las matematicas

7.4: Propiedad distributiva

7.4: Propiedad distributiva

Simplificar expresiones usando la propiedad distributiva

 

Supongamos que tres amigos van al cine. Cada uno necesita $ 9.25; es decir, 9 dólares y 1 cuarto. ¿Cuánto dinero necesitan todos juntos? Puedes pensar en los dólares por separado de los trimestres.

 

The image shows the equation 3 times 9 equal to 27. Below the 3 is an image of three people. Below the 9 is an image of 9 one dollar bills. Below the 27 is an image of three groups of 9 one dollar bills for a total of 27 one dollar bills.

 

The image shows the equation 3 times 25 cents equal to 75 cents. Below the 3 is an image of three people. Below the 25 cents is an image of a quarter. Below the 75 cents is an image of three quarters.

 

Necesitan 3 veces $ 9, o sea $ 27, y 3 veces 1 trimestre, o sea 75 centavos. En total, necesitan $ 27.75. Si piensa hacer los cálculos de esta manera, está utilizando la propiedad distributiva.

 
 

Definición: Propiedad distributiva

 

Si a, b, c son números reales, entonces a (b + c) = ab + ac.

 
 

Volviendo a nuestros amigos en el cine, podríamos mostrar los pasos matemáticos que tomamos para encontrar la cantidad total de dinero que necesitan de esta manera:

 

$$ begin {split} 3 (9 & .25) \ 3 (9 & + 0.25) \ 3 (9) & + 3 (0.25) \ 27 & + 0.75 \ 27 & .75 end {split} $$

 

En álgebra, usamos la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis a medida que simplificamos las expresiones. Por ejemplo, si se nos pide que simplifiquemos la expresión 3 (x + 4), el orden de las operaciones dice que funcione entre paréntesis primero. Pero no podemos agregar xy 4, ya que no son términos similares. Entonces usamos la propiedad distributiva, como se muestra en el ejemplo ( PageIndex {1} ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Simplificar: 3 (x + 4).

 

Solución

                                                                                                              
Distribuir. 3 • x + 3 • 4
Multiplica. 3x + 12
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

 

Simplificar: 4 (x + 2).

 
     
Respuesta
     
     

(4x + 8 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

 

Simplificar: 6 (x + 7).

 
     
Respuesta
     
     

6x + 42

     
 
 
 

A algunos estudiantes les resulta útil dibujar flechas para recordarles cómo usar la propiedad distributiva. Entonces el primer paso en el ejemplo 7.17 se vería así:

 

The image shows the expression x plus 4 in parentheses with the number 3 outside the parentheses on the left. There are two arrows pointing from the top of the three. One arrow points to the top of the x. The other arrow points to the top of the 4.

 

$$ 3 cdot x + 3 cdot 4 $$

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Simplifica: 6 (5y + 1).

 

Solución

 

                                                                                                              
Distribuir. $$ 6 cdot 5 años + 6 cdot 1 $$
Multiplica. $$ 30 años + 6 $$
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

 

Simplificar: 9 (3y + 8).

 
     
Respuesta
     
     

27 años + 72

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} ):

 

Simplificar: 5 (5w + 9).

 
     
Respuesta
     
     

25w + 45

     
 
 
 

La propiedad distributiva se puede utilizar para simplificar expresiones que se vean ligeramente diferentes de a (b + c). Aquí hay otras dos formas.

 
 
 

Definición: Propiedad distributiva

 

Si a, b, c son números reales, entonces $$ a (b + c) = ab + ac $$ Otras formas $$ a (b – c) = ab – ac $$$$ (b + c ) a = ba + ca $$

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Simplificar: 2 (x – 3).

 

Solución

 

                                                                                                              
Distribuir. $$ 2 cdot x + 2 cdot 3 $$
Multiplica. $$ 2x – 6 $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

 

Simplificar: 7 (x – 6).

 
     
Respuesta
     
     

7x – 42

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

 

Simplificar: 8 (x – 5).

 
     
Respuesta
     
     

8x – 40

     
 
 
 

¿Recuerdas cómo multiplicar una fracción por un número entero? Tendremos que hacer eso en los siguientes dos ejemplos.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Simplifique: ( dfrac {3} {4} ) (n + 12).

 

Solución

 

                                                                                                              
Distribuir. $$ dfrac {3} {4} cdot n + dfrac {3} {4} cdot 12 $$
Multiplica. $$ dfrac {3} {4} n + 9 $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} ):

 

Simplifica: ( dfrac {2} {5} ) (p + 10).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {2} {5} p + 4 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

 

Simplifica: ( dfrac {3} {7} ) (u + 21).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {3} {7} u +9 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Simplifique: (8 left ( dfrac {3} {8} x + dfrac {1} {4} right) ).

 

Solución

 

                                                                                                              
Distribuir. $$ 8 cdot dfrac {3} {8} x + 8 cdot dfrac {1} {4} $$
Multiplica. $$ 3x + 2 $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} ):

 

Simplifique: (6 left ( dfrac {5} {6} y + dfrac {1} {2} right) ).

 
     
Respuesta
     
     

5 años + 3

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} ):

 

Simplifique: (12 left ( dfrac {1} {3} n + dfrac {3} {4} right) ).

 
     
Respuesta
     
     

4n + 9

     
 
 
 
 

Usar la propiedad distributiva como se muestra en el siguiente ejemplo será muy útil cuando resolvamos aplicaciones de dinero más adelante.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Simplificar: 100 (0.3 + 0.25q).

 

Solución

 

                                                                                                              
Distribuir. $$ 100 (0.3) + 100 (0.25q) $$
Multiplica. $$ 30 + 25q $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} ):

 

Simplificar: 100 (0.7 + 0.15p).

 
     
Respuesta
     
     

70 + 15p

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} ):

 

Simplificar: 100 (0.04 + 0.35d).

 
     
Respuesta
     
     

4 + 35d

     
 
 
 
 

En el siguiente ejemplo, multiplicaremos por una variable. Tendremos que hacer esto en un capítulo posterior.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Simplifica: (m (n – 4) ).

 

Solución

 

                                                                                                              
Distribuir. $$ m cdot n – m cdot 4 $$
Multiplica. $$ mn – 4m $$
 

Observe que escribimos m • 4 como 4m. Podemos hacer esto debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación. Cuando un término es el producto de un número y una variable, primero escribimos el número.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} ):

 

Simplificar: r (s – 2).

 
     
Respuesta
     
     

rs – 2r

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} ):

 

Simplifica: y (z – 8).

 
     
Respuesta
     
     

yz – 8 años

     
 
 
 

El siguiente ejemplo utilizará la forma “hacia atrás” de la propiedad distributiva, (b + c) a = ba + ca.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Simplificar: (x + 8) p.

 

Solución

 

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} ):

 

Simplificar: (x + 2) p.

 
     
Respuesta
     
     

xp + 2p

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} ):

 

Simplifica: (y + 4) q.

 
     
Respuesta
     
     

yq + 4q

     
 
 
 

Cuando distribuye un número negativo, debe tener mucho cuidado para obtener los signos correctos.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Simplifica: −2 (4y + 1).

 

Solución

 

                                                                                                              
Distribuir. $$ – 2 cdot 4y + (-2) cdot 1 $$
Simplificar. $$ – 8 años – 2 $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} ):

 

Simplifica: −3 (6m + 5).

 
     
Respuesta
     
     

-18m – 15

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} ):

 

Simplifica: −6 (8n + 11).

 
     
Respuesta
     
     

-48n – 66

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

 

Simplifique: −11 (4 – 3a).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Distribuir. $$ – 11 cdot 4 – (-11) cdot 3a $$
Multiplica. $$ – 44 – (-33a) $$
Simplificar. $$ – 44 + 33a $$
 

También podrías escribir el resultado como 33a – 44. ¿Sabes por qué?

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} ):

 

Simplifica: −5 (2 – 3a).

 
     
Respuesta
     
     

-10 + 15a

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} ):

 

Simplifica: −7 (8 – 15 años).

 
     
Respuesta
     
     

-56 + 105 años

     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, mostraremos cómo usar la propiedad distributiva para encontrar el opuesto de una expresión. Recuerde, −a = −1 • a.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

 

Simplifica: – (y + 5).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
Multiplicar por −1 da como resultado lo contrario. $$ – 1 (y + 5) $$
Distribuir. $$ – 1 cdot y + (-1) cdot 5 $$
Simplificar. $$ – y + (-5) $$
Simplificar. $$ – y -5 $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} ):

 

Simplificar: – (z – 11).

 
     
Respuesta
     
     

-z + 11

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} ):

 

Simplificar: – (x – 4).

 
     
Respuesta
     
     

-x + 4

     
 
 
 

A veces necesitamos usar la propiedad distributiva como parte del orden de las operaciones. Comience mirando los paréntesis. Si la expresión dentro de los paréntesis no se puede simplificar, el siguiente paso sería multiplicar usando la propiedad distributiva, que elimina los paréntesis. Los siguientes dos ejemplos ilustrarán esto.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

 

Simplificar: 8 – 2 (x + 3).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Distribuir. $$ 8 – 2 cdot x – 2 cdot 3 $$
Multiplica. $$ 8 – 2x – 6 $$
Combina términos similares. $$ – 2x + 2 $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} ):

 

Simplifica: 9 – 3 (x + 2).

 
     
Respuesta
     
     

-3x + 3

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} ):

 

Simplificar: 7x – 5 (x + 4).

 
     
Respuesta
     
     

2x – 20

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} ):

 

Simplificar: 4 (x – 8) – (x + 3).

 

Solución

                                                                                                              
Distribuir. $$ 4x – 32 – x – 3 $$
Combina términos similares. $$ 3x – 35 $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} ):

 

Simplificar: 6 (x – 9) – (x + 12).

 
     
Respuesta
     
     

5x – 66

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} ):

 

Simplificar: 8 (x – 1) – (x + 5).

 
     
Respuesta
     
     

7x – 13

     
 
 
 
 

Evaluar expresiones usando la propiedad distributiva

 

Algunos estudiantes deben estar convencidos de que la propiedad distributiva siempre funciona. En los ejemplos a continuación, practicaremos evaluando algunas de las expresiones de ejemplos anteriores; en la parte (a), evaluaremos el formulario con paréntesis, y en la parte (b) evaluaremos el formulario que obtuvimos después de la distribución. Si evaluamos ambas expresiones correctamente, esto mostrará que de hecho son iguales.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} ):

 

Cuando y = 10 evalúe: (a) 6 (5y + 1) (b) 6 • 5y + 6 • 1.

 

Solución

 

(a) 6 (5 años + 1)

                                                                                                                                                              
Sustituye ( textcolor {red} {10} ) por y. $$ 6 (5 cdot textcolor {rojo} {10} + 1) $$
Simplifica entre paréntesis. $$ 6 (51) $$
Multiplica. $$ 306 $$
 

(b) 6 • 5 años + 6 • 1

                                                                                                                                                              
Sustituye ( textcolor {red} {10} ) por y. $$ 6 cdot 5 cdot textcolor {rojo} {10} + 6 cdot 1 $$
Simplificar. $$ 300 + 6 $$
Agregar. $$ 306 $$
 

Aviso, las respuestas son las mismas. Cuando y = 10, 6 (5y + 1) = 6 • 5y + 6 • 1. Pruébelo usted mismo para un valor diferente de y.

   
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} ):

 

Evalúe cuando w = 3: (a) 5 (5w + 9) (b) 5 • 5w + 5 • 9.

 
     
Responda a
     
     

(120 )

     
     
Respuesta b
     
     

(120 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} ):

 

Evalúe cuando y = 2: (a) 9 (3y + 8) (b) 9 • 3y + 9 • 8.

 
     
Responda a
     
     

(126 )

     
     
Respuesta b
     
     

(126 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} ):

 

Cuando y = 3, evalúe (a) −2 (4y + 1) (b) −2 • 4y + (−2) • 1.

 

Solución

 

(a) −2 (4y + 1)

                                                                                                                                                              
Sustituye ( textcolor {red} {3} ) por y. $$ – 2 (4 cdot textcolor {rojo} {3} + 1) $$
Simplifica entre paréntesis. $$ – 2 (13) $$
Multiplica. $$ – 26 $$
 

(b) −2 • 4y + (−2) • 1

                                                                                                                                                                                                              
Sustituye ( textcolor {red} {3} ) por y. $$ – 2 cdot 4 cdot textcolor {rojo} {3} + (-2) cdot 1 $$
Multiplica. $$ – 24 – 2 $$
Restar. $$ – 26 $$
Las respuestas son las mismas cuando y = 3. $$ – 2 (4y + 1) = -8y – 2 $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} ):

 

Evalúe cuando n = −2: (a) −6 (8n + 11) (b) −6 • 8n + (−6) • 11.

 
     
Responda a
     
     

(30 )

     
     
Respuesta b
     
     

(30 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} ):

 

Evalúe cuando m = −1: (a) −3 (6m + 5) (b) −3 • 6m + (−3) • 5.

 
     
Responda a
     
     

(3 )

     
     
Respuesta b
     
     

(3 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} ):

 

Cuando y = 35 evalúe (a) – (y + 5) y (b) −y – 5 para mostrar que – (y + 5) = −y – 5.

 

Solución

 

(a) – (y + 5)

                                                                                                                                                              
Sustituye ( textcolor {red} {35} ) por y. $$ – ( textcolor {rojo} {35} + 5) $$
Agregue los paréntesis. $$ – (40) $$
Simplificar. $$ – 40 $$
 

(b) −y – 5

                                                                                                                                                              
Sustituye ( textcolor {red} {35} ) por y. $$ – textcolor {rojo} {35} – 5 $$
Simplificar. $$ – 40 $$
Las respuestas son las mismas cuando y = 35, lo que demuestra que $$ – (y + 5) = -y – 5 $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {31} ):

 

Evalúa cuando x = 36: (a) – (x – 4) (b) −x + 4 para mostrar que – (x – 4) = – x + 4.

 
     
Responda a
     
     

(- 32 )

     
     
Respuesta b
     
     

(- 32 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {32} ):

 

Evalúe cuando z = 55: (a) – (z – 10) (b) −z + 10 para mostrar que – (z – 10) = – z + 10.

 
     
Responda a
     
     

(- 45 )

     
     
Respuesta b
     
     

(- 45 )

     
 
 
 
 
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antonio1095

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