7.4: Sistemas de ecuaciones no lineales y desigualdades: dos variables

7.4: Sistemas de ecuaciones no lineales y desigualdades: dos variables

 

Objetivos de aprendizaje

 
         
  • Resuelve un sistema de ecuaciones no lineales usando la sustitución.
  •      
  • Resuelve un sistema de ecuaciones no lineales usando la eliminación.
  •      
  • Representa gráficamente una desigualdad no lineal.
  •      
  • Grafica un sistema de desigualdades no lineales.
  •  
 
 

El cometa Halley (Figura ( PageIndex {1} )) orbita alrededor del sol una vez cada (75 ) años. Su camino puede considerarse una elipse muy alargada. Otros cometas siguen caminos similares en el espacio. Estos caminos orbitales pueden estudiarse utilizando sistemas de ecuaciones. Sin embargo, estos sistemas son diferentes de los que consideramos en la sección anterior porque las ecuaciones no son lineales.

 
 
Figura ( PageIndex {1} ): El cometa Halley (crédito: «NASA Blueshift» / Flickr)
 
 

En esta sección, consideraremos la intersección de una parábola y una línea, un círculo y una línea, y un círculo y una elipse. Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son similares a los de las ecuaciones lineales.

 

Resolviendo un sistema de ecuaciones no lineales usando la sustitución

 

Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de dos o más ecuaciones en dos o más variables que contienen al menos una ecuación que no es lineal. Recuerde que una ecuación lineal puede tomar la forma (Ax + By + C = 0 ). Cualquier ecuación que no se pueda escribir de esta forma en forma no lineal. El método de sustitución que usamos para sistemas lineales es el mismo método que usaremos para sistemas no lineales. Resolvemos una ecuación para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver otra variable, y así sucesivamente. Hay, sin embargo, una variación en los posibles resultados.

 

Intersección de una parábola y una línea

 

Hay tres tipos posibles de soluciones para un sistema de ecuaciones no lineales que involucran una parábola y una línea.

 
 

TIPOS POSIBLES DE SOLUCIONES PARA PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE UNA PARABOLA Y UNA LÍNEA

 

La figura ( PageIndex {2} ) ilustra posibles conjuntos de soluciones para un sistema de ecuaciones que implican una parábola y una línea.

 
         
  • Sin solución: la línea nunca se cruzará con la parábola.
  •      
  • Una solución: la línea es tangente a la parábola e interseca la parábola exactamente en un punto.
  •      
  • Dos soluciones: la línea se cruza en el interior de la parábola e interseca la parábola en dos puntos.
  •  
 
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Figura ( PageIndex {2} )
 
 
 
 
 

Cómo: dado un sistema de ecuaciones que contiene una línea y una parábola, encuentra la solución

 
         
  1. Resuelve la ecuación lineal para una de las variables.
  2.      
  3. Sustituye la expresión obtenida en el paso uno en la ecuación de la parábola.
  4.      
  5. Resuelve la variable restante.
  6.      
  7. Comprueba tus soluciones en ambas ecuaciones.
  8.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Resolver un sistema de ecuaciones no lineales que representan una parábola y una línea

 

Resuelve el sistema de ecuaciones.

 

[ begin {align *} x − y & = −1 nonumber \ y & = x ^ 2 + 1 nonumber end {align *} ]

 

Solución

 

Resuelve la primera ecuación para (x ) y luego sustituye la expresión resultante en la segunda ecuación.

 

[ begin {align *} x − y & = – 1 nonumber \ x & = y − 1 ; ; & text {Resolver para} x. nonumber \ nonumber \ y & = x ^ 2 + 1 nonumber \ y & = {(y − 1)} ^ 2 + 1 ; ; & text {Sustituye la expresión por} x. nonumber end {align *} ]

 

Expande la ecuación y ponla igual a cero.

 

[ begin {align *} y & = {(y − 1)} ^ 2 + 1 nonumber \ & = (y ^ 2−2y + 1) +1 nonumber \ & = y ^ 2−2y + 2 nonumber \ 0 & = y ^ 2−3y + 2 nonumber \ & = (y − 2) (y − 1) nonumber end {align *} ]

 

Resolver para (y ) da (y = 2 ) y (y = 1 ). Luego, sustituya cada valor por (y ) en la primera ecuación para resolver (x ). Siempre sustituya el valor en la ecuación lineal para buscar soluciones extrañas.

 

[ begin {align *} x − y & = – 1 \ x− (2) & = −1 \ x & = 1 \ x− (1) & = – 1 \ x & = 0 end {align *} ]

 

Las soluciones son ((1,2) ) y ((0,1) ), que se pueden verificar sustituyendo estos valores ((x, y) ) en ambas ecuaciones originales ( Figura ( PageIndex {3} )).

 
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Figura ( PageIndex {3} )
 
 
 
 

P y R: ¿Podríamos haber sustituido los valores de (y ) en la segunda ecuación para resolver (x ) en el último ejemplo?

 

Sí, pero como (x ) está al cuadrado en la segunda ecuación, esto podría darnos soluciones extrañas para (x ).

 

Para (y = 1 )

 

[ begin {align *} y & = x ^ 2 + 1 nonumber \ y & = x ^ 2 + 1 nonumber \ x ^ 2 & = 0 nonumber \ x & = pm sqrt {0} = 0 nonumber end {align *} ]

 

Esto nos da el mismo valor que en la solución.

 

Para (y = 2 )

 

[ begin {align *} y & = x ^ 2 + 1 nonumber \ 2 & = x ^ 2 + 1 nonumber \ x ^ 2 & = 1 nonumber \ x & = pm sqrt {1} = pm 1 nonumber end {align *} ]

 

Observe que (- 1 ) es una solución extraña.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Resuelve el sistema de ecuaciones dado por sustitución.

 

[ begin {align *} 3x − y & = −2 nonumber \ 2x ^ 2 − y & = 0 nonumber end {align *} ]

 
     
Respuesta
     
     

( left (- dfrac {1} {2}, dfrac {1} {2} right) ) y ((2,8) )

     
 
 
 

Intersección de un círculo y una línea

 

Al igual que con una parábola y una línea, existen tres resultados posibles al resolver un sistema de ecuaciones que representan un círculo y una línea.

 
 

TIPOS POSIBLES DE SOLUCIONES PARA LOS PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE UN CÍRCULO Y UNA LÍNEA

 

La Figura ( PageIndex {4} ) ilustra posibles conjuntos de soluciones para un sistema de ecuaciones que involucran un círculo y una línea.

 
         
  • Sin solución: la línea no se cruza con el círculo.
  •      
  • Una solución: la línea es tangente al círculo e interseca el círculo exactamente en un punto.
  •      
  • Dos soluciones: la línea cruza el círculo y lo interseca en dos puntos.
  •  
 
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Figura ( PageIndex {4} )
 
 
 
 
 

Cómo: dado un sistema de ecuaciones que contiene una línea y un círculo, encuentra la solución

 
         
  1. Resuelve la ecuación lineal para una de las variables.
  2.      
  3. Sustituye la expresión obtenida en el paso uno en la ecuación del círculo.
  4.      
  5. Resuelve la variable restante.
  6.      
  7. Comprueba tus soluciones en ambas ecuaciones.
  8.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Encontrar la intersección de un círculo y una línea por sustitución

 

Encuentra la intersección del círculo dado y la línea dada por sustitución.

 

[ begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 5 nonumber \ y & = 3x − 5 nonumber end {align *} ]

 

Solución

 

Una de las ecuaciones ya se ha resuelto para (y ). Sustituiremos (y = 3x − 5 ) en la ecuación del círculo.

 

[ begin {align *} x ^ 2 + {(3x − 5)} ^ 2 & = 5 nonumber \ x ^ 2 + 9x ^ 2−30x + 25 & = 5 nonumber \ 10x ^ 2−30x + 20 & = 0 end {align *} ]

 

Ahora, factorizamos y resolvemos para (x ).

 

[ begin {align *} 10 (x ^ 2−3x + 2) & = 0 nonumber \ 10 (x − 2) (x − 1) & = 0 nonumber \ x & = 2 nonumber \ x & = 1 nonumber end {align *} ]

 

Sustituye los dos valores (x ) en la ecuación lineal original para resolver (y ).

 

[ begin {align *} y & = 3 (2) −5 nonumber \ & = 1 nonumber \ y & = 3 (1) −5 nonumber \ & = −2 nonumber end {align *} ]

 

La línea intersecta el círculo en ((2,1) ) y ((1, −2) ), lo cual puede verificarse sustituyendo estos valores ((x, y) ) en ambos las ecuaciones originales (Figura ( PageIndex {5} )).

 
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Figura ( PageIndex {5} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Resuelve el sistema de ecuaciones no lineales.

 

[ begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 10 \ x − 3y & = −10 end {align *} ]

 
     
Respuesta
     
     

((- 1,3) )

     
 
 
 

Solución de un sistema de ecuaciones no lineales mediante eliminación

 

Hemos visto que la sustitución es a menudo el método preferido cuando un sistema de ecuaciones incluye una ecuación lineal y una ecuación no lineal. Sin embargo, cuando ambas ecuaciones en el sistema tienen variables similares de segundo grado, resolverlas usando la eliminación por adición a menudo es más fácil que la sustitución. En general, la eliminación es un método mucho más simple cuando el sistema involucra solo dos ecuaciones en dos variables (un sistema de dos por dos), en lugar de un sistema de tres por tres, ya que hay menos pasos. Como ejemplo, investigaremos los posibles tipos de soluciones al resolver un sistema de ecuaciones que representan un círculo y una elipse.

 
 

POSIBLES TIPOS DE SOLUCIONES PARA LOS PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE UN CÍRCULO Y UNA ELIPSE

 

La figura ( PageIndex {6} ) ilustra los posibles conjuntos de soluciones para un sistema de ecuaciones que involucran un círculo y una elipse.

 
         
  • Sin solución: el círculo y la elipse no se cruzan. Una forma está dentro de la otra o del círculo y la elipse está a una distancia de la otra.
  •      
  • Una solución: el círculo y la elipse son tangentes entre sí y se cruzan exactamente en un punto.
  •      
  • Dos soluciones: el círculo y la elipse se cruzan en dos puntos.
  •      
  • Tres soluciones: el círculo y la elipse se intersecan en tres puntos.
  •      
  • Cuatro soluciones: el círculo y la elipse se intersecan en cuatro puntos.
  •  
 
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Figura ( PageIndex {6} )
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Resolver un sistema de ecuaciones no lineales que representan un círculo y una elipse

 

Resuelve el sistema de ecuaciones no lineales.

 

[ begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 26 & (1) nonumber \ 3x ^ 2 + 25y ^ 2 & = 100 & (2) nonumber end {align * } ]

 

Solución

 

Comencemos multiplicando la ecuación (1) por (- 3 ) y agregándola a la ecuación (2).

 

[ begin {align *} (−3) (x ^ 2 + y ^ 2) = (−3) (26) & nonumber \ −3x ^ 2−3y ^ 2 = −78 & nonumber \ underline {3x ^ 2 + 25y ^ 2 = 100} & nonumber \ 22y ^ 2 = 22 & nonumber end {align *} ]

 

Después de sumar las dos ecuaciones, resolvemos (y ).

 

[ begin {align *} y ^ 2 & = 1 nonumber \ y & = pm sqrt {1} = pm 1 nonumber end {align *} ]

 

Sustituye (y = pm 1 ) en una de las ecuaciones y resuelve (x ).

 

[ begin {align *} x ^ 2 + {(1)} ^ 2 & = 26 nonumber \ x ^ 2 + 1 & = 26 nonumber \ x ^ 2 & = 25 nonumber x & = pm sqrt {25} = pm 5 nonumber \ x ^ 2 + {(- 1)} ^ 2 & = 26 nonumber \ x ^ 2 + 1 & = 26 nonumber \ x ^ 2 & = pm sqrt {25} = pm 5 nonumber end {align *} ]

 

Hay cuatro soluciones: ((5,1) ), ((- 5,1) ), ((5, −1) ) y ((- 5, −1) ). Ver Figura ( PageIndex {7} ).

 
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Figura ( PageIndex {7} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Encuentre el conjunto de soluciones para el sistema dado de ecuaciones no lineales.

 

[ begin {align *} 4x ^ 2 + y ^ 2 & = 13 nonumber \ x ^ 2 + y ^ 2 & = 10 nonumber end {align *} ]

 
     
Respuesta
     
     

({(1,3), (1, −3), (- 1,3), (- 1, −3)} )

     
 
 
 
 

Graficando una desigualdad no lineal

 

Todas las ecuaciones en los sistemas que hemos encontrado hasta ahora han involucrado igualdades, pero también podemos encontrar sistemas que involucran desigualdades. Ya hemos aprendido a graficar desigualdades lineales graficando la ecuación correspondiente y luego sombreando la región representada por el símbolo de desigualdad. Ahora, seguiremos pasos similares para graficar una desigualdad no lineal para que podamos aprender a resolver sistemas de desigualdades no lineales. Una desigualdad no lineal es una desigualdad que contiene una expresión no lineal. Graficar una desigualdad no lineal es muy similar a graficar una desigualdad lineal.

 

Recuerde que cuando la desigualdad es mayor que, (y> a ), o menor que, (y  

 
Figura ( PageIndex {8} ): (a) un ejemplo de (y> a ); (b) un ejemplo de (y≥a ); (c) un ejemplo de (y  
 
 

Cómo: dada una desigualdad limitada por una parábola, dibuja un gráfico

 
         
  1. Representa gráficamente la parábola como si fuera una ecuación. Este es el límite para la región que es el conjunto de soluciones.
  2.      
  3. Si el límite se incluye en la región (el operador es (≤ ) o (≥ )), la parábola se representa gráficamente como una línea continua.
  4.      
  5. Si el límite no está incluido en la región (el operador es (<) o (> )), la parábola se representa gráficamente como una línea discontinua.
  6.      
  7. Pruebe un punto en una de las regiones para determinar si cumple con la declaración de desigualdad. Si la afirmación es verdadera, el conjunto de soluciones es la región que incluye el punto. Si la declaración es falsa, el conjunto de soluciones es la región en el otro lado de la línea de límite.
  8.      
  9. Sombrea la región que representa el conjunto de soluciones.
  10.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Graficando una desigualdad para una parábola

 

Representa gráficamente la desigualdad (y> x ^ 2 + 1 ).

 

Solución

 

Primero, grafica la ecuación correspondiente (y = x ^ 2 + 1 ). Como (y> x ^ 2 + 1 ) tiene un símbolo mayor que, dibujamos el gráfico con una línea discontinua. Luego elegimos puntos para probar tanto dentro como fuera de la parábola. Probemos los puntos

 

((0,2) ) y ((2,0) ). Un punto está claramente dentro de la parábola y el otro punto está claramente afuera.

 

[ begin {align *} y &> x ^ 2 + 1 nonumber \ 2 &> (0) ^ 2 + 1 nonumber \ 2 &> 1 & text {True} nonumber \ nonumber \ nonumber \ 0 &> (2) ^ 2 + 1 nonumber \ 0 &> 5 & text {False} nonumber end {align *} ]

 

El gráfico se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ). Podemos ver que el conjunto de soluciones consiste en todos los puntos dentro de la parábola, pero no en el gráfico en sí.

 
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Figura ( PageIndex {9} )
 
 
 

Graficando un sistema de desigualdades no lineales

 

Ahora que hemos aprendido a graficar desigualdades no lineales, podemos aprender a graficar sistemas de desigualdades no lineales. Un sistema de desigualdades no lineales es un sistema de dos o más desigualdades en dos o más variables que contienen al menos una desigualdad que no es lineal. Graficar un sistema de desigualdades no lineales es similar a graficar un sistema de desigualdades lineales. La diferencia es que nuestro gráfico puede dar como resultado regiones más sombreadas que representan una solución que la que encontramos en un sistema de desigualdades lineales. La solución a un sistema no lineal de desigualdades es la región del gráfico donde se superponen las regiones sombreadas del gráfico de cada desigualdad, o donde se cruzan las regiones, llamada la región factible .

 
 

Cómo: dado un sistema de desigualdades no lineales, dibuje un gráfico

 
         
  1. Encuentra los puntos de intersección resolviendo el sistema correspondiente de ecuaciones no lineales.
  2.      
  3. Representa gráficamente las ecuaciones no lineales.
  4.      
  5. Encuentra las regiones sombreadas de cada desigualdad.
  6.      
  7. Identifique la región factible como la intersección de las regiones sombreadas de cada desigualdad o el conjunto de puntos comunes a cada desigualdad.
  8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Graficando un sistema de desigualdades

 

Representa gráficamente el sistema de desigualdades dado.

 

[ begin {align *} x ^ 2 − y & ≤ 0 nonumber \ 2x ^ 2 + y & ≤ 12 nonumber end {align *} ]

 

Solución

 

Estas dos ecuaciones son claramente parábolas. Podemos encontrar los puntos de intersección mediante el proceso de eliminación: Agregue ambas ecuaciones y la variable (y ) será eliminada. Luego resolvemos para (x ).

 

[ begin {align *} x ^ 2 − y = 0 & nonumber \ underline {2x ^ 2 + y = 12} & nonumber \ 3x ^ 2 = 12 & nonumber \ x ^ 2 = 4 & nonumber \ x = pm 2 & nonumber end {align *} ]

 

Sustituye los valores (x ) en una de las ecuaciones y resuelve (y ).

 

[ begin {align *} x ^ 2 − y & = 0 nonumber \ {(2)} ^ 2 − y & = 0 nonumber \ 4 − y & = 0 nonumber \ y & = 4 nonumber \ nonumber \ {(−2)} ^ 2 − y & = 0 nonumber \ 4 − y & = 0 nonumber \ y & = 4 nonumber end {align *} ]

 

Los dos puntos de intersección son ((2,4) ) y ((- 2,4) ). Tenga en cuenta que las ecuaciones se pueden reescribir de la siguiente manera.

 

[ begin {align *} x ^ 2-y & ≤ 0 nonumber \ x ^ 2 & ≤ y nonumber \ y & ≥ x ^ 2 nonumber \ nonumber \ nonumber 2x ^ 2 + y & ≤ 12 nonumber \ y & ≤ −2x ^ 2 + 12 nonumber end {align *} ]

 

Representa gráficamente cada desigualdad. Ver Figura ( PageIndex {10} ). La región factible es la región entre las dos ecuaciones delimitadas por (2x ^ 2 + y≤12 ) en la parte superior y (x ^ 2 − y≤0 ) en la parte inferior.

 
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Figura ( PageIndex {10} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Representa gráficamente el sistema de desigualdades dado.

 

[ begin {align *} y & ≥ x ^ 2−1 nonumber \ x − y & ≥ −1 nonumber end {align *} ]

 
     
Respuesta
     
     

Sombrea el área delimitada por las dos curvas, arriba de la cuadrática y debajo de la línea.

     
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Figura ( PageIndex {11} )
     
     
 
 
 
 

Medios

 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar con ecuaciones no lineales.

 
 

Conceptos clave

 
         
  • Hay tres tipos posibles de soluciones para un sistema de ecuaciones que representan una línea y una parábola: (1) sin solución, la línea no se cruza con la parábola; (2) una solución, la línea es tangente a la parábola; y (3) dos soluciones, la línea interseca la parábola en dos puntos. Ver Ejemplo ( PageIndex {1} ).
  •      
  • Hay tres tipos posibles de soluciones para un sistema de ecuaciones que representan un círculo y una línea: (1) sin solución, la línea no se cruza con el círculo; (2) una solución, la línea es tangente a la parábola; (3) dos soluciones, la línea se cruza con el círculo en dos puntos. Ver Ejemplo ( PageIndex {2} ).
  •      
  • Hay cinco tipos posibles de soluciones para el sistema de ecuaciones no lineales que representan una elipse y un círculo:
    (1) sin solución, el círculo y la elipse no se cruzan; (2) una solución, el círculo y la elipse son tangentes entre sí; (3) dos soluciones, el círculo y la elipse se cruzan en dos puntos; (4) tres soluciones, el círculo y la elipse se cruzan en tres lugares; (5) cuatro soluciones, el círculo y la elipse se cruzan en cuatro puntos. Ver Ejemplo ( PageIndex {3} ).
  •      
  • Una desigualdad se representa de la misma manera que una ecuación, excepto por> o <, dibujamos una línea discontinua y sombreamos la región que contiene el conjunto de soluciones. Ver Ejemplo ( PageIndex {4} ).
  •      
  • Las desigualdades se resuelven de la misma manera que las igualdades, pero las soluciones a los sistemas de desigualdades deben satisfacer ambas desigualdades. Ver Ejemplo ( PageIndex {5} ).
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