7.5: Fracciones parciales

7.5: Fracciones parciales

Anteriormente en este capítulo, estudiamos sistemas de dos ecuaciones en dos variables, sistemas de tres ecuaciones en tres variables y sistemas no lineales. Aquí presentamos otra forma de utilizar los sistemas de ecuaciones: la descomposición de expresiones racionales. Las fracciones pueden ser complicadas; agregar una variable en el denominador los hace aún más. Los métodos estudiados en esta sección ayudarán a simplificar el concepto de una expresión racional.

Descomponiendo ( frac {P (x)} {Q (x)} ) donde (Q (x) ) solo tiene factores lineales no repetidos

 

Recordemos el álgebra con respecto a sumar y restar expresiones racionales. Estas operaciones dependen de encontrar un denominador común para que podamos escribir la suma o diferencia como una sola expresión racional simplificada. En esta sección, veremos la descomposición de fracción parcial , que es la anulación del procedimiento para sumar o restar expresiones racionales. En otras palabras, es un retorno de la expresión racional simplificada a las expresiones originales, llamadas fracciones parciales .

 

Por ejemplo, supongamos que agregamos las siguientes fracciones:

 

[ dfrac {2} {x − 3} + dfrac {−1} {x + 2} nonumber ]

 

Primero tendríamos que encontrar un denominador común: ((x + 2) (x − 3) ).

 

Luego, escribiríamos cada expresión con este denominador común y encontraríamos la suma de los términos.

 

[ begin {align *} dfrac {2} {x-3} left ( dfrac {x + 2} {x + 2} right) + dfrac {-1} {x + 2 } left ( dfrac {x-3} {x-3} right) & = dfrac {2x + 4-x + 3} {(x + 2) (x-3)} \ [4pt] & = dfrac {x + 7} {x ^ 2-x-6} end {align *} ]

 

La descomposición de la fracción parcial es lo contrario de este procedimiento. Comenzaríamos con la solución y la reescribiríamos (descompondría) como la suma de dos fracciones.

 

[ underbrace { dfrac {x + 7} {x ^ 2-x-6}} _ { text {suma simplificada}} = underbrace { dfrac {2} {x-3} + dfrac {-1} {x + 2}} _ { text {descomposición de fracción parcial}} nonumber ]

 

Investigaremos expresiones racionales con factores lineales y factores cuadráticos en el denominador donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Independientemente del tipo de expresión que estamos descomponiendo, lo primero y más importante es factorizar el denominador.

 

Cuando el denominador de la expresión simplificada contiene distintos factores lineales, es probable que cada una de las expresiones racionales originales, que se agregaron o restaron, tuviera uno de los factores lineales como denominador. En otras palabras, usando el ejemplo anterior, los factores de (x ^ 2 − x − 6 ) son ((x − 3) (x + 2) ), los denominadores de la expresión racional descompuesta. Entonces reescribiremos la forma simplificada como la suma de fracciones individuales y usaremos una variable para cada numerador. Luego, resolveremos para cada numerador utilizando uno de varios métodos disponibles para la descomposición de fracciones parciales.

 
 

LA DESCOMPOSICIÓN POR FRACCIÓN PARCIAL DE ( frac {P (x)} {Q (x)} ): (Q (x) ) TIENE FACTORES LINEALES NO REPETIDOS

 

La descomposición de fracción parcial de ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ) cuando (Q (x) ) tiene factores lineales no repetidos y el grado de (P (x) ) es menor que el grado de (Q (x) ) es

 

[ dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A_1} {(a_1x + b_1)} + dfrac {A_2} {(a_2x + b_2)} + dfrac {A_3 } {(a_3x + b_3)} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_n} {(a_nx + b_n)} ]

 
 
 
 

Cómo: Dada una expresión racional con distintos factores lineales en el denominador, descomponerlo

 
         
  1. Use una variable para los numeradores originales, generalmente (A ), (B ) o (C ), dependiendo del número de factores, colocando cada variable sobre un solo factor. Para el propósito de esta definición, usamos (A_n ) para cada numerador      

    ( dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A_1} {(a_1x + b_1)} + dfrac {A_2} {(a_2x + b_2)} + dfrac {A_3 } {(a_3x + b_3)} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_n} {(a_nx + b_n)} )

         
  2.      
  3. Multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar fracciones.
  4.      
  5. Expande el lado derecho de la ecuación y recoge términos similares.
  6.      
  7. Establezca coeficientes de términos similares del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho para crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores.
  8.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): descomposición de una función racional con factores lineales distintos

 

Descomponga la expresión racional dada con distintos factores lineales.

 

( dfrac {3x} {(x + 2) (x − 1)} )

 

Solución

 

Separaremos los factores del denominador y le daremos a cada numerador una etiqueta simbólica, como (A ), (B ) o (C ).

 

( dfrac {3x} {(x + 2) (x − 1)} = dfrac {A} {(x + 2)} + dfrac {B} {(x − 1)} )

 

Multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones:

 

((x + 2) (x − 1) left [ dfrac {3x} {(x + 2) (x − 1)} right] = (x + 2) (x − 1) izquierda [ dfrac {A} {(x + 2)} right] + (x + 2) (x − 1) left [ dfrac {B} {(x − 1)} right] ) [19459001 ]  

La ecuación resultante es

 

(3x = A (x − 1) + B (x + 2) )

 

Expande el lado derecho de la ecuación y recoge los términos similares.

 

[ begin {align *} 3x & = Ax-A + Bx + 2B \ [4pt] 3x & = (A + B) x-A + 2B end {align *} ]

 

Establezca un sistema de ecuaciones que asocie los coeficientes correspondientes.

 

[ begin {align *} 3 & = A + B \ [4pt] 0 & = -A + 2B end {align *} ]

 

Suma las dos ecuaciones y resuelve (B ).

 

[ begin {align *} 3 & = A + B \ [4pt] underline {0} & = underline {-A + 2B} \ [4pt] 3 & = 0 + 3B \ [4pt ] 1 & = B end {alinear *} ]

 

Sustituye (B = 1 ) en una de las ecuaciones originales del sistema.

 

[ begin {align *} 3 & = A + 1 \ [4pt] 2 & = A end {align *} ]

 

Por lo tanto, la descomposición de la fracción parcial es

 

( dfrac {3x} {(x + 2) (x − 1)} = dfrac {2} {(x + 2)} + dfrac {1} {(x − 1)} )

 

Otro método a utilizar para resolver (A ) o (B ) es considerar la ecuación que resultó de eliminar las fracciones y sustituir un valor por (x ) que hará que (A – ) o (B – ) término igual a 0. Si dejamos (x = 1 ), el

El término (A- ) se convierte en 0 y simplemente podemos resolver para (B ).  

[ begin {align *} 3x & = A (x-1) + B (x + 2) \ [4pt] 3 (1) & = A [(1) -1] + B [(1 ) +2] \ [4pt] 3 & = 0 + 3B \ [4pt] 1 & = B end {align *} ]

 

Luego, sustituya (B = 1 ) en la ecuación y resuelva (A ), o haga el término (B – ) (0 ) sustituyendo (x = −2 ) En la ecuación.

 

[ begin {align *} 3x & = A (x-1) + B (x + 2) \ [4pt] 3 (-2) & = A [(- 2) -1] + B [ (-2) +2] \ [4pt] -6 & = -3A + 0 \ [4pt] dfrac {-6} {- 3} & = A \ [4pt] 2 & = A end {align * } ]

 

Obtenemos los mismos valores para (A ) y (B ) usando cualquiera de los métodos, por lo que las descomposiciones son las mismas usando cualquier método.

 

( dfrac {3x} {(x + 2) (x − 1)} = dfrac {2} {(x + 2)} + dfrac {1} {(x − 1)} )

 

Aunque este método no se ve muy a menudo en los libros de texto, lo presentamos aquí como una alternativa que puede facilitar algunas descomposiciones de fracción parcial. Es conocido como el método Heaviside , llamado así por Charles Heaviside, pionero en el estudio de la electrónica.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Encuentre la descomposición de fracción parcial de la siguiente expresión.

 

( dfrac {x} {(x − 3) (x − 2)} )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {3} {x − 3} – dfrac {2} {x − 2} )

     
 
 
 

Descomponiendo ( frac {P (x)} {Q (x)} ) donde (Q (x) ) ha repetido factores lineales

 

Algunas fracciones que podemos encontrar son casos especiales que podemos descomponer en fracciones parciales con factores lineales repetidos. Debemos recordar que tenemos en cuenta los factores repetidos escribiendo cada factor en potencias crecientes.

 
 

LA DESCOMPOSICIÓN POR FRACCIÓN PARCIAL DE ( frac {P (x)} {Q (x)} ): (Q (x) ) HA REPETIDO FACTORES LINEALES

 

La descomposición de fracción parcial de ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ), cuando (Q (x) ) tiene un factor lineal repetido que ocurre n veces y el grado de ( P (x) ) es menor que el grado de (Q (x) ), es

 

[ dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A_1} {(a_1x + b_1)} + dfrac {A_2} {(a_2x + b_2)} + dfrac {A_3 } {(a_3x + b_3)} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_n} {(a_nx + b_n)} ]

 

Escribe los poderes del denominador en orden creciente.

 
 
 
 

Cómo descomponer una expresión racional con factores lineales repetidos

 
         
  1. Use una variable como (A ), (B ) o (C ) para los numeradores y explique las potencias crecientes de los denominadores. [ Dfrac {P (x)} {Q ( x)} = dfrac {A_1} {(a_1x + b_1)} + dfrac {A_2} {(a_2x + b_2)} + dfrac {A_3} {(a_3x + b_3)} + ⋅⋅⋅ + dfrac { A_n} {(a_nx + b_n)} ]
  2.      
  3. Multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar fracciones.
  4.      
  5. Expande el lado derecho de la ecuación y recoge términos similares.
  6.      
  7. Establezca coeficientes de términos similares del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho para crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores.
  8.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): descomposición con factores lineales repetidos

 

Descomponga la expresión racional dada con factores lineales repetidos.

 

( dfrac {−x ^ 2 + 2x + 4} {x ^ 3−4x ^ 2 + 4x} )

 

Solución

 

Los factores del denominador son (x {(x − 2)} ^ 2 ). Para permitir el factor repetido de ((x − 2) ), la descomposición incluirá tres denominadores: (x ), ((x − 2) ) y ({(x − 2)} ^ 2 ). Por lo tanto,

 

( dfrac {−x ^ 2 + 2x + 4} {x ^ 3−4x ^ 2 + 4x} = dfrac {A} {x} + dfrac {B} {(x − 2)} + dfrac {C} {{(x − 2)} ^ 2} )

 

Luego, multiplicamos ambos lados por el común denominador.

 

[ begin {align *} x {(x-2)} ^ 2 left [ dfrac {-x ^ 2 + 2x + 4x} {{(x-2)} ^ 2} right] & = left [ dfrac {A} {x} + dfrac {B} {(x-2)} + dfrac {C} {{(x-2)} ^ 2} right] x {(x -2)} ^ 2 \ [4pt] -x ^ 2 + 2x + 4 & = A {(x-2)} ^ 2 + Bx (x-2) + Cx end {align *} ]

 

En el lado derecho de la ecuación, ampliamos y recopilamos términos similares.

 

[ begin {align *} -x ^ 2 + 2x + 4 & = A (x ^ 2-4x + 4) + B (x ^ 2-2x) + Cx \ [4pt] & = Ax ^ 2-4Ax + 4A + Bx ^ 2-2Bx + Cx \ [4pt] & = (A + B) x ^ 2 + (- 4A-2B + C) x + 4A end {align *} ] [19459001 ]  

A continuación, comparamos los coeficientes de ambos lados. Esto le dará al sistema de ecuaciones en tres variables:

 

[ begin {align *} -x ^ 2 + 2x + 4 & = (A + B) x ^ 2 + (- 4A-2B + C) x + 4A \ [4pt] A + B & = -1 \ [4pt] -4A-2B + C & = 2 \ [4pt] 4A & = 4 end {align *} ]

 

Resolviendo para (A ), tenemos

 

[ begin {align *} 4A & = 4 \ [4pt] A & = 1 end {align *} ]

 

Sustituye (A = 1 ) en la ecuación ref {2.1}.

 

[ begin {align *} A + B & = -1 \ [4pt] (1) + B & = -1 \ [4pt] B & = -2 end {align *} ]

 

Luego, para resolver (C ), sustituya los valores de (A ) y (B ) en la ecuación ref {2.2}.

 

[ begin {align *} -4A-2B + C & = 2 \ [4pt] -4 (1) -2 (-2) + C & = 2 \ [4pt] -4 + 4 + C & = 2 \ [4pt] C & = 2 end {align *} ]

 

Por lo tanto,

 

( dfrac {−x ^ 2 + 2x + 4} {x ^ 3−4x ^ 2 + 4x} = dfrac {1} {x} – dfrac {2} {(x − 2)} + dfrac {2} {{(x − 2)} ^ 2} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Encuentre la descomposición de fracción parcial de la expresión con factores lineales repetidos.

 

( dfrac {6x − 11} {{(x − 1)} ^ 2} )

 
     
Respuesta
     
     

[ dfrac {6} {x − 1} – dfrac {5} {{(x − 1)} ^ 2} ]

     
 
 
 

Descomponiendo ( frac {P (x)} {Q (x)} ), donde (Q (x) ) tiene un factor cuadrático irreducible no repetido

 

Hasta ahora, hemos realizado una descomposición de fracción parcial con expresiones que han tenido factores lineales en el denominador, y hemos aplicado numeradores (A ), (B ) o (C ) que representan constantes. Ahora veremos un ejemplo donde uno de los factores en el denominador es una expresión cuadrática que no factoriza. Esto se conoce como un factor cuadrático irreducible. En casos como este, utilizamos un numerador lineal como (Ax + B ), (Bx + C ), etc.

 
 

LA DESCOMPOSICIÓN DE ( frac {P (x)} {Q (x)} ): (Q (x) ) TIENE UN FACTOR CUADRÁTICO IRREDUCIBLE NO REPETIDO

 

La descomposición de fracción parcial de ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ) de modo que (Q (x) ) tiene un factor cuadrático irreducible no repetido y el grado de (P ( x) ) es menor que el grado de (Q (x) ) se escribe como

 

[ dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A_1x + B_1} {(a_1x ^ 2 + b1_x + c_1)} + dfrac {A_2x + B_2} {(a_2x ^ 2 + b_2x + c_2)} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_nx + B_n} {(a_nx ^ 2 + b_nx + c_n)} ]

 

La descomposición puede contener expresiones más racionales si hay factores lineales. Cada factor lineal tendrá un numerador constante diferente: (A ), (B ), (C ), etc.

 
 
 

Cómo: descomponer una expresión racional donde los factores del denominador son factores cuadráticos distintos e irreducibles

 
         
  1. Utilice variables como (A ), (B ) o (C ) para los numeradores constantes sobre factores lineales y expresiones lineales como (A_1x + B_1 ), (A_2x + B_2 ), etc., para los numeradores de cada factor cuadrático en el denominador.      

    ( dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A} {ax + b} + dfrac {A_1x + B_1} {(a_1x ^ 2 + b1_x + c_1)} + dfrac {A_2x + B_2} {(a_2x ^ 2 + b_2x + c_2)} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_nx + B_n} {(a_nx ^ 2 + b_nx + c_n)} )

         
  2.      
  3. Multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar fracciones.
  4.      
  5. Expande el lado derecho de la ecuación y recoge términos similares.
  6.      
  7. Establezca coeficientes de términos similares del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho para crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores.
  8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Descomposición ( frac {P (x)} {Q (x)} ) Cuando (Q (x) ) contiene un factor cuadrático irreducible no repetido [19459001 ]  

Encuentre una descomposición de fracción parcial de la expresión dada.

 

( dfrac {8x ^ 2 + 12x − 20} {(x + 3) (x ^ 2 + x + 2)} )

 

Solución

 

Tenemos un factor lineal y un factor cuadrático irreducible en el denominador, por lo que un numerador será una constante y el otro numerador será una expresión lineal. Por lo tanto,

 

( dfrac {8x ^ 2 + 12x − 20} {(x + 3) (x ^ 2 + x + 2)} = dfrac {A} {(x + 3)} + dfrac {Bx + C} {(x ^ 2 + x + 2)} )

 

Seguimos los mismos pasos que en problemas anteriores. Primero, borra las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador común.

 

[ begin {align *} (x + 3) (x ^ 2 + x + 2) left [ dfrac {8x ^ 2 + 12x-20} {(x + 3) (x ^ 2 + x + 2)} right] & = left [ dfrac {A} {(x + 3)} + dfrac {Bx + C} {(x ^ 2 + x + 2)} right] (x + 3) (x ^ 2 + x + 2) \ [4pt] 8x ^ 2 + 12x-20 & = A (x ^ 2 + x + 2) + (Bx + C) (x + 3) end {align * } ]

 

Observe que podríamos resolver fácilmente para (A ) eligiendo un valor para xx que haga que el término (Bx + C ) sea igual a (0 ). Deje (x = −3 ) y sustitúyalo en la ecuación.

 

[ begin {align *} 8x ^ 2 + 12x-20 & = A (x ^ 2 + x + 2) + (Bx + C) (x + 3) \ [4pt] 8 {(- 3 )} ^ 2 + 12 (-3) -20 & = A ({(- 3)} ^ 2 + (- 3) +2) + (B (-3) + C) ((- 3) +3) [4pt] 16 & = 8A \ [4pt] A & = 2 end {align *} ]

 

Ahora que conocemos el valor de (A ), sustitúyalo nuevamente en la ecuación. Luego expande el lado derecho y recoge los términos similares.

 

[ begin {align *} 8x ^ 2 + 12x-20 & = 2 (x ^ 2 + x + 2) + (Bx + C) (x + 3) \ [4pt] 8x ^ 2 + 12x -20 & = 2x ^ 2 + 2x + 4 + Bx ^ 2 + 3B + Cx + 3C \ [4pt] 8x ^ 2 + 12x-20 & = (2 + B) x ^ 2 + (2 + 3B + C) x + (4 + 3C) end {align *} ]

 

Establecer los coeficientes de los términos en el lado derecho igual a los coeficientes de los términos en el lado izquierdo da el sistema de ecuaciones.

 

[ begin {align *} 2 + B & = 8 label {3.1} label {1} ​​\ [4pt] 2 + 3B + C & = 12 label {3.2} label {2} \ [4pt] 4 + 3C & = -20 label {3.3} label {3} end {align *} ]

 

Resuelva para (B ) usando la ecuación ref {3.1} y resuelva para (C ) usando la ecuación ref {3.3}.

 

[ begin {align *} 2 + B & = 8 label {1} ​​\ [4pt] B & = 6 \ [4pt] 4 + 3C & = -20 label {3} \ [4pt] 3C & = -24 \ [4pt] C & = -8 end {align *} ]

 

Por lo tanto, la descomposición de la fracción parcial de la expresión es

 

( dfrac {8x ^ 2 + 12x − 20} {(x + 3) (x ^ 2 + x + 2)} = dfrac {2} {(x + 3)} + dfrac {6x −8} {(x ^ 2 + x + 2)} )

 
 
 

Preguntas y respuestas: ¿Podríamos haber establecido un sistema de ecuaciones para resolver el ejemplo anterior?

 

Sí, podríamos haberlo resuelto estableciendo un sistema de ecuaciones sin resolver primero (A ). La expansión a la derecha sería:

 

[ begin {align *} 8x ^ 2 + 12x-20 & = Ax ^ 2 + Ax + 2A + Bx ^ 2 + 3B + Cx + 3C \ [4pt] 8x ^ 2 + 12x-20 & = ( A + B) x ^ 2 + (A + 3B + C) x + (2A + 3C) end {align *} ]

 

Entonces el sistema de ecuaciones sería:

 

[ begin {align *} A + B & = 8 \ [4pt] A + 3B + C & = 12 \ [4pt] 2A + 3C & = -20 end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Encuentre la descomposición de fracción parcial de la expresión con un factor cuadrático irreducible no repetitivo.

 

[ dfrac {5x ^ 2−6x + 7} {(x − 1) (x ^ 2 + 1)} nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {3} {x − 1} + dfrac {2x − 4} {x ^ 2 + 1} )

     
 
 
 

Descomponiendo ( frac {P (x)} {Q (x)} ) Cuando (Q (x) ) tiene un factor cuadrático irreducible repetido

 

Ahora que podemos descomponer una expresión racional simplificada con un factor cuadrático irreducible, aprenderemos cómo hacer una descomposición de fracción parcial cuando la expresión racional simplificada ha repetido factores cuadráticos irreducibles. La descomposición consistirá en fracciones parciales con numeradores lineales sobre cada factor cuadrático irreducible representado en potencias crecientes.

 
 

DESCOMPOSICIÓN DE ( frac {P (x)} {Q (x)} ) CUANDO (Q (X) ) TIENE UN FACTOR CUADRÁTICO IRREDUCIBLE REPETIDO

 

La descomposición de fracción parcial de ( dfrac {P (x)} {Q (x)} ), cuando (Q (x) ) tiene un factor cuadrático irreducible repetido y el grado de (P ( x) ) es menor que el grado de (Q (x) ), es

 

[ dfrac {P (x)} {{(ax ^ 2 + bx + c)} ^ n} = dfrac {A_1x + B_1} {(ax ^ 2 + bx + c)} + dfrac {A_2x + B_2} {{(ax ^ 2 + bx + c)} ^ 2} + dfrac {A_3x + B_3} {{(ax ^ 2 + bx + c)} ^ 3} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_nx + B_n} {{(ax ^ 2 + bx + c)} ^ n} ]

 

Escribe los denominadores en potencias crecientes.

 
 
 
 

Cómo descomponer una expresión racional que tiene un factor irreducible repetido

 
         
  1. Utilice variables como (A ), (B ) o (C ) para los numeradores constantes sobre factores lineales y expresiones lineales como (A_1x + B_1 ), (A_2x + B_2 ), Etc., para los numeradores de cada factor cuadrático en el denominador escrito en potencias crecientes, como      

    ( dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {A} {ax + b} + dfrac {A_1x + B_1} {(ax ^ 2 + bx + c)} + dfrac {A_2x + B_2} {{(ax ^ 2 + bx + c)} ^ 2} + ⋅⋅⋅ + dfrac {A_nx + B_n} {{(ax ^ 2 + bx + c)} ^ n} )

         
  2.      
  3. Multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar fracciones.
  4.      
  5. Expande el lado derecho de la ecuación y recoge términos similares.
  6.      
  7. Establezca coeficientes de términos similares del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho para crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores.
  8.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): descomposición de una función racional con un factor cuadrático irreducible repetido en el denominador

 

Descomponga la expresión dada que tiene un factor irreducible repetido en el denominador.

 

( dfrac {x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 − x + 1} {x {(x ^ 2 + 1)} ^ 2} )

 

Solución

 

Los factores del denominador son (x ), ((x ^ 2 + 1) ) y ({(x ^ 2 + 1)} ^ 2 ). Recuerde que, cuando un factor en el denominador es un elemento cuadrático que incluye al menos dos términos, el numerador debe ser de forma lineal (Ax + B ). Entonces, comencemos la descomposición.

 

( dfrac {x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 − x + 1} {x {(x ^ 2 + 1)} ^ 2} = dfrac {A} {x} + dfrac {Bx + C} {(x ^ 2 + 1)} + dfrac {Dx + E} {{(x ^ 2 + 1)} ^ 2} )

 

Eliminamos los denominadores multiplicando cada término por (x {(x ^ 2 + 1)} ^ 2 ). Por lo tanto,

 

[ begin {align *} x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2-x + 1 & = A {(x ^ 2 + 1)} ^ 2+ (Bx + C) (x) (x) ^ 2 + 1) + (Dx + E) (x) \ [4pt] x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2-x + 1 & = A (x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1) + Bx ^ 4 + Bx ^ 2 + Cx ^ 3 + Cx + Dx ^ 2 + Ex qquad text {Expandir el lado derecho.} \ [4pt] & = Ax ^ 4 + 2Ax ^ 2 + A + Bx ^ 4 + Bx ^ 2 + Cx ^ 3 + Cx + Dx ^ 2 + Ex end {align *} ]

 

Ahora recopilaremos términos similares.

 

(x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 − x + 1 = (A + B) x ^ 4 + (C) x ^ 3 + (2A + B + D) x ^ 2 + (C + E) x + A )

 

Configure el sistema de ecuaciones que coincidan con los coeficientes correspondientes en cada lado del signo igual.

 

[ begin {align *} A + B & = 1 \ [4pt] C & = 1 \ [4pt] 2A + B + D & = 1 \ [4pt] C + E & = -1 \ [ 4pt] A & = 1 end {align *} ]

 

Podemos usar la sustitución desde este punto. Sustituye (A = 1 ) en la primera ecuación.

 

[ begin {align *} 1 + B & = 1 \ [4pt] B & = 0 end {align *} ]

 

Sustituye (A = 1 ) y (B = 0 ) en la tercera ecuación.

 

[ begin {align *} 2 (1) + 0 + D & = 1 \ [4pt] D & = -1 end {align *} ]

 

Sustituye (C = 1 ) en la cuarta ecuación.

 

[ begin {align *} 1 + E & = -1 \ [4pt] E & = -2 end {align *} ]

 

Ahora hemos resuelto todas las incógnitas en el lado derecho del signo igual. Tenemos (A = 1 ), (B = 0 ), (C = 1 ), (D = −1 ) y (E = −2 ). Podemos escribir la descomposición de la siguiente manera:

 

( dfrac {x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 − x + 1} {x {(x ^ 2 + 1)} ^ 2} = dfrac {1} {x} + dfrac {1} {(x ^ 2 + 1)} – dfrac {x + 2} {{(x ^ 2 + 1)} ^ 2} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Encuentre la descomposición de fracción parcial de la expresión con un factor cuadrático irreducible repetido.

 

[ dfrac {x ^ 3−4x ^ 2 + 9x − 5} {{(x ^ 2−2x + 3)} ^ 2} nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

[ dfrac {x − 2} {x ^ 2−2x + 3} + dfrac {2x + 1} {{(x ^ 2−2x + 3)} ^ 2} nonumber ] [19459001 ]      

 
 
 
 

Medios

 

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