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las matematicas

7.5: Resolver ecuaciones racionales

Después de definir los términos “expresión” y “ecuación” anteriormente, los hemos utilizado en este libro. Hemos simplificado muchos tipos de expresiones y resuelto muchos tipos de ecuaciones. Hemos simplificado muchas expresiones racionales hasta ahora en este capítulo. Ahora resolveremos una ecuación racional .

Debe asegurarse de conocer la diferencia entre expresiones racionales y ecuaciones racionales. La ecuación contiene un signo igual.

[ text {Expresión racional} quad quad text {Ecuación racional} nonumber ]

[ dfrac {1} {8} x + dfrac {1} {2} quad quad dfrac {1} {8} x + dfrac {1} {2} = dfrac {1} {4} nonumber ]

[ dfrac {1} {n-3} + dfrac {1} {n + 4} quad quad quad quad dfrac {1} {n-3} + dfrac {1} {n + 4} = dfrac {15 } {n ^ {2} + n-12} nonumber ]

Resolver ecuaciones racionales

 

Ya hemos resuelto ecuaciones lineales que contenían fracciones. Encontramos la pantalla LCD de todas las fracciones en la ecuación y luego multiplicamos ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD para “borrar” las fracciones.

 

Utilizaremos la misma estrategia para resolver ecuaciones racionales. Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD. Entonces, tendremos una ecuación que no contiene expresiones racionales y, por lo tanto, es mucho más fácil de resolver. Pero debido a que la ecuación original puede tener una variable en un denominador, debemos tener cuidado de no terminar con una solución que haga un denominador igual a cero.

 

Entonces, antes de comenzar a resolver una ecuación racional, la examinamos primero para encontrar los valores que harían cero a cualquier denominador. De esa manera, cuando resolvamos una ecuación racional sabremos si hay alguna solución algebraica que debemos descartar.

 

Una solución algebraica a una ecuación racional que haría que cualquiera de las expresiones racionales no se definiera se denomina solución extraña a una ecuación racional .

 
 

Solución extraña a una ecuación racional

 

Una solución extraña a una ecuación racional es una solución algebraica que causaría que cualquiera de las expresiones en la ecuación original sea indefinida.

 
 

Observamos cualquier posible solución extraña, (c ), escribiendo (x neq c ) al lado de la ecuación.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Cómo resolver una ecuación racional

 

Resuelve: [ dfrac {1} {x} + dfrac {1} {3} = dfrac {5} {6} nonumber ]

 

Solución

 

Paso 1 . Tenga en cuenta cualquier valor de la variable que haría que cualquier denominador sea cero.

 

Si (x = 0 ), entonces ( dfrac {1} {x} ) no está definido. Entonces escribiremos (x neq 0 ) al lado de la ecuación.

 

[ dfrac {1} {x} + dfrac {1} {3} = dfrac {5} {6}, x neq 0 nonumber ]

 

Paso 2 . Encuentre el mínimo común denominador de todos los denominadores en la ecuación.

 

Encuentre la pantalla LCD de ( dfrac {1} {x} ), ( dfrac {1} {3} ) y ( dfrac {5} {6} )

 

La pantalla LCD es (6x ).

 

Paso 3 . Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD.

 

Multiplica ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD, (6x ).

 

[{ color {rojo} 6 x} cdot left ( dfrac {1} {x} + dfrac {1} {3} right) = { color {red} 6 x} cdot left ( dfrac {5} {6} right) nonumber ]

 

Usa la propiedad distributiva.

 

[{ color {rojo} 6 x} cdot dfrac {1} {x} + { color {rojo} 6 x} cdot dfrac {1} {3} = { color {rojo } 6 x} cdot left ( dfrac {5} {6} right) nonumber ]

 

Simplifica – ¡y nota, no más fracciones!

 

[6 + 2 x = 5 x no número ]

 

Paso 4 . Resuelve la ecuación resultante.

 

Simplificar.

 

[ begin {alineado} & 6 = 3 x \ & 2 = x end {alineado} nonumber ]

 

Paso 5 . Cheque.

 

Si alguno de los valores encontrados en el Paso 1 son soluciones algebraicas, deséchelos. Verifique las soluciones restantes en la ecuación original.

 

No obtuvimos 0 como solución algebraica.

 

[ dfrac {1} {x} + dfrac {1} {3} = dfrac {5} {6} nonumber ]

 

Sustituimos (x = 2 ) en la ecuación original.

 

[ begin {alineado} frac {1} {2} + frac {1} {3} & overset {?} {=} Frac {5} {6} \ frac {3 } {6} + frac {2} {6} & overset {?} {=} Frac {5} {6} \ frac {5} {6} & = frac {5} {6} surd end {alineado} nonumber ]

 

La solución es (x = 2 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Resuelve: [ dfrac {1} {y} + dfrac {2} {3} = dfrac {1} {5} nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

(y = – dfrac {7} {15} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Resuelve: [ dfrac {2} {3} + dfrac {1} {5} = dfrac {1} {x} nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

(x = dfrac {13} {15} )

     
 
 
 

Se muestran los pasos de este método.

 
 

cómo resolver ecuaciones con expresiones racionales.

 
         
  • Paso 1. Tenga en cuenta cualquier valor de la variable que haría que cualquier denominador sea cero.
  •      
  • Paso 2. Encuentra el mínimo común denominador de todos los denominadores en la ecuación.
  •      
  • Paso 3. Despeja las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD.
  •      
  • Paso 4. Resuelve la ecuación resultante.
  •      
  • Paso 5. Verifique:      
               
    • Si alguno de los valores encontrados en el Paso 1 son soluciones algebraicas, deséchelos.
    •          
    • Verifique las soluciones restantes en la ecuación original.
    •      
         
  •  
 
 

Siempre comenzamos observando los valores que causarían que cualquier denominador sea cero.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Cómo resolver una ecuación racional utilizando la propiedad del producto cero

 

Resuelva: [1- dfrac {5} {y} = – dfrac {6} {y ^ {2}} nonumber ]

 

Solución

 

Tenga en cuenta cualquier valor de la variable que haría cero a cualquier denominador.

 

[1- dfrac {5} {y} = – dfrac {6} {y ^ {2}}, y neq 0 nonumber ]

 

Encuentra el mínimo común denominador de todos los denominadores en la ecuación. La pantalla LCD es (y ^ 2 ).

 

Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD.

 

[y ^ {2} left (1- dfrac {5} {y} right) = y ^ {2} left (- dfrac {6} {y ^ {2}} right ) nonumber ]

 

Distribuir.

 

[y ^ {2} cdot 1-y ^ {2} left ( dfrac {5} {y} right) = y ^ {2} left (- dfrac {6} {y ^ {2}} right) nonumber ]

 

Multiplicar.

 

[y ^ {2} -5 y = -6 nonumber ]

 

Resuelve la ecuación resultante. Primero escribe la ecuación cuadrática en forma estándar.

 

[y ^ {2} -5 y + 6 = 0 nonumber ]

 

Factor.

 

[(y-2) (y-3) = 0 nonumber ]

 

Utilice la propiedad del producto cero.

 

[y-2 = 0 text {o} y-3 = 0 nonumber ]

 

Resolver.

 

[y = 2 text {o} y = 3 nonumber ]

 

Verificación. No obtuvimos (0 ) como una solución algebraica.

 

Verifique (y = 2 ) y (y = 3 ) en la ecuación original.

 

[1- dfrac {5} {y} = – dfrac {6} {y ^ {2}} quad quad quad 1- dfrac {5} {y} = – dfrac { 6} {y ^ {2}} nonumber ]

 

[1- dfrac {5} {2} overset {?} {=} – dfrac {6} {2 ^ {2}} quad quad quad 1- dfrac {5} { 3} overset {?} {=} – dfrac {6} {3 ^ {2}} nonumber ]

 

[1- dfrac {5} {2} overset {?} {=} – dfrac {6} {4} quad quad quad 1- dfrac {5} {3} overset {?} {=} – dfrac {6} {9} nonumber ]

 

[ dfrac {2} {2} – dfrac {5} {2} overset {?} {=} – dfrac {6} {4} quad quad quad dfrac {3} {3} – dfrac {5} {3} overset {?} {=} – dfrac {6} {9} nonumber ]

 

[- dfrac {3} {2} overset {?} {=} – dfrac {6} {4} quad quad quad – dfrac {2} {3} overset {? } {=} – dfrac {6} {9} nonumber ]

 

[- dfrac {3} {2} = – dfrac {3} {2} surd quad quad quad – dfrac {2} {3} = – dfrac {2} {3 } surd nonumber ]

 

La solución es (y = 2, y = 3 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resuelve: [1- dfrac {2} {x} = dfrac {15} {x ^ {2}} nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

(x = -3, x = 5 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resuelve: [1- dfrac {4} {y} = dfrac {12} {y ^ {2}} nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

(y = -2, y = 6 )

     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, los últimos denominadores son una diferencia de cuadrados. Recuerde factorizarlo primero para encontrar la pantalla LCD.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Resuelve: [ dfrac {2} {x + 2} + dfrac {4} {x-2} = dfrac {x-1} {x ^ {2} -4} nonumber ] [ 19459003]  

Solución

 

Tenga en cuenta cualquier valor de la variable que haría cero a cualquier denominador.

 

[ dfrac {2} {x + 2} + dfrac {4} {x-2} = dfrac {x-1} {(x + 2) (x-2)}, x neq -2, x neq 2 nonumber ]

 

Encuentra el mínimo común denominador de todos los denominadores en la ecuación. La pantalla LCD es ((x + 2) (x-2) ).

 

Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD.

 

[(x + 2) (x-2) left ( dfrac {2} {x + 2} + dfrac {4} {x-2} right) = (x + 2) (x -2) left ( dfrac {x-1} {x ^ {2} -4} right) nonumber ]

 

Distribuir.

 

[(x + 2) (x-2) dfrac {2} {x + 2} + (x + 2) (x-2) dfrac {4} {x-2} = (x + 2) (x-2) left ( dfrac {x-1} {x ^ {2} -4} right) nonumber ]

 

Eliminar los factores comunes.

 

[ cancel {(x + 2)} (x-2) dfrac {2} { cancel {x + 2}} + (x + 2) { cancel {(x-2)}} dfrac {4} { cancel {x-2}} = cancel {(x + 2) (x-2)} left ( dfrac {x-1} { cancel {x ^ {2} -4 }} right) nonumber ]

 

Simplificar.

 

[2 (x-2) +4 (x + 2) = x-1 nonumber ]

 

Distribuir.

 

[2 x-4 + 4 x + 8 = x-1 nonumber ]

 

Resolver.

 

[ begin {alineado} 6 x + 4 & = x-1 \ 5 x & = – 5 \ x & = – 1 end {alineado} ]

 

Verificación: No obtuvimos 2 o −2 como soluciones algebraicas.

 

Verifique (x = -1 ) en la ecuación original.

 

[ begin {alineado} dfrac {2} {x + 2} + dfrac {4} {x-2} & = dfrac {x-1} {x ^ {2} -4} dfrac {2} {(- 1) +2} + dfrac {4} {(- 1) -2} & overset {?} {=} dfrac {(- 1) -1} {(- 1) ^ {2} -4} \ dfrac {2} {1} + dfrac {4} {- 3} & overset {?} {=} Dfrac {-2} {- 3} \ dfrac {6} {3} – dfrac {4} {3} & overset {?} {=} dfrac {2} {3} \ dfrac {2} {3} & = dfrac {2 } {3} surd end {alineado} nonumber ]

 

La solución es (x = -1 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resuelve: [ dfrac {2} {x + 1} + dfrac {1} {x-1} = dfrac {1} {x ^ {2} -1} nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

(x = dfrac {2} {3} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Resuelve: [ dfrac {5} {y + 3} + dfrac {2} {y-3} = dfrac {5} {y ^ {2} -9} nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

(y = 2 )

     
 
 
 

En el siguiente ejemplo, el primer denominador es un trinomio. Recuerde factorizarlo primero para encontrar la pantalla LCD.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Resuelva: [ dfrac {m + 11} {m ^ {2} -5 m + 4} = dfrac {5} {m-4} – dfrac {3} {m-1} nonumber ]

 

Solución

 

Tenga en cuenta cualquier valor de la variable que haría cero a cualquier denominador. Use la forma factorizada del denominador cuadrático.

 

[ dfrac {m + 11} {(m-4) (m-1)} = dfrac {5} {m-4} – dfrac {3} {m-1}, m neq 4, m neq 1 nonumber ]

 

Encuentra el mínimo común denominador de todos los denominadores en la ecuación. La pantalla LCD es ((m-4) (m-1) )

 

Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD.

 

[(m-4) (m-1) left ( dfrac {m + 11} {(m-4) (m-1)} right) = (m-4) (m-1 ) left ( dfrac {5} {m-4} – dfrac {3} {m-1} right) nonumber ]

 

Distribuir.

 

[(m-4) (m-1) left ( dfrac {m + 11} {(m-4) (m-1)} right) = (m-4) (m-1 ) dfrac {5} {m-4} – (m-4) (m-1) dfrac {3} {m-1} nonumber ]

 

Eliminar los factores comunes.

 

[ cancel {(m-4) (m-1)} left ( dfrac {m + 11} { cancel {(m-4) (m-1)}} right) = cancelar {(m-4)} (m-1) dfrac {5} { cancel {m-4}} – (m-4) cancel {(m-1)} dfrac {3} { cancel {m-1}} nonumber ]

 

Simplificar.

 

[m + 11 = 5 (m-1) -3 (m-4) nonumber ]

 

Resuelve la ecuación resultante.

 

[ begin {alineado} m + 11 & = 5 m-5-3 m + 12 \ 4 & = m end {alineado} nonumber ]

 

Verificación. La única solución algebraica era 4, pero dijimos que 4 haría un denominador igual a cero. La solución algebraica es una solución extraña.

 

No hay solución para esta ecuación.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Resuelva: [ dfrac {x + 13} {x ^ {2} -7 x + 10} = dfrac {6} {x-5} – dfrac {4} {x-2} nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

No hay solución.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Resuelva: [ dfrac {y-6} {y ^ {2} +3 y-4} = dfrac {2} {y + 4} + dfrac {7} {y-1} nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

No hay solución.

     
 
 
 

La ecuación que resolvimos en el ejemplo anterior tenía solo una solución algebraica, pero era una solución extraña. Eso nos dejó sin solución a la ecuación. En el siguiente ejemplo obtenemos dos soluciones algebraicas. Aquí uno o ambos podrían ser soluciones extrañas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Resuelve: [ dfrac {y} {y + 6} = dfrac {72} {y ^ {2} -36} +4 nonumber ]

 

Solución

 

Factoriza todos los denominadores, para que podamos notar cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea cero.

 

[ dfrac {y} {y + 6} = dfrac {72} {(y-6) (y + 6)} + 4, y neq 6, y neq-6 nonumber ]

 

Encuentra el mínimo común denominador. La pantalla LCD es ((y-6) (y + 6) )

 

Borrar las fracciones.

 

[(y-6) (y + 6) left ( dfrac {y} {y + 6} right) = (y-6) (y + 6) left ( dfrac {72} {(y-6) (y + 6)} + 4 right) nonumber ]

 

Simplificar.

 

[(y-6) cdot y = 72 + (y-6) (y + 6) cdot 4 nonumber ]

 

Simplificar.

 

[y (y-6) = 72 + 4 left (y ^ {2} -36 right) nonumber ]

 

Resuelve la ecuación resultante.

 

[ begin {alineado} y ^ {2} -6 y & = 72 + 4 y ^ {2} -144 \ 0 & = 3 y ^ {2} +6 y-72 \ 0 & = 3 left (y ^ {2} +2 y-24 right) \ 0 & = 3 (y + 6) (y-4) \ y & = – 6, y = 4 end {alineado} nonumber ] [ 19459003]  

Verificación.

 

(y = -6 ) es una solución extraña. Marque (y = 4 ) en la ecuación original.

 

[ begin {alineado} dfrac {y} {y + 6} & = dfrac {72} {y ^ {2} -36} +4 \ dfrac {4} {4 + 6} & overset {?} {=} dfrac {72} {4 ^ {2} -36} +4 \ dfrac {4} {10} & overset {?} {=} dfrac {72} { -20} +4 \ dfrac {4} {10} & overset {?} {=} – dfrac {36} {10} + dfrac {40} {10} \ dfrac {4} { 10} & = dfrac {4} {10} surd end {alineado} nonumber ]

 

La solución es (y = 4 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Resuelve: [ dfrac {x} {x + 4} = dfrac {32} {x ^ {2} -16} +5 nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

(x = 3 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Resuelve: [ dfrac {y} {y + 8} = dfrac {128} {y ^ {2} -64} +9 nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

(y = 7 )

     
 
 
 

En algunos casos, todas las soluciones algebraicas son extrañas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Resolver: [ dfrac {x} {2 x-2} – dfrac {2} {3 x + 3} = dfrac {5 x ^ {2} -2 x + 9} {12 x ^ {2} -12} nonumber ]

 

Solución

 

Comenzaremos factorizando todos los denominadores, para facilitar la identificación de soluciones extrañas y la pantalla LCD.

 

[ dfrac {x} {2 (x-1)} – dfrac {2} {3 (x + 1)} = dfrac {5 x ^ {2} -2 x + 9} {12 (x-1) (x + 1)} nonumber ]

 

Tenga en cuenta cualquier valor de la variable que haría cero a cualquier denominador.

 

[ dfrac {x} {2 (x-1)} – dfrac {2} {3 (x + 1)} = dfrac {5 x ^ {2} -2 x + 9} {12 (x-1) (x + 1)}, x neq 1, x neq-1 nonumber ]

 

Encuentra el mínimo común denominador. La pantalla LCD es (12 (x-1) (x + 1) ).

 

Borrar las fracciones.

 

[12 (x-1) (x + 1) left ( dfrac {x} {2 (x-1)} – dfrac {2} {3 (x + 1)} right) = 12 (x-1) (x + 1) left ( dfrac {5 x ^ {2} -2 x + 9} {12 (x-1) (x + 1)} right) nonumber ] [ 19459003]  

Simplificar.

 

[6 (x + 1) cdot x-4 (x-1) cdot 2 = 5 x ^ {2} -2 x + 9 nonumber ]

 

Simplificar.

 

[6 x (x + 1) -4 cdot 2 (x-1) = 5 x ^ {2} -2 x + 9 nonumber ]

 

Resuelve la ecuación resultante.

 

[ begin {alineado} 6 x ^ {2} +6 x-8 x + 8 & = 5 x ^ {2} -2 x + 9 \ x ^ {2} -1 & = 0 \ ( x-1) (x + 1) & = 0 \ x & = 1 text {or} x = -1 end {alineado} nonumber ]

 

Verificación.

 

(x = 1 ) y (x = -1 ) son soluciones extrañas.

 

La ecuación no tiene solución.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Resuelva: [ dfrac {y} {5 y-10} – dfrac {5} {3 y + 6} = dfrac {2 y ^ {2} -19 y + 54} {15 y ^ {2} -60} nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

No hay solución.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Resuelva: [ dfrac {z} {2 z + 8} – dfrac {3} {4 z-8} = dfrac {3 z ^ {2} -16 z-16} {8 z ^ {2} +2 z-64} nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

No hay solución.

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Resuelve: [ dfrac {4} {3 x ^ {2} -10 x + 3} + dfrac {3} {3 x ^ {2} +2 x-1} = dfrac {2} {x ^ {2} -2 x-3} nonumber ]

 

Solución

 

Factoriza todos los denominadores, para que podamos notar cualquier valor de la variable que haga que cualquier denominador sea cero.

 

[ dfrac {4} {(3 x-1) (x-3)} + dfrac {3} {(3 x-1) (x + 1)} = dfrac {2} {( x-3) (x + 1)}, x neq-1, x neq dfrac {1} {3}, x neq 3 nonumber ]

 

Encuentra el mínimo común denominador. La pantalla LCD es ((3 x-1) (x + 1) (x-3) ).

 

Borrar las fracciones.

 

[(3 x-1) (x + 1) (x-3) left ( dfrac {4} {(3 x-1) (x-3)} + dfrac {3} {( 3 x-1) (x + 1)} right) = (3 x-1) (x + 1) (x-3) left ( dfrac {2} {(x-3) (x + 1) } right) nonumber ]

 

Simplificar.

 

[4 (x + 1) +3 (x-3) = 2 (3 x-1) nonumber ]

 

Distribuir.

 

[4 x + 4 + 3 x-9 = 6 x-2 nonumber ]

 

Simplificar.

 

[7 x-5 = 6 x-2 nonumber ]

 

[x = 3 nonumber ]

 

La única solución algebraica fue (x = 3 ) , pero dijimos que (x = 3 ) haría un denominador igual a cero. La solución algebraica es una solución extraña.

 

No hay solución para esta ecuación.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Resuelve: [ dfrac {15} {x ^ {2} + x-6} – dfrac {3} {x-2} = dfrac {2} {x + 3} nonumber ] [ 19459003]  

     
Respuesta
     
     

No hay solución.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Resuelve: [ dfrac {5} {x ^ {2} +2 x-3} – dfrac {3} {x ^ {2} + x-2} = dfrac {1} {x ^ {2} +5 x + 6} nonumber ]

 
     
Respuesta
     
     

No hay solución.

     
 
 
 

Resolver una ecuación racional para una variable específica

 

Cuando resolvimos ecuaciones lineales, aprendimos cómo resolver una fórmula para una variable específica. Muchas fórmulas utilizadas en negocios, ciencias, economía y otros campos usan ecuaciones racionales para modelar la relación entre dos o más variables. Ahora veremos cómo resolver una ecuación racional para una variable específica.

 

Cuando desarrollamos la fórmula de punto y pendiente a partir de nuestra fórmula de pendiente, borramos las fracciones multiplicando por la pantalla LCD.

 

[ begin {alineado} m & = frac {y-y_ {1}} {x-x_ {1}} \ m left (x-x_ {1} right) & = left ( frac {y-y_ {1}} {x-x_ {1}} right) left (x-x_ {1} right) quad text {Multiplica ambos lados de la ecuación por} x-x_1 . \ m left (x-x_ {1} right) & = y-y_ {1} quad text {Simplify.} \ y-y_ {1} & = m left (x-x_ { 1} right) quad text {Reescribe la ecuación con los términos y a la izquierda.} End {alineado} nonumber ]

 

En el siguiente ejemplo, usaremos la misma técnica con la fórmula para la pendiente que usamos para obtener la forma punto-pendiente de una ecuación de una línea a través del punto ((2,3) ). Agregaremos un paso más para resolver (y ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Resuelva: (m = dfrac {y-2} {x-3} ) para (y ).

 

Solución

 

[m = dfrac {y-2} {x-3} nonumber ]

 

Tenga en cuenta cualquier valor de la variable que haría cero a cualquier denominador.

 

[m = dfrac {y-2} {x-3}, x neq 3 nonumber ]

 

Borre las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD, (x-3 ).

 

[(x-3) m = (x-3) left ( dfrac {y-2} {x-3} right) nonumber ]

 

Simplificar.

 

[x m-3 m = y-2 nonumber ]

 

Aísle el término con (y ).

 

[x m-3 m + 2 = y no número ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Resuelva: (m = dfrac {y-5} {x-4} ) para (y ).

 
     
Respuesta
     
     

(y = m x-4 m + 5 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Resuelva: (m = dfrac {y-1} {x + 5} ) para (y ).

 
     
Respuesta
     
     

(y = m x + 5 m + 1 )

     
 
 
 

Recuerde multiplicar ambos lados por la pantalla LCD en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Resuelva: ( dfrac {1} {c} + dfrac {1} {m} = 1 ) para (c )

 

Solución

 

[ dfrac {1} {c} + dfrac {1} {m} = 1 text {para} c nonumber ]

 

Tenga en cuenta cualquier valor de la variable que haría cero a cualquier denominador.

 

[ dfrac {1} {c} + dfrac {1} {m} = 1, c neq 0, m neq 0 nonumber ]

 

Borre las fracciones multiplicando ambos lados de las ecuaciones por la pantalla LCD, (cm ).

 

[cm left ( dfrac {1} {c} + dfrac {1} {m} right) = cm (1) nonumber ]

 

Distribuir.

 

[cm left ( frac {1} {c} right) + cm frac {1} {m} = cm (1) nonumber ]

 

Simplificar.

 

[m + c = cm nonumber ]

 

Recoja los términos con (c ) a la derecha.

 

[m = cm-c nonumber ]

 

Factoriza la expresión de la derecha.

 

[m = c (m-1) nonumber ]

 

Para aislar (c ), divida ambos lados entre (m-1 ).

 

[ dfrac {m} {m-1} = dfrac {c (m-1)} {m-1} nonumber ]

 

Simplifique eliminando factores comunes.

 

[ dfrac {m} {m-1} = c nonumber ]

 

Observe que aunque excluimos (c = 0 ) y (m = 0 ) de la ecuación original, ahora también debemos indicar que (m neq 1 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Resuelva: ( dfrac {1} {a} + dfrac {1} {b} = c ) para (a ).

 
     
Respuesta
     
     

(a = dfrac {b} {c b-1} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Resuelva: ( dfrac {2} {x} + dfrac {1} {3} = dfrac {1} {y} ) para (y )

 
     
Respuesta
     
     

(y = dfrac {3 x} {x + 6} )

     
 
 
 
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