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las matematicas

7.5: Resolviendo Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

Resolución de ecuaciones exponenciales

 

Una ecuación exponencial 15 es una ecuación que incluye una variable como uno de sus exponentes. En esta sección describimos dos métodos para resolver ecuaciones exponenciales. Primero, recuerde que las funciones exponenciales definidas por (f (x) = b ^ {x} ) donde (b> 0 ) y (b ≠ 1 ), son uno a uno; cada valor en el rango corresponde exactamente a un elemento en el dominio. Por lo tanto, (f (x) = f (y) ) implica (x = y ). Lo contrario es cierto porque (f ) es una función. Esto lleva a la muy importante propiedad uno a uno de las funciones exponenciales 16 :

 

(b ^ { mathrm {x}} = b ^ { mathrm {y}} quad ) si y solo si ( quad x = y )

 

Use esta propiedad para resolver ecuaciones exponenciales especiales donde cada lado puede escribirse en términos de la misma base.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Resuelve (3 ^ {2 x-1} = 27 ).

 

Solución

 

Comienza escribiendo (27 ) como una potencia de (3 ).

 

(3 ^ {2 x-1} = 27 )
(3 ^ {2 x-1} = 3 ^ {3} )

 

A continuación, aplique la propiedad uno a uno de las funciones exponenciales. En otras palabras, establezca los exponentes iguales entre sí y luego simplifique.

 

(2 x-1 = 3 )
(2 x = 4 )
(x = 2 )

 

Respuesta :

 

(2 )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Resuelve: (16 ^ {1-3 x} = 2 ).

 

Solución

 

Comienza escribiendo (16 ) como una potencia de (2 ) y luego aplica la regla de potencia para exponentes.

 

( begin {alineado} 16 ^ {1-3 x} & = 2 \ izquierda (2 ^ {4} derecha) ^ {1-3 x} & = 2 \ 2 ^ {4 (1-3 x)} & = 2 ^ {1} end {alineado} )

 

Ahora que las bases son las mismas, podemos establecer los exponentes iguales entre sí y simplificar.

 

( begin {alineado} 4 (1-3 x) & = 1 \ 4-12 x & = 1 \ – 12 x & = – 3 \ x & = frac {-3} { -12} = frac {1} {4} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

( frac {1} {4} )

 
 

En muchos casos no podremos equiparar las bases. Por esta razón, desarrollamos un segundo método para resolver ecuaciones exponenciales. Considere las siguientes ecuaciones:

 

( begin {array} {l} {3 ^ {2} = 9} \ {3 ^ { color {Cerulean} {?}} Color {black} {=} 12} \ { 3 ^ {3} = 27} end {array} )

 

Podemos ver que la solución a (3 ^ {x} = 12 ) debería estar en algún lugar entre (2 ) y (3 ). Sigue una interpretación gráfica.

 
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Figura 7.5.1
 

Para resolver esto, utilizamos el hecho de que los logaritmos son funciones uno a uno. Dada (x, y> 0 ) la propiedad uno a uno de logaritmos 17 sigue:

 

( log _ {b} x = log _ {b} y quad ) si y solo si ( quad x = y )

 

Esta propiedad, así como las propiedades del logaritmo, nos permite resolver ecuaciones exponenciales. Por ejemplo, para resolver (3 ^ {x} = 12 ) aplique el logaritmo común a ambos lados y luego use las propiedades del logaritmo para aislar la variable.

 

( begin {alineado} 3 ^ {x} & = 12 \ log 3 ^ {x} & = log 12 quad color {Cerulean} {One-to-one : property : de : logaritmos} \ x log 3 & = log 12 quad color {Cerulean} {Power : rule : for : logarithms} \ x & = frac { log 12} { log 3} end {alineado} )

 

Aproximando cuatro decimales en una calculadora.

 

(x = log (12) / log (3) aprox 2.2619 )

 

Una respuesta entre (2 ) y (3 ) es lo que esperábamos. Ciertamente, podemos verificar elevando (3 ) a esta potencia para verificar que obtenemos una buena aproximación de (12 ).

 

(3 cuña 2.2618 aprox 12 : : color {Cerulean} {✓} )

 
 

Tenga en cuenta que estamos no multiplicando ambos lados por “log”; estamos aplicando la propiedad uno a uno de las funciones logarítmicas, que a menudo se expresa como “ tomando el registro de ambos lados “. Los pasos generales para resolver ecuaciones exponenciales se resumen en el siguiente ejemplo.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Resuelve: (5 ^ {2 x-1} + 2 = 9 ).

 

Solución

 

Paso 1 : aísla la expresión exponencial.

 

( begin {alineado} 5 ^ {2 x-1} +2 & = 9 \ 5 ^ {2 x-1} & = 7 end {alineado} )

 

Paso 2 : Toma el logaritmo de ambos lados. En este caso, tomaremos el logaritmo común de ambos lados para poder aproximar nuestro resultado en una calculadora.

 

( log 5 ^ {2 x-1} = log 7 )

 

Paso 3 : Aplica la regla de potencia para logaritmos y luego resuelve.

 

( begin {alineado} log 5 ^ {2 x-1} & = log 7 \ (2 x-1) log 5 & = log 7 quad quad quad quad color {Cerulean} {Distribuir.} \ 2 x log 5- log 5 & = log 7 \ 2 x log 5 & = log 5+ log 7 \ x & = frac { log 5+ log 7} {2 log 5} end {alineado} )

 

Este es un número irracional que se puede aproximar usando una calculadora. Tenga cuidado de agrupar el numerador y el producto en el denominador cuando ingrese esto en su calculadora. Para hacer esto, utilice los botones de paréntesis (() y () ):

 

(x = ( log 5+ log (7)) / (2 * log (5)) aprox 1.1045 )

 

Respuesta :

 

( frac { log 5+ log 7} {2 log 5} aprox 1.1045 )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Resuelve: (e ^ {5 x + 3} = 1 ).

 

Solución

 

La función exponencial ya está aislada y la base es (e ). Por lo tanto, elegimos aplicar el logaritmo natural a ambos lados.

 

( begin {alineado} e ^ {5 x + 3} & = 1 \ ln e ^ {5 x + 3} & = ln 1 end {alineado} )

 

Aplica la regla de potencia para logaritmos y luego simplifica.

 

( begin {alineado} ln e ^ {5 x + 3} & = ln 1 \ (5 x + 3) ln e & = ln 1 quad color {Cerulean} {Recordar : ln e = 1 : y : ln 1 = 0.} \ (5 x + 3) cdot 1 & = 0 \ 5 x + 3 & = 0 \ x & = – frac {3} {5} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(- frac {3} {5} )

 
 

En la mayoría de las calculadoras solo hay dos botones de logaritmo, el logaritmo común (LOG ) y el logaritmo natural (LN ). Si queremos aproximarnos a ( log _ {3} 10 ) tenemos que cambiar de alguna manera esta base a (10 ​​) o (e ). La idea comienza reescribiendo la función logarítmica (y = log _ {a} x ), en forma exponencial.

 

( log _ {a} x = y color {Cerulean} { Longrightarrow} color {black} {x} = a ^ {y} )

 

Aquí (x> 0 ) y así podemos aplicar la propiedad uno a uno de los logaritmos. Aplique el logaritmo base (b ) a ambos lados de la función en forma exponencial.

 

( begin {alineado} x & = a ^ {y} \ log _ {b} x & = log _ {b} a ^ {y} end {alineado} )

 

Y luego resuelve (y ).

 

( log _ {b} x = y log _ {b} a )
( frac { log _ {b} x} { log _ {b} a} = y )

 

Reemplaza (y ) en la función original y tenemos el muy importante cambio de base fórmula 18 : [ 19459012]  

( log _ {a} x = frac { log _ {b} x} { log _ {b} a} )

 

Podemos usar esto para aproximar ( log _ {3} 10 ) de la siguiente manera.

 

( log _ {3} 10 = frac { log 10} { log 3} aprox 2.0959 ) o ( log _ {3} 10 = frac { ln 10} { En 3} aproximadamente 2.0959 )

 

Observe que el resultado es independiente de la elección de la base. En palabras, podemos aproximar el logaritmo de cualquier base dada en una calculadora dividiendo el logaritmo del argumento por el logaritmo de esa base dada.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Aproximadamente ( log _ {7} 120 ) la centésima más cercana.

 

Solución

 

Aplica el cambio de fórmula base y usa una calculadora.

 

( log _ {7} 120 = frac { log 120} { log 7} )

 

En una calculadora,

 

( log (120) / log (7) aprox 2.46 )

 

Respuesta :

 

(2,46 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Resuelve: (2 ^ {3 x + 1} -4 = 1 ). Dé la respuesta exacta y aproximada redondeada a cuatro decimales.

 
     
Respuesta
     
     

( frac { log 5- log 2} {3 log 2} aprox 0.4406 )

     

     
 
 
 

Resolución de ecuaciones logarítmicas

 

Una logarítmica ecuación 19 es una ecuación que involucra un logaritmo con un argumento variable. Algunas ecuaciones logarítmicas se pueden resolver utilizando la propiedad uno a uno de los logaritmos. Esto es cierto cuando se puede obtener un solo logaritmo con la misma base en ambos lados del signo igual.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Resuelve: ( log _ {2} (2 x-5) – log _ {2} (x-2) = 0 ).

 

Solución

 

Podemos obtener dos logaritmos iguales base (2 ) agregando ( log _ {2} (x-2) ) a ambos lados de la ecuación.

 

( begin {alineado} log _ {2} (2 x-5) – log _ {2} (x-2) & = 0 \ log _ {2} (2 x-5 ) & = log _ {2} (x-2) end {alineado} )

 

Aquí las bases son las mismas y, por lo tanto, podemos aplicar la propiedad uno a uno y establecer los argumentos iguales entre sí.

 

( begin {alineado} log _ {2} (2 x-5) & = log _ {2} (x-2) \ 2 x-5 & = x-2 \ x & = 3 end {alineado} )

 

Comprobando (x = 3 ) en la ecuación original:

 

( begin {alineado} log _ {2} (2 ( color {OliveGreen} {3} color {black} {)} – 5) & = log _ {2} (( color {Verde oliva} {3} color {negro} {)} – 2) \ log _ {2} 1 & = log _ {2} 1 \ 0 & = 0 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(3 )

 
 

Al resolver ecuaciones logarítmicas, la verificación es muy importante porque se pueden obtener soluciones extrañas. Las propiedades del logaritmo solo se aplican a valores en el dominio del logaritmo dado. Y cuando se trabaja con argumentos variables, como ( log (x-2) ), el valor de (x ) no se conoce hasta el final de este proceso. La expresión logarítmica ( log (x-2) ) solo se define para los valores (x> 2 ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Resuelve: ( log (3 x-4) = log (x-2) ).

 

Solución

 

Aplicar la propiedad uno a uno de los logaritmos (establecer los argumentos iguales entre sí) y luego resolver (x ).

 

( begin {alineado} log (3 x-4) & = log (x-2) \ 3 x-4 & = x-2 \ 2 x & = 2 \ x & = 1 end {alineado} )

 

Al realizar la verificación, encontramos un logaritmo de un número negativo:

 

( begin {alineado} log (x-2) & = log ( color {Cerulean} {1} color {black} {-} 2) \ & = log (-1) quad color {Cerulean} {Indefinido} end {alineado} )

 

Prueba esto en una calculadora, ¿qué dice? Aquí (x = 1 ) no está en el dominio de ( log (x-2) ). Por lo tanto, nuestra única solución posible es extraña y concluimos que no hay soluciones para esta ecuación.

 

Respuesta

 

Sin solución, ( emptyset ).

 
 

Precaución : Resolver ecuaciones logarítmicas a veces conduce a soluciones extrañas: debemos verificar nuestras respuestas.

 

En muchos casos no podremos obtener dos logaritmos iguales. Para resolver tales ecuaciones, utilizamos la definición del logaritmo. Si (b> 0 ), donde (b ≠ 1 ), entonces ( log _ {b} x = y ) implica que (b ^ {y} = x ). Considere las siguientes ecuaciones logarítmicas comunes (base (10 ​​)),

 

( begin {array} {l} { log x = 0 Longrightarrow = 1 quad : ; color {Cerulean} {Porque : 10 ^ {10} = 1.}} \ { log x = 0.5 Longrightarrow = color {Cerulean} {?}} \ { log x = 1 Longrightarrow = 10 quad color {Cerulean} {Porque : 10 ^ {1} = 10.} } end {array} )

 

Podemos ver que la solución a ( log x = 0.5 ) estará en algún lugar entre (1 ) y (10 ​​). Sigue una interpretación gráfica.

 
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Figura 7.5.2
 

Para encontrar (x ) podemos aplicar la definición de la siguiente manera.

 

( log _ {10} x = 0.5 Longrightarrow10 ^ {0.5} = x )

 

Esto puede aproximarse usando una calculadora,

 

(x = 10 ^ {0.5} = 10 ^ { wedge} 0.5 aprox 3.1623 )

 

Una respuesta entre (1 ) y (10 ​​) es lo que esperábamos. Comprueba esto en una calculadora.

 

( log 3.1623 aprox 5 : : color {Cerulean} {✓} )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Resuelve: ( log _ {3} (2 x-5) = 2 ).

 

Solución

 

Aplica la definición del logaritmo.

 

( log _ {3} (2 x-5) = 2 color {Cerulean} { Longrightarrow} color {black} {2x} -5 = 3 ^ {2} )

 

Resuelve la ecuación resultante.

 

( begin {alineado} 2 x-5 & = 9 \ 2 x & = 14 \ x & = 7 end {alineado} )

 

Verificar.

 

( begin {alineado} log _ {3} (2 ( color {OliveGreen} {7} color {black} {)} – 5) & stackrel {?} {=} 2 \ log _ {3} (9) & = 2 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(7 )

 
 

Para aplicar la definición, necesitaremos reescribir expresiones logarítmicas como un solo logaritmo con coeficiente (1 ). Los pasos generales para resolver ecuaciones logarítmicas se resumen en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Resuelve: ( log _ {2} (x-2) + log _ {2} (x-3) = 1 ).

 

Solución

 

Paso 1 : Escribe todas las expresiones logarítmicas como un solo logaritmo con coeficiente (1 ). En este caso, aplique la regla del producto para logaritmos.

 

( begin {alineado} log _ {2} (x-2) + log _ {2} (x-3) & = 1 \ log _ {2} [(x-2) (x-3)] & = 1 end {alineado} )

 

Paso 2 : Usa la definición y reescribe el logaritmo en forma exponencial,

 

( log _ {2} [(x-2) (x-3)] = 1 color {Cerulean} { Longrightarrow} color {black} {(} x-2) (x-3 ) = 2 ^ {1} )

 

Paso 3 : Resuelve la ecuación resultante. Aquí podemos resolver factorizando.

 

( begin {array} {rl} {(x-2) (x-3)} & {= 2} \ {x ^ {2} -5 x + 6} & {= 2} {x ^ {2} -5 x + 4} & {= 0} \ {(x-4) (x-1)} & {= 0} \ {x-4} & {= 0} quad text {or} quad & {x-1 = 0} \ {x} & {= 4} & { quad : : : x = 1} end {array} )

 

Paso 4 : Verificar. Este paso es obligatorio.

                                                                                                              
Verificación (x = 4 ) Verificación (x = 1 )
( begin {alineado} log _ {2} (x-2) + log _ {2} (x-3) & = 1 \ log _ {2} ( color {Cerulean} {4} color {black} {-} 2) + log _ {2} ( color {Cerulean} {4} color {black} {-} 3) & = 1 \ log _ {2} (2) + log _ {2} (1) & = 1 \ 1 + 0 & = 1 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} ) ( begin {alineado} log _ {2} (x-2) + log _ {2} (x-3) & = 1 \ log _ {2} ( color {Cerulean} {1} color {black} {-} 2) + log _ {2} ( color {Cerulean} {1} color {black} {-} 3) & = 1 \ log _ {2} (-1) + log _ {2} (- 2) & = 1 \ N / A & neq1 : : color {red} { } final {alineado} )
 

Tabla 7.5.1

 

En este ejemplo, (x = 1 ) no está en el dominio de la expresión logarítmica dada y es extraño. La única solución es (x = 4 ).

 

Respuesta :

 

(4 )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

 

Resolver: ( log (x + 15) -1 = log (x + 6) )

 

Solución

 

Comienza escribiendo todas las expresiones logarítmicas en un lado y las constantes en el otro.

 

( begin {alineado} log (x + 15) -1 & = log (x + 6) \ log (x + 15) – log (x + 6) & = 1 end {alineado} )

 

Aplica la regla del cociente para logaritmos como un medio para obtener un solo logaritmo con coeficiente (1 ).

 

( log (x + 15) – log (x + 6) = 1 )
( log left ( frac {x + 15} {x + 6} right) = 1 )

 

Este es un logaritmo común; por lo tanto, use 10 como base cuando aplique la definición.

 

( begin {alineado} frac {x + 15} {x + 6} & = 10 ^ {1} \ x + 15 & = 10 (x + 6) \ x + 15 & = 10 x + 60 \ – 9 x & = 45 \ x & = – 5 end {alineado} )

 

Verificar.

 

( begin {alineado} log (x + 15) -1 & = log (x + 6) \ log (- color {OliveGreen} {5} color {black} {+} 15) -1 & = log (- color {OliveGreen} {5} color {black} {+} 6) \ log 10-1 & = log 1 \ 1-1 & = 0 \ 0 & = 0 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(- 5 )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

 

Encuentre el inverso: (f (x) = log _ {2} (3 x-4) ).

 

Solución

 

Comience por reemplazar la notación de función (f (x) ) con (y ).

 

( begin {alineado} f (x) & = log _ {2} (3 x-4) \ y & = log _ {2} (3 x-4) end {alineado} )

 

Intercambia (x ) y (y ) y luego resuelve (y ).

 

( begin {alineado} x = log _ {2} (3 y-4) color {Cerulean} { Longrightarrow} color {black} {3} y-4 & = 2 ^ {x} \ 3y & = 2 ^ {x} +4 \ y & = frac {2 ^ {x} +4} {3} end {alineado} )

 

La función resultante es la inversa de (f ). Presente la respuesta usando la notación de función.

 

Respuesta :

 

(f ^ {- 1} (x) = frac {2 ^ {x} +4} {3} )

 
 
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