7.5: Variación directa e inversa

7.5: Variación directa e inversa

                 

Comenzamos con la definición de la frase «es proporcional a».

 
 

Proporcional

 

Decimos que (y ) es proporcional a (x ) si y solo si
[y = kx nonumber ]
donde (k ) es una constante llamada constante de proporcionalidad. La frase » (y ) varía directamente ya que (x )» es una forma equivalente de decir » (y ) es proporcional a (x )».

 
 

Aquí hay algunos ejemplos que traducen la frase «es proporcional a».

 
         
  • Dado que (d ) es proporcional a (t ), escribimos (d = kt ), donde (k ) es una constante.
  •      
  • Dado que (y ) es proporcional al cubo de (x ), escribimos (y = kx ^ 3 ), donde (k ) es una constante.
  •      
  • Dado que (s ) es proporcional al cuadrado de (t ), escribimos (s = kt ^ 2 ), donde (k ) es una constante.
  •  
 

No estamos restringidos a usar siempre la letra (k ) para nuestra constante de proporcionalidad.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Dado que (y ) es proporcional a (x ) y el hecho de que (y = 12 ) cuando (x = 5 ), determina la constante de proporcionalidad, luego determina el valor de (y ) cuando (x = 10 ).

 

Solución

 

Dado que (y ) es proporcional a (x ), sabemos de inmediato que [y = kx nonumber ] donde (k ) es la constante de proporcionalidad. Debido a que se nos da que (y = 12 ) cuando (x = 5 ), podemos sustituir (12 ) por (y ) y (5 ) por (x ) para determinar (k ).

 

[ begin {array} {rl} {y = kx} & color {Red} {y text {es proporcional a} x} \ {12 = k (5)} & color {Red { } { text {Sustituir} 12 text {para} y, 5 text {para} x} \ { dfrac {12} {5} = k} & color {Rojo} { text {Divide ambos lados por} 5} end {array} nonumber ]

 

Luego, sustituya la constante de proporcionalidad (12/5 ) por (k ) en (y = kx ), luego sustituya (10 ​​) por (x ) para determinar (y ) cuando (x = 10 ).

 

[ begin {array} {ll} {y = dfrac {12} {5} x} & color {Red} { text {Substitute} 12/5 text {for} k} \ {y = dfrac {12} {5} (10)} & color {Red} { text {Substitute} 10 text {for} x} \ {y = 24} & color {Red} { texto {Cancelar y simplificar. }} end {array} nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Dado que (y ) es proporcional a (x ) y que (y = 21 ) cuando (x = 9 ), determine el valor de (y ) cuando (x = 27 ).

 
     
Respuesta
     
     

(63 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Se arroja una pelota desde un globo que flota sobre la superficie de la tierra. La distancia (s ) que cae la pelota es proporcional al cuadrado del tiempo (t ) que ha pasado desde el lanzamiento de la pelota. Si la pelota cae (144 ) pies durante los primeros (3 ) segundos, ¿qué tan lejos cae la pelota en (9 ) segundos?

 

Solución

 

Dado que (s ) es proporcional al cuadrado de (t ), sabemos de inmediato que

 

[s = k t ^ {2} nonumber ]

 

donde (k ) es la constante de proporcionalidad. Debido a que se nos da que la bola cae (144 ) pies durante los primeros (3 ) segundos, podemos sustituir (144 ) por (s ) y (3 ) por (t ) para determinar la constante de proporcionalidad.

 

[ begin {array} {rl} {s = kt ^ {2}} & color {Red} {s text {es proporcional al cuadrado de} t} \ {144 = k (3 ) ^ {2}} & color {Red} { text {Sustituir} 144 text {for} s, 3 text {for} t} \ {144 = 9 k} & color {Red} { text {Simplify:} 3 ^ {2} = 9} \ {16 = k} & color {Red} { text {Divide ambos lados entre} 9} end {array} nonumber ]

 

Luego, sustituya la constante de proporcionalidad (16 ) por (k ) en (s = kt ^ 2 ), y luego sustituya (9 ) por (t ) para determinar la distancia caído cuando (t = 9 ) segundos.

 

[ begin {array} {ll} {s = 16 t ^ {2}} & color {Red} { text {Substitute} 16 text {for} k} \ {s = 16 ( 9) ^ {2}} & color {Red} { text {Substitute} 9 text {for} t} \ {s = 1296} & color {Red} { text {Simplify}} end { matriz} nonumber ]

 

Así, la pelota cae (1,296 ) pies durante los primeros (9 ) segundos.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Se deja caer una pelota desde el borde de un cli ff en cierto planeta. La distancia (s ) que cae la pelota es proporcional al cuadrado del tiempo (t ) que ha pasado desde el lanzamiento de la pelota. Si la pelota cae (50 ) pies durante los primeros (5 ) segundos, ¿qué tan lejos cae la pelota en (8 ) segundos?

 
     
Respuesta
     
     

(128 ) pies

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Tony y Paul están colgando pesas en un resorte en el laboratorio de física. Cada vez que se cuelga un peso, miden la distancia que se extiende el resorte. Descubren que la distancia (y ) que se extiende el resorte es proporcional al peso colgado en el resorte (Ley de Hooke). Si un peso de (0.5 ) libra estira el resorte (3 ) pulgadas, ¿hasta qué punto un peso de (0.75 ) libra estira el resorte?

 

Solución

 

Sea (W ) el peso colgado en el resorte. Deje que (y ) represente la distancia que se extiende el resorte. Se nos dice que la distancia y el resorte se extiende es proporcional a la cantidad de peso (W ) colgado en el resorte. Por lo tanto, podemos escribir:

 

[y = k W quad color {Red} y text {es proporcional a} W nonumber ]

 

Sustituye (3 ) por (y ), (0.5 ) por (W ), luego resuelve la bifurcación.

 

[ begin {array} {rlrl} {3} & {= k (0.5)} & {} & color {Red} { text {Substitute} 3 text {para} y, 0.5 text {for} W} \ { dfrac {3} {0.5}} & {= k} & {} & color {Red} { text {Divide ambos lados entre} 0.5} \ {k} & {= 6} & {} & color {Red} { text {Simplificar. }} end {array} nonumber ]

 

Sustituye (6 ) por (k ) en (y = kW ) para producir:

 

[y = 6 W quad color {Rojo} text {Sustituir} 6 text {para} k text {in} y = k W nonumber ]

 

Para determinar la distancia que se estira el resorte cuando se cuelgan (0.75 ) libras en el resorte, sustituya (0.75 ) por (W ).

 

[ begin {array} {ll} {y = 6 (0.75)} & color {Red} { text {Substitute} 0.75 text {for} W} \ {y = 4.5} & color {Rojo} { text {Simplificar. }} end {array} nonumber ]

 

Por lo tanto, el resorte se estirará (4,5 ) pulgadas.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Si un peso de (0,75 ) libras estira un resorte (5 ) pulgadas, ¿hasta qué punto un peso de (1,2 ) libras estira el resorte?

 
     
Respuesta
     
     

(8 ) pulgadas

     
 
 
 

Inversamente proporcional

 

En los ejemplos ( PageIndex {1} ), ( PageIndex {2} ) y ( PageIndex {3} ), donde una cantidad era proporcional a una segunda cantidad, es posible que haya notado que cuando una cantidad aumenta, la segunda cantidad también aumenta. Viceversa, cuando una cantidad disminuye, la segunda cantidad también disminuye.

 

Sin embargo, no todas las situaciones del mundo real siguen este patrón. Hay momentos en que a medida que aumenta una cantidad, disminuye la cantidad relacionada. Por ejemplo, considere la situación en la que aumenta el número de trabajadores en un trabajo y tenga en cuenta que el tiempo para terminar el trabajo disminuye. Este es un ejemplo de una cantidad inversamente proporcional a una segunda cantidad.

 
 

Inversamente proporcional

 

Decimos que (y ) es inversamente proporcional a (x ) si y solo si [y = dfrac {k} {x} nonumber ] donde (k ) es una constante llamada La constante de proporcionalidad. La frase » (y ) varía inversamente como (x )» es una forma equivalente de decir » (y ) en inversamente proporcional a (x )».

 
 

Aquí hay algunos ejemplos que traducen la frase «es inversamente proporcional a».

 
         
  • Dado que (d ) es inversamente proporcional a (t ), escribimos (d = k / t ), donde (k ) es una constante.
  •      
  • Dado que (y ) es inversamente proporcional al cubo de (x ), escribimos (y = k / x ^ 3 ), donde (k ) es una constante.
  •      
  • Dado que (s ) es inversamente proporcional al cuadrado de (t ), escribimos (s = k / t ^ 2 ), donde (k ) es una constante.
  •  
 

No estamos restringidos a usar siempre la letra (k ) para nuestra constante de proporcionalidad.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Dado que (y ) es inversamente proporcional a (x ) y al hecho de que (y = 4 ) cuando (x = 2 ), determina la constante de proporcionalidad, luego determina el valor de (y ) cuando (x = 4 ).

 

Solución

 

Dado que (y ) es inversamente proporcional a (x ), sabemos de inmediato que [y = dfrac {k} {x} nonumber ] donde (k ) es el proporcionalmente constante. Debido a que se nos da que (y = 4 ) cuando (x = 2 ), podemos sustituir (4 ) por (y ) y (2 ) por (x ) para determinar (k ).

 

[ begin {align *} y & = dfrac {k} {x} quad color {Red} y text {es inversamente proporcional a} x. \ 4 & = dfrac {k} {2} quad color {Rojo} text {Sustituir} 4 text {para} y, 2 text {para} x. \ 8 & = k quad color {Rojo} text {Multiplica ambos lados por} 2. end {align *} nonumber ]

 

Sustituye (8 ) por (k ) en (y = k / x ), luego sustituye (4 ) por (x ) para determinar (y ) cuando (x = 4 ).

 

[ begin {align *} y & = dfrac {8} {x} quad color {Red} text {Substitute} 8 text {for} k. \ y & = dfrac { 8} {4} quad color {Rojo} text {Sustituir} 4 text {para} x. \ y & = 2 quad color {Rojo} text {Reducir.} End {align *} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que a medida que (x ) aumentó de (2 ) a (4 ), (y ) disminuyó de (4 ) a (2 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Dado que (y ) es inversamente proporcional a (x ) y que (y = 5 ) cuando (x = 8 ), determine el valor de (y ) cuando (x = 10 ).

 
     
Respuesta
     
     

(4 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

La intensidad (I ) de la luz es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (d ) desde la fuente de luz. Si la intensidad de la luz (5 ) pies de la fuente de luz es (3 ) pie-velas, ¿cuál es la intensidad de la luz (15 ) pies de la fuente de luz?

 

Solución

 

Dado que la intensidad (I ) de la luz es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d desde la fuente de luz, sabemos de inmediato que [I = dfrac {k} {d ^ 2} nonumber ] donde (k ) es la constante de proporcionalidad. Dado que la intensidad es (I = 3 ) pie-velas a (d = 5 ) pies de la fuente de luz, podemos sustituir (3 ) por (I ) y (5 ) para (d ) para determinar (k ).

 

[ begin {align *} I & = dfrac {k} {d ^ 2} quad color {Red} I text {es inversamente proporcional a} d ^ 2. \ 3 & = dfrac {k} {5 ^ 2} quad color {Rojo} text {Sustituir} 3 text {para} I, 5 text {para} d. \ 3 & = dfrac {k} {25} quad color {Red} text {Simplify.} \ 75 & = k quad color {Red} text {Multiplica ambos lados por} 25. end {align *} nonumber ]

 

Sustituye (75 ) por (k ) en (I = k / d ^ 2 ), luego sustituye (15 ) por (d ) para determinar (I ) cuando (d = 15 ).

 

[ begin {align *} I & = dfrac {75} {d ^ 2} quad color {Red} text {Substitute} 75 text {for} k. \ I & = dfrac {75} {15 ^ 2} quad color {Rojo} text {Sustituir} 15 text {para} d. \ I & = dfrac {75} {225} quad color {Rojo} text {Simplify.} \ I & = dfrac {1} {3} quad color {Red} text {Reduce.} end {align *} nonumber ]

 

Por lo tanto, la intensidad de la luz (15 ) pies de la fuente de luz es (1/3 ) pie-vela.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Si la intensidad de luz (4 ) pies de una fuente de luz es (2 ) pie-velas, ¿cuál es la intensidad de la luz (8 ) pies de la fuente de luz?

 
     
Respuesta
     
     

(1/2 ) pie-vela

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Suponga que el precio por persona para una experiencia de campamento es inversamente proporcional al número de personas que se inscriben en la experiencia. Si se registran (10 ​​) personas, el precio por persona es ($ 350 ). ¿Cuál será el precio por persona si se registran (50 ) personas?

 

Solución

 

Sea (p ) el precio por persona y sea (N ) el número de personas que se inscriben en la experiencia de campamento. Debido a que se nos dice que el precio por persona es inversamente proporcional al número de personas que se inscriben en la experiencia de campamento, podemos escribir:

 

[p = dfrac {k} {N} nonumber ]

 

donde (k ) es la constante de proporcionalidad. Dado que el precio por persona es ($ 350 ) cuando se registran (10 ​​) personas, podemos sustituir (350 ) por (p ) y (10 ​​) por (N ) para determinar (k ).

 

[ begin {align *} p & = dfrac {k} {N} quad color {Red} p text {es inversamente proporcional a} N. \ 350 & = dfrac {k} {10} quad color {Rojo} text {Sustituir} 350 text {para} p, 10 text {para} N. \ 3500 & = k quad color {Rojo} text {Multiplica ambos lados por} 10. end {align *} nonumber ]

 

Sustituye (3500 ) por (k ) en (p = k / N ), luego sustituye (50 ) por (N ) para determinar (p ) cuando (N = 50 ).

 

[ begin {align *} p & = dfrac {3500} {N} quad color {Red} text {Substitute} 3500 text {for} k. \ p & = dfrac { 3500} {50} quad color {Rojo} text {Sustituir} 50 text {para} N. \ p & = 70 quad color {Rojo} text {Simplificar.} End {align *} nonumber ]

 

Por lo tanto, el precio por persona es ($ 70 ) si (50 ) las personas se inscriben en la experiencia de campamento.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Suponga que el precio por persona para un recorrido es inversamente proporcional al número de personas que se inscriben en el recorrido. Si se registran (8 ) personas, el precio por persona es ($ 70 ). ¿Cuál será el precio por persona si se registran (20 ) personas?

 
     
Respuesta
     
     

($ 28 )

     
 
 
 
                                  
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