( log _ {2/3} left ( frac {3} {2} right) = – 1 ) porque ( left ( frac {2} {3} right) ^ {-1} = frac {3} {2} )
Dada una función exponencial definida por (f (x) = b ^ {x} ), donde (b> 0 ) y (b ≠ 1 ), su inversa es la base – (b ) logaritmo, (f ^ {−1} (x) = log_ {b} x ). Y porque (f left (f ^ {- 1} (x) right) = x ) y (f ^ {- 1} (f (x)) = x ), tenemos lo siguiente [19459013 ] propiedades inversas del logaritmo 11 :
(f ^ {- 1} (f (x)) = log _ {b} b ^ {x} = x ) y (f left (f ^ {- 1} ( x) right) = b ^ { log _ {b} x} = x, x> 0 )
Dado que (f ^ {- 1} (x) = log _ {b} x ) tiene un dominio que consta de valores positivos ((0, infty) ), la propiedad (b ^ { log _ {b} x} = x ) está restringido a valores donde (x> 0 ).
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Evaluar
( log _ {5} 625 )
(5 ^ { log _ {5} 3} )
(e ^ { ln 5} )
Solución
Aplica las propiedades inversas del logaritmo.
( log _ {5} 625 = log _ {5} 5 ^ {4} = 4 )
(5 ^ { log _ {5} 3} = 3 )
(e ^ { ln 5} = 5 )
En resumen, cuando (b> 0 ) y (b ≠ 1 ), tenemos las siguientes propiedades:
Tabla 7.4.1
( log _ {b} 1 = 0 )
( log _ {b} b = 1 )
( log _ {1 / b} b = -1 )
( log _ {b} left ( frac {1} {b} right) = – 1 )
( log _ {b} b ^ {x} = x )
(b ^ { log _ {b} x} = x, x> 0 )
Producto, cociente y propiedades de potencia de los logaritmos
En esta sección, se desarrollan tres propiedades muy importantes del logaritmo. Estas propiedades nos permitirán ampliar nuestra capacidad para resolver muchas más ecuaciones. Comenzamos asignando (u ) y (v ) a los siguientes logaritmos y luego los escribimos en forma exponencial:
( begin {alineado} log _ {b} x = u color {Cerulean} { Longrightarrow} color {black} {b} ^ {u} = x \ log _ {b} y = v color {Cerulean} { Longrightarrow} color {black} {b} ^ {v} = y end {alineado} )
Sustituye (x = b ^ {u} ) y (y = b ^ {v} ) en el logaritmo de un producto (log_ {b} (xy) ) y el logaritmo de un cociente ( log _ {b} left ( frac {x} {y} right) ). Luego simplifica usando las reglas de exponentes y las propiedades inversas del logaritmo.
Tabla 7.4.2
Logaritmo de un producto
Logaritmo de un cociente
( begin {alineado} log _ {b} (xy) & = log _ {b} left (b ^ {u} b ^ {v} right) \ & = log _ {b} b ^ {u + v} \ & = u + v \ & = log _ {b} x + log _ {b} y end {alineado} )
( begin {alineado} log _ {b} left ( frac {x} {y} right) & = log _ {b} left ( frac {b ^ {u}} {b ^ {v}} right) \ & = log _ {b} b ^ {uv} \ & = uv \ & = log _ {b} x- log _ {b} y final {alineado} )
Esto nos da dos propiedades esenciales: la propiedad del producto de logaritmos 12 ,
( log _ {b} (x y) = log _ {b} x + log _ {b} y )
y la propiedad del cociente de los logaritmos 13 ,
( log _ {b} left ( frac {x} {y} right) = log _ {b} x- log _ {b} y )
En palabras, el logaritmo de un producto es igual a la suma del logaritmo de los factores. Del mismo modo, el logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del logaritmo del numerador y el logaritmo del denominador.
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Escribe como una suma ( log _ {2} (8 x) ).
Solución
Aplica la propiedad del producto de los logaritmos y luego simplifica.
( begin {alineado} log _ {2} (8 x) & = log _ {2} 8+ log _ {2} x \ [4pt] & = log _ {2} 2 ^ {3} + log _ {2} x \ [4pt] & = 3 + log _ {2} x end {alineado} )
Respuesta
[3+ log _ {2} x nonumber ]
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Escribe como una diferencia ( log left ( frac {x} {10} right) ).
Solución
Aplica la propiedad del cociente de los logaritmos y luego simplifica.
( begin {alineado} log left ( frac {x} {10} right) & = log x- log 10 \ & = log x-1 end {alineado} )
Respuesta
[ log x-1 nonumber ]
Luego comenzamos con (log_ {b} x = u ) y lo reescribimos en forma exponencial. Después de elevar ambos lados a la potencia (n ), convertir de nuevo a forma logarítmica y luego sustituir de nuevo.
( begin {alineado} log _ {b} x & = u color {Cerulean} { Longrightarrow} color {black} {b} ^ {u} = x \ & left (b ^ {u} right) ^ {n} = (x) ^ {n} \ log_ {b} x ^ {n} & = nu color {Cerulean} { Longleftarrow} color {black} {b} ^ {nu} = x ^ {n} \ log_ {b} x ^ {n} & = n log_ {b} x end {alineado} )
Esto nos lleva a la propiedad de poder de logaritmos 14 ,
( log _ {b} x ^ {n} = n log _ {b} x )
En palabras, el logaritmo de una cantidad elevada a una potencia es igual a esa potencia multiplicada por el logaritmo de la cantidad.
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Escribir como producto:
( log _ {2} x ^ {4} )
( log _ {5} ( sqrt {x}) )
Solución
Aplica la propiedad de potencia de los logaritmos. [ Log _ {2} x ^ {4} = 4 log _ {2} x ]
Recuerde que una raíz cuadrada puede expresarse usando exponentes racionales, ( sqrt {x} = x ^ {1/2} ). Realice este reemplazo y luego aplique la propiedad de potencia de los logaritmos. ( begin {alineado} log _ {5} ( sqrt {x}) & = log _ {5} x ^ {1/2} \ & = frac {1} {2} log _ {5} x end {alineado} )
En resumen,
Tabla 7.4.3
Propiedad del producto de logaritmos
( log _ {b} (x y) = log _ {b} x + log _ {b} y )
Propiedad del cociente de logaritmos
( log _ {b} left ( frac {x} {y} right) = log _ {b} x- log _ {b} y )
Propiedad energética de logaritmos
( log _ {b} x ^ {n} = n log _ {b} x )
Podemos usar estas propiedades para expandir logaritmos que involucran productos, cocientes y potencias usando sumas, diferencias y coeficientes. Una expresión logarítmica se expande completamente cuando las propiedades del logaritmo ya no se pueden aplicar.
Expande completamente: ( ln left (2 x ^ {3} right) ).
Solución
Recuerde que el logaritmo natural es una base de logaritmo (e ), ( ln x = log _ {e} x ). Por lo tanto, se aplican todas las propiedades del logaritmo.
( begin {alineado} ln left (2 x ^ {3} right) & = ln 2+ ln x ^ {3} quad color {Cerulean} {Product : rule : for : logarithms} \ & = ln 2 + 3 ln x quad color {Cerulean} {Power : rule : for : logarithms} end {alineado} )
Respuesta
[ ln 2 + 3 ln x nonumber ]
Ejemplo ( PageIndex {8} ):
Expande completamente: ( log sqrt [3] {10 x y ^ {2}} ).
Solución
Comienza reescribiendo la raíz cúbica usando el exponente racional ( frac {1} {3} ) y luego aplica las propiedades del logaritmo.
( begin {alineado} log sqrt [3] {10 xy ^ {2}} & = log left (10 xy ^ {2} right) ^ {1/3} \ & = frac {1} {3} log left (10 xy ^ {2} right) \ & = frac {1} {3} left ( log 10+ log x + log y ^ { 2} right) \ & = frac {1} {3} (1+ log x + 2 log y) \ & = frac {1} {3} + frac {1} {3} log x + frac {2} {3} log y end {alineado} )
Respuesta
[ frac {1} {3} + frac {1} {3} log x + frac {2} {3} log y nonumber ]
No existe una regla que nos permita expandir el logaritmo de una suma o diferencia. En otras palabras,
( log (x pm y) neq log x pm log y )
Ejemplo ( PageIndex {10} ):
Dado que ( log _ {2} x = a, log _ {2} y = b ), y que ( log _ {2} z = c ), escriba lo siguiente en términos de (a ), (b ) y (c ):
( log _ {2} left (8 x ^ {2} y right) )
( log _ {2} left ( frac {2 x ^ {4}} { sqrt {z}} right) )
Solución
Comience expandiendo usando sumas y coeficientes y luego reemplace (a ) y (b ) con el logaritmo apropiado. [ begin {alineado} log _ {2} left (8 x ^ {2} y right) & = log _ {2} 8+ log _ {2} x ^ {2} + log _ {2} y \ & = log _ {2} 8 + 2 log _ {2} x + log _ {2} y \ & = 3 + 2 a + b end {alineado} ] [ 19459011]
Expande y luego reemplaza (a, b ) y (c ) donde sea apropiado. [ begin {alineado} log _ {2} left ( frac {2 x ^ {4}} { sqrt {z}} right) & = log _ {2} left (2 x ^ {4} right) – log _ {2} z ^ {1/2} \ & = log _ {2} 2+ log _ {2} x ^ {4} – log _ {2} z ^ {1/2} \ & = log _ {2} 2 + 4 log _ {2} x- frac {1} {2} log _ {2} z \ & = 1 + 4 a- frac {1} {2} b end {alineado} ]
A continuación condensaremos las expresiones logarítmicas. Como veremos, es importante poder combinar una expresión que involucre logaritmos en un solo logaritmo con coeficiente (1 ). Este será uno de los primeros pasos al resolver ecuaciones logarítmicas.
Ejemplo ( PageIndex {11} ):
Escriba como un logaritmo único con coeficiente (1 ): (3 log _ {3} x- log _ {3} y + 2 log _ {3} 5 ).
Solución
Comienza reescribiendo todos los términos logarítmicos con coeficiente 1. Usa la regla de potencia para hacer esto. Luego use las reglas del producto y el cociente para simplificar aún más.
( begin {alineado} 3 log _ {3} x- log _ {3} y + 2 log _ {3} 5 & = left { log _ {3} x ^ { 3} – log _ {3} y right } + log _ {3} 5 ^ {2} quad color {Cerulean} {quotient : property} \ & = left { log _ {3} left ( frac {x ^ {3}} {y} right) + log _ {3} 25 right } quad quad : color {Cerulean} {product : property} \ & = log _ {3} left ( frac {x ^ {3}} {y} cdot 25 right) \ & = log _ {3} left ( frac {25 x ^ {3}} {y} right) end {alineado} )
Respuesta
[ log _ {3} left ( frac {25 x ^ {3}} {y} right) nonumber ]
Ejemplo ( PageIndex {12} ):
Escribe como un logaritmo único con coeficiente (1 ): ( frac {1} {2} ln x-3 ln y- ln z ).
Solución
Comienza escribiendo los coeficientes de los logaritmos como potencias de su argumento, después de lo cual aplicaremos la regla del cociente dos veces trabajando de izquierda a derecha.
( begin {alineado} frac {1} {2} ln x-3 ln y- ln z & = ln x ^ {1/2} – ln y ^ {3} – ln z \ & = ln left ( frac {x ^ {1/2}} {y ^ {3}} right) – ln z \ & = ln left ( frac {x ^ {1/2}} {y ^ {3}} div z right) \ & = ln left ( frac {x ^ {1/2}} {y ^ {3}} cdot frac {1} {z} right) \ & = ln left ( frac {x ^ {1/2}} {y ^ {3} z} right) quad text {o} quad = ln left ( frac { sqrt {x}} {y ^ {3} z} right) end {alineado} )
Dada cualquier base (b> 0 ) y (b ≠ 1 ), podemos decir que (log_ {b} 1 = 0 ), (log_ {b} b = 1 ), (log_ {1 / b} b = −1 ) y eso (log_ {b} ( frac {1} {b}) = −1 ).
Las propiedades inversas del logaritmo son (log_ {b} b ^ {x} = x ) y (b ^ {log_ {b} x} = x ) donde (x> 0 ).
La propiedad del producto del logaritmo nos permite escribir un producto como una suma: ( log _ {b} (x y) = log _ {b} x + log _ {b} y ).
La propiedad del cociente del logaritmo nos permite escribir un cociente como una diferencia: ( log _ {b} left ( frac {x} {y} right) = log _ {b} x- log _ {b} y ).
La propiedad de potencia del logaritmo nos permite escribir exponentes como coeficientes: ( log _ {b} x ^ {n} = n log _ {b} x ).
Dado que el logaritmo natural es una base – (e ) logaritmo, ( ln x = log _ {e} x ), todas las propiedades del logaritmo se aplican a él.
Podemos usar las propiedades del logaritmo para expandir expresiones logarítmicas usando sumas, diferencias y coeficientes. Una expresión logarítmica se expande completamente cuando las propiedades del logaritmo ya no se pueden aplicar.
Podemos usar las propiedades del logaritmo para combinar expresiones que involucren logaritmos en un solo logaritmo con coeficiente (1 ). Esta es una habilidad esencial para aprender en este capítulo.
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Evaluar:
( log _ {7} 1 )
( log _ {1/2} 2 )
( log 10 ^ {14} )
( log 10 ^ {- 23} )
( log _ {3} 3 ^ {10} )
( log _ {6} 6 )
( ln e ^ {7} )
( ln left ( frac {1} {e} right) )
( log _ {1/2} left ( frac {1} {2} right) )
( log _ {1/5} 5 )
( log _ {3/4} left ( frac {4} {3} right) )
( log _ {2/3} 1 )
(2 ^ { log _ {2} 100} )
(3 ^ { log _ {3} 1} )
(10 ^ { log 18} )
(e ^ { ln 23} )
(e ^ { ln x ^ {2}} )
(e ^ { ln e ^ {x}} )
Respuesta
1. (0 )
3. (14 )
5. (10 )
7. (7 )
9. (1 )
11. (- 1 )
13. (100 )
15. (18 )
17. (x ^ {2} )
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Encuentra (a ):
( ln a = 1 )
( log a = -1 )
( log _ {9} a = -1 )
( log _ {12} a = 1 )
( log _ {2} a = 5 )
( log a = 13 )
(2 ^ {a} = 7 )
(e ^ {a} = 23 )
( log _ {a} 4 ^ {5} = 5 )
( log _ {a} 10 = 1 )
Respuesta
1. (e )
3. ( frac {1} {9} )
5. (2 ^ {5} = 32 )
7. ( log _ {2} 7 )
9. (4 )
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Expandir completamente.
( log _ {4} (x y) )
( log (6 x) )
( log _ {3} left (9 x ^ {2} right) )
( log _ {2} left (32 x ^ {7} right) )
( ln left (3 y ^ {2} right) )
( log left (100 x ^ {2} right) )
( log _ {2} left ( frac {x} {y ^ {2}} right) )
( log _ {5} left ( frac {25} {x} right) )
( log left (10 x ^ {2} y ^ {3} right) )
( log _ {2} left (2 x ^ {4} y ^ {5} right) )
( log _ {3} left ( frac {x ^ {3}} {y z ^ {2}} right) )
( log left ( frac {x} {y ^ {3} z ^ {2}} right) )
( log _ {5} left ( frac {1} {x ^ {2} y z} right) )
( log _ {4} left ( frac {1} {16 x ^ {2} z ^ {3}} right) )