7.4: Productos especiales de factor

7.4: Productos especiales de factor

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 

Al final de esta sección, podrá:

 
         
  • Factoriza trinomios cuadrados perfectos
  •      
  • Factorizar diferencias de cuadrados
  •      
  • Factorizar sumas y diferencias de cubos
  •      
  • Elija el método para factorizar un polinomio completamente
  •  
 
 
 

Nota

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Simplifique: ((12 x) ^ {2} )
    Si omitió este problema, revise Ejercicio 6.2.22 .
  2.      
  3. Multiplica: ((m + 4) ^ {2} )
    Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 6.4.1 .
  4.      
  5. Multiplica: ((p-9) ^ {2} )
    Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 6.4.4 .
  6.      
  7. Multiplica: ((k + 3) (k-3) )
    Si te perdiste este problema, revisa Ejercicio 6.4.16 .
  8.  
 
 

La estrategia de factorización que desarrollamos en la última sección lo guiará a medida que factoriza la mayoría de los binomios, trinomios y polinomios con más de tres términos. Hemos visto que algunos binomios y trinomios son el resultado de productos especiales: cuadratura de binomios y multiplicación de conjugados. Si aprende a reconocer este tipo de polinomios, puede usar los patrones de productos especiales para factorizarlos mucho más rápidamente.

 
 

Factor trinomios cuadrados perfectos

 

Algunos trinomios son cuadrados perfectos. Resultan de multiplicar un binomio por sí mismo. Puede cuadrar un binomio usando FOIL, pero usar el patrón Cuadrados binomiales que vio en un capítulo anterior le ahorra un paso. Revisemos el patrón de Cuadrados binomiales cuadrando un binomio usando FOIL.

 

This image shows the FOIL procedure for multiplying (3x + 4) squared. The polynomial is written with two factors (3x + 4)(3x + 4). Then, the terms are 9 x squared + 12 x + 12 x + 16, demonstrating first, outer, inner, last. Finally, the product is written, 9 x squared + 24 x + 16.

 

El primer término es el cuadrado del primer término del binomio y el último término es el cuadrado del último. El término medio es el doble del producto de los dos términos del binomio.

 

[ begin {array} {c} {(3 x) ^ {2} +2 (3 x cdot 4) + 4 ^ {2}} \ {9 x ^ {2} +24 x +16} end {array} ]

 

El trinomio (9 x ^ {2} + 24 + 16 ) se llama un trinomio cuadrado perfecto. Es el cuadrado del binomio 3 x +4.

 

Aquí repetiremos el patrón de cuadrados binomiales para usarlo como referencia en la factorización.

 
 
 

PATRÓN CUADRADO BINOMIAL

 

Si a y b son ​​números reales,

 

[(a + b) ^ {2} = a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} qquad (ab) ^ {2} = a ^ {2} -2 a b + b ^ {2} ]

 
 
 

Cuando cuadras un binomio, el producto es un trinomio cuadrado perfecto. En este capítulo, aprenderá a factorizar; ahora, comenzará con un trinomio cuadrado perfecto y lo factorizará en sus factores primos.

 

Puede factorizar este trinomio utilizando los métodos descritos en la última sección, ya que tiene la forma (ax ^ {2} + bx + c ). Pero si reconoce que el primer y el último término son cuadrados y el trinomio se ajusta al patrón de trinomios cuadrados perfecto , se ahorrará mucho trabajo.

 

Aquí está el patrón: el reverso del patrón de cuadrados binomiales.

 
 
 

PATRÓN DE TRINOMIALES CUADRADOS PERFECTO

 

Si a y b son ​​números reales,

 

[a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} = (a + b) ^ {2} qquad a ^ {2} -2 a b + b ^ {2} = (ab ) ^ {2} ]

 
 

Para hacer uso de este patrón, debes reconocer que un trinomio dado se ajusta a él. Primero verifique si el coeficiente principal es un cuadrado perfecto, (a ^ 2 ). Luego verifique que el último término sea un cuadrado perfecto, (b ^ 2 ). Luego verifique el término medio: ¿es el doble del producto, (2ab )? Si todo se verifica, puede escribir fácilmente los factores.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} ): Cómo factorizar trinomios cuadrados perfectos

 

Factor: (9 x ^ {2} +12 x + 4 )

 
     
Respuesta
     
     

This table gives the steps for factoring 9 x squared +12 x +4. The first step is recognizing the perfect square pattern “a” squared + 2 a b + b squared. This includes, is the first term a perfect square and is the last term a perfect square. The first term can be written as (3 x) squared and the last term can be written as 2 squared. Also, in the first step, the middle term has to be twice “a” times b. This is verified by 2 times 3 x times 2 being 12 x. The second step is writing the square of the binomial. The polynomial is written as (3 x) squared + 2 times 3 x times 2 + 2 squared. This is factored as (3 x + 2) squared. The last step is to check with multiplication.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Factor: (4 x ^ {2} +12 x + 9 )

 
     
Respuesta
     
     

((2 x + 3) ^ {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Factor: (9 y ^ {2} +24 y + 16 )

 
     
Respuesta
     
     

((3 y + 4) ^ {2} )

     
 
 
 

El signo del término medio determina qué patrón usaremos. Cuando el término medio es negativo, usamos el patrón (a ^ {2} -2 a b + b ^ {2} ), que factoriza a ((a-b) ^ {2} ).

 

Los pasos se resumen aquí.

 
 

FACTOR TRINOMIALES CUADRADOS PERFECTOS.

 

( begin {array} {lcc} textbf {Paso 1} text {. ¿El trinomio se ajusta al patrón?} & A ^ {2} +2 a b + b ^ {2} & a ^ {2} -2 a b + b ^ {2} \ qquad bullet text {¿Es el primer término un cuadrado perfecto?} & (A) ^ {2} & (a) ^ {2} \ qquad quad text {Escríbelo como un cuadrado.} \ qquad bullet text {¿Es el último término un cuadrado perfecto?} & (a) ^ {2} qquad quad (b) ^ {2} & (a) ^ {2} qquad quad (b) ^ {2} \ qquad quad text {Escríbelo como un cuadrado.} \ qquad bullet text {Comprueba el término medio. Es it} 2 ab? & (a) ^ {2} searrow_ {2 cdot a cdot b} swarrow (b) ^ {2} & (a) ^ {2} searrow_ {2 cdot a cdot b} swarrow (b) ^ {2} \ textbf {Paso 2}. text {Escriba el cuadrado del binomio.} & (a + b) ^ {2} & (ab) ^ {2} textbf {Paso 3}. text {Verificar multiplicando.} end {array} )

 
 

Ahora trabajaremos uno donde el término medio sea negativo.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Factor: (81 y ^ {2} -72 y + 16 )

 
     
Respuesta
     
     

El primer y el último término son cuadrados. Vea si el término medio se ajusta al patrón de un trinomio cuadrado perfecto. El término medio es negativo, por lo que el cuadrado binomial sería ((a-b) ^ {2} ).

          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Factor: (64 y ^ {2} -80 y + 25 )

 
     
Respuesta
     
     

((8 y-5) ^ {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Factor: (16 z ^ {2} -72 z + 81 )

 
     
Respuesta
     
     

((4 z-9) ^ {2} )

     
 
 
 

El siguiente ejemplo será un trinomio cuadrado perfecto con dos variables.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Factor: (36 x ^ {2} +84 x y + 49 y ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
.
Pruebe cada término para verificar el patrón. .
Factor. .
Verificar multiplicando.
((6 x + 7 y) ^ {2} )
((6 x) ^ {2} +2 cdot 6 x cdot 7 y + (7 y) ^ {2} )
(36 x ^ {2} +84 x y + 49 y ^ {2} marca de verificación )
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Factor: (49 x ^ {2} +84 x y + 36 y ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

((7 x + 6 y) ^ {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Factor: (64 m ^ {2} +112 m n + 49 n ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

((8 m + 7 n) ^ {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Factor: (9 x ^ {2} +50 x + 25 )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {lc} & 9 x ^ {2} +50 x + 25 \ text {¿Los cuadrados primero y último de los términos son perfectos?} & (3 x) ^ {2} qquad quad (5) ^ 2 \ text {Verifique el término medio: ¿es 2ab?} & (3 x) ^ {2} searrow_ {2 (3 x) (5)} swarrow (5) ^ {2}. \ & tiny {30x} \ text {¡No!} 30 x neq 50 x & text {¡Esto no se ajusta al patrón!} \ text {Factoriza usando el método «ac» .} & 9 x ^ {2} +50 x + 25 \ begin {array} {c} { text {ac}} \ { text {Aviso:} 9 cdot 25 text {y} 5 cdot 45 = 225} \ {225} end {array} \ { text {Dividir el término medio.}} & begin {array} {c} {9 x ^ {2} +5 x + 45 x + 25} \ {x (9 x + 5) +5 (9 x + 5)} \ {(9 x + 5) (x + 5)} end {array} \ { text {Factor { agrupando.}} \ text {Verificar.} & \ begin {array} {l} {(9 x + 5) (x + 5)} \ {9 x ^ {2} +45 x + 5 x + 25} \ {9 x ^ {2} +50 x + 25} marca de verificación end {array} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Factor: (16 r ^ {2} +30 r s + 9 s ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

((8 r + 3 s) (2 r + 3 s) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Factor: (9 u ^ {2} +87 u + 100 )

 
     
Respuesta
     
     

((3 u + 4) (3 u + 25) )

     
 
 
 

¿Recuerdas el primer paso en nuestra Estrategia para factorizar polinomios? Fue para preguntar «¿hay un factor común más grande?» y, si existiera, factoriza el GCF antes de continuar. Los trinomios cuadrados perfectos pueden tener un MCD en los tres términos y se debe factorizar primero. Y, a veces, una vez que se ha factorizado el MCD, reconocerá un trinomio cuadrado perfecto.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Factor: (36 x ^ {2} y-48 x y + 16 y )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
(36 x ^ {2} y-48 x y + 16 y )
¿Hay un MCD? Sí, 4 y , así que descúbrelo. 4 (y left (9 x ^ {2} -12 x + 4 right) )
¿Es este un trinomio cuadrado perfecto?
Verifique el patrón. .
Factor. 4 (y (3 x-2) ^ {2} )
Recuerde: Mantenga el factor 4 y en el producto final.
Verificación.
(4y (3 x-2) ^ {2} )
(4y [(3 x) ^ {2} -2 cdot 3 x cdot 2 + 2 ^ {2}] )
(4 y (9 x) ^ {2} -12 x + 4 )
(36 x ^ {2} y-48 x y + 16 y marca de verificación )
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Factor: (8 x ^ {2} y-24 x y + 18 y )

 
     
Respuesta
     
     

2 (y (2 x-3) ^ {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Factor: (27 p ^ {2} q + 90 p q + 75 q )

 
     
Respuesta
     
     

3 (q (3 p + 5) ^ {2} )

     
 
 
 

Factor de diferencias de cuadrados

 

El otro producto especial que viste en el anterior fue el patrón Producto de conjugados. Usaste esto para multiplicar dos binomios que eran conjugados. Aquí hay un ejemplo:

 

[ begin {array} {c} {(3 x-4) (3 x + 4)} \ {9 x ^ {2} -16} end {array} ]

 

Recuerde, cuando multiplica binomios conjugados, los términos medios del producto se suman a 0. Todo lo que queda es un binomio, la diferencia de cuadrados.

 

Multiplicar conjugados es la única forma de obtener un binomio del producto de dos binomios.

 
 

PRODUCTO DEL PATRÓN DE CONJUGADOS

 

Si a y b son ​​números reales

 

[(a-b) (a + b) = a ^ {2} -b ^ {2} ]

 

El producto se llama diferencia de cuadrados.

 
 

Para factorizar, usaremos el patrón del producto «a la inversa» para factorizar la diferencia de cuadrados. diferencia de cuadrados factores a un producto de conjugados.

 
 

DIFERENCIA DEL PATRÓN DE CUADRADOS

 

Si a y b son ​​números reales,

 

This image shows the difference of two squares formula, a squared – b squared = (a – b)(a + b). Also, the squares are labeled, a squared and b squared. The difference is shown between the two terms. Finally, the factoring (a – b)(a + b) are labeled as conjugates.

 
 

Recuerde, «diferencia» se refiere a la resta. Por lo tanto, para usar este patrón, debe asegurarse de tener un binomio en el que se resten dos cuadrados.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} ): Cómo factorizar las diferencias de cuadrados

 

Factor: (x ^ {2} -4 )

 
     
Respuesta
     
     

This table gives the steps for factoring x squared minus 4. The first step is identifying the pattern in the binomial including it is a difference. Also, the first and last terms are verified as squares. The second step is writing the two terms as squares, x squared and 2 squared. The second step is writing the two terms as squares, x squared and 2 squared. The third step is to write the factoring as a product of the conjugates (x – 2)(x + 2). The last step is to check with multiplication.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Factor: (h ^ {2} -81 )

 
     
Respuesta
     
     

((h-9) (h + 9) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Factor: (k ^ {2} -121 )

 
     
Respuesta
     
     

((k-11) (k + 11) )

     
 
 
 
 

DIFERENCIAS FACTORES DE CUADRADOS.

 

( begin {array} {lc} textbf {Paso 1}. Text {¿El binomio se ajusta al patrón?} Y a ^ {2} -b ^ {2} \ qquad bullet text {¿Es esto una diferencia?} & underline { quad} – underline { quad} \ qquad bullet text {¿Los cuadrados primero y último de los términos son perfectos?} \ textbf {Paso 2}. text {Escríbelos como cuadrados.} & (a) ^ {2} – (b) ^ {2} \ textbf {Paso 3.} text {Escribe el producto de los conjugados.} & (ab) (a + b) \ textbf {Paso 4.} text {Verificar multiplicando.} end {array} )

 
 

Es importante recordar que las sumas de cuadrados no tienen en cuenta un producto de binomios . No hay factores binomiales que se multipliquen para obtener una suma de cuadrados. ¡Después de eliminar cualquier GCF, la expresión (a ^ {2} + b ^ {2} ) es primo!

 

No olvides que 1 es un cuadrado perfecto. Tendremos que usar ese hecho en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Factor: (64 y ^ {2} -1 )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
.
¿Es esto una diferencia? Si. .
¿Los cuadrados primero y último son cuadrados perfectos?
Sí, escríbelos como cuadrados. .
Factor como producto de conjugados. .
Verificar multiplicando.
((8 y-1) (8 y + 1) )
(64 y ^ {2} -1 marca de verificación )
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Factor: (m ^ {2} -1 )

 
     
Respuesta
     
     

((m-1) (m + 1) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Factor: (81 y ^ {2} -1 )

 
     
Respuesta
     
     

((9 y-1) (9 y + 1) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Factor: (121 x ^ {2} -49 y ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {lc} & 121 x ^ {2} -49 y ^ {2} \ text {¿Es esto una diferencia de cuadrados? Sí.} & (11 x) ^ {2 } – (7 y) ^ {2} \ text {Factorizar como producto de conjugados.} & (11 x-7 y) (11 x + 7 y) \ text {Verificar multiplicando.} & begin {array} {l} {(11 x-7 y) (11 x + 7 y)} \ {121 x ^ {2} -49 y ^ {2}} checkmark end {array} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Factor: (196 m ^ {2} -25 n ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

((16 m-5 n) (16 m + 5 n) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Factor: (144 p ^ {2} -9 q ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

((12 p-3 q) (12 p + 3 q) )

     
 
 
 

El binomio en el siguiente ejemplo puede parecer «al revés», pero sigue siendo la diferencia de cuadrados.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Factor: (100-h ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {lc} & 100-h ^ {2} \ text {¿Es esta una diferencia de cuadrados? Sí.} & (10) ^ {2} – (h) ^ { 2} \ text {Factorizar como el producto de los conjugados.} & (10-h) (10 + h) \ text {Verificar multiplicando.} & \ begin {array} {l} {(10 -h) (10 + h)} \ {100-h ^ {2}} marca de verificación end {array} end {array} )

     

Tenga cuidado de no reescribir la expresión original como (h ^ {2} -100 ).

     

Factoriza (h ^ {2} -100 ) por tu cuenta y luego observa cómo el resultado difiere de ((10-h) (10 + h) ).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Factor: (144-x ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

((12-x) (12 + x) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Factor: (169-p ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

((13-p) (13 + p) )

     
 
 
 

Para factorizar completamente el binomio en el siguiente ejemplo, factorizaremos una diferencia de cuadrados dos veces.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} )

 

Factor: (x ^ {4} -y ^ {4} )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {lc} text {¿Es esta una diferencia de cuadrados? Sí.} & {X ^ {4} -y ^ {4}} \ text {Factorizarlo como el producto de conjugados.} & { left (x ^ {2} right) ^ {2} – left (y ^ {2} right) ^ {2}} \ text {Observe que el primer binomio también es un diferencia de cuadrados!} & { left (x ^ {2} -y ^ {2} right) left (x ^ {2} + y ^ {2} right)} \ text {Factorizarlo como el producto de conjugados. El último} & {(xy) (x + y) left (x ^ {2} + y ^ {2} right)} \ text {factor, la suma de cuadrados, no puede ser factorizado.} \ \ text {Marcar multiplicando.} & \ begin {array} {l} {(xy) (x + y) left (x ^ {2} + y ^ {2} derecha)} \ {[(xy) (x + y)] left (x ^ {2} + y ^ {2} right)} \ { left (x ^ {2} -y ^ {2 } right) left (x ^ {2} + y ^ {2} right)} \ {x ^ {4} -y ^ {4}} checkmark end {array} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} )

 

Factor: (a ^ {4} -b ^ {4} )

 
     
Respuesta
     
     

( left (a ^ {2} + b ^ {2} right) (a + b) (a-b) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} )

 

Factor: (x ^ {4} -16 )

 
     
Respuesta
     
     

( left (x ^ {2} +4 right) (x + 2) (x-2) )

     
 
 
 

Como siempre, primero debe buscar un factor común siempre que tenga una expresión para factorizar. A veces, un factor común puede «disfrazar» la diferencia de cuadrados y no reconocerás los cuadrados perfectos hasta que factorices el MCD.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {31} )

 

Factor: (8 x ^ {2} y-98 y )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {lc} & 8 x ^ {2} y-98 y \ text {¿Hay un MCD? Sí,} 2 y- text {¡factorízalo!} & 2 y left (4 x ^ {2} -49 right) \ text {¿Es el binomio una diferencia de cuadrados? Sí.} & 2 y left ((2 x) ^ {2} – (7) ^ {2} right) \ text {Factorizar como producto de conjugados.} & 2 y (2 x-7) (2 x + 7) \ text {Verificar multiplicando.} \ \ begin {array} {l} {2 y (2 x-7) (2 x + 7)} \ {2 y [(2 x-7) (2 x + 7)]} \ {2 y left ( 4 x ^ {2} -49 right)} \ {8 x ^ {2} y-98 y} checkmark end {array} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {31} )

 

Factor: (7 x y ^ {2} -175 x )

 
     
Respuesta
     
     

7 (x (y-5) (y + 5) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {32} )

 

Factor: (45 a ^ {2} b-80 b )

 
     
Respuesta
     
     

5 (b (3 a-4) (3 a + 4) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {33} )

 

Factor: (6 x ^ {2} +96 )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {lc} & 6 x ^ {2} +96 \ text {¿Hay un GCF? Sí,} 6- text {factorizarlo!} & 6 left (x ^ {2} +16 right) \ text {¿Es el binomio una diferencia de cuadrados? No, es} & \ text {es una suma de cuadrados. ¡Las sumas de cuadrados no tienen en cuenta!} & \ texto {Verificar multiplicando.} \ \ begin {array} {l} {6 left (x ^ {2} +16 right)} \ {6 x ^ {2} +96} checkmark end {array} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {34} )

 

Factor: (8 a ^ {2} +200 )

 
     
Respuesta
     
     

8 ( left (a ^ {2} +25 right) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {35} )

 

Factor: (36 y ^ {2} +81 )

 
     
Respuesta
     
     

9 ( left (4 y ^ {2} +9 right) )

     
 
 
 

Factor de sumas y diferencias de cubos

 

Hay otro patrón especial para factorizar, uno que no usamos cuando multiplicamos polinomios. Este es el patrón para la suma y diferencia de cubos. Primero escribiremos estas fórmulas y luego las verificaremos por multiplicación.

 

[ begin {alineado} a ^ {3} + b ^ {3} & = (a + b) left (a ^ {2} -a b + b ^ {2} right) \ a ^ {3} -b ^ {3} & = (ab) left (a ^ {2} + a b + b ^ {2} right) end {alineado} ]

 

Comprobaremos el primer patrón y le dejaremos el segundo.

                                                                                                                                                                                                              
.
Distribuir. .
Multiplica. (a ^ {3} -a ^ {2} b + a b ^ {2} + a ^ {2} b-a b ^ {2} + b ^ {3} )
Combina términos similares. (a ^ {3} + b ^ {3} )
 
 

SUMA Y DIFERENCIA DEL PATRÓN DE CUBOS

 

[ begin {array} {l} {a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) left (a ^ {2} -a b + b ^ {2} right )} \ {a ^ {3} -b ^ {3} = (ab) left (a ^ {2} + a b + b ^ {2} right)} end {array} ] [19459003 ]  

 

Los dos patrones se parecen mucho, ¿no? Pero observe los signos en los factores. El signo del factor binomial coincide con el signo en el binomio original. Y el signo del término medio del factor trinomial es el opuesto del signo en el binomio original. Si reconoce el patrón de los signos, puede ayudarlo a memorizar los patrones.

 

This figure demonstrates the sign patterns in the sum and difference of two cubes. For the sum of two cubes, this figure shows the first two signs are plus and the first and the third signs are opposite, plus minus. The difference of two cubes has the first two signs the same, minus. The first and the third sign are minus plus.

 

El factor trinomial en el patrón de suma y diferencia de cubos no se puede factorizar.

 

Puede ser muy útil si aprende a reconocer los cubos de los enteros del 1 al 10, al igual que aprendió a reconocer los cuadrados. Hemos enumerado los cubos de los enteros del 1 al 10 en la Figura ( PageIndex {1} ).

 
This table has two rows. The first row is labeled n. The second row is labeled n cubed. The first row has the integers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. The second row has the perfect cubes 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.  
Figura ( PageIndex {1} )
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {37} )

 

Factor: (x ^ {3} +27 )

 
     
Respuesta
     
     

((x + 3) left (x ^ {2} -3 x + 9 right) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {38} )

 

Factor: (y ^ {3} +8 )

 
     
Respuesta
     
     

((y + 2) left (y ^ {2} -2 y + 4 right) )

     
 
 
 
 

FACTOR LA SUMA O DIFERENCIA DE LOS CUBOS.

 

Para factorizar la suma o diferencia de cubos:

 
         
  1. ¿El binomio se ajusta al patrón de suma o diferencia de cubos?      
               
    • ¿Es una suma o diferencia?
    •          
    • ¿Los primeros y últimos términos son cubos perfectos?
    •      
         
  2.      
  3. Escríbelos como cubos.
  4.      
  5. Usa el patrón de suma o diferencia de cubos.
  6.      
  7. Simplificar dentro de los paréntesis
  8.      
  9. Verifica multiplicando los factores.
  10.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {39} )

 

Factor: (: x ^ {3} -1000 )

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {40} )

 

Factor: (u ^ {3} -125 )

 
     
Respuesta
     
     

((u-5) left (u ^ {2} +5 u + 25 right) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {41} )

 

Factor: (v ^ {3} -343 )

 
     
Respuesta
     
     

((v-7) left (v ^ {2} +7 v + 49 right) )

     
 
 
 

Tenga cuidado de usar los signos correctos en los factores de la suma y diferencia de cubos.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {42} )

 

Factor: (512-125 p ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
.
Este binomio es una diferencia. El primer y el último término son cubos perfectos.
Escribe los términos como cubos. .
Usa el patrón de diferencia de cubos. .
Simplifica. .
Verificar multiplicando. Te dejaremos el cheque.
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {43} )

 

Factor: (64-27 x ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
     

((4-3 x) left (16 + 12 x + 9 x ^ {2} right) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {44} )

 

Factor: (27-8 y ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
     

((3-2 y) left (9 + 6 y + 4 y ^ {2} right) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {45} )

 

Factor: (27 u ^ {3} -125 v ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
.
Este binomio es una diferencia. El primer y el último término son cubos perfectos.
Escribe los términos como cubos. .
Usa el patrón de diferencia de cubos. .
Simplificar. .
Verificar multiplicando. Te dejaremos el cheque.
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {46} )

 

Factor: (8 x ^ {3} -27 y ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
     

((2 x-3 y) left (4 x ^ {2} +6 x y + 9 y ^ {2} right) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {47} )

 

Factor: (1000 m ^ {3} -125 n ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
     

((10 m-5 n) izquierda (100 m ^ {2} +50 m n + 25 n ^ {2} derecha) )

     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, primero factorizamos el GCF. Entonces podemos reconocer la suma de cubos.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {48} )

 

Factor: (5 m ^ {3} +40 n ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
         Cheque. Para verificar, es posible que sea más fácil multiplicar primero la suma de los factores de los cubos, luego multiplicar ese producto por 5. Dejaremos la multiplicación por ti.
     
5 ((m + 2 n) izquierda (m ^ {2} -2 m n + 4 n ^ {2} derecha) )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {49} )

 

Factor: (500 p ^ {3} +4 q ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
     

4 ((5 p + q) izquierda (25 p ^ {2} -5 p q + q ^ {2} derecha) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {50} )

 

Factor: (432 c ^ {3} +686 d ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
     

2 ((6 c + 7 d) izquierda (36 c ^ {2} -42 c d + 49 d ^ {2} derecha) )

     
 
 
 
 

Nota

 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales con la factorización de productos especiales.

 
 

Conceptos clave

 
         
  • Factorizar trinomios cuadrados perfectos Ver Ejemplo . ( begin {array} {lcc} textbf {Paso 1} text {. ¿El trinomio se ajusta al patrón?} & a ^ {2} +2 a b + b ^ {2} & a ^ {2} -2 a b + b ^ {2} \ qquad bullet text {¿Es el primer término un cuadrado perfecto?} & (A) ^ {2} & (a) ^ {2} \ qquad quad text {Escríbelo como un cuadrado.} \ qquad bullet text {¿Es el último término un cuadrado perfecto?} & (a) ^ {2} qquad quad (b) ^ {2} & (a ) ^ {2} qquad quad (b) ^ {2} \ qquad quad text {Escríbelo como un cuadrado.} \ qquad bullet text {Verifique el término medio. ¿Es}} ab? & (a) ^ {2} searrow_ {2 cdot a cdot b} swarrow (b) ^ {2} & (a) ^ {2} searrow_ {2 cdot a cdot b} swarrow (b) ^ {2} \ textbf {Paso 2}. text {Escriba el cuadrado del binomio.} & (a + b) ^ {2} & (ab) ^ {2} \ textbf {Paso 3}. Text {Verificar multiplicando.} End {array} )
  •      
  • Factor de diferencias de cuadrados Ver Ejemplo . ( begin {array} {lc} textbf {Paso 1}. text {¿El binomio se ajusta al patrón?} y a ^ {2} -b ^ {2} \ qquad bullet text {Is ¿Es esto una diferencia?} & underline { quad} – underline { quad} \ qquad bullet text {¿Los cuadrados primero y último de los términos son perfectos?} \ textbf {Paso 2}. text { Escríbelos como cuadrados.} & (A) ^ {2} – (b) ^ {2} \ textbf {Paso 3.} text {Escribe el producto de los conjugados.} & (Ab) (a + b) \ textbf {Paso 4.} text {Verificar multiplicando.} end {array} )
  •      
  • Factor de suma y diferencia de cubos Para factorizar la suma o diferencia de cubos: Ver Ejemplo .      
               
    1. ¿El binomio se ajusta al patrón de suma o diferencia de cubos? ¿Es una suma o diferencia? ¿Son los primeros y últimos términos cubos perfectos?
    2.          
    3. Escríbelos como cubos.
    4.          
    5. Usa el patrón de suma o diferencia de cubos.
    6.          
    7. Simplificar dentro de los paréntesis
    8.          
    9. Verifica multiplicando los factores.
    10.      
         
  •  
 

 

 

Glosario

 
     
patrón de trinomios cuadrados perfectos
     
Si a y b son ​​números reales,      

[ begin {array} {cc} {a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2} & {a ^ 2−2ab + b ^ 2 = (a − b) ^ 2} \ nonumber end {array} ]

     
 
 
     
patrón de diferencia de cuadrados
     
Si a y b son ​​números reales,
This image shows the difference of two squares formula, a squared – b squared = (a – b)(a + b). Also, the squares are labeled, a squared and b squared. The difference is shown between the two terms. Finally, the factoring (a – b)(a + b) are labeled as conjugates.
 
 
     
patrón de suma y diferencia de cubos
     
     

[ begin {array} {cc} {a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 − ab + b ^ 2)} & {a ^ 3 − b ^ 3 = ( a − b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)} \ nonumber end {array} ]

     
 
 
                                  
]]>

,

Deja una respuesta