7.4: Simplificar expresiones racionales complejas

7.4: Simplificar expresiones racionales complejas

Simplifique una expresión racional compleja escribiéndola como división

 

Las fracciones complejas son fracciones en las que el numerador o denominador contiene una fracción. Anteriormente simplificamos fracciones complejas como estas:

 

[ dfrac { dfrac {3} {4}} { dfrac {5} {8}} quad quad quad dfrac { dfrac {x} {2}} { dfrac {xy } {6}} nonumber ]

 

En esta sección, simplificaremos expresiones racionales complejas, que son expresiones racionales con expresiones racionales en el numerador o denominador.

 
 

Expresión racional compleja

 
 

Una expresión racional compleja es una expresión racional en la que el numerador y / o el denominador contienen una expresión racional.

 
 
 
 

Aquí hay algunas expresiones racionales complejas:

 
 

[ dfrac { dfrac {4} {y-3}} { dfrac {8} {y ^ {2} -9}} quad quad dfrac { dfrac {1} {x} + dfrac {1} {y}} { dfrac {x} {y} – dfrac {y} {x}} quad quad dfrac { dfrac {2} {x + 6}} { dfrac {4} {x-6} – dfrac {4} {x ^ {2} -36}} nonumber ]

 

Recuerde, siempre excluimos valores que harían cualquier denominador cero.

 

Utilizaremos dos métodos para simplificar expresiones racionales complejas.

 

Ya hemos visto esta compleja expresión racional anteriormente en este capítulo.

 

[ dfrac { dfrac {6 x ^ {2} -7 x + 2} {4 x-8}} { dfrac {2 x ^ {2} -8 x + 3} {x ^ { 2} -5 x + 6}} nonumber ]

 

Notamos que las barras de fracción nos dicen que dividimos, así que lo reescribimos como el problema de división:

 

[ left ( dfrac {6 x ^ {2} -7 x + 2} {4 x-8} right) div left ( dfrac {2 x ^ {2} -8 x + 3} {x ^ {2} -5 x + 6} right) nonumber ]

 

Luego, multiplicamos la primera expresión racional por el recíproco de la segunda, tal como lo hacemos cuando dividimos dos fracciones.

 

Este es un método para simplificar expresiones racionales complejas. Nos aseguramos de que la expresión racional compleja sea de la forma en que una fracción está sobre una fracción. Luego lo escribimos como si estuviéramos dividiendo dos fracciones.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac { dfrac {6} {x-4}} { dfrac {3} {x ^ {2} -16}} nonumber ]

 

Solución

 

Reescribe la fracción compleja como división. [ dfrac {6} {x-4} div dfrac {3} {x ^ {2} -16} nonumber ]

 

Reescribe como el producto de las primeras veces el recíproco del segundo. Escribe como el producto de las primeras veces el recíproco del segundo. Escribe como el producto de las primeras veces el recíproco del segundo.

 

[ dfrac {6} {x-4} cdot dfrac {x ^ {2} -16} {3} nonumber ]

 

Factor.

 

[ dfrac {3 cdot 2} {x-4} cdot dfrac {(x-4) (x + 4)} {3} nonumber ]

 

Multiplica.

 

[ dfrac {3 cdot 2 (x-4) (x + 4)} {3 (x-4)} nonumber ]

 

Eliminar los factores comunes.

 

[ dfrac { cancel {3} cdot 2 cancel {(x-4)} (x + 4)} { cancel {3} cancel {(x-4)}} nonumber ]

 

Simplificar.

 

[2 (x + 4) nonumber ]

 

¿Hay algún valor de (x ) que no debería permitirse? La expresión racional compleja original tenía denominadores de (x-4 ) y (x ^ 2-16 ) . Esta expresión no estaría definida si (x = 4 ) o (x = -4 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac { dfrac {2} {x ^ {2} -1}} { dfrac {3} {x + 1}} nonumber ]

 
     
Respuesta:
     
     

( dfrac {2} {3 (x-1)} )

     
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac { dfrac {1} {x ^ {2} -7 x + 12}} { dfrac {2} {x-4}} no número ]

 
     
Respuesta:
     
     

( dfrac {1} {2 (x-3)} )

     
 
 
 
 
 
 
 

Las barras de fracciones actúan como símbolos de agrupación. Entonces, para seguir el Orden de Operaciones, simplificamos el numerador y el denominador tanto como sea posible antes de que podamos hacer la división.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac { dfrac {1} {3} + dfrac {1} {6}} { dfrac {1} {2} – dfrac { 1} {3}} nonumber ]

 

Solución

 

Simplifica el numerador y el denominador. Encuentra la pantalla LCD y agrega las fracciones en el numerador. Encuentra la pantalla LCD y resta las fracciones en el denominador.

 

[ dfrac { dfrac {1 cdot { color {red} 2}} {3 cdot { color {red} 2}} + dfrac {1} {6}} { dfrac { 1 cdot { color {red} 3}} {2 cdot { color {red} 3}} – dfrac {1 cdot { color {red} 2}} {3 cdot { color {red { } 2}}} nonumber ]

 

Simplifica el numerador y el denominador.

 

[ dfrac { dfrac {2} {6} + dfrac {1} {6}} { dfrac {3} {6} – dfrac {2} {6}} nonumber ] [ 19459005]  

Reescribe la expresión racional compleja como un problema de división.

 

[ dfrac {3} {6} div dfrac {1} {6} nonumber ]

 

Multiplica el primero por el recíproco del segundo.

 

[ dfrac {3} {6} cdot dfrac {6} {1} nonumber ]

 

Simplificar.

 

[3 nonumber ]

 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac { dfrac {1} {2} + dfrac {2} {3}} { dfrac {5} {6} + dfrac { 1} {12}} nonumber ]

 
     
Respuesta:
     
     

( dfrac {14} {11} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac { dfrac {3} {4} – dfrac {1} {3}} { dfrac {1} {8} + dfrac { 5} {6}} nonumber ]

 
     
Respuesta:
     
     

( dfrac {10} {23} )

     
 
 
 
 
 
 
 

Seguimos el mismo procedimiento cuando la expresión racional compleja contiene variables.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Cómo simplificar una expresión racional compleja usando la división

 

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac { dfrac {1} {x} + dfrac {1} {y}} { dfrac {x} {y} – dfrac { y} {x}} nonumber ]

 

Solución

 

Paso 1 . Simplifica el numerador.

 

Simplificaremos la suma y el denominador. El numerador y la diferencia en el denominador.

 

[ dfrac { dfrac {1} {x} + dfrac {1} {y}} { dfrac {x} {y} – dfrac {y} {x}} nonumber ] [ 19459005]  

Encuentra un denominador común y suma las fracciones en el numerador.

 

[ dfrac { dfrac {1 cdot { color {red} y}} {x cdot { color {red} y}} + dfrac {1 cdot { color {red} x }} {y cdot { color {red} x}}} { dfrac {x cdot { color {red} x}} {y cdot { color {red} x}} – dfrac {y cdot { color {red} y}} {x cdot { color {red} y}}} nonumber ]

 

[ dfrac { dfrac {y} {xy} + dfrac {x} {xy}} { dfrac {x ^ {2}} {xy} – dfrac {y ^ {2}} { xy}} nonumber ]

 

Encuentra un denominador común y resta las fracciones en el denominador.

 

[ dfrac { dfrac {y + x} {x y}} { dfrac {x ^ {2} -y ^ {2}} {x y}} nonumber ]

 

Ahora tenemos solo una expresión racional en el numerador y una en el denominador.

 

Paso 2 . Reescribe la expresión racional compleja como un problema de división.

 

Escribimos el numerador dividido por el denominador.

 

[ left ( dfrac {y + x} {xy} right) div left ( dfrac {x ^ {2} -y ^ {2}} {xy} right) nonumber ]

 

Paso 3 . Divide las expresiones.

 

Multiplica el primero por el recíproco del segundo.

 

[ left ( dfrac {y + x} {xy} right) cdot left ( dfrac {xy} {x ^ {2} -y ^ {2}} right) nonumber ]

 

Factoriza cualquier expresión si es posible.

 

[ dfrac {x y (y + x)} {x y (x-y) (x + y)} nonumber ]

 

Eliminar los factores comunes.

 

[ dfrac { cancel {x y} cancel {(y + x)}} { cancel {x y} (x-y) cancel {(x + y)}} nonumber ]

 

Simplificar.

 

[ dfrac {1} {x-y} nonumber ]

 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac { dfrac {1} {x} + dfrac {1} {y}} { dfrac {1} {x} – dfrac { 1} {y}} nonumber ]

 
     
Respuesta:
     
     

( dfrac {y + x} {y-x} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac { dfrac {1} {a} + dfrac {1} {b}} { dfrac {1} {a ^ {2}} – dfrac {1} {b ^ {2}}} nonumber ]

 
     
Respuesta:
     
     

( dfrac {a b} {b-a} )

     
 
 
 
 
 
 

Resumimos los pasos aquí.

 
 

cómo simplificar una expresión racional compleja escribiéndola como división.

 
         
  1. Simplifica el numerador y el denominador.
  2.      
  3. Reescribe la expresión racional compleja como un problema de división.
  4.      
  5. Divide las expresiones.
  6.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac {n- dfrac {4 n} {n + 5}} { dfrac {1} {n + 5} + dfrac {1} {n-5}} nonumber ]

 

Solución

 

Simplifica el numerador y el denominador. Encuentra denominadores comunes para el numerador y el denominador.

 

[ dfrac { dfrac {n { color {rojo} (n + 5)}} {1 { color {rojo} (n + 5)}} – dfrac {4 n} {n + 5}} { dfrac {1 { color {rojo} (n-5)}} {(n + 5) { color {rojo} (n-5)}} + dfrac {1 { color {rojo } (n + 5)}} {(n-5) { color {rojo} (n + 5)}}} nonumber ]

 

Simplifica los numeradores.

 

[ dfrac { dfrac {n ^ {2} +5 n} {n + 5} – dfrac {4 n} {n + 5}} { dfrac {n-5} {(n + 5) (n-5)} + dfrac {n + 5} {(n-5) (n + 5)}} nonumber ]

 

Resta las expresiones racionales en el numerador y suma el denominador.

 

[ dfrac { dfrac {n ^ {2} +5 n-4 n} {n + 5}} { dfrac {n-5 + n + 5} {(n + 5) (n- 5)}} nonumber ]

 

Simplificar. (Ahora tenemos una expresión racional sobre una expresión racional).

 

[ dfrac { dfrac {n ^ {2} + n} {n + 5}} { dfrac {2n} {(n + 5) (n-5)}} nonumber ] [19459005 ]  

Reescribe como división fraccional.

 

[ dfrac {n ^ {2} + n} {n + 5} div dfrac {2 n} {(n + 5) (n-5)} nonumber ]

 

Multiplica las primeras veces el recíproco de la segunda.

 

[ dfrac {n ^ {2} + n} {n + 5} cdot dfrac {(n + 5) (n-5)} {2 n} nonumber ]

 

Factoriza cualquier expresión si es posible.

 

[ dfrac {n (n + 1) (n + 5) (n-5)} {(n + 5) 2 n} nonumber ]

 

Eliminar los factores comunes.

 

[ dfrac { cancel {n} (n + 1) cancel {(n + 5)} (n-5)} { cancel {(n + 5)} 2 cancel {n}} nonumber ]

 

Simplificar.

 

[ dfrac {(n + 1) (n-5)} {2} nonumber ]

 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac {b- dfrac {3 b} {b + 5}} { dfrac {2} {b + 5} + dfrac {1} {b-5}} nonumber ]

 
     
Respuesta:
     
     

( dfrac {b (b + 2) (b-5)} {3 b-5} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Simplifique la expresión racional compleja escribiéndola como división: [ dfrac {1- dfrac {3} {c + 4}} { dfrac {1} {c + 4} + dfrac {c} { 3}} nonumber ]

 
     
Respuesta:
     
     

( dfrac {3} {c + 3} )

     
 
 
 
 
 
 
 

Simplifique una expresión racional compleja utilizando la pantalla LCD

 
 
 
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