Saltar al contenido
las matematicas

7.4: Productos y cocientes de funciones racionales

                 

En esta sección tratamos con productos y cocientes de expresiones racionales. Antes de comenzar, necesitaremos establecer algunas definiciones y técnicas fundamentales. Comenzamos con la definición del producto de dos números racionales.

 
 

Definición

 

Sean a / byc / d números racionales. El producto de estos números racionales se define por

 

[ frac {a} {b} times frac {c} {d} = frac {a times c} {b times d}, quad text {o más compacto,} quad frac {a} {b} cdot frac {c} {d} = frac {ac} {bd} ]

 
 

La definición simplemente establece que debe multiplicar los numeradores de cada número racional para obtener el numerador del producto, y también debe multiplicar los denominadores de cada número racional para obtener el denominador del producto. Por ejemplo,

 

[ frac {2} {3} cdot frac {5} {7} = frac {2 cdot 5} {3 cdot 7} = frac {10} {21} ] [ 19459002]  

Por supuesto, también debes verificar para asegurarte de que tu respuesta final se reduzca a los términos más bajos.

 

Veamos un ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Simplifique el producto de números racionales [ frac {6} {231} cdot frac {35} {10} ]

 

Solución

 

Primero, multiplique los numeradores y denominadores juntos de la siguiente manera.

 

[ frac {6} {231} cdot frac {35} {10} = frac {6 cdot 35} {231 cdot 10} = frac {210} {2310} ] [ 19459002]  

Sin embargo, la respuesta no se reduce a los términos más bajos. Podemos expresar el numerador como un producto de primos.

 

[210 = 21 cdot 10 = 3 cdot 7 cdot 2 cdot 5 = 2 cdot 3 cdot 5 cdot 7 ]

 

No es necesario organizar los factores en orden ascendente, pero cada poquito ayuda. El denominador también se puede expresar como un producto de primos.

 

[2310 = 10 cdot 231 = 2 cdot 5 cdot 7 cdot 33 = 2 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdot 11 ]

 

Ahora podemos cancelar factores comunes.

 

[ frac {210} {2310} = frac {2 cdot 3 cdot 5 cdot 7} {2 cdot 3 cdot 5 cdot 7 cdot 11} = frac { not { 2} cdot not {3} cdot not {5} cdot not {7}} { not {2} cdot not {8} cdot not {5} cdot not {7 } cdot 11} = frac {1} {11} ]

 

Sin embargo, este enfoque no es la forma más eficiente de proceder, ya que la multiplicación de numeradores y denominadores permite que los productos crezcan a números más grandes, como en 210/2310. Entonces es un poco más difícil factorizar los números más grandes.

 

Un mejor enfoque es factorizar los numeradores y denominadores más pequeños inmediatamente, de la siguiente manera.

 

[ frac {6} {231} cdot frac {35} {10} = frac {2 cdot 3} {3 cdot 7 cdot 11} cdot frac {5 cdot 7 } {2 cdot 5} ]

 

Ahora podríamos multiplicar numeradores y denominadores, luego cancelar factores comunes, que coincidirían idénticamente con el último cálculo en la ecuación (5).

 

Sin embargo, también podemos emplear la siguiente regla de cancelación.

 
 

Regla de cancelación

 

Cuando trabaje con el producto de dos o más expresiones racionales, factorice todos los numeradores y denominadores, luego cancele. La regla de cancelación es simple: cancelar un factor “en la parte superior” por un factor idéntico “en la parte inferior”. Hablando más técnicamente, cancele cualquier factor en cualquier numerador por un factor idéntico en cualquier denominador.

 
 

Por lo tanto, podemos terminar nuestro cálculo cancelando factores comunes, cancelando “algo en la parte superior por algo en la parte inferior”.

 

[ frac {6} {231} cdot frac {35} {10} = frac {2 cdot 3} {3 cdot 7 cdot 11} cdot frac {5 cdot 7 } {2 cdot 5} = frac { not {2} cdot not {8}} { not {3} cdot not {7} cdot 11} cdot frac { not {5 } cdot not {7}} { not {2} cdot not {5}} = frac {1} {11} ]

 

Tenga en cuenta que cancelamos un 2, 3, 5 y un 7 “en la parte superior” para un 2, 3, 5 y 7 “en la parte inferior”.

 
 

Por lo tanto, tenemos dos opciones al multiplicar expresiones racionales:

 
         
  • Multiplica numeradores y denominadores, factoriza, luego cancela.
  •      
  • Factoriza numeradores y denominadores, cancela, luego multiplica numeradores y denominadores.
  •  
 

Es el último enfoque que usaremos en esta sección. Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Simplifique la expresión [ frac {x ^ {2} -x-6} {x ^ {2} +2 x-15} cdot frac {x ^ {2} -x-30} {x ^ {2} -2 x-8} ] Restricciones estatales.

 

Solución

 

Usa la prueba ac para factorizar cada numerador y denominador. Luego cancele como se muestra.

 

[ begin {alineado} frac {x ^ {2} -x-6} {x ^ {2} +2 x-15} cdot frac {x ^ {2} -x-30} {x ^ {2} -2 x-8} & = frac {(x + 2) (x-3)} {(x-3) (x + 5)} cdot frac {(x + 5) (x-6)} {(x + 2) (x-4)} \ & = frac { (x + 2) (x-3) } { (x-3 ) (x + 5) } cdot frac { (x + 5) (x-4)} { (x + 2) (x-4)} \ & = frac {x-6} {x-4} end {alineado} ]

 

El denominador de la primera fracción tiene factores x – 3 y x + 5. Por lo tanto, x = 3 o x = −5 hará que este denominador sea cero. Por lo tanto, el 3 y −5 son restricciones.

 

El denominador de la segunda fracción tiene factores x + 2 y x – 4. Por lo tanto, x = −2 o x = 4 hará que este denominador sea cero.

 

Por lo tanto, −2 y 4 son restricciones. Por lo tanto, para todos los valores de x, excepto las restricciones −5, −2, 3 y 4, el lado izquierdo de [ frac {x ^ {2} -x-6} {x ^ {2} +2 x -15} cdot frac {x ^ {2} -x-30} {x ^ {2} -2 x-8} = frac {x-6} {x-4} ]

 

es idéntico a su lado derecho.

 

Es posible usar su calculadora gráfica para verificar sus resultados. Primero, cargue los lados izquierdo y derecho de la ecuación (8) en la calculadora en Y1 e Y2 en el menú Y = de su calculadora gráfica, como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) (a). Presione 2nd TBLSET y establezca TblStart = −6 y ( Delta mathrm {Tb} 1 = 1 ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) (b). Asegúrese de que AUTO esté resaltado y seleccionado con la tecla ENTER en las variables independientes y dependientes. Presione 2nd TABLE para producir la visualización tabular en la Figura ( PageIndex {1} ) (c).

 
Screen Shot 2019-07-12 at 7.58.24 PM.png
Figura ( PageIndex {1} ). Usando las características de la tabla de la calculadora gráfica para verificar el resultado en la ecuación (8).
 

Recuerde que los lados izquierdo y derecho de la ecuación (8) se cargan en Y1 e Y2, respectivamente.

 
         
  • En la Figura ( PageIndex {1} ) (c), observe el mensaje ERR (error) en los valores restringidos de x = −5 y x = −2. Sin embargo, aparte de estas dos restricciones, las funciones Y1 e Y2 coinciden en todos los demás valores de x en la Figura ( PageIndex {1} ) (c).
  •      
  • Use la flecha hacia abajo para desplazarse hacia abajo en la tabla para producir los resultados tabulares que se muestran en la Figura ( PageIndex {1} ) (d). Tenga en cuenta el mensaje ERR (error) en los valores restringidos de x = 3 yx = 4. Sin embargo, aparte de estas dos restricciones, las funciones Y1 e Y2 coinciden en todos los demás valores de x en la Figura ( PageIndex {1} )(re).
  •      
  • Si se desplaza hacia arriba o hacia abajo en la tabla, encontrará que las funciones Y1 e Y2 coinciden en todos los valores de x que no sean los valores restringidos −5, −2, 3 y 4.
  •  
 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Simplifique [ frac {9-x ^ {2}} {x ^ {2} +3 x} cdot frac {6 x-2 x ^ {2}} {x ^ {2} -6 x + 9} ] Indique cualquier restricción.

 

Solución

 

El primer numerador puede factorizarse usando el patrón de diferencia de dos cuadrados.

 

[9-x ^ {2} = (3 + x) (3-x) ]

 

El segundo denominador es un trinomio cuadrado perfecto y puede factorizarse como el cuadrado de un binomio.

 

[x ^ {2} -6 x + 9 = (x-3) ^ {2} ]

 

Deberá eliminar el máximo factor común del primer denominador y segundo numerador.

 

[x ^ {2} +3 x = x (x + 3) quad text {y} quad 6 x-2 x ^ {2} = 2 x (3-x) ] [19459002 ]  

Por lo tanto, [ frac {9-x ^ {2}} {x ^ {2} +3 x} cdot frac {6 x-2 x ^ {2}} {x ^ {2} – 6 x + 9} cdot = frac {(3 + x) (3-x)} {x (x + 3)} cdot frac {2 x (3-x)} {(x-3) ^ {2}} ]

 

Tendremos que ejecutar un cambio de signo o dos para crear factores comunes en los numeradores y denominadores. Entonces, tanto en el primer como en el segundo numerador, factoriza a −1 a partir del factor 3 – x para obtener 3 – x = −1 (x – 3). Debido a que el orden de los factores en un producto no importa, deslizaremos el -1 al frente en cada caso.

 

[ frac {9-x ^ {2}} {x ^ {2} +3 x} cdot frac {6 x-2 x ^ {2}} {x ^ {2} -6 x +9} cdot = frac {- (3 + x) (x-3)} {x (x + 3)} cdot frac {-2 x (x-3)} {(x-3) ^ {2}} ]

 

Ahora podemos cancelar factores comunes.

 

[ begin {alineado} frac {9-x ^ {2}} {x ^ {2} +3 x} cdot frac {6 x-2 x ^ {2}} {x ^ { 2} -6 x + 9} & = frac {- (3 + x) (x-3)} {x (x + 3)} cdot frac {-2 x (x-3)} {(x -3) ^ {2}} \ & = frac { – (3 + x) (x-3) } { x (x + 3) } cdot frac {-2 x (x-3) } { (x-3) ^ {2} } \ & = 2 end {alineado} ]

 

Algunas cosas para notar:

 
         
  • Los factores 3 + x y x + 3 son idénticos, por lo que pueden cancelarse, uno en la parte superior por uno en la parte inferior.
  •      
  • Dos factores de x – 3 en la parte superior se cancelan para (x – 3) 2 (que es equivalente a (x – 3) (x – 3)) en la parte inferior.
  •      
  • Una x en la parte superior cancela una x en la parte inferior.
  •      
  • Nos quedan dos signos menos (dos −1) y un 2. Entonces la solución es un positivo 2.
  •  
 

Finalmente, el primer denominador tiene factores xyx + 3, por lo que x = 0 yx = −3 son restricciones (hacen que este denominador sea igual a cero). El segundo denominador tiene dos factores de x – 3, entonces x = 3 es una restricción adicional.

 

Por lo tanto, para todos los valores de x, excepto los valores restringidos −3, 0 y 3, el lado izquierdo de [ frac {9-x ^ {2}} {x ^ {2} +3 x} cdot frac {6 x-2 x ^ {2}} {x ^ {2} -6 x + 9} = 2 ]

 

es idéntico al lado derecho. Nuevamente, esta afirmación se prueba fácilmente en la calculadora gráfica que se evidencia en la secuencia de capturas de pantalla en la Figura ( PageIndex {2} ).

 
Screen Shot 2019-07-12 at 8.13.03 PM.png
Figura ( PageIndex {2} ). Usando las características de la tabla de la calculadora gráfica para verificar el resultado en la ecuación (11).
 

Un enfoque alternativo al problema en la ecuación (10) es observar diferentes órdenes en los numeradores y denominadores (potencias descendentes, ascendentes de x) y anticipar la necesidad de un cambio de signo. Es decir, haga que el signo cambie antes de factorizar.

 

Por ejemplo, niega (multiplica por −1) tanto el numerador como la barra de fracción de la primera fracción para obtener

 

[ frac {9-x ^ {2}} {x ^ {2} +3 x} = – frac {x ^ {2} -9} {x ^ {2} +3 x} ]

 

De acuerdo con nuestra regla de cambio de signo, negar dos partes de una fracción deja la fracción sin cambios.

 

Si realizamos un cambio de signo similar en la segunda fracción (negar el numerador y la barra de fracción), entonces podemos factorizar y cancelar factores comunes.

 

[ begin {alineado} frac {9-x ^ {2}} {x ^ {2} +3 x} cdot frac {6 x-2 x ^ {2}} {x ^ { 2} -6 x + 9} & = – frac {x ^ {2} -9} {x ^ {2} +3 x} cdot- frac {2 x ^ {2} -6 x} {x ^ {2} -6 x + 9} \ & = – frac {(x + 3) (x-3)} {x (x + 3)} cdot- frac {2 x (x-3) ^ {2}} {(x-3) ^ {2}} \ & = – frac { (x + 3) (x-3) } { x (x + 3 ) } cdot- frac {2 x (x-3) } { (x-3) ^ {2} } \ & = 2 end { alineado} ]

 

 

 

División de expresiones racionales

 

Una definición simple cambiará un problema que implica la división de dos expresiones racionales en una que implique la multiplicación de dos expresiones racionales. Entonces no queda nada que explicar, porque ya sabemos cómo multiplicar dos expresiones racionales.

 

Entonces, motivemos nuestra definición de división. Supongamos que hacemos la pregunta, ¿cuántas mitades hay en total? La respuesta es fácil, ya que dos mitades forman un todo. Por lo tanto, cuando dividimos 1 entre 1/2, deberíamos obtener 2. Hay dos mitades en un todo.

 

Aumentemos un poco las apuestas y preguntemos cuántas mitades hay en seis. Para que el problema sea más preciso, imagine que ha pedido 6 pizzas y las corta por la mitad. ¿Cuántas mitades tienes? Nuevamente, esto es fácil cuando piensas en el problema de esta manera, la respuesta es 12. Por lo tanto,

 

[6 div frac {1} {2} ]

 

(cuántas mitades hay en seis) es idéntico a

 

[6 cdot 2 ]

 

que, por supuesto, es 12. Con suerte, gracias a esta motivación inicial, la siguiente definición no parecerá demasiado extraña.

 
 

Definición

 

Para realizar la división [ frac {a} {b} div frac {c} {d} ], invierta la segunda fracción y multiplique, como en [ frac {a} {b} cdot frac {d} {c} ]

 
 

Por lo tanto, si queremos saber cuántas mitades hay en 12, cambiamos la división a multiplicación (“invertir y multiplicar”).

 

[12 div frac {1} {2} = 12 cdot 2 = 24 ]

 

Esto tiene sentido, ya que hay 24 “mitades” en 12. Veamos un ejemplo más difícil.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Simplifica [ frac {33} {15} div frac {14} {10} ]

 

Solución

 

Invierte la segunda fracción y multiplica. Después de eso, todo lo que tenemos que hacer es numerar y denominar los factores, luego cancelar los factores comunes.

 

[ frac {33} {15} div frac {14} {10} = frac {33} {15} cdot frac {10} {14} = frac {3 cdot 11 } {3 cdot 5} cdot frac {2 cdot 5} {2 cdot 7} = frac { not {8} cdot 11} { not {3} cdot not {5}} cdot frac { not {2} cdot not {5}} { not {2} cdot 7} = frac {11} {7} ]

 

Una forma interesante de verificar este resultado en su calculadora se muestra en la secuencia de pantallas en la Figura ( PageIndex {3} ).

 
Screen Shot 2019-07-12 at 8.24.07 PM.png
Figura ( PageIndex {3} ). Usando la calculadora para verificar la división de fracciones.
 

Después de ingresar el problema original en su calculadora, presione ENTER, luego presione el botón MATH, luego seleccione 1: I Frac del menú y presione ENTER. El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) (c), que está de acuerdo con nuestro cálculo anterior.

 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Simplifique [ frac {9 + 3 x-2 x ^ {2}} {x ^ {2} -16} div frac {4 x ^ {3} -9 x} {2 x ^ { 2} +5 x-12} ] Indique las restricciones.

 

Solución

 

Tenga en cuenta que el orden del primer numerador difiere de los otros numeradores y denominadores, por lo que “anticipamos” la necesidad de un cambio de signo, negando el numerador y la barra de fracción de la primera fracción. También invertimos la segunda fracción y cambiamos la división a multiplicación (“invertir y multiplicar”).

 

[- frac {2 x ^ {2} -3 x-9} {x ^ {2} -16} cdot frac {2 x ^ {2} +5 x-12} {4 x ^ {3} -9 x} ]

 

El numerador en la primera fracción de la ecuación (17) es un trinomio cuadrático, con ac = (2) (- 9) = −18. El par entero 3 y −6 tiene el producto −18 y la suma −3. Por lo tanto,

 

[ begin {alineado} 2 x ^ {2} -3 x-9 & = 2 x ^ {2} +3 x-6 x-9 \ & = x (2 x + 3) -3 (2 x + 3) \ & = (x-3) (2 x + 3) end {alineado} ]

 

El denominador de la primera fracción en la ecuación (17) se factoriza fácilmente usando el patrón de diferencia de dos cuadrados.

 

[x ^ {2} -16 = (x + 4) (x-4) ]

 

El numerador de la segunda fracción en la ecuación (17) es un trinomio cuadrático, con ac = (2) (- 12) = −24. El par entero −3 y 8 tienen el producto −24 y la suma 5. Por lo tanto,

 

[ begin {alineado} 2 x ^ {2} +5 x-12 & = 2 x ^ {2} -3 x + 8 x-12 \ & = x (2 x-3) +4 (2 x-3) \ & = (x + 4) (2 x-3) end {alineado} ]

 

Para factorizar el denominador de la última fracción en la ecuación (17), primero extraiga el máximo factor común (en este caso x), luego complete la factorización usando el patrón de diferencia de dos cuadrados.

 

[4 x ^ {3} -9 x = x left (4 x ^ {2} -9 right) = x (2 x + 3) (2 x-3) ]

 

Ahora podemos reemplazar cada numerador y denominador en la ecuación (17) con su factorización, luego cancelar factores comunes.

 

[ begin {alineado} – frac {2 x ^ {2} -3 x-9} {x ^ {2} -16} cdot frac {2 x ^ {2} +5 x- 12} {4 x ^ {3} -9 x} & = – frac {(x-3) (2 x + 3)} {(x + 4) (x-4)} cdot frac {(x +4) (2 x-3)} {x (2 x + 3) (2 x-3)} \ & = – frac {(x-3) (2 x + 3) } { (x + 4) (x-4)} cdot frac { (x + 4) (2 x-3) } {x (2 x +3) (2 x-3) } \ & = – frac {x-3} {x (x-4)} end {alineado} ]

 

El último denominador tiene los factores x y x – 4, entonces x = 0 y x = 4 son restricciones. En el cuerpo de nuestro trabajo, el denominador de la primera fracción tiene factores x + 4 y x – 4. Ya hemos visto el factor x – 4, por lo que solo el factor x + 4 agrega una nueva restricción, x = −4. Nuevamente, en el cuerpo de nuestro trabajo, el denominador de la segunda fracción tiene factores x, 2x + 3 y 2x – 3, por lo que hemos agregado restricciones x = 0, x = −3/2 yx = 3/2.

 

Hay un poco de truco aquí que puede pasarse por alto fácilmente. En el cuerpo de nuestro trabajo, el numerador de la segunda fracción era originalmente un denominador antes de invertir la fracción. Entonces, debemos considerar qué hace que este numerador también sea cero. Afortunadamente, los factores en este numerador son x + 4 y 2x – 3 y ya hemos considerado las restricciones producidas por estos factores.

 

Por lo tanto, para todos los valores de x, excepto los valores restringidos −4, −3/2, 0, 3/2 y 4, el lado izquierdo de

 

[ frac {9 + 3 x-2 x ^ {2}} {x ^ {2} -16} div frac {4 x ^ {3} -9 x} {2 x ^ {2 } +5 x-12} = – frac {x-3} {x (x-4)} ]

 

es idéntico al lado derecho.

 

Una vez más, esta afirmación se verifica fácilmente mediante el uso de una calculadora gráfica, como se evidencia parcialmente (tendrá que desplazarse hacia abajo para ver la última restricción a la vista) en la secuencia de capturas de pantalla en la Figura ( PageIndex { 4} ).

 
Screen Shot 2019-07-12 at 8.32.46 PM.png
Figura ( PageIndex {4} ). Usando la función de tabla de la calculadora para verificar el resultado en la ecuación (18).
 
 

Notación alternativa. Tenga en cuenta que la expresión fraccional a / b significa “a dividido por b”, por lo que podemos usar esta notación equivalente para (a div b ). Por ejemplo, la expresión

 

[ frac {9 + 3 x-2 x ^ {2}} {x ^ {2} -16} div frac {4 x ^ {3} -9 x} {2 x ^ {2 } +5 x-12} ]

 

es equivalente a la expresión

 

[ frac { frac {9 + 3 x-2 x ^ {2}} {x ^ {2} -16}} { frac {4 x ^ {3} -9 x} {2 x ^ {2} +5 x-12}} ]

 

Veamos un ejemplo de esta notación en uso.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Dado que [f (x) = frac {x} {x + 3} quad text {y} quad g (x) = frac {x ^ {2}} {x + 3} ], simplifica tanto f (x) g (x) como f (x) / g (x).

 

Solución

 

Primero, la multiplicación. No hay cancelación posible, por lo que simplemente multiplicamos numeradores y denominadores.

 

[f (x) g (x) = frac {x} {x + 3} cdot frac {x ^ {2}} {x + 3} = frac {x ^ {3}} {(x + 3) ^ {2}} ]

 

Este resultado es válido para todos los valores de x excepto −3.

 

Por otro lado, [ frac {f (x)} {g (x)} = frac { frac {x} {x + 3}} { frac {x ^ {2}} { x + 3}} = frac {x} {x + 3} div frac {x ^ {2}} {x + 3} ]

 

Cuando “invertimos y multiplicamos”, luego cancelamos, obtenemos [ frac {f (x)} {g (x)} = frac {x} {x + 3} cdot frac {x + 3} {x ^ {2}} = frac {1} {x} ]. Este resultado es válido para todos los valores de x excepto −3 y 0.

 
   

Ejercicio

 

En Ejercicios 1 10 , reduzca el producto a una sola fracción en los términos más bajos.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {1} )

 

( frac {108} {14} cdot frac {6} {100} )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {81} {175} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {2} )

 

( frac {75} {63} cdot frac {18} {45} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {3} )

 

( frac {189} {56} cdot frac {12} {27} )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {3} {2} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {4} )

 

( frac {45} {72} cdot frac {63} {64} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {5} )

 

( frac {15} {36} cdot frac {28} {100} )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {7} {60} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {6} )

 

( frac {189} {49} cdot frac {32} {25} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {7} )

 

( frac {21} {100} cdot frac {125} {16} )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {105} {64} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {8} )

 

( frac {21} {35} cdot frac {49} {45} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {9} )

 

( frac {56} {20} cdot frac {98} {32} )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {343} {40} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {10} )

 

( frac {27} {125} cdot frac {4} {12} )

 
 

En Ejercicios 11 34 , multiplica y simplifica. Indique todas las restricciones.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {11} )

 

( frac {x + 6} {x ^ 2 + 16x + 63} cdot frac {x ^ 2 + 7x} {x + 4} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −9, −7, −4 ),

     

( frac {x (x + 6)} {(x + 9) (x + 4)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {12} )

 

( frac {x ^ 2 + 9x} {x ^ 2−25} cdot frac {x ^ 2 − x − 20} {- 18−11x − x ^ 2} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {13} )

 

( frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2−1} cdot frac {−9 + 10x − x ^ 2} {x ^ 2 + 9x + 20} ) [19459002 ]  

     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 1, −1, −4, −5 ),

     

(- frac {(x + 2) (x − 9)} {(x + 1) (x + 4)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {14} )

 

( frac {x ^ 2 + 5x} {x − 4} cdot frac {x − 2} {x ^ 2 + 6x + 5} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {15} )

 

( frac {x ^ 2−5x} {x ^ 2 + 2x − 48} cdot frac {x ^ 2 + 11x + 24} {x ^ 2 − x} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −8, 6, 1, 0 ),

     

( frac {(x − 5) (x + 3)} {(x − 6) (x − 1)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {16} )

 

( frac {x ^ 2−6x − 27} {x ^ 2 + 10x + 24} cdot frac {x ^ 2 + 13x + 42} {x ^ 2−11x + 18} ) [ 19459002]  

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {17} )

 

( frac {−x − x ^ 2} {x ^ 2−9x + 8} cdot frac {x ^ 2−4x + 3} {x ^ 2 + 4x + 3} ) [19459002 ]  

     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 1, 8, −3, −1 ),

     

(- frac {x (x − 3)} {(x − 8) (x + 3)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {18} )

 

( frac {x ^ 2−12x + 35} {x ^ 2 + 2x − 15} cdot frac {45 + 4x − x ^ 2} {x ^ 2 + x − 30} ) [ 19459002]  

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {19} )

 

( frac {x + 2} {7 − x} cdot frac {x ^ 2 + x − 56} {x ^ 2 + 7x + 6} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 7, −1, −6 ),

     

(- frac {(x + 2) (x + 8)} {(x + 1) (x + 6)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {20} )

 

( frac {x ^ 2−2x − 15} {x ^ 2 + x} cdot frac {x ^ 2 + 7x} {x ^ 2 + 12x + 27} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {21} )

 

( frac {x ^ 2−9} {x ^ 2−4x − 45} cdot frac {x − 6} {- 3 − x} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −3, −5, 9 ),

     

(- frac {(x − 3) (x − 6)} {(x − 5) (x − 3)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {22} )

 

( frac {x ^ 2−12x + 27} {x − 5} cdot frac {x − 4} {x ^ 2−18x + 8} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {23} )

 

( frac {x + 5} {x ^ 2−2x − 24} cdot frac {x ^ 2 + 12x + 32} {x + 7} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −8, −4, −7 ),

     

( frac {(x + 5) (x − 6)} {(x + 8) (x + 7)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {24} )

 

( frac {x ^ 2−36} {x ^ 2 + 11x + 24} cdot frac {−8 − x} {x + 4} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {25} )

 

( frac {x − 5} {x ^ 2−8x + 12} cdot frac {x ^ 2−12x + 36} {x − 8} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 2, 6, 8 ),

     

( frac {(x − 5) (x − 6)} {(x − 2) (x − 8)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {26} )

 

( frac {x ^ 2−5x − 36} {x − 1} cdot frac {x − 5} {x ^ 2−81} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {27} )

 

( frac {x ^ 2 + 2x − 15} {x ^ 2−10x + 16} cdot frac {x ^ 2−7x + 10} {3x ^ 2 + 13x − 10} ) [ 19459002]  

     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 2, 8, frac {2} {3}, −5 ),

     

( frac {(x − 3) (x − 5)} {(3x − 2) (x − 8)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {28} )

 

( frac {5x ^ 2 + 14x − 3} {x + 9} cdot frac {x − 7} {x ^ 2 + 10x + 21} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {29} )

 

( frac {x ^ 2−4} {x ^ 2 + 2x − 63} cdot frac {x ^ 2 + 6x − 27} {x ^ 2−6x − 16} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −9, 7, 8, −2 ),

     

( frac {(x − 2) (x − 3)} {(x − 7) (x − 8)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {30} )

 

( frac {x ^ 2 + 5x + 6} {x ^ 2−3x} cdot frac {x ^ 2−5x} {x ^ 2 + 9x + 18} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {31} )

 

( frac {x − 1} {x ^ 2 + 2x − 63} cdot frac {x ^ 2−81} {x + 4} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 7, −9, −4 ),

     

( frac {(x − 1) (x − 9)} {(x − 7) (x + 4)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {32} )

 

( frac {x ^ 2 + 9x} {x ^ 2 + 7x + 12} cdot frac {27 + 6x − x ^ 2} {x ^ 2−5x} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {33} )

 

( frac {5 − x} {x + 3} cdot frac {x ^ 2 + 3x − 18} {2x ^ 2−7x − 15} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −3, – frac {3} {2}, 5 )

     

(- frac {(x + 6) (x − 3)} {(2x + 3) (x + 3)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {34} )

 

( frac {4x ^ 2 + 21x + 5} {18−7x − x ^ 2} cdot frac {x ^ 2 + 11x + 18} {x ^ 2−25} )

 
 

En Ejercicios 35 58 , divide y simplifica. Indique todas las restricciones.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {35} )

 

( frac { frac {x ^ 2−14x + 48} {x ^ 2 + 10x + 16}} { frac {−24 + 11x − x ^ 2} {x ^ 2 − x − 72 }} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −8, −2, 9, 3, 8 ),

     

(- frac {(x − 6) (x − 9)} {(x + 2) (x − 3)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {36} )

 

( frac {x − 1} {x ^ 2−14x + 48} div frac {x + 5} {x ^ 2−3x − 18} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {37} )

 

( frac {x ^ 2−1} {x ^ 2−7x + 12} div frac {x ^ 2 + 6x + 5} {- 24 + 10x − x ^ 2} ) [ 19459002]  

     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 4, 3, 6, −5, −1 ),

     

(- frac {(x − 1) (x − 6)} {(x − 3) (x + 5)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {38} )

 

( frac {x ^ 2−13x + 42} {x ^ 2−2x − 63} div frac {x ^ 2 − x − 42} {x ^ 2 + 8x + 7} ) [ 19459002]  

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {39} )

 

( frac {x ^ 2−25} {x + 1} div frac {5x ^ 2 + 23x − 10} {x − 3} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −1, frac {2} {5}, −5, 3 ),

     

( frac {(x − 5) (x − 3)} {(5x − 2) (x + 1)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {40} )

 

( frac { frac {x ^ 2−3x} {x ^ 2−7x + 6}} { frac {x ^ 2−4x} {3x ^ 2−11x − 42}} ) [ 19459002]  

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {41} )

 

( frac { frac {x ^ 2 + 10x + 21} {x − 4}} { frac {x ^ 2 + 3x} {x + 8}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 4, 0, −3, −8 ),

     

( frac {(x + 7) (x + 8)} {x (x − 4)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {42} )

 

( frac {x ^ 2 + 8x + 15} {x ^ 2−14x + 45} div frac {x ^ 2 + 11x + 30} {- 30 + 11x − x ^ 2} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {43} )

 

( frac { frac {x ^ 2−6x − 16} {x ^ 2 + x − 42}} { frac {x ^ 2−64} {x ^ 2 + 12x + 35}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −7, 6, −5, −8, 8 ),

     

( frac {(x + 2) (x + 5)} {(x − 6) (x + 8)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {44} )

 

( frac { frac {x ^ 2 + 3x + 2} {x ^ 2−9x + 18}} { frac {x ^ 2 + 7x + 6} {x ^ 2−6x}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {45} )

 

( frac { frac {x ^ 2 + 12x + 35} {x + 4}} { frac {x ^ 2 + 10x + 25} {x + 9}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −4, −5, −9 ),

     

( frac {(x + 7) (x + 9)} {(x + 4) (x + 5)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {46} )

 

( frac {x ^ 2−8x + 7} {x ^ 2 + 3x − 18} div frac {x ^ 2−7x} {x ^ 2 + 6x − 27} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {47} )

 

( frac {x ^ 2 + x − 30} {x ^ 2 + 5x − 36} div frac {−6 − x} {x + 8} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 4, −9, −8, −6 ),

     

(- frac {(x − 5) (x + 8)} {(x − 4) (x + 9)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {48} )

 

( frac { frac {2x − x ^ 2} {x ^ 2−15x + 54}} { frac {x ^ 2 + x} {x ^ 2−11x + 30}} ) [ 19459002]  

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {49} )

 

( frac { frac {x ^ 2−9x + 8} {x ^ 2−9}} { frac {x ^ 2−8x − 15} {- 8x − x ^ 2}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −3, 3, −5, 0, 8 ),

     

(- frac {(x − 1) (x + 5)} {x (x − 3)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {50} )

 

( frac {x + 5} {x ^ 2 + 2x + 1} div frac {x − 2} {x ^ 2 + 10x + 9} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {51} )

 

( frac { frac {x ^ 2−4} {x + 8}} { frac {x ^ 2−10x + 16} {x + 3}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −8, 8, 2, −3 ),

     

( frac {(x + 2) (x + 3)} {(x + 8) (x − 8)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {52} )

 

( frac {27−6x − x ^ 2} {x ^ 2 + 9x + 20} div frac {x ^ 2−12x + 27} {x ^ 2 + 5x} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {53} )

 

( frac { frac {x ^ 2 + 5x + 6} {x ^ 2 – 36}} { frac {x − 7} {- 6 − x}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 6, −6, 7 ),

     

(- frac {(x + 2) (x + 3)} {(x − 6) (x − 7)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {54} )

 

( frac {2 − x} {x − 5} div frac {x ^ 2 + 3x − 10} {x ^ 2−14x + 48} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {55} )

 

( frac { frac {x + 3} {x ^ 2 + 4x − 12}} { frac {x − 4} {x ^ 2−36}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 2, −6, 4, 6 ),

     

( frac {(x + 3) (x − 6)} {(x − 2) (x − 4)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {56} )

 

( frac {x + 3} {x ^ 2 − x − 2} div frac {x} {x ^ 2−3x − 4} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {57} )

 

( frac {x ^ 2−11x + 28} {x ^ 2 + 5x + 6} div frac {7x ^ 2−30x + 8} {x ^ 2 − x − 6} ) [ 19459002]  

     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −2, −3, 3, frac {2} {7}, 4 ),

     

( frac {(x − 7) (x − 3)} {(7x − 2) (x + 3)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {58} )

 

( frac { frac {x − 7} {3 − x}} { frac {2x ^ 2 + 3x − 5} {x ^ 2−12x + 27}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {59} )

 

Deje

 

(f (x) = frac {x ^ 2−7x + 10} {x ^ 2 + 4x − 21} )

 

y

 

(g (x) = frac {5x − x ^ 2} {x ^ 2 + 15x + 56} )

 

Calcule ( frac {f (x)} {g (x)} ) y simplifique su respuesta.

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −7, 3, −8, 0, 5 ),

     

(- frac {(x − 2) (x + 8)} {x (x − 3)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {60} )

 

Deje

 

(f (x) = frac {x ^ 2 + 15x + 56} {x ^ 2 − x − 20} )

 

y

 

(g (x) = frac {−7 − x} {x + 1} )

 

Calcule ( frac {f (x)} {g (x)} ) y simplifique su respuesta.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {61} )

 

Deje

 

(f (x) = frac {x ^ 2 + 12x + 35} {x ^ 2 + 4x − 32} )

 

y

 

(g (x) = frac {x ^ 2−2x − 35} {x ^ 2 + 8x} )

 

Calcule ( frac {f (x)} {g (x)} ) y simplifique su respuesta.

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −8, 4, 0, 7, −5 ),

     

( frac {x (x + 7)} {(x − 4) (x − 7)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {62} )

 

Deje

 

(f (x) = frac {x ^ 2 + 4x + 3} {x − 1} )

 

y

 

(g (x) = frac {x ^ 2−4x − 21} {x + 5} )

 

Calcule ( frac {f (x)} {g (x)} ) y simplifique su respuesta.

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{63})

 

Let

 

(f(x) = frac{x^2+x−20}{x})

 

y

 

(g(x) = frac{x−1}{x^2−2x−35})

 

Compute f(x)g(x) and simplify your answer.

 
     
Answer
     
     

Provided (x ne 0, 7, −5), 

     

(frac{(x−4)(x−1)}{x(x−7)})

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{64})

 

Let

 

(f(x) = frac{x^2+10x+24}{x^2−13x+42})

 

y

 

(g(x) = frac{x^2−6x−7}{x^2+8x+12})

 

Compute f(x)g(x) and simplify your answer.

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{65})

 

Let
(f(x) = frac{x+5}{−6−x})

 

y

 

(g(x) = frac{x^2+8x+12}{x^2−49})

 

Compute f(x)g(x) and simplify your answer.

 
     
Answer
     
     

Provided (x ne −6, −7, 7),

     

(−frac{(x+5)(x+2)}{(x+7)(x−7)})

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{66})

 

Let

 

(f(x)= frac{8−7x−x^2}{x^2−8x−9})

 

y

 

(g(x) = frac{x^2−6x−7}{x^2−6x+5})

 

Compute f(x)g(x) and simplify your answer.

 
               
                                  
]]>