, podemos evaluar las seis funciones trigonométricas de cualquiera de los dos ángulos agudos en el triángulo en la Figura ( PageIndex {5} ). El lado opuesto a un ángulo agudo es el lado adyacente al otro ángulo agudo, y viceversa.
Se nos pedirá que encontremos las seis funciones trigonométricas para un ángulo dado en un triángulo. Nuestra estrategia es encontrar primero el seno, el coseno y la tangente de los ángulos. Entonces, podemos encontrar fácilmente las otras funciones trigonométricas porque sabemos que el recíproco del seno es cosecante, el recíproco del coseno es secante y el recíproco de la tangente es cotangente.
cómo: Dadas las longitudes laterales de un triángulo rectángulo, evaluar las seis funciones trigonométricas de uno de los ángulos agudos
- Si es necesario, dibuja el triángulo rectángulo y rotula el ángulo proporcionado.
- Identifica el ángulo, el lado adyacente, el lado opuesto al ángulo y la hipotenusa del triángulo rectángulo.
- Encuentre la función requerida:
- seno como la relación del lado opuesto a la hipotenusa
- coseno como la relación del lado adyacente a la hipotenusa
- tangente como la relación del lado opuesto al lado adyacente
- secante como la relación entre la hipotenusa y el lado adyacente
- cosecante como la relación entre la hipotenusa y el lado opuesto
- cotangente como la relación del lado adyacente al lado opuesto
Ejemplo ( PageIndex {2} ): Evaluación de funciones trigonométricas de ángulos que no están en posición estándar
Usando el triángulo que se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ), evalúe ( sin α, cos α, tan α, sec α, csc α, ) y ( cot α ).
Solución
[ begin {align *} sin α & = dfrac { text {opuesto} α} { text {hypotenuse}} = dfrac {4} {5} \ cos α & = dfrac { text {adyacente a} α} { text {hypotenuse}} = dfrac {3} {5} \ tan α & = dfrac { text {opuesto} α} { text {adyacente a} α} = dfrac {4} {3} \ sec α & = dfrac { text {hypotenuse}} { text {adyacente a} α} = dfrac {5} {3} \ csc α & = dfrac { text {hypotenuse}} { text {opuesto} α} = dfrac {5} {4} \ cot α & = dfrac { text {adyacente a} α} { text { opuesto} α} = dfrac {3} {4} end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Usando el triángulo que se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ), evalúe ( sin t, cos t, tan t, sec t, csc t, ) y ( cot t ).
- Respuesta
-
[ begin {align *} sin t & = frac {33} {65}, cos t = frac {56} {65}, tan t = frac {33} {56} , \ \ sec t & = frac {65} {56}, csc t = frac {65} {33}, cot t = frac {56} {33} end {align *} ]
Encontrar funciones trigonométricas de ángulos especiales usando longitudes laterales
Ya hemos discutido las funciones trigonométricas relacionadas con los ángulos especiales en el círculo unitario. Ahora, podemos usar esas relaciones para evaluar triángulos que contienen esos ángulos especiales. Hacemos esto porque cuando evaluamos los ángulos especiales en las funciones trigonométricas, tienen valores relativamente amigables, valores que no contienen o solo una raíz cuadrada en la relación. Por lo tanto, estos son los ángulos que se usan a menudo en problemas de matemáticas y ciencias. Usaremos múltiplos de (30 °, 60 °, ) y (45 ° ), sin embargo, recuerde que cuando se trata de triángulos rectángulos, estamos limitados a ángulos entre (0 ° text {y} 90 ° ).
Supongamos que tenemos un triángulo (30 °, 60 °, 90 ° ), que también se puede describir como ( frac {π} {6}, frac {π} {3}, frac {π} {2} ) triángulo. Los lados tienen longitudes en la relación (s, sqrt {3} s, 2s. ) Los lados de un triángulo (45 °, 45 °, 90 ° ), que también se puede describir como ( frac {π} {4}, frac {π} {4}, frac {π} {2} ) triángulo, tienen longitudes en la relación (s, s, sqrt {2} s. ) Estas las relaciones se muestran en la Figura ( PageIndex {8} ).
Entonces podemos usar las proporciones de las longitudes laterales para evaluar las funciones trigonométricas de ángulos especiales.
Dadas las funciones trigonométricas de un ángulo especial, evalúe usando longitudes laterales.
- Use las longitudes laterales que se muestran en la Figura ( PageIndex {8} ) para el ángulo especial que desea evaluar.
- Use la relación de longitudes laterales apropiadas para la función que desea evaluar.
Ejemplo ( PageIndex {3} ): Evaluación de funciones trigonométricas de ángulos especiales utilizando longitudes laterales
Encuentre el valor exacto de las funciones trigonométricas de ( frac {π} {3} ), usando longitudes laterales.
Solución
[ begin {align *} sin ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {opp}} { text {hyp}} = dfrac { sqrt {3} s} {2s} = dfrac { sqrt {3}} {2} \ cos ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {adj}} { text {hyp}} = dfrac {s} {2s} = dfrac {1} {2} \ tan ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {opp}} { text {adj}} = dfrac { sqrt {3} s} {s} = sqrt {3} \ sec ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {hyp}} { text {adj }} = dfrac {2s} {s} = 2 \ csc ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {hyp}} { text {opp}} = dfrac {2s } { sqrt {3} s} = dfrac {2} { sqrt {3}} = dfrac {2 sqrt {3}} {3} \ cot ( dfrac {π} {3}) & = dfrac { text {adj}} { text {opp}} = dfrac {s} { sqrt {3} s} = dfrac {1} { sqrt {3}} = dfrac { sqrt {3}} {3} end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Encuentra el valor exacto de las funciones trigonométricas de ( frac {π} {4} ) usando longitudes laterales.
- Respuesta
-
( sin ( frac {π} {4}) = frac { sqrt {2}} {2}, cos ( frac {π} {4}) = frac { sqrt { 2}} {2}, tan ( frac {π} {4}) = 1, )
( sec ( frac {π} {4}) = sqrt {2}, csc ( frac {π} {4}) = sqrt {2}, cot ( frac {π } {4}) = 1 )
Uso de la igual función de complementos
Si observamos más de cerca la relación entre el seno y el coseno de los ángulos especiales en relación con el círculo unitario, notaremos un patrón. En un triángulo rectángulo con ángulos de ( frac {π} {6} ) y ( frac {π} {3} ), vemos que el seno de ( frac {π} {3} ), a saber, ( frac { sqrt {3}} {2} ), también es el coseno de ( frac {π} {6} ), mientras que el seno de ( frac {π} { 6} ), es decir, ( frac {1} {2}, ) es también el coseno de ( frac {π} {3} ) (Figura ( PageIndex {9} )).
[ begin {align *} sin frac {π} {3} & = cos frac {π} {6} = frac { sqrt {3} s} {2s} = frac { sqrt {3}} {2} \ sin frac {π} {6} & = cos frac {π} {3} = frac {s} {2s} = frac {1} { 2} end {align *} ]
Este resultado no debería ser sorprendente porque, como vemos en la Figura ( PageIndex {9} ), el lado opuesto al ángulo de ( frac {π} {3} ) también es el lado adyacente a ( frac {π} {6} ), entonces ( sin ( frac {π} {3}) ) y ( cos ( frac {π} {6}) ) son exactamente misma relación de los mismos dos lados, ( sqrt {3} s ) y (2s. ) Del mismo modo, ( cos ( frac {π} {3}) ) y ( sin ( frac {π} {6}) ) también tienen la misma proporción usando los mismos dos lados, (s ) y (2s ).
La interrelación entre los senos y cosenos de ( frac {π} {6} ) y ( frac {π} {3} ) también es válida para los dos ángulos agudos en cualquier triángulo rectángulo, ya que en En todos los casos, la proporción de los mismos dos lados constituiría el seno de un ángulo y el coseno del otro. Como los tres ángulos de un triángulo se suman a π, π, y el ángulo recto es ( frac {π} {2} ), los dos ángulos restantes también deben sumar ( frac {π} {2} ). Eso significa que se puede formar un triángulo rectángulo con dos ángulos que se sumen a ( frac {π} {2} ), en otras palabras, dos ángulos complementarios. Entonces, podemos establecer una identidad de cofunción : si dos ángulos son complementarios, el seno de uno es el coseno del otro, y viceversa. Esta identidad se ilustra en la Figura ( PageIndex {10} ).
Utilizando esta identidad, podemos afirmar sin calcular, por ejemplo, que el seno de ( frac {π} {12} ) es igual al coseno de ( frac {5π} {12} ), y que el seno de ( frac {5π} {12} ) es igual al coseno de ( frac {π} {12} ). También podemos afirmar que si, para un cierto ángulo (t, cos t = frac {5} {13}, ), entonces ( sin ( frac {π} {2} −t) = frac {5} {13} ) también.
IDENTIDADES DE COFUNCIÓN
Las identidades de cofunciones en radianes se enumeran en la Tabla ( PageIndex {1} ).
|
( cos t = sin ( frac {π} {2} −t) ) |
( sin t = cos ( dfrac {π} {2} −t) ) |
|
( tan t = cot ( dfrac {π} {2} −t) ) |
( cot t = tan ( dfrac {π} {2} −t) ) |
|
( sec t = csc ( dfrac {π} {2} −t) ) |
( csc t = sec ( dfrac {π} {2} −t) ) |
cómo: Dado el seno y el coseno de un ángulo, encuentra el seno o coseno de su complemento.
- Para encontrar el seno del ángulo complementario, encuentre el coseno del ángulo original.
- Para encontrar el coseno del ángulo complementario, encuentre el seno del ángulo original.
Ejemplo ( PageIndex {4} ): Uso de identidades de funciones
Si ( sin t = frac {5} {12}, ) encuentre (( cos frac {π} {2} −t) ).
Solución
Según las identidades de cofunciones para seno y coseno,
[ sin t = cos ( dfrac {π} {2} −t). nonumber ]
Entonces
[ cos ( dfrac {π} {2} −t) = dfrac {5} {12}. nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {4} )
If ( csc ( frac {π} {6}) = 2, ) find ( sec ( frac {π} {3}). )
Solución
2
Uso de funciones trigonométricas
En ejemplos anteriores, evaluamos el seno y el coseno en triángulos donde conocíamos los tres lados. Pero el poder real de la trigonometría del triángulo rectángulo surge cuando miramos triángulos en los que conocemos un ángulo pero no conocemos todos los lados.
cómo: Dado un triángulo rectángulo, la longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo, encuentra los lados restantes
- Para cada lado, seleccione la función trigonométrica que tiene el lado desconocido como numerador o denominador. El lado conocido será a su vez el denominador o el numerador.
- Escribe una ecuación que establezca el valor de la función del ángulo conocido igual a la razón de los lados correspondientes.
- Usando el valor de la función trigonométrica y la longitud del lado conocido, resuelva la longitud del lado faltante.
Ejemplo ( PageIndex {5} ): Encontrar las longitudes de los lados que faltan utilizando razones trigonométricas
Encuentra los lados desconocidos del triángulo en la Figura ( PageIndex {11} ).
Solución
Conocemos el ángulo y el lado opuesto, por lo que podemos usar la tangente para encontrar el lado adyacente.
[ tan (30 °) = dfrac {7} {a} nonumber ]
Reorganizamos para resolver (a ).
[ begin {align} a & = dfrac {7} { tan (30 °)} \ & = 12.1 end {align} nonumber ]
Podemos usar el seno para encontrar la hipotenusa.
[ sin (30 °) = dfrac {7} {c} nonumber ]
Nuevamente, reorganizamos para resolver (c ).
[ begin {align *} c & = dfrac {7} { sin (30 °)} = 14 end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {5} ):
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de ( frac {π} {3} ) y una hipotenusa de 20. Halla los lados desconocidos y el ángulo del triángulo.
- Respuesta
-
( mathrm {adyacente = 10; opuesto = 10 sqrt {3};} ) el ángulo faltante es ( frac {π} {6} )
Uso de la trigonometría del triángulo rectángulo para resolver problemas aplicados
La trigonometría del triángulo rectángulo tiene muchas aplicaciones prácticas. Por ejemplo, la capacidad de calcular las longitudes de los lados de un triángulo hace posible encontrar la altura de un objeto alto sin subir a la parte superior o tener que extender una cinta métrica a lo largo de su altura. Lo hacemos midiendo una distancia desde la base del objeto a un punto en el suelo a cierta distancia, donde podemos mirar la parte superior del objeto alto en ángulo. El ángulo de elevación de un objeto sobre un observador en relación con el observador es el ángulo entre la horizontal y la línea desde el objeto hasta el ojo del observador. El triángulo rectángulo que crea esta posición tiene lados que representan la altura desconocida, la distancia medida desde la base y la línea de visión en ángulo desde el suelo hasta la parte superior del objeto. Conociendo la distancia medida a la base del objeto y el ángulo de la línea de visión, podemos usar funciones trigonométricas para calcular la altura desconocida. Del mismo modo, podemos formar un triángulo desde la parte superior de un objeto alto mirando hacia abajo. El ángulo de depresión de un objeto debajo de un observador en relación con el observador es el ángulo entre la horizontal y la línea desde el objeto hasta el ojo del observador. Ver Figura ( PageIndex {12} ).
cómo: dado un objeto alto, mide su altura indirectamente
- Haga un bosquejo de la situación del problema para realizar un seguimiento de la información conocida y desconocida.
- Diseñe una distancia medida desde la base del objeto hasta un punto donde la parte superior del objeto sea claramente visible.
- En el otro extremo de la distancia medida, mire hacia la parte superior del objeto. Mida el ángulo que forma la línea de visión con la horizontal.
- Escribe una ecuación que relacione la altura desconocida, la distancia medida y la tangente del ángulo de la línea de visión.
- Resuelve la ecuación para la altura desconocida.
Ejemplo ( PageIndex {6} ): Medición de una distancia indirectamente
Para encontrar la altura de un árbol, una persona camina hasta un punto a 30 pies de la base del árbol. Mide un ángulo de 57 ° 57 ° entre una línea de visión hasta la parte superior del árbol y el suelo, como se muestra en la Figura ( PageIndex {13} ). Encuentra la altura del árbol.
Solución
Sabemos que el ángulo de elevación es (57 ° ) y el lado adyacente mide 30 pies de largo. El lado opuesto es la altura desconocida.
La función trigonométrica que relaciona el lado opuesto a un ángulo y el lado adyacente al ángulo es la tangente. Por lo tanto, indicaremos nuestra información en términos de la tangente de (57 ° ), dejando que (h ) sea la altura desconocida.
[ begin {array} {cl} tan θ = dfrac { text {opuesto}} { text {adyacente}} & text {} \ tan (57 °) = dfrac { h} {30} & text {Resolver para} h. \ h = 30 tan (57 °) & text {Multiply.} \ h≈46.2 & text {Use a calculator.} end {array} ]
El árbol mide aproximadamente 46 pies de altura.
Ejercicio ( PageIndex {6} ):
¿Cuánto tiempo se necesita una escalera para alcanzar el alféizar de una ventana a 50 pies del suelo si la escalera descansa contra el edificio formando un ángulo de ( frac {5π} {12} ) con el suelo? Redondea al pie más cercano.
- Respuesta
-
Aproximadamente 52 pies
medios:
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales con trigonometría de triángulo rectángulo.
Visite este sitio web para preguntas de práctica adicionales de Learningpod.
Ecuaciones clave
Identidades de la función
[ begin {align *} cos t & = sin ( frac {π} {2} −t) \ sin t & = cos ( frac {π} {2} −t) \ tan t & = cot ( frac {π} {2} −t) \ cot t & = tan ( frac {π} {2} −t) \ sec t & = csc ( frac {π} {2} −t) \ csc t & = sec ( frac {π} {2} −t) end {align *} ]Conceptos clave
- Podemos definir funciones trigonométricas como proporciones de las longitudes laterales de un triángulo rectángulo. Ver Ejemplo .
- Se pueden usar las mismas longitudes laterales para evaluar las funciones trigonométricas de cualquier ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Ver Ejemplo .
- Podemos evaluar las funciones trigonométricas de ángulos especiales, conociendo las longitudes laterales de los triángulos en los que ocurren. Ver Ejemplo .
- Cualquiera de los dos ángulos complementarios podrían ser los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo.
- Si dos ángulos son complementarios, las identidades de cofunciones indican que el seno de uno es igual al coseno del otro y viceversa. Ver Ejemplo .
- Podemos usar funciones trigonométricas de un ángulo para encontrar longitudes laterales desconocidas.
- Seleccione la función trigonométrica que representa la relación del lado desconocido al lado conocido. Ver Ejemplo .
- La trigonometría del triángulo rectángulo permite la medición de alturas y distancias inaccesibles.
- La altura o distancia desconocida se puede encontrar creando un triángulo rectángulo en el que la altura o distancia desconocida es uno de los lados, y se conocen otro lado y ángulo. Ver Ejemplo .
Glosario
- lado adyacente
- en un triángulo rectángulo, el lado entre un ángulo dado y el ángulo recto
- ángulo de depresión
- el ángulo entre la horizontal y la línea desde el objeto hasta el ojo del observador, suponiendo que el objeto esté posicionado más bajo que el observador
- ángulo de elevación
- el ángulo entre la horizontal y la línea desde el objeto hasta el ojo del observador, suponiendo que el objeto esté posicionado más alto que el observador
- lado opuesto
- en un triángulo rectángulo, el lado más distante de un ángulo dado
- hipotenusa
- el lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto