7.6: Aplicaciones

7.6: Aplicaciones

Fórmulas de interés continuo y compuesto

 

Recuerde que el interés compuesto ocurre cuando el interés acumulado por un período se agrega a la inversión principal antes de calcular el interés para el próximo período. La cantidad (A ) acumulada de esta manera a lo largo del tiempo (t ) está modelada por la fórmula de interés compuesto:

 

(A (t) = P left (1+ frac {r} {n} right) ^ {n t} )

 

Aquí el principal inicial (P ) está acumulando interés compuesto a una tasa anual (r ) donde el valor (n ) representa el número de veces que el interés se capitaliza en un año.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Susan invirtió $ (500 ) en una cuenta que gana (4 frac {1} {2} )% de interés anual que se capitaliza mensualmente.

 

a. ¿Cuánto habrá en la cuenta después de (3 ) años?

 

b. ¿Cuánto tiempo tomará para que la cantidad crezca a $ (750 )?

 

Solución

 

En este ejemplo, el principal (P = ) $ (500 ), la tasa de interés (r = 4 frac {1} {2} )% (= 0.045 ), y porque el interés se capitaliza mensualmente, (n = 12 ). La inversión puede modelarse mediante la siguiente función:

 

(A (t) = 500 left (1+ frac {0.045} {12} right) ^ {12 t} )
(A (t) = 500 (1.00375) ^ { 12 t} )

 

a. Use este modelo para calcular la cantidad en la cuenta después de (t = 3 ) años.

 

( begin {alineado} A ( color {Cerulean} {3} color {black} {)} & = 500 (1.00375) ^ {12 ( color {Cerulean} {3} color {black } {)}} \ & = 500 (1.00375) ^ {36} \ & aprox. 572.12 end {alineado} )

 

Redondeado al centavo más cercano, después de (3 ) años, el monto acumulado será $ (572.12 ).

 

b. Para calcular el tiempo que lleva acumular $ (750 ), configure (A (t) = 750 ) y resuelva (t ).

 

( begin {array} {l} {A (t) = 500 (1.00375) ^ {12 t}} \ { color {Cerulean} {750} color {black} {=} 500 ( 1.00375) ^ {12 t}} end {array} )

 

Esto da como resultado una ecuación exponencial que puede resolverse aislando primero la expresión exponencial.

 

( begin {alineado} 750 & = 500 (1.00375) ^ {12 t} \ frac {750} {500} & = (1.00375) ^ {12 t} \ 1.5 & = (1.00375) ^ {12 t} end {alineado} )

 

En este punto, toma el logaritmo común de ambos lados, aplica la regla de potencia para los logaritmos y luego resuelve (t ).

 

( begin {alineado} log (1.5) & = log (1.00375) ^ {12 t} \ log (1.5) & = 12 t log (1.00375) \ frac { log (1.5)} { color {Cerulean} {12 log (1.00375)}} & color {black} {=} frac { cancel {12} t cancel { log (1.00375)}} { cancel { color {Cerulean} {12 : log (1.00375)}}} \ frac { log (1.5)} {12 : log (1.00375)} & = t end {alineado} ) [ 19459005]  

Usando una calculadora podemos aproximar el tiempo que lleva.

 

(t = log (1.5) / (12 * log (1.00375)) aprox 9 ) años

 

Respuesta :

 

a. $ (572.12 )

 

b. Aproximadamente (9 ) años

 
 

El período de tiempo que tarda una cantidad en duplicarse se denomina duplicación tiempo 20 . A continuación, describimos una técnica para calcular el tiempo que lleva duplicar una inversión inicial que genera intereses compuestos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Mario invirtió $ (1000 ) en una cuenta que gana (6.3 )% de interés anual, que se capitaliza semestralmente. ¿Cuánto tiempo llevará duplicar la inversión?

 

Solución

 

Aquí el principal (P = ) $ (1,000 ), la tasa de interés (r = 6.3 )% (= 0.063 ), y porque el interés se capitaliza semestralmente (n = 2 ). Esta inversión se puede modelar de la siguiente manera:

 

(A (t) = 1,000 left (1+ frac {0.063} {2} right) ^ {2 t} )
(A (t) = 1,000 (1.0315) ^ { 2 t} )

 

Dado que estamos buscando el tiempo que lleva duplicar $ (1,000 ), sustituya $ (2,000 ) por la cantidad resultante (A (t) ) y luego resuelva (t ).

 

( begin {alineado} color {Cerulean} {2,000} y color {black} {=} 1,000 (1.0315) ^ {2 t} \ frac {2,000} {1,000} & = (1.0315 ) ^ {2 t} \ 2 & = (1.0315) ^ {2 t} end {alineado} )

 

En este punto tomamos el logaritmo común de ambos lados.

 

( begin {alineado} 2 & = (1.0315) ^ {2 t} \ log 2 & = log (1.0315) ^ {2 t} \ log 2 & = 2 t log ( 1.0315) \ frac { log 2} {2 log (1.0315)} & = t end {alineado} )

 

Usando una calculadora podemos aproximar el tiempo que lleva:

 

(t = log (2) / (2 * log (1.0315)) aprox 11.17 ) años

 

Respuesta :

 

Aproximadamente (11.17 ) años para duplicarse en (6.3 )%.

 
 

Si la inversión en el ejemplo anterior fuera de un millón de dólares, ¿cuánto tardaría en duplicarse? Para responder esto, usaríamos (P = ) $ (1,000,000 ) y (A (t) = ) $ (2,000,000 ):

 

( begin {alineado} A (t) & = 1,000 (1.0315) ^ {2 t} \ color {Cerulean} {2,000,000} & color {black} {=} 1,000,000 (1.0315) ^ { 2 t} end {alineado} )

 

Dividiendo ambos lados por (1,000,000 ) obtenemos la misma función exponencial que antes.

 

(2 = (1.0315) ^ {2 t} )

 

Por lo tanto, el resultado será el mismo, aproximadamente (11.17 ) años. De hecho, el tiempo de duplicación es independiente de la inversión inicial (P ).

 

El interés se compone típicamente semestralmente ((n = 2) ), trimestral ((n = 4) ), mensual ((n = 12) ) o diario ((n = 365 ) ). Sin embargo, si el interés se agrava cada instante, obtenemos una fórmula para el interés compuesto continuo:

 

(A (t) = P e ^ {r t} )

 

Aquí (P ) representa la cantidad de capital inicial invertida, (r ) representa la tasa de interés anual y (t ) representa el tiempo en años en que se permite que la inversión acumule intereses compuestos continuamente.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Mary invirtió $ (200 ) en una cuenta que gana (5 frac {3} {4} )% de interés anual que se capitaliza continuamente. ¿Cuánto tiempo llevará la inversión crecer a $ (350 )?

 

Solución

 

Aquí el principal (P = ) $ (200 ) y la tasa de interés (r = 5 frac {3} {4} )% (= 5.75 )% (= 0.0575 ) Como el interés se capitaliza continuamente, use la fórmula (A (t) = Pe ^ {rt} ). Por lo tanto, la inversión se puede modelar de la siguiente manera,

 

(A (t) = 200 e ^ {0.0575 t} )

 

Para calcular el tiempo que lleva acumular a $ (350 ), establezca (A (t) = 350 ) y resuelva (t ).

 

( begin {array} {r} {A (t) = 200 e ^ {0.0575 t}} \ { color {Cerulean} {350} color {black} {=} 200 e ^ { 0.0575 t}} end {array} )

 

Comienza por aislar la expresión exponencial.

 

( begin {alineado} frac {350} {200} & = e ^ {0.0575 t} \ frac {7} {4} & = e ^ {0.0575 t} \ 1.75 & = e ^ {0.0575 t} end {alineado} )

 

Debido a que este exponencial tiene base (e ), elegimos tomar el logaritmo natural de ambos lados y luego resolver (t ).

 

( begin {array} {l} { ln (1.75) = ln e ^ {0.0575 t}} quad quad color {Cerulean} {Apply : the : power : rule : for : logarithms.} \ { ln (1.75) = 0.0575 t ln e} quad color {Cerulean} {Recall : that : ln e = 1.} \ { ln (1.75 ) = 0.0575 t cdot 1} \ { frac { ln (1.75)} {0.0575} = t} end {array} )

 

Usando una calculadora podemos aproximar el tiempo que lleva:

 

(t = ln (1.75) / 0.0575 aprox 9.73 quad años )

 

Respuesta :

 

Aproximadamente (9.73 ) años.

 
 

Al resolver aplicaciones que impliquen interés compuesto, busque la palabra clave «continuo» o las palabras clave que indican el número de compuestos anuales. Son estas palabras clave las que determinan qué fórmula elegir.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Mario invirtió $ (1,000 ) en una cuenta que gana (6.3 )% de interés anual que se capitaliza continuamente. ¿Cuánto tiempo llevará duplicar la inversión?

 
     
Respuesta
     
     

Aproximadamente (11 ) años.

     

     
 
 
 

Modelado de crecimiento y decaimiento exponencial

 

En las ciencias, cuando se dice que una cantidad crece o decae exponencialmente, está específicamente diseñada para ser modelada usando la fórmula 21 :

 

(P (t) = P_ {0} e ^ {k t} )

 

Aquí (P_ {0} ), lea » (P ) nada» o » (P ) cero», representa la cantidad inicial, k representa la tasa de crecimiento y (t ) representa el tiempo en que la cantidad inicial crece o decae exponencialmente. Si (k ) es negativo, entonces la función modela la disminución exponencial. Observe que la función se ve muy similar a la de la fórmula de interés compuesto continuo. Podemos usar esta fórmula para modelar el crecimiento de la población cuando las condiciones son óptimas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Se estima que la población de cierto pueblo pequeño es (93,000 ) personas con una tasa de crecimiento anual de (2.6 )%. Si la población continúa aumentando exponencialmente a este ritmo:

 
         
  1. Estime la población en (7 ) años.
  2.      
  3. Estime el tiempo que le tomará a la población llegar a 120,000 personas.
  4.  
 

Solución

 

Comenzamos construyendo un modelo matemático basado en la información dada. Aquí la población inicial (P_ {0} = 93,000 ) personas y la tasa de crecimiento (r = 2.6 )% (= 0.026 ). El siguiente modelo da la población en términos de tiempo medido en años:

 

(P (t) = 93,000 e ^ {0.026 t} )

 

a. Use esta función para estimar la población en (t = 7 ) años.

 

( begin {alineado} P (t) & = 93,000 e ^ {0006 ( color {Cerulean} {7} color {black} {)}} \ & = 93,000 e ^ {0.182} & aprox 111,564 quad personas end {alineado} )

 

b. Use el modelo para determinar el tiempo que tarda en llegar a (P (t) = 120,000 ) personas.

 

( begin {alineado} P (t) & = 93,000 e ^ {0.026 t} \ color {Cerulean} {120,000} & color {black} {=} 93,000 e ^ {0.026 t} frac {120,000} {93,000} & = e ^ {0.026 t} \ frac {40} {31} & = e ^ {0.026 t} end {alineado} )

 

Toma el logaritmo natural de ambos lados y luego resuelve (t ).

 

( ln left ( frac {40} {31} right) = ln e ^ {0.026 t} )
( ln left ( frac {40} {31} right) = 0.026 t ln e )
( ln left ( frac {40} {31} right) = 0.026 t cdot 1 )
( frac { ln left ( frac {40} {31} right)} {0.026} = t )

 

Usando una calculadora,

 

(t = ln (40/31) / 0.026 aprox 9.8 quad años )

 

Respuesta :

 
         
  1. (111,564 ) personas
  2.      
  3. (9.8 ) años
  4.  
 
 

A menudo no se da la tasa de crecimiento (k ). En este caso, buscamos otra información para poder determinarla y luego construir un modelo matemático. Los pasos generales se resumen en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

En condiciones óptimas la bacteria Escherichia coli (E. coli) crecerá exponencialmente con un tiempo de duplicación de (20 ) minutos. Si (1,000 ) células de E. coli se colocan en una placa de Petri y se mantienen en condiciones óptimas, cuántas células E. coli estarán presentes en (2 ) horas ?

 

e4aec56fc96a1ec3adc0a6334a6e301a.png

 

Figura 7.6.1 : Escherichia coli (E. coli)

 

Solución

 

El objetivo es utilizar la información dada para construir un modelo matemático basado en la fórmula (P (t) = P_ {0} e ^ {kt} ).

 

Paso 1 : Encuentre la tasa de crecimiento (k ). Use el hecho de que la cantidad inicial, (P_ {0} = 1,000 ) celdas, se duplica en (20 ) minutos. Es decir, (P (t) = 2,000 ) celdas cuando (t = 20 ) minutos.

 

( begin {alineado} P (t) & = P_ {0} e ^ {kt} \ color {Cerulean} {2,000} & color {black} {=} 1,000 e ^ {k color {Cerulean} {20}} end {alineado} )

 

Resolver para la única variable (k ).

 

( begin {alineado} 2,000 & = 1,000 e ^ {k 20} \ frac {2,000} {1,000} & = e ^ {k 20} \ 2 & = e ^ {k 20} ln (2) & = ln e ^ {k 20} \ ln (2) & = k 20 ln e \ ln (2) & = k 20 cdot 1 \ frac { ln (2)} {20} & = k end {alineado} )

 

Paso 2 : Escribe un modelo matemático basado en la información dada. Aquí (k ≈ 0.0347 ), que es aproximadamente (3.5 )% de tasa de crecimiento por minuto. Sin embargo, utilizaremos el valor exacto para (k ) en nuestro modelo. Esto nos permitirá evitar errores de redondeo en el resultado final. Utilice (P_ {0} = 1,000 ) y (k = ln (2) / 20 ):

 

(P (t) = 1,000 e ^ {( ln (2) / 20) t} )

 

Esta ecuación modela el número de células E. coli en términos de tiempo en minutos.

 

Paso 3 : Usa la función para responder las preguntas. En este caso, se nos pide que encontremos el número de celdas presentes en (2 ) horas. Como el tiempo se mide en minutos, use (t = 120 ) minutos para calcular el número de células E. coli .

 

( begin {alineado} P ( color {Cerulean} {120} color {black} {)} & = 1,000 e ^ {( ln (2) / 20) ( color {Cerulean} { 120} color {negro} {)}} \ & = 1,000 e ^ { ln (2) cdot 6} \ & = 1,000 e ^ { ln 2 ^ {6}} \ & = 1,000 cdot 2 ^ {6} \ & = 64,000 text {celdas} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

En dos horas (64,000 ) las células estarán presentes.

 
 

Cuando la tasa de crecimiento es negativa, la función modela la disminución exponencial. Podemos describir cantidades decrecientes usando una semivida 22 , o el tiempo que tarda en decaer a la mitad de una cantidad dada.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Debido a la desintegración radiactiva, el cesio-137 tiene una vida media de (30 ) años. ¿Cuánto tiempo tardará una muestra de (50 ) miligramos en decaer a (10 ​​) miligramos?

 

Solución

 

Use la información de vida media para determinar la tasa de descomposición (k ). En (t = 30 ) años, la cantidad inicial (P_ {0} = 50 ) miligramos se reducirá a la mitad (P (30) = 25 ) miligramos.

 

( begin {alineado} P (t) & = P_ {0} e ^ {k t} \ 25 & = 50 e ^ {k 30} end {alineado} )

 

Resuelva para la única variable, (k ).

 

( begin {alineado} 25 & = 50 e ^ {130} \ frac {25} {50} & = e ^ {30 k} \ ln left ( frac {1} {2 } right) & = ln e ^ {30 k} \ ln left ( frac {1} {2} right) & = 30 k ln e \ frac { ln 1- ln 2} {30} & = k quad quad quad color {Cerulean} {Recordar : that : ln1 = 0.} \ – frac { ln 2} {30} & = k end {alineado} )

 

Tenga en cuenta que (k = – ln frac {2} {30} approx-0.0231 ) es negativo. Sin embargo, utilizaremos el valor exacto para construir un modelo que proporcione la cantidad de cesio-137 con respecto al tiempo en años.

 

(P (t) = 50 e ^ {(- ln 2/30) t} )

 

Use este modelo para encontrar (t ) cuando (P (t) = 10 ) miligramos.

 

( begin {alineado} 10 & = 50 e ^ {(- ln 2/30) t} \ frac {10} {50} & = e ^ {(- ln 2/30) t } \ ln left ( frac {1} {5} right) & = ln e ^ {(- ln 2/30) t} \ ln 1- ln 5 & = left (- frac { ln 2} {30} right) t ln e quad color {Cerulean} {Recall : that : ln e = 1.} \ -30 frac {( ln 1- ln5)} { ln 2} & = t \ – frac {30 (0- ln 5)} { ln 2} & = t \ frac {30 ln 5} { ln 2} & = t end {alineado} )

 

Respuesta :

 

Usando una calculadora, llevará (t ≈ 69.66 ) años decaer a (10 ​​) miligramos.

 
 

La datación por radiocarbono es un método utilizado para estimar la edad de los artefactos en función de la cantidad relativa de carbono-14 presente en él. Cuando un organismo muere, deja de absorber este isótopo radiactivo natural y el carbono 14 comienza a descomponerse a una velocidad conocida. Por lo tanto, la cantidad de carbono-14 presente en un artefacto puede usarse para estimar la edad del artefacto.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Se encuentra que una herramienta ósea antigua contiene (25 )% del carbono 14 que normalmente se encuentra en el hueso. Dado que el carbono 14 tiene una vida media de (5,730 ) años, calcule la antigüedad de la herramienta.

 

Solución

 

Comience usando la información de vida media para encontrar (k ). Aquí no se da la cantidad inicial (P_ {0} ) de carbono-14, sin embargo, sabemos que en (t = 5,730 ) años, esta cantidad decae a la mitad, ( frac {1} {2 } P_ {0} ).

 

(P (t) = P_ {0} e ^ {kt} )
( frac {1} {2} P_ {0} = P_ {0} e ^ {k 5,730} )

 

Dividir ambos lados entre (P_ {0} ) nos deja con una ecuación exponencial en términos de (k ). Esto muestra que la vida media es independiente de la cantidad inicial.

 

( frac {1} {2} = e ^ {k5,730} )

 

Resuelve para (k ).

 

( begin {alineado} ln left ( frac {1} {2} right) & = ln e ^ {k 5,730} \ ln1- ln2 & = 5,730k ln e \ frac {0- ln 2} {5,730} & = k \ – frac { ln 2} {5,730} & = k end {alineado} )

 

Por lo tanto tenemos el modelo,

 

(P (t) = P_ {0} e ^ {(- ln 2 / 5,730) t} )

 

A continuación, deseamos encontrar el tiempo que tarda el carbono-14 en descomponerse hasta (25 )% de la cantidad inicial, o (P (t) = 0.25P_ {0} )

 

. (0.25 P_ {0} = P_ {0} e ^ {(- ln 2 / 5,730) t} )

 

Divide ambos lados entre (P_ {0} ) y resuelve (t ).

 

( begin {alineado} 0.25 & = e ^ {(- ln 2 / 5,730) t} \ ln (0.25) & = ln e ^ {(- ln 2 / 5,730) t} \ ln (0.25) & = left (- frac { ln 2} {5,730} right) _ {t ln e} \ – frac {5,730 ln (0.25)} { ln 2 } & = t \ 11,460 & aprox t end {alineado} )

 

Respuesta :

 

La herramienta tiene aproximadamente (11,460 ) años.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

La vida media del estroncio 90 es de aproximadamente (28 ) años. ¿Cuánto tiempo tomará una muestra de (36 ) miligramos de estroncio 90 para descomponerse en (30 ) miligramos?

 
     
Respuesta
     
     

(7,4 ) años

     

     
 
 
 
]]>

, ,

Deja una respuesta