Ya hemos aprendido algunas propiedades de los ángulos especiales, como la conversión de radianes a grados. También podemos calcular senos y cosenos de los ángulos especiales utilizando la Identidad de Pitágoras y nuestro conocimiento de triángulos.
En (t = frac {π} {4} ), que es de 45 grados, el radio del círculo unitario divide el primer ángulo cuadrantal . Esto significa que el radio se encuentra a lo largo de la línea (y = x ). Un círculo unitario tiene un radio igual a 1. Entonces, el triángulo rectángulo formado debajo de la línea (y = x ) tiene lados (x ) e (y (y = x), ) y un radio = 1 Ver Figura ( PageIndex {10} ).
Del Teorema de Pitágoras obtenemos
[x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ]
Sustituyendo (y = x ), obtenemos
[x ^ 2 + x ^ 2 = 1 ]
Combinando términos similares obtenemos
[2x ^ 2 = 1 ]
Y resolviendo para (x ), obtenemos
[ begin {align} x ^ 2 & = dfrac {1} {2} \ x & = ± dfrac {1} {sqrt {2}} end {align} ]
En el cuadrante I, (x = frac {1} { sqrt {2}} ).
En (t = frac {π} {4} ) o 45 grados,
[ begin {align} (x, y) & = (x, x) = ( dfrac {1} { sqrt {2}}, dfrac {1} { sqrt {2}}) \ x & = dfrac {1} { sqrt {2}}, y = dfrac {1} { sqrt {2}} \ cos t & = dfrac {1} { sqrt {2} }, sin t = dfrac {1} { sqrt {2}} end {align} ]
Si luego racionalizamos los denominadores, obtenemos
[ begin {align} cos t & = dfrac {1} { sqrt {2}} dfrac { sqrt {2}} { sqrt {2}} \ & = dfrac { sqrt {2}} {2} \ sin t & = dfrac {1} { sqrt {2}} dfrac { sqrt {2}} { sqrt {2}} \ & = dfrac { sqrt {2}} {2} end {align} ]
Por lo tanto, las coordenadas ((x, y) ) de un punto en un círculo de radio (1 ) en un ángulo de (45 ° ) son (( frac { sqrt {2 }} {2}, frac { sqrt {2}} {2}) ).
Encontrar senos y cosenos de ángulos de 30 ° y 60 °
A continuación, encontraremos el coseno y el seno en un ángulo de (30 ° ) o ( frac {π} {6} ). Primero, dibujaremos un triángulo dentro de un círculo con un lado en un ángulo de (30 ° ) y otro en un ángulo de (- 30 ° ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ) Si los dos triángulos rectángulos resultantes se combinan en un triángulo grande, observe que los tres ángulos de este triángulo más grande serán (60 ° ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {12} ).
Debido a que todos los ángulos son iguales, los lados también son iguales. La línea vertical tiene una longitud (2y ), y dado que los lados son todos iguales, también podemos concluir que (r = 2y ) o (y = frac {1} {2} r ). Como ( sin t = y ),
[ sin ( dfrac {π} {6}) = dfrac {1} {2} ]
Y desde (r = 1 ) en nuestro círculo de unidad ,
[ begin {align} sin ( dfrac {π} {6}) & = dfrac {1} {2} (1) \ & = dfrac {1} {2} end { alinear} ]
Usando la identidad pitagórica, podemos encontrar el valor del coseno.
Las coordenadas ((x, y) ) para el punto en un círculo de radio (1 ) en un ángulo de (30 ° ) son (( frac { sqrt {3}} {2}, frac {1} {2}) ). En (t = frac {π} {3} ) (60 °), el radio del círculo unitario, 1, sirve como la hipotenusa de un triángulo rectángulo de 30-60-90 grados, (MALO, ) como se muestra en la Figura ( PageIndex {13} ). El ángulo (A ) tiene una medida de 60 °. 60 °. En el punto (B, ) dibujamos un ángulo (ABC ) con una medida de (60 ° ). Sabemos que los ángulos en un triángulo suman (180 ° ), por lo que la medida del ángulo (C ) también es (60 ° ). Ahora tenemos un triángulo equilátero. Debido a que cada lado del triángulo equilátero (ABC ) tiene la misma longitud, y sabemos que un lado es el radio del círculo unitario, todos los lados deben tener la longitud 1.
La medida del ángulo (ABD ) es 30 °. Entonces, si es doble, el ángulo (ABC ) es 60 °. (BD ) es la bisectriz perpendicular de (AC ), por lo que corta (AC ) por la mitad. Esto significa que (AD ) es (12 ) el radio, o (12. ) Observe que (AD ) es la x -coordinada del punto (B ), que está en la intersección del ángulo de 60 ° y el círculo unitario. Esto nos da un triángulo (MALO ) con hipotenusa de 1 y lado (x ) de longitud ( frac {1} {2} ).
Del teorema de Pitágoras, obtenemos
[x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ]
Sustituyendo (x = frac {1} {2} ), obtenemos
[( dfrac {1} {2}) ^ 2 + y ^ 2 = 1 ]
Resolviendo para (y ), obtenemos
[ begin {align} dfrac {1} {4} + y ^ 2 & = 1 \ y ^ 2 & = 1− dfrac {1} {4} \ y ^ 2 & = dfrac {3} {4} \ y & = ± dfrac { sqrt {3}} {2} end {align} ]
Dado que (t = frac {π} {3} ) tiene el lado terminal en el cuadrante I donde la coordenada y- es positiva, elegimos (y = frac { sqrt {3}} {2} ), el valor positivo.
En (t = frac {π} {3} ) (60 °), las coordenadas ((x, y) ) para el punto en un círculo de radio (1 ) en ángulo de (60 ° ) son (( frac {1} {2}, frac { sqrt {3}} {2}) ), entonces podemos encontrar el seno y el coseno.
Ahora hemos encontrado los valores de coseno y seno para todos los ángulos más comúnmente encontrados en el primer cuadrante del círculo unitario. La tabla ( PageIndex {1} ) resume estos valores.
| Ángulo | 0 | ( frac {π} {6} ), o 30 | ( frac {π} {4} ), o 45 ° | ( frac {π} {3} ), o 60 ° | ( frac {π} {2} ), o 90 ° |
|---|---|---|---|---|---|
| Coseno | 1 | ( frac { sqrt {3}} {2} ) | ( frac { sqrt {2}} {2} ) | ( frac {1} {2} ) | 0 |
| Seno | 0 | ( frac {1} {2} ) | ( frac { sqrt {2}} {2} ) | ( frac { sqrt {3}} {2} ) | 1 |
La figura ( PageIndex {14} ) muestra los ángulos comunes en el primer cuadrante del círculo unitario.
Usando una calculadora para encontrar seno y coseno
Para encontrar el coseno y el seno de ángulos distintos de los ángulos especiales , recurrimos a una computadora o calculadora. Tenga en cuenta : la mayoría de las calculadoras se pueden configurar en modo “grado” o “radianes”, lo que le indica a la calculadora las unidades para el valor de entrada. Cuando evaluamos ( cos (30) ) en nuestra calculadora, la evaluará como el coseno de 30 grados si la calculadora está en modo de grado, o el coseno de 30 radianes si la calculadora está en modo de radianes.
CÓMO: dado un ángulo en radianes, usa una calculadora gráfica para encontrar el coseno
- Si la calculadora tiene modo de grado y modo de radianes, configúrelo en modo de radianes.
- Presione la tecla COS.
- Ingrese el valor en radianes del ángulo y presione la tecla entre paréntesis “)”.
- Presione ENTER.
Ejemplo ( PageIndex {4} ): Uso de una calculadora gráfica para encontrar seno y coseno
Evalúe ( cos ( frac {5π} {3}) ) usando una calculadora gráfica o una computadora.
Solución
Ingrese las siguientes teclas:
( mathrm {COS (5 × π ÷ 3) ENTER} )
[ cos ( dfrac {5π} {3}) = 0.5 nonumber ]
Análisis
Podemos encontrar el coseno o seno de un ángulo en grados directamente en una calculadora con modo de grado. Para calculadoras o software que usan solo el modo radianes, podemos encontrar el signo de (20 ° ), por ejemplo, al incluir el factor de conversión a radianes como parte de la entrada:
[ mathrm {SIN (20 × π ÷ 180) ENTER} nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Evalúa ( sin ( frac {π} {3}) ).
Solución
aproximadamente 0,866025403
Identificación del dominio y el rango de las funciones seno y coseno
Ahora que podemos encontrar el seno y el coseno de un ángulo, necesitamos analizar sus dominios y rangos. ¿Cuáles son los dominios de las funciones seno y coseno? Es decir, ¿cuáles son los números más pequeños y más grandes que pueden ser entradas de las funciones? Debido a que los ángulos menores que 0 y los ángulos mayores que 2π 2π todavía se pueden graficar en el círculo unitario y tener valores reales de (x, y ) y (r ), no hay límite inferior o superior para los ángulos que pueden ser entradas a las funciones seno y coseno. La entrada a las funciones seno y coseno es la rotación desde el eje positivo x , y puede ser cualquier número real.
¿Cuáles son los rangos de las funciones seno y coseno? ¿Cuáles son los valores máximos y mínimos posibles para su producción? Podemos ver las respuestas al examinar el círculo unitario , como se muestra en la Figura ( PageIndex {15} ). Los límites de la x -coordinada son ([−1,1] ). Los límites de la y -coordinado también son ([- 1,1] ). Por lo tanto, el rango de las funciones seno y coseno es ([- 1,1] ).
Búsqueda de ángulos de referencia
Hemos discutido encontrar el seno y el coseno para ángulos en el primer cuadrante, pero ¿qué pasa si nuestro ángulo está en otro cuadrante? Para cualquier ángulo dado en el primer cuadrante, hay un ángulo en el segundo cuadrante con el mismo valor de seno. Como el valor del seno es el y -coordinado en el círculo unitario, el otro ángulo con el mismo seno compartirá el mismo y -valor, pero tiene el opuesto x [ 19459049] -valor. Por lo tanto, su valor de coseno será el opuesto del valor de coseno del primer ángulo.
Del mismo modo, habrá un ángulo en el cuarto cuadrante con el mismo coseno que el ángulo original. El ángulo con el mismo coseno compartirá el mismo valor x pero tendrá el valor opuesto y . Por lo tanto, su valor seno será el opuesto al valor seno del ángulo original.
Como se muestra en la Figura ( PageIndex {16} ), el ángulo (α ) tiene el mismo valor sinusoidal que el ángulo (t ); Los valores del coseno son opuestos. El ángulo (β ) tiene el mismo valor de coseno que el ángulo (t ); Los valores sinusoidales son opuestos.
Recuerde que el ángulo de referencia de un ángulo es el ángulo agudo, (t ), formado por el lado terminal del ángulo (t ) y el eje horizontal. Un ángulo de referencia es siempre un ángulo entre (0 ) y (90 ° ), o (0 ) y ( frac {π} {2} ) radianes. Como podemos ver en la Figura ( PageIndex {17} ), para cualquier ángulo en los cuadrantes II, III o IV, hay un ángulo de referencia en el cuadrante I.
cómo: Dado un ángulo entre (0 ) y (2π ), encuentra su ángulo de referencia
- Un ángulo en el primer cuadrante es su propio ángulo de referencia.
- Para un ángulo en el segundo o tercer cuadrante, el ángulo de referencia es (| π − t | ) o (| 180 ° −t | ).
- Para un ángulo en el cuarto cuadrante, el ángulo de referencia es (2π − t ) o (360 ° −t. )
- Si un ángulo es menor que (0 ) o mayor que (2π, ), sume o reste (2π ) tantas veces como sea necesario para encontrar un ángulo equivalente entre (0 ) y ( 2π ).
Ejemplo ( PageIndex {5} ): Encontrar un ángulo de referencia
Encuentre el ángulo de referencia de (225 ° ) como se muestra en la Figura ( PageIndex {18} ).
Solución
Debido a que (225 ° ) está en el tercer cuadrante, el ángulo de referencia es
[| (180 ° −225 °) | = | −45 ° | = 45 ° ]
Ejercicio ( PageIndex {5} ):
Encuentre el ángulo de referencia de ( frac {5π} {3} ).
Solución
( frac {π} {3} )
Uso de ángulos de referencia
Ahora tomemos un momento para reconsiderar la rueda de la fortuna introducida al comienzo de esta sección. Supongamos que un jinete toma una fotografía mientras se detiene a veinte pies sobre el nivel del suelo. El jinete luego gira tres cuartos del camino alrededor del círculo. ¿Cuál es la nueva elevación del jinete? Para responder preguntas como esta, necesitamos evaluar las funciones seno o coseno en ángulos mayores de 90 grados o en un ángulo negativo . Los ángulos de referencia permiten evaluar funciones trigonométricas para ángulos fuera del primer cuadrante. También se pueden usar para encontrar coordenadas ((x, y) ) para esos ángulos. Utilizaremos el ángulo de referencia del ángulo de rotación combinado con el cuadrante en el que se encuentra el lado terminal del ángulo.
Uso de ángulos de referencia para evaluar funciones trigonométricas
Podemos encontrar el coseno y el seno de cualquier ángulo en cualquier cuadrante si conocemos el coseno o el seno de su ángulo de referencia. Los valores absolutos del coseno y el seno de un ángulo son los mismos que los del ángulo de referencia. El signo depende del cuadrante del ángulo original. El coseno será positivo o negativo dependiendo del signo de los valores x en ese cuadrante. El seno será positivo o negativo dependiendo del signo de los valores y en ese cuadrante.
UTILIZANDO ÁNGULOS DE REFERENCIA PARA ENCONTRAR COSINO Y SINO
Los ángulos tienen cosenos y senos con el mismo valor absoluto que los cosenos y senos de sus ángulos de referencia. El signo (positivo o negativo) se puede determinar a partir del cuadrante del ángulo.
cómo: dado un ángulo en posición estándar, encontrar el ángulo de referencia y el coseno y el seno del ángulo original
- Mida el ángulo entre el lado terminal del ángulo dado y el eje horizontal. Ese es el ángulo de referencia.
- Determine los valores del coseno y el seno del ángulo de referencia.
- Dale al coseno el mismo signo que los valores x en el cuadrante del ángulo original.
- Dele al seno el mismo signo que los valores y en el cuadrante del ángulo original.
Ejemplo ( PageIndex {6} ): Uso de ángulos de referencia para encontrar seno y coseno
- Usando un ángulo de referencia, encuentre el valor exacto de ( cos (150 °) ) y ( sin (150 °) ).
- Usando el ángulo de referencia, encuentre ( cos frac {5π} {4} ) y ( sin frac {5π} {4} ).
Solución
Esto nos dice que 150 ° tiene los mismos valores de seno y coseno que 30 °, excepto por el signo. Sabemos que
- 150 ° se encuentra en el segundo cuadrante. El ángulo que forma con el eje x es 180 ° – 150 ° = 30 °, por lo que el ángulo de referencia es 30 °.
Dado que 150 ° está en el segundo cuadrante, la x -coordinada del punto en el círculo es negativa, por lo que el valor del coseno es negativo. La y -coordinada es positiva, por lo que el valor del seno es positivo.
- (frac{5π}{4}) is in the third quadrant. Its reference angle is (frac{5π}{4}−π=frac{π}{4}). The cosine and sine of (frac{π}{4}) are both (frac{sqrt{2}}{2}). In the third quadrant, both x x and y y are negative, so:
[cos dfrac{5π}{4}=−dfrac{sqrt{2}}{2} ;; text{and} ; ; sin dfrac{5π}{4}=−dfrac{sqrt{2}}{2}]
Exercise (PageIndex{6})
- Use the reference angle of (315°) to find ( cos (315°) ) and (sin (315°)).
- Use the reference angle of (−frac{π}{6}) to find ( cos (−frac{π}{6})) and ( sin (−frac{π}{6})).
Solución
( cos (315°)= frac{sqrt{2}}{2}, sin (315°)=frac{–sqrt{2}}{2})
(cos (−frac{π}{6})=frac{sqrt{3}}{2}, sin (−frac{π}{6})=−frac{1}{2} )
Using Reference Angles to Find Coordinates
Now that we have learned how to find the cosine and sine values for special angles in the first quadrant, we can use symmetry and reference angles to fill in cosine and sine values for the rest of the special angles on the unit circle. They are shown in Figure (PageIndex{19}). Take time to learn the ((x,y)) coordinates of all of the major angles in the first quadrant.
In addition to learning the values for special angles, we can use reference angles to find ((x,y)) coordinates of any point on the unit circle, using what we know of reference angles along with the identities
[begin{align*} x &= cos t \ y & = sin t end{align*}]
First we find the reference angle corresponding to the given angle. Then we take the sine and cosine values of the reference angle , and give them the signs corresponding to the y – and x -values of the quadrant.
how to: Given the angle of a point on a circle and the radius of the circle, find the ((x,y)) coordinates of the point
- Find the reference angle by measuring the smallest angle to the x -axis.
- Find the cosine and sine of the reference angle.
- Determine the appropriate signs for (x) and (y) in the given quadrant.
Example (PageIndex{7}): Using the Unit Circle to Find Coordinates
Find the coordinates of the point on the unit circle at an angle of (frac{7π}{6}).
Solución
We know that the angle (frac{7π}{6}) is in the third quadrant.
First, let’s find the reference angle by measuring the angle to the x -axis. To find the reference angle of an angle whose terminal side is in quadrant III, we find the difference of the angle and π. π.
[dfrac{7π}{6}−π=dfrac{π}{6}]
Next, we will find the cosine and sine of the reference angle:
[cos (dfrac{π}{6})=dfrac{3}{2} ;; sin (dfrac{π}{6})=dfrac{1}{2}]
We must determine the appropriate signs for x and y in the given quadrant. Because our original angle is in the third quadrant, where both x x and y y are negative, both cosine and sine are negative.
[begin{align} cos (dfrac{7π}{6}) &=−dfrac{sqrt{3}}{2} \ sin (dfrac{7π}{6}) & =−dfrac{1}{2} end{align}]
Now we can calculate the ((x,y)) coordinates using the identities (x= cos θ) and (y= sin θ).
The coordinates of the point are ((−frac{sqrt{3}}{2},−frac{1}{2})) on the unit circle.
Exercise (PageIndex{7}):
Find the coordinates of the point on the unit circle at an angle of (frac{5π}{3}).
Solución
((frac{1}{2},−frac{sqrt{3}}{2}))
media
Access these online resources for additional instruction and practice with sine and cosine functions.
Key Equations
| Cosine | ( cos t=x) |
| Sine | ( sin t=y) |
| Pythagorean Identity | ( cos ^2 t+ sin ^2 t=1) |
Key Concepts
- Finding the function values for the sine and cosine begins with drawing a unit circle, which is centered at the origin and has a radius of 1 unit.
- Using the unit circle, the sine of an angle (t) equals the y -value of the endpoint on the unit circle of an arc of length (t) whereas the cosine of an angle (t) equals the x -value of the endpoint. See Example .
- The sine and cosine values are most directly determined when the corresponding point on the unit circle falls on an axis. See Example .
- When the sine or cosine is known, we can use the Pythagorean Identity to find the other. The Pythagorean Identity is also useful for determining the sines and cosines of special angles. See Example .
- Calculators and graphing software are helpful for finding sines and cosines if the proper procedure for entering information is known. See Example .
- The domain of the sine and cosine functions is all real numbers.
- The range of both the sine and cosine functions is ([−1,1]).
- The sine and cosine of an angle have the same absolute value as the sine and cosine of its reference angle.
- The signs of the sine and cosine are determined from the x – and y -values in the quadrant of the original angle.
- An angle’s reference angle is the size angle, (t), formed by the terminal side of the angle (t) and the horizontal axis. See Example .
- Reference angles can be used to find the sine and cosine of the original angle. See Example .
- Reference angles can also be used to find the coordinates of a point on a circle. See Example .
Glossary
- cosine function
- the x -value of the point on a unit circle corresponding to a given angle
- Pythagorean Identity
- a corollary of the Pythagorean Theorem stating that the square of the cosine of a given angle plus the square of the sine of that angle equals 1
- sine function
- the y -value of the point on a unit circle corresponding to a given angle
- unit circle
- a circle with a center at ((0,0)) and radius 1.