Objetivos de aprendizaje
- Encuentre los valores exactos de las funciones trigonométricas secante, cosecante, tangente y cotangente de ( frac { pi} {3} ), ( frac { pi} {4} ) y ( frac { pi} {6} ).
- Usa ángulos de referencia para evaluar las funciones trigonométricas secante, tangente y cotangente.
- Usar propiedades de funciones trigonométricas pares e impares.
- Reconocer y usar identidades fundamentales.
- Evalúa funciones trigonométricas con una calculadora.
Una rampa para sillas de ruedas que cumple con los estándares de la Ley de Estadounidenses con Discapacidades debe formar un ángulo con el suelo cuya tangente es ( frac {1} {12} ) o menos, independientemente de su longitud. Una tangente representa una relación, por lo que esto significa que por cada pulgada de elevación, la rampa debe tener 12 pulgadas de recorrido. Las funciones trigonométricas nos permiten especificar las formas y proporciones de los objetos independientemente de las dimensiones exactas. Ya hemos definido las funciones seno y coseno de un ángulo. Aunque el seno y el coseno son las funciones trigonométricas que se usan con mayor frecuencia, existen otras cuatro. Juntos forman el conjunto de seis funciones trigonométricas. En esta sección, investigaremos las funciones restantes.
Hallar valores exactos de las funciones trigonométricas Secante, Cosecante, Tangente y Cotangente
Para definir las funciones restantes, una vez más dibujaremos un círculo unitario con un punto ((x, y) ) correspondiente a un ángulo de (t ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {1 } ). Al igual que con el seno y el coseno, podemos usar las coordenadas ((x, y) ) para encontrar las otras funciones.
La primera función que definiremos es la tangente. La tangente de un ángulo es la relación del valor y al valor x del punto correspondiente en el círculo unitario. En la Figura ( PageIndex {1} ), la tangente del ángulo (t ) es igual a ( frac {y} {x}, x ≠ 0 ). Debido a que el valor y es igual al seno de (t ), y el valor x es igual al coseno de (t ), la tangente del ángulo (t ) también se puede definir como ( frac { sin t} { cos t}, cos t ≠ 0. ) La función tangente se abrevia como ( tan. ) Las tres funciones restantes todos pueden expresarse como recíprocos de funciones que ya hemos definido.
- La función secante es el recíproco de la función coseno. En la Figura ( PageIndex {1} ), la secante del ángulo (t ) es igual a ( frac {1} { cos t} = frac {1} {x}, x ≠ 0 ) La función secante se abrevia como ( sec ).
- La función cotangente es el recíproco de la función tangente. En la Figura ( PageIndex {1} ), la cotangente del ángulo (t ) es igual a ( frac { cos t} { sin t} = frac {x} {y}, y ≠ 0. ) La función cotangente se abrevia como ( cot. )
- La función cosecante es la recíproca de la función seno. En la Figura ( PageIndex {1} ), la cosecante del ángulo (t ) es igual a ( frac {1} { sin t} = frac {1} {y}, y ≠ 0. ) La función cosecante se abrevia como ( csc. )
FUNCIONES TANGENTES, SEGURAS, COSECANTES Y COTANGENTES
Si (t ) es un número real y ((x, y) ) es un punto donde el lado terminal de un ángulo de (t ) radianes intercepta el círculo unitario, entonces
[ begin {align} tan t & = frac {y} {x}, x ≠ 0 \ sec t & = frac {1} {x}, x ≠ 0 \ csc t & = frac {1} {y}, y ≠ 0 \ cot t & = frac {x} {y}, y ≠ 0 end {align} ]
Ejemplo ( PageIndex {1} ): Encontrar funciones trigonométricas desde un punto en el círculo unitario
El punto ((- frac { sqrt {3}} {2}, frac {1} {2}) ) está en el círculo unitario, como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ). Encuentra ( sin t, cos t, tan t, sec t, csc t, ) y ( cot t ).
Solución
Debido a que conocemos las coordenadas ((x, y) ) del punto en el círculo unitario indicado por el ángulo (t ), podemos usar esas coordenadas para encontrar las seis funciones:
[ begin {align *} sin t & = y = dfrac {1} {2} \ cos t & = x = – dfrac { sqrt {3}} {2} \ tan t & = dfrac {y} {x} = dfrac { frac {1} {2}} {- frac { sqrt {3}} {2}} = dfrac {1} {2} (- dfrac {2} { sqrt {3}}) = – dfrac {1} { sqrt {3}} = – dfrac { sqrt {3}} {3} \ sec t & = dfrac {1} {x} = dfrac {1} {- frac { sqrt {3}} {2}} = – dfrac {2} { sqrt {3}} = – dfrac {2 sqrt {3}} {3} \ csc t & = dfrac {1} {y} = dfrac {1} { frac {1} {2}} = 2 \ cot t & = dfrac {x} {y} = dfrac {- frac { sqrt {3}} {2}} { frac {1} {2}} = – dfrac { sqrt {3}} {2} ( dfrac {2} {1}) = – sqrt {3} end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {1} ):
El punto (( frac { sqrt {2}} {2}, – frac { sqrt {2}} {2}) ) está en el círculo unitario, como se muestra en la Figura ( Índice de página {3} ). Encuentra ( sin t, cos t, tan t, sec t, csc t, ) y ( cot t ).
Solución
( sin t = – frac { sqrt {2}} {2}, cos t = frac { sqrt {2}} {2}, tan t = −1, sec t = sqrt {2}, csc t = – sqrt {2}, cot t = −1 )
Ejemplo ( PageIndex {2} ): Encontrar las funciones trigonométricas de un ángulo
Encuentra ( sin t, cos t, tan t, sec t, csc t, ) y ( cot t ) cuando (t = frac {π} {6} )
Solución
Hemos utilizado previamente las propiedades de los triángulos equiláteros para demostrar que ( sin frac {π} {6} = frac {1} {2} ) y ( cos frac {π} {6 } = frac { sqrt {3}} {2} ). Podemos usar estos valores y las definiciones de tangente, secante, cosecante y cotangente como funciones de seno y coseno para encontrar los valores de función restantes.
[ begin {align *} tan dfrac {π} {6} & = dfrac { sin frac {π} {6}} { cos frac {π} {6}} & = dfrac { frac {1} {2}} { frac { sqrt {3}} {2}} = dfrac {1} { sqrt {3}} = dfrac { sqrt {3 }} {3} \ sec dfrac {π} {6} & = dfrac {1} { cos frac {π} {6}} \ & = dfrac {1} { frac { sqrt {3}} {2}} = dfrac {2} { sqrt {3}} = dfrac {2 sqrt {3}} {3} \ csc dfrac {π} {6} & = dfrac {1} { sin frac {π} {6}} = dfrac {1} { frac {1} {2}} = 2 \ cot dfrac {π} {6} & = dfrac { cos frac {π} {6}} { sin frac {π} {6}} \ & = dfrac { frac { sqrt {3}} {2}} { frac {1 } {2}} = sqrt {3} end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {2} ):
Encuentra ( sin t, cos t, tan t, sec t, csc t, ) y ( cot t ) cuando (t = frac {π} {3}. )
Solución
( begin {align} sin frac {π} {3} & = frac { sqrt {3}} {2} \ cos frac {π} {3} & = frac {1} {2} \ tan frac {π} {3} & = sqrt {3} \ sec frac {π} {3} & = 2 \ csc frac {π} { 3} & = frac {2 sqrt {3}} {3} \ cot frac {π} {3} & = frac { sqrt {3}} {3} end {align} )
Debido a que conocemos los valores de seno y coseno para los ángulos comunes del primer cuadrante, también podemos encontrar los otros valores de función para esos ángulos estableciendo xx igual al coseno e yy igual al seno y luego usando las definiciones de tangente, secante, cosecante y cotangente. Los resultados se muestran en la Tabla ( PageIndex {1} ).
| Ángulo | (0 ) | ( frac {π} {6}, text {o} 30 ° ) | ( frac {π} {4}, text {o} 45 ° ) | ( frac {π} {3}, text {o} 60 ° ) | ( frac {π} {2}, text {o} 90 ° ) |
|---|---|---|---|---|---|
| Coseno | 1 | ( frac { sqrt {3}} {2} ) | ( frac { sqrt {2}} {2} ) | ( frac {1} {2} ) | 0 |
| Seno | 0 | ( frac {1} {2} ) | ( frac { sqrt {2}} {2} ) | ( frac { sqrt {3}} {2} ) | 1 |
| Tangente | 0 | ( frac { sqrt {3}} {3} ) | 1 | ( sqrt {3} ) | Indefinido |
| Secante | 1 | ( frac {2 sqrt {3}} {3} ) | ( sqrt {2} ) | 2 | Indefinido |
| Cosecante | Indefinido | 2 | ( sqrt {2} ) | ( frac {2 sqrt {3}} {3} ) | 1 |
| Cotangente | Indefinido | ( sqrt {3} ) | 1 | ( frac { sqrt {3}} {3} ) | 0 |
Uso de ángulos de referencia para evaluar tangente, secante, cosante y cotangente
Podemos evaluar las funciones trigonométricas de los ángulos fuera del primer cuadrante utilizando ángulos de referencia como ya lo hemos hecho con las funciones seno y coseno. El procedimiento es el mismo: Encuentre el ángulo de referencia formado por el lado terminal del ángulo dado con el eje horizontal. Los valores de la función trigonométrica para el ángulo original serán los mismos que para el ángulo de referencia, excepto por el signo positivo o negativo, que está determinado por x – y y -valores en El cuadrante original. La Figura ( PageIndex {4} ) muestra qué funciones son positivas en qué cuadrante.
Para ayudarnos a recordar cuál de las seis funciones trigonométricas son positivas en cada cuadrante, podemos usar la frase mnemónica “Una clase de disparo inteligente”. Cada una de las cuatro palabras en la frase corresponde a uno de los cuatro cuadrantes, comenzando con el cuadrante I y girando en sentido antihorario. En el cuadrante I, que es “ A “, a ll de las seis funciones trigonométricas son positivas. En el cuadrante II, “ S mart”, solo s ine y su función recíproca, cosecante, son positivas. En el cuadrante III, “ T rig”, solo t angent y su función recíproca, cotangent, son positivas. Finalmente, en el cuadrante IV, “ C muchacha”, solo c la osina y su función recíproca, secante, son positivas.
CÓMO: Dado un ángulo que no está en el primer cuadrante, usa ángulos de referencia para encontrar las seis funciones trigonométricas
- Mida el ángulo formado por el lado terminal del ángulo dado y el eje horizontal. Este es el ángulo de referencia.
- Evalúa la función en el ángulo de referencia.
- Observe el cuadrante donde se encuentra el lado terminal del ángulo original. Según el cuadrante, determine si la salida es positiva o negativa.
Ejemplo ( PageIndex {3} ): Uso de ángulos de referencia para encontrar funciones trigonométricas
Use ángulos de referencia para encontrar las seis funciones trigonométricas de (- frac {5π} {6} ).
Solución
El ángulo entre el lado terminal de este ángulo y el eje x es ( frac {π} {6} ), entonces ese es el ángulo de referencia. Como (- frac {5π} {6} ) está en el tercer cuadrante, donde tanto (x ) como (y ) son negativos, coseno, seno, secante y cosecante serán negativos, mientras que tangente y cotangente será positivo.
[ begin {align} cos (- dfrac {5π} {6}) & = – dfrac { sqrt {3}} {2}, sin (- dfrac {5π} {6 }) = – dfrac {1} {2}, tan (- dfrac {5π} {6}) = dfrac { sqrt {3}} {3} \ sec (- dfrac {5π} {6}) & = – dfrac {2 sqrt {3}} {3}, csc (- dfrac {5π} {6}) = – 2, cot (- dfrac {5π} {6} ) = sqrt {3} end {align} ]
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Use ángulos de referencia para encontrar las seis funciones trigonométricas de (- frac {7π} {4} ).
Solución
( sin (- frac {7π} {4}) = frac { sqrt {2}} {2}, cos ( frac {−7π} {4}) = frac { sqrt {2}} {2}, tan ( frac {−7π} {4}) = 1, )
( sec ( frac {−7π} {4}) = sqrt {2}, csc ( frac {−7π} {4}) = sqrt {2}, cot ( frac {−7π} {4}) = 1 )
Uso de funciones trigonométricas pares e impares
Para poder utilizar nuestras seis funciones trigonométricas libremente con entradas de ángulo positivas y negativas, debemos examinar cómo cada función trata una entrada negativa. Resulta que hay una diferencia importante entre las funciones a este respecto.
Considere la función (f (x) = x ^ 2 ), que se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ). La gráfica de la función es simétrica con respecto al eje y . A lo largo de la curva, dos puntos con valores opuestos x tienen el mismo valor de función. Esto coincide con el resultado del cálculo: ((4) ^ 2 = (- 4) ^ 2, (- 5) ^ 2 = (5) ^ 2 ), y así sucesivamente. Entonces (f (x) = x ^ 2 ) es una función par , una función tal que dos entradas que son opuestas tienen la misma salida. Eso significa (f (−x) = f (x) ).
Ahora considere la función (f (x) = x ^ 3 ), que se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ). El gráfico no es simétrico sobre el eje y . A lo largo de la gráfica, dos puntos con valores opuestos x también tienen valores opuestos y . Entonces (f (x) = x ^ 3 ) es una función impar , una tal que dos entradas que son opuestas tienen salidas que también son opuestas. Eso significa (f (−x) = – f (x) ).
Podemos probar si una función trigonométrica es par o impar dibujando un círculo unidad con un ángulo positivo y un ángulo negativo, como en la Figura ( PageIndex {7} ). El seno del ángulo positivo es (y ). El seno del ángulo negativo es – y . La función senoidal , entonces, es una función extraña. Podemos probar cada una de las seis funciones trigonométricas de esta manera. Los resultados se muestran en la Tabla ( PageIndex {2} ).
| ( begin {align} sin t & = y \ sin (−t) & = – y \ sin t & ≠ sin (−t) end {align} ) | ( begin {align} cos t & = x \ cos (−t) = x \ cos t & = cos (−t) end {align} ) | ( begin {align} tan (t) & = frac {y} {x} \ tan (−t) & = – frac {y} {x} \ tan t & ≠ tan (−t) end {align} ) |
| ( begin {align} sec t & = frac {1} {x} \ sec (−t) & = frac {1} {x} \ sec t & = sec (−t) end {align} ) | ( begin {align} csc t & = frac {1} {y} \ csc (−t) & = frac {1} {- y} \ csc t & ≠ csc (−t) end {align} ) | ( begin {align} cot t & = frac {x} {y} \ cot (−t) & = frac {x} {- y} \ cot t & ≠ cot (−t) end {align} ) |
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INCLUSO Y EXTRAÑO
- Una función par es aquella en la que (f (−x) = f (x) ).
- Una función impar es aquella en la que (f (−x) = – f (x) ).
Coseno y secantes son pares:
[ begin {align} cos (−t) & = cos t \ sec (−t) & = sec t end {align} ]
Seno, tangente, cosecante y cotangente son impares:
[ begin {align} sin (−t) & = – sin t \ tan (−t) & = – tan t \ csc (−t) & = – csc t \ cot (−t) & = – cot t end {align} ]
Ejemplo ( PageIndex {4} ): Uso de propiedades pares e impares de funciones trigonométricas
Si la secante del ángulo t es 2, ¿cuál es la secante de (- t )?
Solución
Secante es una función par. La secante de un ángulo es la misma que la secante de su opuesto. Entonces, si la secante del ángulo t es 2, la secante de (- t ) también es 2.
Ejercicio ( PageIndex {4} ):
Si la cotangente del ángulo (t ) es ( sqrt {3} ), ¿cuál es la cotangente de (- t? )
Solución
(- sqrt {3} )
Reconocimiento y uso de identidades fundamentales
Hemos explorado una serie de propiedades de las funciones trigonométricas. Ahora, podemos llevar las relaciones un paso más allá y derivar algunas identidades fundamentales. Las identidades son declaraciones que son verdaderas para todos los valores de la entrada en la que se definen. Por lo general, las identidades pueden derivarse de definiciones y relaciones que ya conocemos. Por ejemplo, la identidad pitagórica que aprendimos anteriormente se deriva del teorema de Pitágoras y las definiciones de seno y coseno.
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
Podemos derivar algunas identidades útiles de las seis funciones trigonométricas. Las otras cuatro funciones trigonométricas pueden relacionarse con las funciones seno y coseno utilizando estas relaciones básicas:
[ tan t = dfrac { sin t} { cos t} ]
[ sec t = dfrac {1} { cos t} ]
[ csc t = dfrac {1} { sin t} ]
[ cot t = dfrac {1} { tan t} = dfrac { cos t} { sin t} ]
Ejemplo ( PageIndex {5} ): Uso de identidades para evaluar funciones trigonométricas
- Dado ( sin (45 °) = frac { sqrt {2}} {2}, cos (45 °) = frac { sqrt {2}} {2} ), evalúa ( tan (45 °). )
- Dado ( sin ( frac {5π} {6}) = frac {1} {2}, cos ( frac {5π} {6}) = – frac { sqrt {3} } {2}, ) evaluar ( sec ( frac {5π} {6}) ).
Solución
Debido a que conocemos los valores de seno y coseno para estos ángulos, podemos usar identidades para evaluar las otras funciones.
-
[ begin {align *} tan (45 °) & = dfrac { sin (45 °)} { cos (45 °)} \ & = dfrac { frac { sqrt { 2}} {2}} { frac { sqrt {2}} {2}} \ & = 1 end {align *} ]
-
[ begin {align *} sec ( dfrac {5π} {6}) & = dfrac {1} { cos ( frac {5π} {6})} \ & = dfrac {1} {- frac { sqrt {3}} {2}} \ & = dfrac {−2 sqrt {3}} {1} \ & = dfrac {−2} { sqrt { 3}} \ & = – dfrac {2 sqrt {3}} {3} end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Evalúe ( csc ( frac {7π} {6}). )
Solución
(- 2 )
Ejemplo ( PageIndex {6} ): Uso de identidades para simplificar expresiones trigonométricas
Simplifica ( frac { sec t} { tan t}. )
Solución
Podemos simplificar esto reescribiendo ambas funciones en términos de seno y coseno.
[ begin {array} {lll} dfrac { sec t} { tan t} & = dfrac {1 / cos t} { sin t / cos t} & text {To divide las funciones, multiplicamos por el recíproco.} \ text {} & = dfrac {1} { cos t} dfrac { cos t} { sin t} & text {Divide los cosenos. } \ text {} & = dfrac {1} { sin t} & text {Simplifique y use la identidad.} \ text {} & = csc t end {array} ] [19459003 ]
Al mostrar que ( frac { sec t} { tan t} ) se puede simplificar a ( csc t ), de hecho, hemos establecido una nueva identidad.
[ dfrac { sec t} { tan t} = csc t nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Simplifica (( tan t) ( cos t). )
Solución
( sin t )
Formas alternativas de la identidad pitagórica
Podemos usar estas identidades fundamentales para derivar formas alternativas de la Identidad pitagórica , ( cos ^ 2 t + sin ^ 2 t = 1 ). Una forma se obtiene dividiendo ambos lados por ( cos ^ 2 t: )
[ begin {align} dfrac { cos ^ 2 t} { cos ^ 2 t} + dfrac { sin ^ 2 t} { cos ^ 2 t} & = dfrac {1} { cos ^ 2 t} \ 1+ tan ^ 2 t & = sec ^ 2 t end {align} ]
La otra forma se obtiene dividiendo ambos lados por ( sin ^ 2 t ):
[ begin {align} dfrac { cos ^ 2 t} { sin ^ 2 t} + dfrac { sin ^ 2 t} { sin ^ 2 t} & = dfrac {1} { sin ^ 2 t} \ cot ^ 2 t + 1 & = csc ^ 2 t end {align} ]
FORMAS ALTERNATIVAS DE LA IDENTIDAD PYTHAGOREAN
[1+ tan ^ 2 t = sec ^ 2 t ]
[ cot ^ 2 t + 1 = csc ^ 2 t ]
Ejemplo ( PageIndex {7} ): Uso de identidades para relacionar funciones trigonométricas
Si cos (t) = 1213 cos (t) = 1213 y t t está en el cuadrante IV, como se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ), encuentre los valores de las otras cinco funciones trigonométricas.
Solución
Podemos encontrar el seno utilizando la identidad pitagórica, ( cos ^ 2 t + sin ^ 2t = 1 ), y las funciones restantes relacionándolas con seno y coseno.
[ begin {align} ( dfrac {12} {13}) ^ 2+ sin ^ 2 t & = 1 \ sin ^ 2 t & = 1 – ( dfrac {12} {13 }) ^ 2 \ sin ^ 2 t & = 1− dfrac {144} {169} \ sin ^ 2 t & = dfrac {25} {169} \ sin t & = ± sqrt { dfrac {25} {169}} \ sin t & = ± dfrac { sqrt {25}} { sqrt {169}} \ sin t & = ± dfrac {5} {13} end {align} ]
El signo del seno depende de los valores y en el cuadrante donde se encuentra el ángulo. Como el ángulo está en el cuadrante IV, donde los valores y son negativos, su seno es negativo, (- frac {5} {13} ).
Las funciones restantes se pueden calcular utilizando identidades relacionadas con seno y coseno.
[ begin {align} tan t & = dfrac { sin t} { cos t} = dfrac {- frac {5} {13}} { frac {12} {13} } = – dfrac {5} {12} \ sec t & = dfrac {1} { cos t} = dfrac {1} { frac {12} {13}} = dfrac {13} {12} \ csc t & = dfrac {1} { sin t} = dfrac {1} {- frac {5} {13}} = – dfrac {13} {5} \ cot t & = dfrac {1} { tan t} = dfrac {1} {- frac {5} {12}} = – dfrac {12} {5} end {align} ] [19459003 ]
Ejercicio ( PageIndex {7} ):
Si ( sec (t) = – frac {17} {8} ) y (0 Solución ( cos t = – frac {8} {17}, sin t = frac {15} {17}, tan t = – frac {15} {8} ) ( csc t = frac {17} {15}, cot t = – frac {8} {15} )
Como discutimos en la apertura del capítulo, una función que repite sus valores a intervalos regulares se conoce como una función periódica . Las funciones trigonométricas son periódicas. Para las cuatro funciones trigonométricas, seno, coseno, cosecante y secante, una revolución de un círculo, o (2π ), dará como resultado las mismas salidas para estas funciones. Y para tangente y cotangente, solo media revolución dará como resultado las mismas salidas.
Otras funciones también pueden ser periódicas. Por ejemplo, la duración de los meses se repite cada cuatro años. Si x x representa el tiempo de duración, medido en años, y (f (x) ) representa el número de días en febrero, entonces (f (x + 4) = f (x) ). Este patrón se repite una y otra vez a través del tiempo. En otras palabras, cada cuatro años, febrero tiene garantizado el mismo número de días que tenía 4 años antes. El número positivo 4 es el número positivo más pequeño que satisface esta condición y se llama período. Un período es el intervalo más corto durante el cual una función completa un ciclo completo; en este ejemplo, el período es 4 y representa el tiempo que nos toma asegurarnos de que febrero tenga el mismo número de días.
PERÍODO DE UNA FUNCIÓN
El período (P ) de una función repetitiva ff es el número que representa el intervalo tal que (f (x + P) = f (x) ) para cualquier valor de ( X).
El período de las funciones coseno, seno, secante y cosecante es (2π ).
El período de las funciones tangente y cotangente es (π ).
Ejemplo ( PageIndex {8} ): Encontrar los valores de las funciones trigonométricas
Encuentre los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo (t ) con base en la Figura ( PageIndex {9} ) .
Solución
[ begin {align *} sin t & = y = – dfrac { sqrt {3}} {2} \ cos t & = x = – dfrac {1} {2} tan t & = dfrac { sin t} { cos t} = dfrac {- frac { sqrt {3}} {2}} {- frac {1} {2}} = sqrt {3} \ sec t & = dfrac {1} { cos t} = dfrac {1} {- frac {1} {2}} = – 2 \ csc t & = dfrac { 1} { sin t} = dfrac {1} {- frac { sqrt {3}} {2}} = – dfrac {2 sqrt {3}} {3} \ cot t & = dfrac {1} { tan t} = dfrac {1} { sqrt {3}} = dfrac { sqrt {3}} {3} end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {8} )
Encuentre los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo (t ) con base en la Figura ( PageIndex {10} ) .
Solución
( begin {align} sin t & = – 1, cos t = 0, tan t = text {Undefined} \ \ sec t & = text {Undefined}, csc t = −1, cot t = 0 end {align} )
Ejemplo ( PageIndex {9} ): Encontrar el valor de las funciones trigonométricas
Si ( sin (t) = – frac { sqrt {3}} {2} ) y ( cos (t) = frac {1} {2} ), encuentre ( sec (t), csc (t), tan (t), cot (t). )
Solución
[ begin {align} sec t & = dfrac {1} { cos t} = dfrac {1} { frac {1} {2}} = 2 \ csc t & = dfrac {1} { sin t} = dfrac {1} {- frac { sqrt {3}} {2}} – dfrac {2 sqrt {3}} {3} \ tan t & = dfrac { sin t} { cos t} = dfrac {- frac { sqrt {3}} {2}} { frac {1} {2}} = – sqrt {3} cot t & = dfrac {1} { tan t} = dfrac {1} {- sqrt {3}} = – dfrac { sqrt {3}} {3} end {align} ]
Ejercicio ( PageIndex {9} ):
Si ( sin (t) = frac { sqrt {2}} {2} ) y ( cos (t) = frac { sqrt {2}} {2}, ) find ( sec (t), csc (t), tan (t), ) y ( cot (t) ).
Solución
( sec t = sqrt {2}, csc t = sqrt {2}, tan t = 1, cot t = 1 )
Evaluación de funciones trigonométricas con una calculadora
Hemos aprendido cómo evaluar las seis funciones trigonométricas para los ángulos comunes del primer cuadrante y usarlas como ángulos de referencia para ángulos en otros cuadrantes. Para evaluar las funciones trigonométricas de otros ángulos, utilizamos una calculadora científica o gráfica o software de computadora. Si la calculadora tiene un modo de grado y un modo de radianes, confirme que se elija el modo correcto antes de hacer un cálculo.
Evaluar una función tangente con una calculadora científica en lugar de una calculadora gráfica o un sistema de álgebra de computadora es como evaluar un seno o coseno: ingrese el valor y presione la tecla TAN. Para las funciones recíprocas, puede que no haya teclas dedicadas que digan CSC, SEC o COT. En ese caso, la función debe evaluarse como el recíproco de un seno, coseno o tangente.
Si necesitamos trabajar con grados y nuestra calculadora o software no tiene un modo de grado, podemos ingresar los grados multiplicados por el factor de conversión ( frac {π} {180} ) para convertir los grados a radianes . Para encontrar la secante de (30 ° ), podríamos presionar
[ mathrm {(para ; a ; científico ; calculadora): dfrac {1} {30 × frac {π} {180}} COS} ]
o
[ mathrm {(para ; a ; gráficas ; calculadora): dfrac {1} {cos ( frac {30π} {180})}} ]
cómo: Dada una medida de ángulo en radianes, usa una calculadora científica para encontrar la cosecante
- Si la calculadora tiene modo en grados y modo en radianes, configúrelo en modo en radianes.
- Ingrese: (1 ; / )
- Ingrese el valor del ángulo entre paréntesis.
- Presione la tecla SIN.
- Presione la tecla =.
cómo: Dada una medida de ángulo en radianes, usa una utilidad / calculadora gráfica para encontrar la cosecante
- Si la utilidad de gráficos tiene modo de grado y modo de radianes, configúrelo en modo de radianes.
- Ingrese: (1 ; / )
- Presione la tecla SIN.
- Ingrese el valor del ángulo entre paréntesis.
- Presione la tecla ENTER.
Ejemplo ( PageIndex {10} ): Evaluación del Cosecante utilizando tecnología
Evalúe la cosecante de ( frac {5π} {7} ).
Solución
Para una calculadora científica, ingrese la información de la siguiente manera:
[ mathrm {1 / (5 × π / 7) SIN =} ]
[ mathrm { csc ( dfrac {5π} {7}) ≈1.279} ]
Ejercicio ( PageIndex {10} ):
Evalúe la cotangente de (- frac {π} {8} ).
(≈ − 2.414 )
medios
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar con otras funciones trigonométricas.
Ecuaciones clave
| Función tangente | ( tan t = frac { sin t} { cos t} ) |
| Función secante | ( sec t = frac {1} { cos t} ) |
| Función cosecante | ( csc t = frac {1} { sin t} ) |
| Función cotangente | ( cot t = frac {1} { tan t} = frac { cos t} { sin t} ) |
Conceptos clave
- La tangente de un ángulo es la relación del valor y al valor x del punto correspondiente en el círculo unitario.
- La secante, cotangente y cosecante son recíprocos de otras funciones. La secante es el recíproco de la función coseno, el cotangente es el recíproco de la función tangente, y la cosecante es el recíproco de la función seno.
- Las seis funciones trigonométricas se pueden encontrar desde un punto en el círculo unitario. Ver Ejemplo .
- Las funciones trigonométricas también se pueden encontrar desde un ángulo. Ver Ejemplo .
- Trigonometric functions of angles outside the first quadrant can be determined using reference angles. See Example .
- A function is said to be even if (f(−x)=f(x)) and odd if (f(−x)=−f(x)).
- Cosine and secant are even; sine, tangent, cosecant, and cotangent are odd.
- Even and odd properties can be used to evaluate trigonometric functions. See Example .
- The Pythagorean Identity makes it possible to find a cosine from a sine or a sine from a cosine.
- Identities can be used to evaluate trigonometric functions. See Example and Example .
- Fundamental identities such as the Pythagorean Identity can be manipulated algebraically to produce new identities. See Example .
- The trigonometric functions repeat at regular intervals.
- The period (P) of a repeating function f f is the smallest interval such that (f(x+P)=f(x)) for any value of (x).
- The values of trigonometric functions of special angles can be found by mathematical analysis.
- To evaluate trigonometric functions of other angles, we can use a calculator or computer software. See Example .
Glossary
- cosecant
- the reciprocal of the sine function: on the unit circle, ( csc t=frac{1}{y},y≠0)
- cotangent
- the reciprocal of the tangent function: on the unit circle, ( cot t= frac{x}{y},y≠0)
- identities
- statements that are true for all values of the input on which they are defined
- period
- the smallest interval (P) of a repeating function (f) such that (f(x+P)=f(x))
- secant
- the reciprocal of the cosine function: on the unit circle, ( sec t= frac{1}{x},x≠0 )
- tangent
- the quotient of the sine and cosine: on the unit circle, ( tan t= frac{y}{x},x≠0)