7.5: Estrategia general para factorizar polinomios

7.5: Estrategia general para factorizar polinomios

Reconocer y usar el método apropiado para factorizar un polinomio completamente

 

Ahora te has familiarizado con todos los métodos de factorización que necesitarás en este curso. (En su próximo curso de álgebra, se agregarán más métodos a su repertorio). La siguiente figura resume todos los métodos de factorización que hemos cubierto. La Figura ( PageIndex {1} ) describe una estrategia que debe usar al factorizar polinomios.

 
This figure presents a general strategy for factoring polynomials. First, at the top, there is GCF, which is where factoring starts. Below this, there are three options, binomial, trinomial, and more than three terms. For binomial, there are the difference of two squares, the sum of squares, the sum of cubes, and the difference of cubes. For trinomials, there are two forms, x squared plus bx plus c and ax squared 2 plus b x plus c. There are also the sum and difference of two squares formulas as well as the “a c” method. Finally, for more than three terms, the method is grouping.  
Figura ( PageIndex {1} )
 
 
 

FACTORES POLINOMIALES.

 
         
  1. ¿Existe un factor común máximo?           
  2.      
  3. ¿Es el polinomio un binomio, trinomio o hay más de tres términos?      
               
    • Si es un binomio:
      ¿Es una suma?          
                     
      • De cuadrados? Las sumas de cuadrados no tienen en cuenta.
      •              
      • ¿De cubos? Usa el patrón de la suma de cubos.
      •          
              ¿Es una diferencia?          
                     
      • De cuadrados? Factorizar como producto de conjugados.
      •              
      • ¿De cubos? Usa el patrón de diferencia de cubos.
      •          
               
    •          
    • Si es un trinomio:
      ¿Tiene la forma (x ^ {2} + b x + c? )? Deshacer FOIL.
      ¿Tiene la forma (a x ^ {2} + b x + c )?          
                     
      • Si aa y cc son cuadrados, verifique si se ajusta al patrón cuadrado trinomial.
      •              
      • Utilice el método de prueba y error o «ac».
      •          
               
    •          
    • Si tiene más de tres términos:
      Use el método de agrupación.
    •      
         
  4.      
  5. Verificación.      
               
    • ¿Se factoriza por completo?
    •          
    • ¿Los factores se multiplican de nuevo al polinomio original?
    •      
         
  6.  
 
 

Recuerda, un polinomio se factoriza completamente si, además de los monomios, sus factores son primos.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Factoriza completamente: (4 x ^ {5} +12 x ^ {4} )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {lll} text {¿Hay un GCF?} & Text {Sí,} 4 x ^ {4} y 4 x ^ {5} +12 x ^ {4} text {Factoriza el MCD.} & & 4 x ^ {4} (x + 3) \ text {Entre paréntesis, es un binomio, un} & & \ text {trinomial, o están allí más de tres términos?} & text {Binomial.} & \ quad text {¿Es una suma?} & & text {Sí.} \ quad text {De cuadrados? De cubos?} & & text {No.} \ text {Verificar.}
\ \ quad text {¿La expresión se factoriza por completo?} & & text {Sí.} \ quad text {Multiplicar .} \ begin {array} {l} {4 x ^ {4} (x + 3)} \ {4 x ^ {4} cdot x + 4 x ^ {4} cdot 3} \ {4 x ^ {5} +12 x ^ {4}} marca de verificación end {array} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Factoriza completamente: (3 a ^ {4} +18 a ^ {3} )

 
     
Respuesta
     
     

3 (a ^ {3} (a + 6) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Factoriza completamente: (45 b ^ {6} +27 b ^ {5} )

 
     
Respuesta
     
     

9 (b ^ {5} (5 b + 3) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Factoriza completamente: (12 x ^ {2} -11 x + 2 )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        
.
¿Hay un MCD? No.
¿Es un binomio, trinomio o
hay más de tres términos?
Trinomio.
¿Son a y c cuadrados perfectos? No, a = 12,
no es un cuadrado perfecto.
Utilice prueba y error o el método «ac».
Usaremos prueba y error aquí.
.
     This table has the heading of 12 x squared minus 11 x plus 2 and gives the possible factors. The first column is labeled possible factors and the second column is labeled product. Four rows have not an option in the product column. This is explained by the text, “if the trinomial has no common factors, then neither factor can contain a common factor”. The last factors, 3 x - 2 in parentheses and 4 x - 1 in parentheses, give the product of 12 x squared minus 11 x plus 2.
     
Verificación. ( begin {array} {l} {(3 x-2) (4 x-1)} \ {12 x ^ {2} -3 x-8 x + 2} \ {12 x ^ {2 } -11 x + 2} marca de verificación end {array} )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Factoriza completamente: (10 ​​a ^ {2} -17 a + 6 )

 
     
Respuesta
     
     

((5 a-6) (2 a-1) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Factoriza completamente: (8 x ^ {2} -18 x + 9 )

 
     
Respuesta
     
     

((2 x-3) (4 x-3) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Factoriza completamente: (g ^ {3} +25 g )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {lll} text {¿Hay un GCF?} & Text {Sí, g.} & G ^ {3} +25 g \ text {Factoriza el GCF.} & & g left (g ^ {2} +25 right) \ text {Entre paréntesis, ¿es un binomio, trinomio,} & & \ text {o hay más de tres términos?} & text {Binomial.} & \ quad text {¿Es una suma? De cuadrados?} & text {Sí.} & text {Las sumas de cuadrados son primos.} \ text {Verificar.} \ \ quad text {¿Se factoriza completamente la expresión?} & text {Sí.} \ quad text {Multiply.} \ qquad begin {array} {l} {g left (g ^ {2} +25 right)} \ {g ^ {3} +25 g} checkmark end {array} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Factoriza completamente: (x ^ {3} +36 x )

 
     
Respuesta
     
     

(x left (x ^ {2} +36 right) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Factoriza completamente: (27 y ^ {2} +48 )

 
     
Respuesta
     
     

3 ( left (9 y ^ {2} +16 right) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Factoriza completamente: (12 y ^ {2} -75 )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {lll} text {¿Hay un GCF?} Y text {Sí, 3.} y 12 y ^ {2} -75 \ text {Factoriza el GCF.} & & 3 left (4 y ^ {2} -25 right) \ text {Entre paréntesis, ¿es un binomio, trinomio,} & & \ text {o hay más de tres términos?} & text {Binomial.} & \ text {¿Es una suma?} & text {No.} & \ text {¿Es una diferencia? ¿De cuadrados o cubos?} & text {Sí, cuadrados. } & 3 left ((2 y) ^ {2} – (5) ^ {2} right) \ text {Escribir como producto de conjugados.} & & 3 (2 y-5) (2 y + 5) \ text {Verificar.} \ \ text {¿La expresión se factoriza por completo?} & Text {Sí.} & \ text {Ningún binomio es una diferencia de} \ text {cuadrados .} \ text {Multiplicar.} \ quad begin {array} {l} {3 (2 y-5) (2 y + 5)} \ {3 left (4 y ^ {2} -25 right)} \ {12 y ^ {2} -75} checkmark end {array} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Factoriza completamente: (16 x ^ {3} -36 x )

 
     
Respuesta
     
     

4 (x (2 x-3) (2 x + 3) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Factoriza completamente: (27 y ^ {2} -48 )

 
     
Respuesta
     
     

3 ((3 y-4) (3 y + 4) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Factoriza completamente: (4 a ^ {2} -12 a b + 9 b ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
¿Hay un MCD? No. .
¿Es un binomio, trinomio o hay
más términos?
Trinomio con (a neq 1 ). Pero el primer término es un cuadrado perfecto
.
¿Es el último término un cuadrado perfecto? Sí. .
¿Se ajusta al patrón, (a ^ {2} -2 a b + b ^ {2} )? Sí. .
Escríbelo como un cuadrado. .
Comprueba tu respuesta.
¿Se factoriza completamente la expresión?
Sí.
El binomio no es una diferencia de cuadrados.
Multiplica.
((2 a-3 b) ^ {2} )
((2 a) ^ {2} -2 cdot 2 a cdot 3 b + (3 b) ^ {2} )
(4 a ^ {2} -12 a b + 9 b ^ {2} marca de verificación )
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Factoriza completamente: (4 x ^ {2} +20 x y + 25 y ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

((2 x + 5 y) ^ {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Factoriza completamente: (9 m ^ {2} +42 m n + 49 n ^ {2} )

 
     
Respuesta
     
     

((3 m + 7 n) ^ {2} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Factoriza completamente: (6 y ^ {2} -18 y-60 )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {lll} text {¿Hay un MCD?} & Text {Sí, 6.} y 6 y ^ {2} -18 y-60 \ text {Factoriza el GCF.} & Text {Trinomial con el coeficiente principal} 1 y 6 left (y ^ {2} -3 y-10 right) \ text {Entre paréntesis, es un binomio, trinomial,} & & \ text {o hay más términos?} & & \ text {«Deshacer ‘FOIL.} & 6 (y qquad) (y qquad) & 6 (y + 2) (y-5) \ text {Verifique su respuesta.} \ text {¿La expresión está completamente factorizada?} & & Text {Sí.} \ text {Ninguno de los binomios es una diferencia de cuadrados.} \ text {Multiplicar.} \ \ qquad begin {array} {l} {6 (y + 2) (y-5)} \ {6 left (y ^ {2} -5 y + 2 y-10 right)} {6 left (y ^ {2} -3 y-10 right)} \ {6 y ^ {2} -18 y-60} checkmark end {array} end {array} ) [ 19459005]      

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Factoriza completamente: (8 y ^ {2} +16 y-24 )

 
     
Respuesta
     
     

8 ((y-1) (y + 3) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Factoriza completamente: (5 u ^ {2} -15 u-270 )

 
     
Respuesta
     
     

5 ((u-9) (u + 6) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Factoriza completamente: (24 x ^ {3} +81 )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
¿Hay un MCD? Sí, 3. (24 x ^ {3} +81 )
Factorizarlo. 3 ( left (8 x ^ {3} +27 right) )
Entre paréntesis, ¿es un binomio, trinomio,
o hay más de tres términos?
Binomial.
¿Es una suma o diferencia? Suma.
¿De cuadrados o cubos? Suma de cubos. .
Escríbelo usando el patrón de la suma de cubos. .
¿Se factoriza completamente la expresión? Sí. 3 ((2 x + 3) left (4 x ^ {2} -6 x + 9 right) )
Verificar multiplicando. Te dejamos el cheque.
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Factoriza completamente: (250 m ^ {3} +432 )

 
     
Respuesta
     
     

2 ((5 m + 6) izquierda (25 m ^ {2} -30 m + 36 derecha) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Factoriza completamente: (81 q ^ {3} +192 )

 
     
Respuesta
     
     

(3 (3q + 4) left (9q ^ {2} -12 q + 16 right) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Factoriza completamente: (2 x ^ {4} -32 )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {llc} text {¿Hay un GCF?} & Text {Sí, 2.} y 2 x ^ {4} -32 \ text {Factoriza el GCF.} & & 2 left (x ^ {4} -16 right) \ text {Entre paréntesis, ¿es un binomio, trinomio,} & & \ text {o hay más de tres términos?} & text {Binomial.} & \ text {¿Es una suma o diferencia?} & text {Sí.} & \ text {De cuadrados o cubos?} & text {Diferencia de cuadrados.} & 2 left ( left (x ^ {2} right) ^ {2} – (4) ^ {2} right) \ text {Escríbelo como un producto de conjugados.} & & 2 left (x ^ {2} -4 right) left (x ^ {2} +4 right) \ text {El primer binomio es nuevamente una diferencia de cuadrados.} & & 2 left ((x) ^ {2} – (2) ^ {2} right) left (x ^ {2} +4 right) \ text {Escríbelo como un producto de conjugados.} & & 2 (x-2) (x + 2 ) left (x ^ {2} +4 right) \ text {¿Se factoriza completamente la expresión?} & text {Sí.} & \ \ text {Ninguno de estos binomios es una diferencia de cuadrados .} \ text {Verifique su respuesta.} \ text {Multiplicar.} \ \ qquad qquad begin {array} {l} {2 (x-2) (x + 2) lef t (x ^ {2} +4 right)} \ {2 (x-2) (x + 2) left (x ^ {2} +4 right)} \ {2 (x-10) } \ {2 x ^ {4} -32} marca de verificación end {array} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Factoriza completamente: (4 a ^ {4} -64 )

 
     
Respuesta
     
     

4 ( left (a ^ {2} +4 right) (a-2) (a + 2) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Factoriza completamente: (7 y ^ {4} -7 )

 
     
Respuesta
     
     

7 ( left (y ^ {2} +1 right) (y-1) (y + 1) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Factoriza completamente: (3 x ^ {2} +6 b x-3 a x-6 a b )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {llc} text {¿Hay un GCF?} & Text {Sí, 3.} & 3 x ^ {2} +6 b x-3 a x-6 ab \ text {Factoriza el MCD.} & & 3 left (x ^ {2} +2 b xa x-2 ab right) \ text {Entre paréntesis, es un binomio, trinomio,} & text {¿Más de} 3 & \ text {o hay más términos?} & Text {terms.} & \ text {Use grouping.} & & Begin {array} {c} {3 [x ( x + 2 b) -a (x + 2 b)]} \ {3 (x + 2 b) (xa)} end {array} \ text {Verifique su respuesta.} \ \ text {¿Se factoriza completamente la expresión? Sí.} \ text {Multiplicar.} \ qquad qquad begin {array} {l} {3 (x + 2 b) (xa)} \ {3 left (x ^ {2} -a x + 2 b x-2 ab right)} \ {3 x ^ {2} -3 a x + 6 b x-6 ab} checkmark end {array} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Factoriza completamente: (6 x ^ {2} -12 x c + 6 b x-12 b c )

 
     
Respuesta
     
     

6 ((x + b) (x-2 c) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Factoriza completamente: (16 x ^ {2} +24 x y-4 x-6 y )

 
     
Respuesta
     
     

2 ((4 x-1) (x + 3 y) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} )

 

Factoriza completamente: (10 ​​x ^ {2} -34 x-24 )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {llc} text {¿Hay un GCF?} & Text {Sí, 2.} y 10 x ^ {2} -34 x-24 \ text {Factoriza el GCF.} & & 2 left (5 x ^ {2} -17 x-12 right) \ text {Entre paréntesis, es un binomio, trinomio,} & text {Trinomio con} & \ text {¿o hay más de tres términos?} & space a neq 1 & \ text {Use prueba y error o el método «ac».} & & 2 left (5 x ^ {2} -17 x-12 right) \ & & 2 (5 x + 3) (x-4) \ text {Verifique su respuesta. ¿Es la expresión factorizada} \ text {completamente? Sí.} \ \ text {Multiplicar} \ qquad begin {array} {l} {2 (5 x + 3) (x-4)} \ {2 left (5 x ^ {2} -20 x + 3 x-12 right)} \ {2 left (5 x ^ {2} -17 x-12 right)} \ {10 x ^ {2} -34 x-24} checkmark end {array } end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} )

 

Factoriza completamente: (4 p ^ {2} -16 p + 12 )

 
     
Respuesta
     
     

4 ((p-1) (p-3) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} )

 

Factoriza completamente: (6 q ^ {2} -9 q-6 )

 
     
Respuesta
     
     

3 ((q-2) (2 q + 1) )

     
 
 
 
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