7.4: Propiedades del logaritmo

7.4: Propiedades del logaritmo

Logaritmos y sus propiedades inversas

 

Recordemos la definición de la base – (b ) logaritmo: dado (b> 0 ) donde (b ≠ 1 ),

 

(y = log _ {b} x ) si y solo si (x = b ^ {y} )

 

Use esta definición para convertir logaritmos a forma exponencial. Al hacer esto, podemos derivar algunas propiedades:

 

( begin {alineado} log _ {b} 1 = 0 & text {porque} b ^ {0} = 1 \ log _ {b} b = 1 & text {porque} b ^ {1} = b \ log _ {b} left ( frac {1} {b} right) = – 1 & text {porque} b ^ {- 1} = frac {1} { b} end {alineado} )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Evaluar:

 
         
  1. ( log 1 )
  2.      
  3. ( ln e )
  4.      
  5. ( log _ {5} left ( frac {1} {5} right) )
  6.  
 

Solución

 
         
  1. Cuando la base no está escrita, se supone que es (10 ​​). Este es el logaritmo común, [ log 1 = log _ {10} 1 = 0 nonumber ]
  2.      
  3. El logaritmo natural, por definición, tiene base (e ), [ ln e = log _ {e} e = 1 nonumber ]
  4.      
  5. Debido a que (5 ^ {- 1} = frac {1} {5} ) tenemos, [ log _ {5} left ( frac {1} {5} right) = – 1 nonumber ]
  6.  
 
 

Además, considere las bases fraccionarias de la forma (1 / b ) donde (b> 1 ).

 

( log _ {1 / b} b = -1 quad ) porque ( left ( frac {1} {b} right) ^ {- 1} = frac {1 ^ { -1}} {b ^ {- 1}} = frac {b} {1} = b )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Evaluar:

 
         
  1. ( log _ {1/4} 4 )
  2.      
  3. ( log _ {2/3} left ( frac {3} {2} right) )
  4.  
 

Solución

 
         
  1. ( log _ {1/4} 4 = -1 quad ) porque ( quad left ( frac {1} {4} right) ^ {- 1} = 4 ) [ 19459011]      
  2. ( log _ {2/3} left ( frac {3} {2} right) = – 1 ) porque ( left ( frac {2} {3} right) ^ {-1} = frac {3} {2} )
  3.  
 
 

Dada una función exponencial definida por (f (x) = b ^ {x} ), donde (b> 0 ) y (b ≠ 1 ), su inversa es la base – (b ) logaritmo, (f ^ {−1} (x) = log_ {b} x ). Y porque (f left (f ^ {- 1} (x) right) = x ) y (f ^ {- 1} (f (x)) = x ), tenemos lo siguiente [19459013 ] propiedades inversas del logaritmo 11 :

 

(f ^ {- 1} (f (x)) = log _ {b} b ^ {x} = x ) y
(f left (f ^ {- 1} ( x) right) = b ^ { log _ {b} x} = x, x> 0 )

 

Dado que (f ^ {- 1} (x) = log _ {b} x ) tiene un dominio que consta de valores positivos ((0, infty) ), la propiedad (b ^ { log _ {b} x} = x ) está restringido a valores donde (x> 0 ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Evaluar

 
         
  1. ( log _ {5} 625 )
  2.      
  3. (5 ^ { log _ {5} 3} )
  4.      
  5. (e ^ { ln 5} )
  6.  
 

Solución

 

Aplica las propiedades inversas del logaritmo.

 
         
  1. ( log _ {5} 625 = log _ {5} 5 ^ {4} = 4 )
  2.      
  3. (5 ^ { log _ {5} 3} = 3 )
  4.      
  5. (e ^ { ln 5} = 5 )
  6.  
 
 

En resumen, cuando (b> 0 ) y (b ≠ 1 ), tenemos las siguientes propiedades:

                                                                                                                                                                     
Tabla 7.4.1
( log _ {b} 1 = 0 ) ( log _ {b} b = 1 )
( log _ {1 / b} b = -1 ) ( log _ {b} left ( frac {1} {b} right) = – 1 )
( log _ {b} b ^ {x} = x ) (b ^ { log _ {b} x} = x, x> 0 )
 

Producto, cociente y propiedades de potencia de los logaritmos

 

En esta sección, se desarrollan tres propiedades muy importantes del logaritmo. Estas propiedades nos permitirán ampliar nuestra capacidad para resolver muchas más ecuaciones. Comenzamos asignando (u ) y (v ) a los siguientes logaritmos y luego los escribimos en forma exponencial:

 

( begin {alineado} log _ {b} x = u color {Cerulean} { Longrightarrow} color {black} {b} ^ {u} = x \ log _ {b} y = v color {Cerulean} { Longrightarrow} color {black} {b} ^ {v} = y end {alineado} )

 

Sustituye (x = b ^ {u} ) y (y = b ^ {v} ) en el logaritmo de un producto (log_ {b} (xy) ) y el logaritmo de un cociente ( log _ {b} left ( frac {x} {y} right) ). Luego simplifica usando las reglas de exponentes y las propiedades inversas del logaritmo.

                                                                                                                                 
Tabla 7.4.2
Logaritmo de un producto Logaritmo de un cociente
( begin {alineado} log _ {b} (xy) & = log _ {b} left (b ^ {u} b ^ {v} right) \ & = log _ {b} b ^ {u + v} \ & = u + v \ & = log _ {b} x + log _ {b} y end {alineado} ) ( begin {alineado} log _ {b} left ( frac {x} {y} right) & = log _ {b} left ( frac {b ^ {u}} {b ^ {v}} right) \ & = log _ {b} b ^ {uv} \ & = uv \ & = log _ {b} x- log _ {b} y final {alineado} )
 

Esto nos da dos propiedades esenciales: la propiedad del producto de logaritmos 12 ,

 

( log _ {b} (x y) = log _ {b} x + log _ {b} y )

 

y la propiedad del cociente de los logaritmos 13 ,

 

( log _ {b} left ( frac {x} {y} right) = log _ {b} x- log _ {b} y )

 

En palabras, el logaritmo de un producto es igual a la suma del logaritmo de los factores. Del mismo modo, el logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del logaritmo del numerador y el logaritmo del denominador.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Escribe como una suma ( log _ {2} (8 x) ).

 

Solución

 

Aplica la propiedad del producto de los logaritmos y luego simplifica.

 

( begin {alineado} log _ {2} (8 x) & = log _ {2} 8+ log _ {2} x \ [4pt] & = log _ {2} 2 ^ {3} + log _ {2} x \ [4pt] & = 3 + log _ {2} x end {alineado} )

 

Respuesta

 

[3+ log _ {2} x nonumber ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Escribe como una diferencia ( log left ( frac {x} {10} right) ).

 

Solución

 

Aplica la propiedad del cociente de los logaritmos y luego simplifica.

 

( begin {alineado} log left ( frac {x} {10} right) & = log x- log 10 \ & = log x-1 end {alineado} )

 

Respuesta

 

[ log x-1 nonumber ]

 
 

Luego comenzamos con (log_ {b} x = u ) y lo reescribimos en forma exponencial. Después de elevar ambos lados a la potencia (n ), convertir de nuevo a forma logarítmica y luego sustituir de nuevo.

 

( begin {alineado} log _ {b} x & = u color {Cerulean} { Longrightarrow} color {black} {b} ^ {u} = x \ & left (b ^ {u} right) ^ {n} = (x) ^ {n} \ log_ {b} x ^ {n} & = nu color {Cerulean} { Longleftarrow} color {black} {b} ^ {nu} = x ^ {n} \ log_ {b} x ^ {n} & = n log_ {b} x end {alineado} )

 

Esto nos lleva a la propiedad de poder de logaritmos 14 ,

 

( log _ {b} x ^ {n} = n log _ {b} x )

 

En palabras, el logaritmo de una cantidad elevada a una potencia es igual a esa potencia multiplicada por el logaritmo de la cantidad.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Escribir como producto:

 
         
  1. ( log _ {2} x ^ {4} )
  2.      
  3. ( log _ {5} ( sqrt {x}) )
  4.  
 

Solución

 
         
  1. Aplica la propiedad de potencia de los logaritmos. [ Log _ {2} x ^ {4} = 4 log _ {2} x ]
  2.      
  3. Recuerde que una raíz cuadrada puede expresarse usando exponentes racionales, ( sqrt {x} = x ^ {1/2} ). Realice este reemplazo y luego aplique la propiedad de potencia de los logaritmos. ( begin {alineado} log _ {5} ( sqrt {x}) & = log _ {5} x ^ {1/2} \ & = frac {1} {2} log _ {5} x end {alineado} )
  4.  
 
 

En resumen,

                                                                                                                                                                     
Tabla 7.4.3
Propiedad del producto de logaritmos ( log _ {b} (x y) = log _ {b} x + log _ {b} y )
Propiedad del cociente de logaritmos ( log _ {b} left ( frac {x} {y} right) = log _ {b} x- log _ {b} y )
Propiedad energética de logaritmos ( log _ {b} x ^ {n} = n log _ {b} x )
 

Podemos usar estas propiedades para expandir logaritmos que involucran productos, cocientes y potencias usando sumas, diferencias y coeficientes. Una expresión logarítmica se expande completamente cuando las propiedades del logaritmo ya no se pueden aplicar.

 
 

Precaución

 

Es importante señalar lo siguiente:

 

[ log (x y) neq log x cdot log y ]

 

y

 

[ log left ( frac {x} {y} right) neq frac { log x} { log y} ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Expande completamente: ( ln left (2 x ^ {3} right) ).

 

Solución

 

Recuerde que el logaritmo natural es una base de logaritmo (e ), ( ln x = log _ {e} x ). Por lo tanto, se aplican todas las propiedades del logaritmo.

 

( begin {alineado} ln left (2 x ^ {3} right) & = ln 2+ ln x ^ {3} quad color {Cerulean} {Product : rule : for : logarithms} \ & = ln 2 + 3 ln x quad color {Cerulean} {Power : rule : for : logarithms} end {alineado} )

 

Respuesta

 

[ ln 2 + 3 ln x nonumber ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Expande completamente: ( log sqrt [3] {10 x y ^ {2}} ).

 

Solución

 

Comienza reescribiendo la raíz cúbica usando el exponente racional ( frac {1} {3} ) y luego aplica las propiedades del logaritmo.

 

( begin {alineado} log sqrt [3] {10 xy ^ {2}} & = log left (10 xy ^ {2} right) ^ {1/3} \ & = frac {1} {3} log left (10 xy ^ {2} right) \ & = frac {1} {3} left ( log 10+ log x + log y ^ { 2} right) \ & = frac {1} {3} (1+ log x + 2 log y) \ & = frac {1} {3} + frac {1} {3} log x + frac {2} {3} log y end {alineado} )

 

Respuesta

 

[ frac {1} {3} + frac {1} {3} log x + frac {2} {3} log y nonumber ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Expande completamente: ( log _ {2} left ( frac {(x + 1) ^ {2}} {5 y} right) ).

 

Solución

 

Al aplicar la propiedad del producto al denominador, tenga cuidado de distribuir el negativo obtenido al aplicar la propiedad del cociente.

 

( begin {alineado} log _ {2} left ( frac {(x + 1) ^ {2}} {5 y} right) & = log _ {2} (x + 1) ^ {2} – log _ {2} (5 y) \ & = log _ {2} (x + 1) ^ {2} – left ( log _ {2} 5+ log _ {2} y right) quad color {Cerulean} {Distribuir.} \ & = log _ {2} (x + 1) ^ {2} – log _ {2} 5- log _ {2} y \ & = 2 log _ {2} (x + 1) – log _ {2} 5- log _ {2} y end {alineado} )

 

Respuesta

 

[2 log _ {2} (x + 1) – log _ {2} 5- log _ {2} y nonumber ]

 
 
 

Precaución

 

No existe una regla que nos permita expandir el logaritmo de una suma o diferencia. En otras palabras,

 

( log (x pm y) neq log x pm log y )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

 

Dado que ( log _ {2} x = a, log _ {2} y = b ), y que ( log _ {2} z = c ), escriba lo siguiente en términos de (a ), (b ) y (c ):

 
         
  1. ( log _ {2} left (8 x ^ {2} y right) )
  2.      
  3. ( log _ {2} left ( frac {2 x ^ {4}} { sqrt {z}} right) )
  4.  
 

Solución

 
         
  1. Comience expandiendo usando sumas y coeficientes y luego reemplace (a ) y (b ) con el logaritmo apropiado. [ begin {alineado} log _ {2} left (8 x ^ {2} y right) & = log _ {2} 8+ log _ {2} x ^ {2} + log _ {2} y \ & = log _ {2} 8 + 2 log _ {2} x + log _ {2} y \ & = 3 + 2 a + b end {alineado} ] [ 19459011]      
  2. Expande y luego reemplaza (a, b ) y (c ) donde sea apropiado. [ begin {alineado} log _ {2} left ( frac {2 x ^ {4}} { sqrt {z}} right) & = log _ {2} left (2 x ^ {4} right) – log _ {2} z ^ {1/2} \ & = log _ {2} 2+ log _ {2} x ^ {4} – log _ {2} z ^ {1/2} \ & = log _ {2} 2 + 4 log _ {2} x- frac {1} {2} log _ {2} z \ & = 1 + 4 a- frac {1} {2} b end {alineado} ]
  3.  
 
 

A continuación condensaremos las expresiones logarítmicas. Como veremos, es importante poder combinar una expresión que involucre logaritmos en un solo logaritmo con coeficiente (1 ). Este será uno de los primeros pasos al resolver ecuaciones logarítmicas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

 

Escriba como un logaritmo único con coeficiente (1 ): (3 log _ {3} x- log _ {3} y + 2 log _ {3} 5 ).

 

Solución

 

Comienza reescribiendo todos los términos logarítmicos con coeficiente 1. Usa la regla de potencia para hacer esto. Luego use las reglas del producto y el cociente para simplificar aún más.

 

( begin {alineado} 3 log _ {3} x- log _ {3} y + 2 log _ {3} 5 & = left { log _ {3} x ^ { 3} – log _ {3} y right } + log _ {3} 5 ^ {2} quad color {Cerulean} {quotient : property} \ & = left { log _ {3} left ( frac {x ^ {3}} {y} right) + log _ {3} 25 right } quad quad : color {Cerulean} {product : property} \ & = log _ {3} left ( frac {x ^ {3}} {y} cdot 25 right) \ & = log _ {3} left ( frac {25 x ^ {3}} {y} right) end {alineado} )

 

Respuesta

 

[ log _ {3} left ( frac {25 x ^ {3}} {y} right) nonumber ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

 

Escribe como un logaritmo único con coeficiente (1 ): ( frac {1} {2} ln x-3 ln y- ln z ).

 

Solución

 

Comienza escribiendo los coeficientes de los logaritmos como potencias de su argumento, después de lo cual aplicaremos la regla del cociente dos veces trabajando de izquierda a derecha.

 

( begin {alineado} frac {1} {2} ln x-3 ln y- ln z & = ln x ^ {1/2} – ln y ^ {3} – ln z \ & = ln left ( frac {x ^ {1/2}} {y ^ {3}} right) – ln z \ & = ln left ( frac {x ^ {1/2}} {y ^ {3}} div z right) \ & = ln left ( frac {x ^ {1/2}} {y ^ {3}} cdot frac {1} {z} right) \ & = ln left ( frac {x ^ {1/2}} {y ^ {3} z} right) quad text {o} quad = ln left ( frac { sqrt {x}} {y ^ {3} z} right) end {alineado} )

 

Respuesta

 

[ ln left ( frac { sqrt {x}} {y ^ {3} z} right) nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Escribe como un logaritmo único con coeficiente (1 ): (3 log (x + y) -6 log z + 2 log 5 )

 
     
Respuesta
     
     

( log left ( frac {25 (x + y) ^ {3}} {z ^ {6}} right) )

     

     
 
 
 

Puntos clave

 
         
  • Dada cualquier base (b> 0 ) y (b ≠ 1 ), podemos decir que (log_ {b} 1 = 0 ), (log_ {b} b = 1 ), (log_ {1 / b} b = −1 ) y eso (log_ {b} ( frac {1} {b}) = −1 ).
  •      
  • Las propiedades inversas del logaritmo son (log_ {b} b ^ {x} = x ) y (b ^ {log_ {b} x} = x ) donde (x> 0 ).
  •      
  • La propiedad del producto del logaritmo nos permite escribir un producto como una suma: ( log _ {b} (x y) = log _ {b} x + log _ {b} y ).
  •      
  • La propiedad del cociente del logaritmo nos permite escribir un cociente como una diferencia: ( log _ {b} left ( frac {x} {y} right) = log _ {b} x- log _ {b} y ).
  •      
  • La propiedad de potencia del logaritmo nos permite escribir exponentes como coeficientes: ( log _ {b} x ^ {n} = n log _ {b} x ).
  •      
  • Dado que el logaritmo natural es una base – (e ) logaritmo, ( ln x = log _ {e} x ), todas las propiedades del logaritmo se aplican a él.
  •      
  • Podemos usar las propiedades del logaritmo para expandir expresiones logarítmicas usando sumas, diferencias y coeficientes. Una expresión logarítmica se expande completamente cuando las propiedades del logaritmo ya no se pueden aplicar.
  •      
  • Podemos usar las propiedades del logaritmo para combinar expresiones que involucren logaritmos en un solo logaritmo con coeficiente (1 ). Esta es una habilidad esencial para aprender en este capítulo.
  •  
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Evaluar:

 
         
  1. ( log _ {7} 1 )
  2.      
  3. ( log _ {1/2} 2 )
  4.      
  5. ( log 10 ^ {14} )
  6.      
  7. ( log 10 ^ {- 23} )
  8.      
  9. ( log _ {3} 3 ^ {10} )
  10.      
  11. ( log _ {6} 6 )
  12.      
  13. ( ln e ^ {7} )
  14.      
  15. ( ln left ( frac {1} {e} right) )
  16.      
  17. ( log _ {1/2} left ( frac {1} {2} right) )
  18.      
  19. ( log _ {1/5} 5 )
  20.      
  21. ( log _ {3/4} left ( frac {4} {3} right) )
  22.      
  23. ( log _ {2/3} 1 )
  24.      
  25. (2 ^ { log _ {2} 100} )
  26.      
  27. (3 ^ { log _ {3} 1} )
  28.      
  29. (10 ​​^ { log 18} )
  30.      
  31. (e ^ { ln 23} )
  32.      
  33. (e ^ { ln x ^ {2}} )
  34.      
  35. (e ^ { ln e ^ {x}} )
  36.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (0 )

     

3. (14 )

     

5. (10 ​​)

     

7. (7 )

     

9. (1 )

     

11. (- 1 )

     

13. (100 )

     

15. (18 )

     

17. (x ^ {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Encuentra (a ):

 
         
  1. ( ln a = 1 )
  2.      
  3. ( log a = -1 )
  4.      
  5. ( log _ {9} a = -1 )
  6.      
  7. ( log _ {12} a = 1 )
  8.      
  9. ( log _ {2} a = 5 )
  10.      
  11. ( log a = 13 )
  12.      
  13. (2 ^ {a} = 7 )
  14.      
  15. (e ^ {a} = 23 )
  16.      
  17. ( log _ {a} 4 ^ {5} = 5 )
  18.      
  19. ( log _ {a} 10 = 1 )
  20.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (e )

     

3. ( frac {1} {9} )

     

5. (2 ^ {5} = 32 )

     

7. ( log _ {2} 7 )

     

9. (4 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Expandir completamente.

 
         
  1. ( log _ {4} (x y) )
  2.      
  3. ( log (6 x) )
  4.      
  5. ( log _ {3} left (9 x ^ {2} right) )
  6.      
  7. ( log _ {2} left (32 x ^ {7} right) )
  8.      
  9. ( ln left (3 y ^ {2} right) )
  10.      
  11. ( log left (100 x ^ {2} right) )
  12.      
  13. ( log _ {2} left ( frac {x} {y ^ {2}} right) )
  14.      
  15. ( log _ {5} left ( frac {25} {x} right) )
  16.      
  17. ( log left (10 x ^ {2} y ^ {3} right) )
  18.      
  19. ( log _ {2} left (2 x ^ {4} y ^ {5} right) )
  20.      
  21. ( log _ {3} left ( frac {x ^ {3}} {y z ^ {2}} right) )
  22.      
  23. ( log left ( frac {x} {y ^ {3} z ^ {2}} right) )
  24.      
  25. ( log _ {5} left ( frac {1} {x ^ {2} y z} right) )
  26.      
  27. ( log _ {4} left ( frac {1} {16 x ^ {2} z ^ {3}} right) )
  28.      
  29. ( log _ {6} left [36 (x + y) ^ {4} right] )
  30.      
  31. ( ln left [e ^ {4} (x-y) ^ {3} right] )
  32.      
  33. ( log _ {7} (2 sqrt {x y}) )
  34.      
  35. ( ln (2 x sqrt {y}) )
  36.      
  37. ( log _ {3} left ( frac {x ^ {2} sqrt [3] {y}} {z} right) )
  38.      
  39. ( log left ( frac {2 (x + y) ^ {3}} {z ^ {2}} right) )
  40.      
  41. ( log left ( frac {100 x ^ {3}} {(y + 10) ^ {3}} right) )
  42.      
  43. ( log _ {7} left ( frac {x} { sqrt [5] {(y + z) ^ {3}}} right) )
  44.      
  45. ( log _ {5} left ( frac {x ^ {3}} { sqrt [3] {y z ^ {2}}} right) )
  46.      
  47. ( log left ( frac {x ^ {2}} { sqrt [5] {y ^ {3} z ^ {2}}} right) )
  48.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( log _ {4} x + log _ {4} y )

     

3. (2 + 2 log _ {3} x )

     

5. ( ln 3 + 2 ln y )

     

7. ( log _ {2} x-2 log _ {2} y )

     

9. (1 + 2 log x + 3 log y )

     

11. (3 log _ {3} x- log _ {3} y-2 log _ {3} z )

     

13. (- 2 log _ {5} x- log _ {5} y- log _ {5} z )

     

15. (2 + 4 log _ {6} (x + y) )

     

17. ( log _ {7} 2+ frac {1} {2} log _ {7} x + frac {1} {2} log _ {7} y ​​)

     

19. (2 log _ {3} x + frac {1} {3} log _ {3} y- log _ {3} z )

     

21. (2 + 3 log x-3 log (y + 10) )

     

23. (3 log _ {5} x- frac {1} {3} log _ {5} y- frac {2} {3} log _ {5} z ) [ 19459005]      

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Dado ( log _ {3} x = a, log _ {3} y = b ), y ( log _ {3} z = c ), escriba los siguientes logaritmos en términos de (a, b ), yy (c ).

 
         
  1. ( log _ {3} left (27 x ^ {2} y ^ {3} z right) )
  2.      
  3. ( log _ {3} left (x y ^ {3} sqrt {z} right) )
  4.      
  5. ( log _ {3} left ( frac {9 x ^ {2} y} {z ^ {3}} right) )
  6.      
  7. ( log _ {3} left ( frac { sqrt [3] {x}} {y z ^ {2}} right) )
  8.  
 
     
 
     
Respuesta
     
     

1. (3 + 2 a + 3 b + c )

     

3. (2 + 2 a + b-3 c )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Dado ( log _ {b} 2 = 0.43, log _ {b} 3 = 0.68 ) y ( log _ {b} 7 = 1.21 ), calcule lo siguiente. (Sugerencia: expanda usando sumas, diferencias y cocientes de los factores (2, 3 ) y (7 ).)

 
         
  1. ( log _ {b} 42 )
  2.      
  3. ( log _ {b} (36) )
  4.      
  5. ( log _ {b} left ( frac {28} {9} right) )
  6.      
  7. ( log _ {b} sqrt {21} )
  8.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (2.32 )

     

3. (0.71 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Expande usando las propiedades del logaritmo y luego aproxima usando una calculadora a la décima más cercana.

 
         
  1. ( log left (3.10 times 10 ^ {25} right) )
  2.      
  3. ( log left (1.40 times 10 ^ {- 33} right) )
  4.      
  5. ( ln left (6.2 e ^ {- 15} right) )
  6.      
  7. ( ln left (1.4 e ^ {22} right) )
  8.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( log (3.1) +25 aprox 25.5 )

     

3. ( ln (6.2) -15 aprox-13.2 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Escribe como un logaritmo único con coeficiente (1 ).

 
         
  1. ( log x + log y )
  2.      
  3. ( log _ {3} x- log _ {3} y )
  4.      
  5. ( log _ {2} 5 + 2 log _ {2} x + log _ {2} y )
  6.      
  7. ( log _ {3} 4 + 3 log _ {3} x + frac {1} {2} log _ {3} y )
  8.      
  9. (3 log _ {2} x-2 log _ {2} y + frac {1} {2} log _ {2} z )
  10.      
  11. (4 log x- log y- log 2 )
  12.      
  13. ( log 5 + 3 log (x + y) )
  14.      
  15. (4 log _ {5} (x + 5) + log _ {5} y )
  16.      
  17. ( ln x-6 ln y + ln z )
  18.      
  19. ( log _ {3} x-2 log _ {3} y + 5 log _ {3} z )
  20.      
  21. (7 log x- log y-2 log z )
  22.      
  23. (2 ln x-3 ln y- ln z )
  24.      
  25. ( frac {2} {3} log _ {3} x- frac {1} {2} left ( log _ {3} y + log _ {3} z right) )
  26.      
  27. ( frac {1} {5} left ( log _ {7} x + 2 log _ {7} y ​​ right) -2 log _ {7} (z + 1) )
  28.      
  29. (1+ log _ {2} x- frac {1} {2} log _ {2} y )
  30.      
  31. (2-3 log _ {3} x + frac {1} {3} log _ {3} y )
  32.      
  33. ( frac {1} {3} log _ {2} x + frac {2} {3} log _ {2} y )
  34.      
  35. (- 2 log _ {5} x + frac {3} {5} log _ {5} y )
  36.      
  37. (- ln 2 + 2 ln (x + y) – ln z )
  38.      
  39. (- 3 ln (x-y) – ln z + ln 5 )
  40.      
  41. ( frac {1} {3} ( ln x + 2 ln y) – (3 ln 2+ ln z) )
  42.      
  43. (4 log 2+ frac {2} {3} log x-4 log (y + z) )
  44.      
  45. ( log _ {2} 3-2 log _ {2} x + frac {1} {2} log _ {2} y-4 log _ {2} z )
  46.      
  47. (2 log _ {5} 4- log _ {5} x-3 log _ {5} y + frac {2} {3} log _ {5} z )
  48.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( log (x y) )

     

3. ( log _ {2} left (5 x ^ {2} y right) )

     

5. ( log _ {2} left ( frac {x ^ {3} sqrt {z}} {y ^ {2}} right) )

     

7. ( log left [5 (x + y) ^ {3} right] )

     

9. ( ln left ( frac {x z} {y ^ {6}} right) )

     

11. ( log left ( frac {x ^ {7}} {y z ^ {2}} right) )

     

13. ( log _ {3} left ( frac { sqrt [3] {x ^ {2}}} { sqrt {y z}} right) )

     

15. ( log _ {2} left ( frac {2 x} { sqrt {y}} right) )

     

17. ( log _ {2} left ( sqrt [3] {x y ^ {2}} right) )

     

19. ( ln left ( frac {(x + y) ^ {2}} {2 z} right) )

     

21. ( ln left ( frac { sqrt [3] {x y ^ {2}}} {8 z} right) )

     

23. ( log _ {2} left ( frac {3 sqrt {y}} {x ^ {2} z ^ {4}} right) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Expresar como un solo logaritmo y simplificar.

 
         
  1. ( log (x + 1) + log (x-1) )
  2.      
  3. ( log _ {2} (x + 2) + log _ {2} (x + 1) )
  4.      
  5. ( ln left (x ^ {2} +2 x + 1 right) – ln (x + 1) )
  6.      
  7. ( ln left (x ^ {2} -9 right) – ln (x + 3) )
  8.      
  9. ( log _ {5} left (x ^ {3} -8 right) – log _ {5} (x-2) )
  10.      
  11. ( log _ {3} left (x ^ {3} +1 right) – log _ {3} (x + 1) )
  12.      
  13. ( log x + log (x + 5) – log left (x ^ {2} -25 right) )
  14.      
  15. ( log (2 x + 1) + log (x-3) – log left (2 x ^ {2} -5 x-3 right) )
  16.  
 
     
Respuesta
     
     

1. ( log left (x ^ {2} -1 right) )

     

3. ( ln (x + 1) )

     

5. ( log _ {5} left (x ^ {2} +2 x + 4 right) )

     

7. ( log left ( frac {x} {x-5} right) )

     
 
 
 
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