Recuerde que el interés compuesto ocurre cuando el interés acumulado por un período se agrega a la inversión principal antes de calcular el interés para el próximo período. La cantidad (A ) acumulada de esta manera a lo largo del tiempo (t ) está modelada por la fórmula de interés compuesto:
(A (t) = P left (1+ frac {r} {n} right) ^ {n t} )
Aquí el principal inicial (P ) está acumulando interés compuesto a una tasa anual (r ) donde el valor (n ) representa el número de veces que el interés se capitaliza en un año.
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
Susan invirtió $ (500 ) en una cuenta que gana (4 frac {1} {2} )% de interés anual que se capitaliza mensualmente.
a. ¿Cuánto habrá en la cuenta después de (3 ) años?
b. ¿Cuánto tiempo tomará para que la cantidad crezca a $ (750 )?
Solución
En este ejemplo, el principal (P = ) $ (500 ), la tasa de interés (r = 4 frac {1} {2} )% (= 0.045 ), y porque el interés se capitaliza mensualmente, (n = 12 ). La inversión puede modelarse mediante la siguiente función:
(A (t) = 500 left (1+ frac {0.045} {12} right) ^ {12 t} ) (A (t) = 500 (1.00375) ^ { 12 t} )
a. Use este modelo para calcular la cantidad en la cuenta después de (t = 3 ) años.
( begin {alineado} A ( color {Cerulean} {3} color {black} {)} & = 500 (1.00375) ^ {12 ( color {Cerulean} {3} color {black } {)}} \ & = 500 (1.00375) ^ {36} \ & aprox. 572.12 end {alineado} )
Redondeado al centavo más cercano, después de (3 ) años, el monto acumulado será $ (572.12 ).
b. Para calcular el tiempo que lleva acumular $ (750 ), configure (A (t) = 750 ) y resuelva (t ).
( begin {array} {l} {A (t) = 500 (1.00375) ^ {12 t}} \ { color {Cerulean} {750} color {black} {=} 500 ( 1.00375) ^ {12 t}} end {array} )
Esto da como resultado una ecuación exponencial que puede resolverse aislando primero la expresión exponencial.
El período de tiempo que tarda una cantidad en duplicarse se denomina duplicación tiempo 20 . A continuación, describimos una técnica para calcular el tiempo que lleva duplicar una inversión inicial que genera intereses compuestos.
Ejemplo ( PageIndex {2} ):
Mario invirtió $ (1000 ) en una cuenta que gana (6.3 )% de interés anual, que se capitaliza semestralmente. ¿Cuánto tiempo llevará duplicar la inversión?
Solución
Aquí el principal (P = ) $ (1,000 ), la tasa de interés (r = 6.3 )% (= 0.063 ), y porque el interés se capitaliza semestralmente (n = 2 ). Esta inversión se puede modelar de la siguiente manera:
(A (t) = 1,000 left (1+ frac {0.063} {2} right) ^ {2 t} ) (A (t) = 1,000 (1.0315) ^ { 2 t} )
Dado que estamos buscando el tiempo que lleva duplicar $ (1,000 ), sustituya $ (2,000 ) por la cantidad resultante (A (t) ) y luego resuelva (t ).
( begin {alineado} color {Cerulean} {2,000} y color {black} {=} 1,000 (1.0315) ^ {2 t} \ frac {2,000} {1,000} & = (1.0315 ) ^ {2 t} \ 2 & = (1.0315) ^ {2 t} end {alineado} )
En este punto tomamos el logaritmo común de ambos lados.
Aproximadamente (11.17 ) años para duplicarse en (6.3 )%.
Si la inversión en el ejemplo anterior fuera de un millón de dólares, ¿cuánto tardaría en duplicarse? Para responder esto, usaríamos (P = ) $ (1,000,000 ) y (A (t) = ) $ (2,000,000 ):
( begin {alineado} A (t) & = 1,000 (1.0315) ^ {2 t} \ color {Cerulean} {2,000,000} & color {black} {=} 1,000,000 (1.0315) ^ { 2 t} end {alineado} )
Dividiendo ambos lados por (1,000,000 ) obtenemos la misma función exponencial que antes.
(2 = (1.0315) ^ {2 t} )
Por lo tanto, el resultado será el mismo, aproximadamente (11.17 ) años. De hecho, el tiempo de duplicación es independiente de la inversión inicial (P ).
El interés se compone típicamente semestralmente ((n = 2) ), trimestral ((n = 4) ), mensual ((n = 12) ) o diario ((n = 365 ) ). Sin embargo, si el interés se agrava cada instante, obtenemos una fórmula para el interés compuesto continuo:
(A (t) = P e ^ {r t} )
Aquí (P ) representa la cantidad de capital inicial invertida, (r ) representa la tasa de interés anual y (t ) representa el tiempo en años en que se permite que la inversión acumule intereses compuestos continuamente.
Ejemplo ( PageIndex {3} ):
Mary invirtió $ (200 ) en una cuenta que gana (5 frac {3} {4} )% de interés anual que se capitaliza continuamente. ¿Cuánto tiempo llevará la inversión crecer a $ (350 )?
Solución
Aquí el principal (P = ) $ (200 ) y la tasa de interés (r = 5 frac {3} {4} )% (= 5.75 )% (= 0.0575 ) Como el interés se capitaliza continuamente, use la fórmula (A (t) = Pe ^ {rt} ). Por lo tanto, la inversión se puede modelar de la siguiente manera,
(A (t) = 200 e ^ {0.0575 t} )
Para calcular el tiempo que lleva acumular a $ (350 ), establezca (A (t) = 350 ) y resuelva (t ).
( begin {array} {r} {A (t) = 200 e ^ {0.0575 t}} \ { color {Cerulean} {350} color {black} {=} 200 e ^ { 0.0575 t}} end {array} )
Comienza por aislar la expresión exponencial.
( begin {alineado} frac {350} {200} & = e ^ {0.0575 t} \ frac {7} {4} & = e ^ {0.0575 t} \ 1.75 & = e ^ {0.0575 t} end {alineado} )
Debido a que este exponencial tiene base (e ), elegimos tomar el logaritmo natural de ambos lados y luego resolver (t ).
( begin {array} {l} { ln (1.75) = ln e ^ {0.0575 t}} quad quad color {Cerulean} {Apply : the : power : rule : for : logarithms.} \ { ln (1.75) = 0.0575 t ln e} quad color {Cerulean} {Recall : that : ln e = 1.} \ { ln (1.75 ) = 0.0575 t cdot 1} \ { frac { ln (1.75)} {0.0575} = t} end {array} )
Usando una calculadora podemos aproximar el tiempo que lleva:
(t = ln (1.75) / 0.0575 aprox 9.73 quad años )
Respuesta :
Aproximadamente (9.73 ) años.
Al resolver aplicaciones que impliquen interés compuesto, busque la palabra clave “continuo” o las palabras clave que indican el número de compuestos anuales. Son estas palabras clave las que determinan qué fórmula elegir.
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Mario invirtió $ (1,000 ) en una cuenta que gana (6.3 )% de interés anual que se capitaliza continuamente. ¿Cuánto tiempo llevará duplicar la inversión?
Respuesta
Aproximadamente (11 ) años.
Modelado de crecimiento y decaimiento exponencial
En las ciencias, cuando se dice que una cantidad crece o decae exponencialmente, está específicamente diseñada para ser modelada usando la fórmula 21 :
(P (t) = P_ {0} e ^ {k t} )
Aquí (P_ {0} ), lea ” (P ) nada” o ” (P ) cero”, representa la cantidad inicial, k representa la tasa de crecimiento y (t ) representa el tiempo en que la cantidad inicial crece o decae exponencialmente. Si (k ) es negativo, entonces la función modela la disminución exponencial. Observe que la función se ve muy similar a la de la fórmula de interés compuesto continuo. Podemos usar esta fórmula para modelar el crecimiento de la población cuando las condiciones son óptimas.
Ejemplo ( PageIndex {4} ):
Se estima que la población de cierto pueblo pequeño es (93,000 ) personas con una tasa de crecimiento anual de (2.6 )%. Si la población continúa aumentando exponencialmente a este ritmo:
Estime la población en (7 ) años.
Estime el tiempo que le tomará a la población llegar a 120,000 personas.
Solución
Comenzamos construyendo un modelo matemático basado en la información dada. Aquí la población inicial (P_ {0} = 93,000 ) personas y la tasa de crecimiento (r = 2.6 )% (= 0.026 ). El siguiente modelo da la población en términos de tiempo medido en años:
(P (t) = 93,000 e ^ {0.026 t} )
a. Use esta función para estimar la población en (t = 7 ) años.
( begin {alineado} P (t) & = 93,000 e ^ {0006 ( color {Cerulean} {7} color {black} {)}} \ & = 93,000 e ^ {0.182} & aprox 111,564 quad personas end {alineado} )
b. Use el modelo para determinar el tiempo que tarda en llegar a (P (t) = 120,000 ) personas.
( begin {alineado} P (t) & = 93,000 e ^ {0.026 t} \ color {Cerulean} {120,000} & color {black} {=} 93,000 e ^ {0.026 t} frac {120,000} {93,000} & = e ^ {0.026 t} \ frac {40} {31} & = e ^ {0.026 t} end {alineado} )
Toma el logaritmo natural de ambos lados y luego resuelve (t ).
( ln left ( frac {40} {31} right) = ln e ^ {0.026 t} ) ( ln left ( frac {40} {31} right) = 0.026 t ln e ) ( ln left ( frac {40} {31} right) = 0.026 t cdot 1 ) ( frac { ln left ( frac {40} {31} right)} {0.026} = t )
Usando una calculadora,
(t = ln (40/31) / 0.026 aprox 9.8 quad años )
Respuesta :
(111,564 ) personas
(9.8 ) años
A menudo no se da la tasa de crecimiento (k ). En este caso, buscamos otra información para poder determinarla y luego construir un modelo matemático. Los pasos generales se resumen en el siguiente ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {5} ):
En condiciones óptimas la bacteria Escherichia coli (E. coli) crecerá exponencialmente con un tiempo de duplicación de (20 ) minutos. Si (1,000 ) células de E. coli se colocan en una placa de Petri y se mantienen en condiciones óptimas, cuántas células E. coli estarán presentes en (2 ) horas ?
Figura 7.6.1 : Escherichia coli (E. coli)
Solución
El objetivo es utilizar la información dada para construir un modelo matemático basado en la fórmula (P (t) = P_ {0} e ^ {kt} ).
Paso 1 : Encuentre la tasa de crecimiento (k ). Use el hecho de que la cantidad inicial, (P_ {0} = 1,000 ) celdas, se duplica en (20 ) minutos. Es decir, (P (t) = 2,000 ) celdas cuando (t = 20 ) minutos.
( begin {alineado} P (t) & = P_ {0} e ^ {kt} \ color {Cerulean} {2,000} & color {black} {=} 1,000 e ^ {k color {Cerulean} {20}} end {alineado} )
Resolver para la única variable (k ).
( begin {alineado} 2,000 & = 1,000 e ^ {k 20} \ frac {2,000} {1,000} & = e ^ {k 20} \ 2 & = e ^ {k 20} ln (2) & = ln e ^ {k 20} \ ln (2) & = k 20 ln e \ ln (2) & = k 20 cdot 1 \ frac { ln (2)} {20} & = k end {alineado} )
Paso 2 : Escribe un modelo matemático basado en la información dada. Aquí (k ≈ 0.0347 ), que es aproximadamente (3.5 )% de tasa de crecimiento por minuto. Sin embargo, utilizaremos el valor exacto para (k ) en nuestro modelo. Esto nos permitirá evitar errores de redondeo en el resultado final. Utilice (P_ {0} = 1,000 ) y (k = ln (2) / 20 ):
(P (t) = 1,000 e ^ {( ln (2) / 20) t} )
Esta ecuación modela el número de células E. coli en términos de tiempo en minutos.
Paso 3 : Usa la función para responder las preguntas. En este caso, se nos pide que encontremos el número de celdas presentes en (2 ) horas. Como el tiempo se mide en minutos, use (t = 120 ) minutos para calcular el número de células E. coli .
( begin {alineado} P ( color {Cerulean} {120} color {black} {)} & = 1,000 e ^ {( ln (2) / 20) ( color {Cerulean} { 120} color {negro} {)}} \ & = 1,000 e ^ { ln (2) cdot 6} \ & = 1,000 e ^ { ln 2 ^ {6}} \ & = 1,000 cdot 2 ^ {6} \ & = 64,000 text {celdas} end {alineado} )
Respuesta :
En dos horas (64,000 ) las células estarán presentes.
Cuando la tasa de crecimiento es negativa, la función modela la disminución exponencial. Podemos describir cantidades decrecientes usando una semivida 22 , o el tiempo que tarda en decaer a la mitad de una cantidad dada.
Ejemplo ( PageIndex {6} ):
Debido a la desintegración radiactiva, el cesio-137 tiene una vida media de (30 ) años. ¿Cuánto tiempo tardará una muestra de (50 ) miligramos en decaer a (10 ) miligramos?
Solución
Use la información de vida media para determinar la tasa de descomposición (k ). En (t = 30 ) años, la cantidad inicial (P_ {0} = 50 ) miligramos se reducirá a la mitad (P (30) = 25 ) miligramos.
( begin {alineado} P (t) & = P_ {0} e ^ {k t} \ 25 & = 50 e ^ {k 30} end {alineado} )
Resuelva para la única variable, (k ).
( begin {alineado} 25 & = 50 e ^ {130} \ frac {25} {50} & = e ^ {30 k} \ ln left ( frac {1} {2 } right) & = ln e ^ {30 k} \ ln left ( frac {1} {2} right) & = 30 k ln e \ frac { ln 1- ln 2} {30} & = k quad quad quad color {Cerulean} {Recordar : that : ln1 = 0.} \ – frac { ln 2} {30} & = k end {alineado} )
Tenga en cuenta que (k = – ln frac {2} {30} approx-0.0231 ) es negativo. Sin embargo, utilizaremos el valor exacto para construir un modelo que proporcione la cantidad de cesio-137 con respecto al tiempo en años.
(P (t) = 50 e ^ {(- ln 2/30) t} )
Use este modelo para encontrar (t ) cuando (P (t) = 10 ) miligramos.
( begin {alineado} 10 & = 50 e ^ {(- ln 2/30) t} \ frac {10} {50} & = e ^ {(- ln 2/30) t } \ ln left ( frac {1} {5} right) & = ln e ^ {(- ln 2/30) t} \ ln 1- ln 5 & = left (- frac { ln 2} {30} right) t ln e quad color {Cerulean} {Recall : that : ln e = 1.} \ -30 frac {( ln 1- ln5)} { ln 2} & = t \ – frac {30 (0- ln 5)} { ln 2} & = t \ frac {30 ln 5} { ln 2} & = t end {alineado} )
Respuesta :
Usando una calculadora, llevará (t ≈ 69.66 ) años decaer a (10 ) miligramos.
La datación por radiocarbono es un método utilizado para estimar la edad de los artefactos en función de la cantidad relativa de carbono-14 presente en él. Cuando un organismo muere, deja de absorber este isótopo radiactivo natural y el carbono 14 comienza a descomponerse a una velocidad conocida. Por lo tanto, la cantidad de carbono-14 presente en un artefacto puede usarse para estimar la edad del artefacto.
Ejemplo ( PageIndex {7} ):
Se encuentra que una herramienta ósea antigua contiene (25 )% del carbono 14 que normalmente se encuentra en el hueso. Dado que el carbono 14 tiene una vida media de (5,730 ) años, calcule la antigüedad de la herramienta.
Solución
Comience usando la información de vida media para encontrar (k ). Aquí no se da la cantidad inicial (P_ {0} ) de carbono-14, sin embargo, sabemos que en (t = 5,730 ) años, esta cantidad decae a la mitad, ( frac {1} {2 } P_ {0} ).
Dividir ambos lados entre (P_ {0} ) nos deja con una ecuación exponencial en términos de (k ). Esto muestra que la vida media es independiente de la cantidad inicial.
( frac {1} {2} = e ^ {k5,730} )
Resuelve para (k ).
( begin {alineado} ln left ( frac {1} {2} right) & = ln e ^ {k 5,730} \ ln1- ln2 & = 5,730k ln e \ frac {0- ln 2} {5,730} & = k \ – frac { ln 2} {5,730} & = k end {alineado} )
Por lo tanto tenemos el modelo,
(P (t) = P_ {0} e ^ {(- ln 2 / 5,730) t} )
A continuación, deseamos encontrar el tiempo que tarda el carbono-14 en descomponerse hasta (25 )% de la cantidad inicial, o (P (t) = 0.25P_ {0} )
Divide ambos lados entre (P_ {0} ) y resuelve (t ).
( begin {alineado} 0.25 & = e ^ {(- ln 2 / 5,730) t} \ ln (0.25) & = ln e ^ {(- ln 2 / 5,730) t} \ ln (0.25) & = left (- frac { ln 2} {5,730} right) _ {t ln e} \ – frac {5,730 ln (0.25)} { ln 2 } & = t \ 11,460 & aprox t end {alineado} )
Respuesta :
La herramienta tiene aproximadamente (11,460 ) años.
Ejercicio ( PageIndex {2} )
La vida media del estroncio 90 es de aproximadamente (28 ) años. ¿Cuánto tiempo tomará una muestra de (36 ) miligramos de estroncio 90 para descomponerse en (30 ) miligramos?
