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las matematicas

7.4: Resolviendo Ecuaciones Racionales

                 

En Sección 3 del Capítulo 2 , mostramos que la forma más eficiente de resolver una ecuación que contiene fracciones era primero limpiar las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador. Por ejemplo, dada la ecuación

 

[ dfrac {1} {2} x + dfrac {1} {3} = dfrac {1} {4} nonumber ]

 

primero borraríamos las fracciones multiplicando ambos lados por (12 ).

 

[ begin {align *} 12 left [ dfrac {1} {2} x + dfrac {1} {3} right] & = left [ dfrac {1} { 4} right] 12 \ 6x + 4 & = 3 end {align *} nonumber ]

 

Este procedimiento funciona igualmente bien cuando los denominadores contienen una variable.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Resolver para (x ): (1- dfrac {2} {x} = dfrac {3} {x ^ 2} )

 

Solución

 

El denominador común es (x ^ 2 ). Comenzamos limpiando fracciones, multiplicando ambos lados de la ecuación por (x ^ 2 ).

 

[ begin {align *} 1- dfrac {2} {x} & = dfrac {3} {x ^ 2} quad color {Red} text {Ecuación original.} \ { color {Red} x ^ 2} left [1- dfrac {2} {x} right] & = left [ dfrac {3} {x ^ 2} right] { color {Red} x ^ 2} quad color {Red} text {Multiplica ambos lados por} x ^ 2. end {align *} nonumber ]

 

Ahora usamos la propiedad distributiva.

 

[{ color {Red} x ^ 2} [1] – { color {Red} x ^ 2} left [ dfrac {2} {x} right] = left [ dfrac { 3} {x ^ 2} right] { color {Red} x ^ 2} quad color {Red} text {Distribuir} x ^ 2. nonumber ]

 

Ahora cancelamos factores comunes y simplificamos.

 

[x ^ 2 – 2x = 3 quad color {Rojo} text {Cancelar. Simplificar. } nonumber ]

 

La ecuación resultante es no lineal ( (x ) se eleva a una potencia mayor que (1 )). Pon un lado a cero, luego factoriza.

 

[ begin {align *} x ^ 2-2x-3 & = 0 quad color {Red} text {No lineal. Ponga un lado a cero.} \ (x-3) (x + 1) & = 0 quad color {Rojo} text {Factor.} End {align *} nonumber ]

 

Use la propiedad del producto cero para completar la solución. O el primer factor es cero o el segundo factor es cero.

 

[ begin {align *} x-3 & = 0 \ x & = 3 end {align *} nonumber ]

 

o

 

[ begin {align *} x + 1 & = 0 \ x & = -1 end {align *} nonumber ]

 

Por lo tanto, las soluciones son (x = −1 ) y (x = 3 ).

 

Verificación. Sustituya (- 1 ) por (x ), luego (3 ) por (x ) en la ecuación original y simplifique.

 

[ begin {align *} 1- dfrac {2} {x} & = dfrac {3} {x ^ 2} \ 1- dfrac {2} {({ color {Red} -1}) ^ 2} & = dfrac {3} {({ color {Red} -1}) ^ 2} \ 1 + 2 & = 3 \ 3 & = 3 end {align *} no número ]

 

y

 

[ begin {align *} 1- dfrac {2} {x} & = dfrac {3} {x ^ 2} \ 1- dfrac {2} {({ color {Red} 3})} & = dfrac {3} {({ color {Red} 3}) ^ 2} \ 1- dfrac {2} {3} & = dfrac {3} {9} \ dfrac {1} {3} & = dfrac {1} {3} end {align *} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que ambos dan como resultado afirmaciones verdaderas, que muestran que tanto (x = −1 ) como (x = 3 ) verifican la ecuación original.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Resolver para (x ): (1- dfrac {6} {x} = – dfrac {8} {x ^ 2} )

 
     
Respuesta
     
     

(2,4 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Resolver para (x ): (6- dfrac {22} {x ^ 2} = dfrac {29} {x} )

 

Solución

 

El denominador común es (x ^ 2 ).

 

[ begin {align *} 6- dfrac {22} {x ^ 2} & = dfrac {29} {x} quad color {Red} text {Ecuación original.} \ { color {Red} x ^ 2} left [6- dfrac {22} {x ^ 2} right] & = left [ dfrac {29} {x} right] { color {Red} x ^ 2} quad color {Red} text {Multiplica ambos lados por} x ^ 2 \ { color {Red} x ^ 2} [6] – { color {Red} x ^ 2} left [ dfrac {22} {x ^ 2} right] & = left [ dfrac {29} {x} right] { color {Red} x ^ 2} quad color {Red} text {Distribuir } x ^ 2 \ 6x ^ 2-22 & = 29x quad color {Rojo} text {Cancelar y simplificar.} end {align *} nonumber ]

 

Esta última ecuación es no lineal. Pon un lado a cero.

 

[6x ^ 2 −29x − 22 = 0 nonumber ]

 

El par entero (4 ) y (- 33 ) tiene el producto (ac = −132 ) y la suma (b = −29 ). Divide el término medio en una suma usando este par, luego factoriza agrupando.

 

[ begin {align *} 6x ^ 2 + 4x-33x-22 & = 0 \ 2x (3x + 2) -11 (3x + 2) & = 0 \ (2x – 11) (3x + 2) & = 0 end {align *} nonumber ]

 

Finalmente, use la propiedad del producto cero para escribir:

 

[ begin {align *} 2x – 11 & = 0 \ 2x & = 11 \ x & = dfrac {11} {2} end {align *} nonumber ]

 

o

 

[ begin {align *} 3x + 2 & = 0 \ 3x & = -2 \ x & = – dfrac {2} {3} end {align *} ]

 

Verifique: Verifiquemos estas soluciones con nuestras calculadoras. Ingrese (11/2 ), presione el botón STO►, presione el botón ( mathrm {X, T, theta, n} ) y la tecla ENTER (vea la pantalla de la calculadora en la izquierda en la Figura ( PageIndex {1} )). Luego, ingrese el lado izquierdo de la ecuación como (6-22 / X ^ 2 ) y presione ENTER . Ingrese el lado derecho de la ecuación como (29 / X ) y presione ENTER . Los resultados son los mismos (vea la pantalla de la calculadora a la izquierda en la Figura ( PageIndex {1} )). Esto verifica que (11/2 ) es una solución de (6−22 / x ^ 2 = 29 / x ).

 

La pantalla de la calculadora a la derecha en la Figura ( PageIndex {1} ) muestra una verificación similar de la solución (x = −2/3 ).

 
fig 7.4.1.png
Figura ( PageIndex {1} ): Verificando las soluciones de (6- dfrac {22} {x ^ 2} = dfrac {29} {x} ) [ 19459024]
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Resolver para (x ): ( dfrac {7} {x ^ 2} +8 = – dfrac {30} {x} )

 
     
Respuesta
     
     

(- 1/4, −7/2 )

     
 
 
 

Resolviendo ecuaciones racionales con la calculadora gráfica

 

Usemos la calculadora gráfica para resolver una ecuación que contenga expresiones racionales.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Considera la siguiente ecuación: [2- dfrac {9} {x} = dfrac {5} {x ^ 2} nonumber ] Resuelve la ecuación algebraicamente, luego resuelve la ecuación gráficamente usando tu calculadora gráfica. Compara tus soluciones.

 

Solución

 

Solución algebraica: Primero, un enfoque algebraico. Multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador común (x ^ 2 ).

 

[ begin {align *} 2- dfrac {9} {x} & = dfrac {5} {x ^ 2} quad color {Red} text {Ecuación original.} \ { color {Red} x ^ 2} left [2- dfrac {9} {x} right] & = left [ dfrac {5} {x ^ 2} right] { color {Red} x ^ 2} quad color {Red} text {Multiplica ambos lados por} x ^ 2 \ { color {Red} x ^ 2} [2] – { color {Red} x ^ 2} left [ dfrac {9} {x} right] & = left [ dfrac {5} {x ^ 2} right] { color {Red} x ^ 2} quad color {Red} text {Distribuir } x ^ 2 \ 2x ^ 2-9x & = 5 quad color {Rojo} text {Cancelar y simplificar.} end {align *} nonumber ]

 

La última ecuación es no lineal. Pon un lado a cero.

 

[2x ^ 2 −9x − 5 = 0 quad color {Rojo} text {Poner un lado a cero.} Nonumber ]

 

El par entero (- 10 ) y (1 ) tienen un producto igual a (ac = −10 ) y una suma igual a (b = −9 ). Divide el término medio usando este par, luego factoriza agrupando.

 

[ begin {align *} 2x ^ 2-10x + x-5 & = 0 quad color {Red} -10x + x = -9x \ 2x (x-5) + 1 (x- 5) & = 0 quad color {Rojo} text {Factorizar agrupando.} \ (2x + 1) (x-5) & = 0 quad color {Rojo} text {Factor out} x- 5 end {align *} nonumber ]

 

Ahora use la propiedad del producto cero para escribir:

 

[ begin {align *} 2x + 1 & = 0 \ 2x & = -1 \ x & = – dfrac {1} {2} end {align *} nonumber ] [19459004 ]  

o

 

[ begin {align *} x-5 & = 0 \ x & = 5 end {align *} nonumber ]

 

Por lo tanto, las soluciones son (x = −1/2 ) y (x = 5 ).

 

Solución gráfica: Podríamos cargar cada lado de la ecuación por separado, luego usar la utilidad de intersección para encontrar dónde se intersecan las gráficas. Sin embargo, en este caso, es un poco más fácil hacer que un lado de la ecuación sea cero, dibujar un solo gráfico y luego observar dónde cruza el gráfico el eje (x ).

 

[ begin {align *} 2- dfrac {9} {x} & = dfrac {5} {x ^ 2} quad color {Red} text {Ecuación original.} \ 2 – dfrac {9} {x} – dfrac {5} {x ^ 2} & = 0 quad color {Rojo} text {Haga que un lado sea cero.} nonumber end {align *} nonumber ]

 

Cargue el lado izquierdo de la ecuación en ( mathrm {Y1} ) como ( mathrm {2-9 / X-5 / X} land 2 ) (vea la imagen de la izquierda en la Figura ( PageIndex {2} )), luego seleccione 6: ZStandard del menú ZOOM para producir la imagen a la derecha en la Figura ( PageIndex {2} ).

 
fig 7.4.2.png
Figura ( PageIndex {2} ): Dibuje el gráfico de (y = 2- dfrac {9} {x} – dfrac {5} {x ^ 2} )
 

A continuación, las soluciones de

 

[2- dfrac {9} {x} – dfrac {5} {x ^ 2} = 0 nonumber ]

 

se encuentran observando dónde la gráfica de (y = 2- dfrac {9} {x} – dfrac {5} {x ^ 2} ) cruza el eje (x ). Seleccione 2: cero en el menú CALC . Use las teclas de flecha para mover el cursor a la izquierda de la primera intersección (x ), luego presione ENTER para establecer el “Límite izquierdo”. Luego, mueva el cursor a la derecha de la primera intersección (x ), luego presione ENTRAR para establecer el “Límite derecho”. Finalmente, deje el cursor donde está y presione ENTER para configurar su “Guess”. La calculadora responde con el resultado que se muestra en la figura de la izquierda en la Figura ( PageIndex {3} ).

 

Repita el procedimiento de búsqueda de cero para capturar las coordenadas de la segunda intersección (x ) (vea la imagen de la derecha en la Figura ( PageIndex {3} )).

 
fig 7.4.3.png
Figura ( PageIndex {3} ): Ubicación de los ceros de (y = 2- dfrac {9} {x} – dfrac {5} {x ^ 2} )
 

Informar la solución en su tarea: Duplique la imagen en la ventana de visualización de su calculadora en su página de tarea. Use una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada cualquier curva.

 
         
  • Etiquete los ejes horizontal y vertical con (x ) e (y ), respectivamente (consulte la Figura ( PageIndex {4} )).
  •      
  • Coloque los parámetros de su VENTANA al final de cada eje (consulte la Figura ( PageIndex {4} )).
  •      
  • Rotula el gráfico con su ecuación (ver Figura ( PageIndex {4} )).
  •      
  • Suelta líneas verticales discontinuas a través de cada (x ) – intercepción. Sombree y etiquete los valores (x ) de los puntos donde la línea vertical punteada cruza el eje (x ). Estas son las soluciones de la ecuación (2− 9 / x− 5 / x ^ 2 = 0 ) (ver Figura ( PageIndex {4} )).
  •  
 
fig 7.4.4.png
Figura ( PageIndex {4} ): Informar su solución gráfica en su tarea.
 

Por lo tanto, la calculadora informa que las soluciones de (2−9 / x −5 / x ^ 2 = 0 ) son (x = −0.5 ) y (x = 5 ), que coinciden las soluciones algebraicas (x = −1/2 ) y (x = 5 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resuelve la ecuación (2+ dfrac {5} {x} = dfrac {12} {x ^ 2} ) tanto algebraicamente como gráficamente, luego compara tus soluciones.

 
     
Respuesta
     
     

(- 4, 3/2 )

     

Ex 7.4.3.png

     
 
 
 

Aplicaciones numéricas

 

Apliquemos lo que hemos aprendido a una aplicación.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

La suma de un número y su recíproco es (41/20 ). Encuentra el número.

 

Solución

 

En la solución, abordamos cada paso de los Requisitos para soluciones de problemas de Word .

 
         
  1. Configure un diccionario variable: Deje que (x ) represente el número desconocido.
  2.      
  3. Establezca una ecuación: Si el número desconocido es (x ), entonces su recíproco es (1 / x ). Por lo tanto, la “suma de un número y su recíproco es (41/20 )” se convierte en: [x + dfrac {1} {x} = dfrac {41} {20} nonumber ]
  4.      
  5. Resuelve la ecuación: Despeja las fracciones multiplicando ambos lados por (20x ), el mínimo común denominador. [ Begin {align *} x + dfrac {1} {x} & = dfrac {41} {20} quad color {Red} text {Ecuación del modelo.} \ { color {Red} 20x} left [x + dfrac {1} {x} right] & = left [ dfrac {41} {20} right] { color {Red} 20x} quad color {Red} text {Multiplica ambos lados por} 20x \ { color {Red} 20x} [x ] + { color {Red} 20x} left [ dfrac {1} {x} right] & = left [ dfrac {41} {20} right] { color {Red} 20x} quad color {Rojo} text {Distribuir} 20x. \ 20x ^ 2 + 20 & = 41x quad color {Rojo} text {Cancelar y simplificar.} end {align *} nonumber ] La ecuación es no lineal Haga que un lado sea cero. [20x ^ 2 −41x + 20 = 0 quad color {Rojo} text {Haga que un lado sea cero.} Nonumber ] El par entero (- 16 ) y (- 25 ) tiene el producto (ac = 400 ) y sum (b = −41 ). Divide el término medio en la última ecuación en una suma de términos similares usando este par, luego factoriza agrupando. [ Begin {align *} 20x ^ 2 – 16x-25x + 20 & = 0 quad color {Rojo { } -16x-25x = -41x \ 4x (5x-4) -5 (5x-4) & = 0 quad color {Rojo} text {Factorizar por agrupación.} \ (4x-5) (5x -4) & = 0 quad color {Rojo} text {Factor out} 5x-4. \ end {align *} nonumber ] Ahora podemos usar la propiedad del producto cero para escribir: [ begin {align *} 4x-5 & = 0 \ 4x & = 5 \ x & = dfrac {5} {4} end {align *} nonumber ] o [ begin {align *} 5x- 4 & = 0 \ 5x & = 4 \ x & = dfrac {4} {5} end {align *} nonumber ]
  6.      
  7. Responda la pregunta: Hay dos números posibles, (5/4 ) y (4/5 ).
  8.      
  9. Mira hacia atrás: Se supone que la suma del número desconocido y su recíproco es igual a (41/20 ). La respuesta (5/4 ) tiene recíproco (4/5 ). Su suma es: [ begin {align *} dfrac {5} {4} + dfrac {4} {5} & = dfrac {16} {20} + dfrac {25} {20} \ & = dfrac {41} {20} end {align *} nonumber ] Por lo tanto, (5/4 ) es una solución válida. La segunda respuesta (4/5 ) tiene recíproco (5/4 ), por lo que está claro que su suma también es (41/20 ). Por lo tanto, (4/5 ) también es una solución válida.
  10.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

La suma de un número y su recíproco es (53/14 ). Encuentra el número.

 
     
Respuesta
     
     

(2/7, 7/2 )

     
 
 
 
                                  
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