Ejemplo ( PageIndex {1} )

Utilice las técnicas primera y segunda para simplificar la expresión [ dfrac { dfrac {1} {x} -1} {1- dfrac {1} {x ^ {2}}} ] Indique todo restricciones

Solución

Usemos la primera técnica, simplificando numerador y denominador por separado antes de dividir. Primero, haz fracciones equivalentes con un denominador común para el problema de resta en el numerador de (7) y simplifica. Haz lo mismo para el denominador.

[ dfrac { dfrac {1} {x} -1} {1- dfrac {1} {x ^ {2}}} = dfrac { dfrac {1} {x} – dfrac {x} {x}} { dfrac {x ^ {2}} {x ^ {2}} – dfrac {1} {x ^ {2}}} = dfrac { dfrac {1-x} { x}} { dfrac {x ^ {2} -1} {x ^ {2}}} ]

Luego, invierte y multiplica, luego factoriza.

[ dfrac { dfrac {1} {x} -1} {1- dfrac {1} {x ^ {2}}} = dfrac {1-x} {x} cdot dfrac {x ^ {2}} {x ^ {2} -1} = dfrac {1-x} {x} cdot dfrac {x ^ {2}} {(x + 1) (x-1)} ]

Invocamos la regla de cambio de signo y negamos dos partes de la fracción (1 – x) / x, numerador y barra de fracción, luego cancelamos los factores comunes.

[ dfrac { dfrac {1} {x} -1} {1- dfrac {1} {x ^ {2}}} = – dfrac {x-1} {x} cdot dfrac {x ^ {2}} {(x + 1) (x-1)} = – dfrac { x-1 } { not {x}} cdot dfrac {x not {x}} {(x + 1) ( x-1 )} ]

Por lo tanto,

[ dfrac { dfrac {1} {x} -1} {1- dfrac {1} {x ^ {2}}} = – dfrac {x} {x + 1} ] [ 19459002]  

Ahora, intentemos el problema por segunda vez, multiplicando numerador y denominador por (x ^ 2 ) para borrar las fracciones tanto del numerador como del denominador.

[ dfrac { dfrac {1} {x} -1} {1- dfrac {1} {x ^ {2}}} = dfrac { left ( dfrac {1} {x} -1 right) color {blue} {x ^ {2}}} { left (1- dfrac {1} {x ^ {2}} right) color {blue} {x ^ {2} }} = dfrac { left ( dfrac {1} {x} right) color {blue} {x ^ {2}} – (1) color {blue} {x ^ {2}}} { (1) color {azul} {x ^ {2}} – izquierda ( dfrac {1} {x ^ {2}} derecha) color {azul} {x ^ {2}}} = dfrac {xx ^ {2}} {x ^ {2} -1} ]

El orden en el numerador de la última fracción indica que un cambio de signo sería útil. Negar el numerador y la barra de fracción, factor, luego cancelar factores comunes.

[ dfrac { dfrac {1} {x} -1} {1- dfrac {1} {x ^ {2}}} = – dfrac {x ^ {2} -x} {x ^ {2} -1} = – dfrac {x (x-1)} {(x + 1) (x-1)} = – dfrac {x (x-1) } { (x + 1) (x-1) } = – dfrac {x} {x + 1} ]

Esta es precisamente la misma respuesta encontrada con la primera técnica. Para enumerar las restricciones, debemos asegurarnos de que ningún valor de x haga que ningún denominador sea igual a cero, al comienzo del problema, en el cuerpo de nuestro trabajo o en la respuesta final.

En el problema original, si x = 0, entonces 1 / x y (1 / x ^ {2} ) están indefinidos, por lo que x = 0 es una restricción. En el cuerpo de nuestro trabajo, los factores x + 1 yx – 1 encontrados en varios denominadores hacen que las restricciones x = −1 y x = 1. Ningún otro denominador ofrece restricciones que aún no se hayan enumerado. Por lo tanto, para todos los x distintos de −1, 0 y 1, el lado izquierdo de

[ dfrac { dfrac {1} {x} -1} {1- dfrac {1} {x ^ {2}}} = – dfrac {x} {x + 1} ] [ 19459002]  

es idéntico al lado derecho. Nuevamente, la utilidad de tabla de la calculadora proporciona una amplia evidencia de este hecho en las capturas de pantalla que se muestran en la Figura ( PageIndex {1} ).

Tenga en cuenta los mensajes ERR (error) en cada uno de los valores restringidos de x, pero también observe la perfecta concordancia de Y1 e Y2 en todos los demás valores de x.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Dado que [f (x) = dfrac {1} {x} ], simplifique la expresión [ dfrac {f (x) -f (2)} {x-2} ]. Enumere todas las restricciones.

Solución

Recuerde, f (2) significa sustituir 2 por x. Debido a que f (x) = 1 / x, sabemos que f (2) = 1/2, entonces

[ dfrac {f (x) -f (2)} {x-2} = dfrac { dfrac {1} {x} – dfrac {1} {2}} {x-2} ]

Para borrar las fracciones del numerador, usaríamos un denominador común de 2x. No hay fracciones en el denominador que necesiten borrarse, por lo que el denominador común para numerador y denominador es 2x. Multiplicar numerador y denominador por 2x.

[ dfrac {f (x) -f (2)} {x-2} = dfrac { left ( dfrac {1} {x} – dfrac {1} {2} right) color {azul} {2x}} {(x-2) color {azul} {2x}} = dfrac { left ( dfrac {1} {x} right) color {blue} {2x} – left ( dfrac {1} {2} right) color {blue} {2x}} {(x-2) color {blue} {2x}} = dfrac {2-x} {2 x (x-2)} ]

Niega el numerador y la barra de fracciones, luego cancela los factores comunes.

[ dfrac {f (x) -f (2)} {x-2} = – dfrac {x-2} {2 x (x-2)} = – dfrac { x -2 } {2 x ( x-2 )} = – dfrac {1} {2 x} ]

En el problema original, tenemos un denominador de x – 2, entonces x = 2 es una restricción. Si el cuerpo de nuestro trabajo, hay una fracción 1 / x, que no está definida cuando x = 0, entonces x = 0 también es una restricción. Los denominadores restantes no proporcionan otras restricciones. Por lo tanto, para todos los valores de x excepto 0 y 2, el lado izquierdo de

[ dfrac {f (x) -f (2)} {x-2} = – dfrac {1} {2 x} ]

es idéntico al lado derecho.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Dado [f (x) = dfrac {1} {x ^ {2}} ], simplifica la expresión [ dfrac {f (x + h) -f (x)} {h} ] Enumere todas las restricciones.

Solución

La notación de función f (x + h) nos pide que reemplacemos cada instancia de x en la fórmula 1 (/ x ^ {2} ) con x + h. Por lo tanto, (f (x + h) = 1 / (x + h) ^ {2} ).

Aquí hay otra forma de pensar en esta sustitución. Supongamos que eliminamos la x de

[f (x) = dfrac {1} {x ^ {2}} ]

para que se lea

[f ( space) = dfrac {1} {( space) ^ {2}} ]

Ahora, si desea calcular f (2), simplemente inserte un 2 en el área en blanco entre paréntesis. En nuestro caso, queremos calcular f (x + h), por lo que insertamos una x + h en el espacio en blanco entre paréntesis en (12) para obtener

[f (x + h) = dfrac {1} {(x + h) ^ {2}} ]

Teniendo en cuenta estos comentarios preliminares, volvamos al problema. Primero, interpretamos la notación de función como en nuestras observaciones preliminares y escribimos

[ dfrac {f (x + h) -f (x)} {h} = dfrac {\ ( begin {alineado} dfrac {f (x + h) -f (x)} {h} & ​​= dfrac {x ^ {2} – left (x ^ {2} +2 x h + h ^ {2} right)} {hx ^ {2} (x + h) ^ {2 }} \ & = dfrac {x ^ {2} -x ^ {2} -2 x hh ^ {2}} {hx ^ {2} (x + h) ^ {2}} \ & = dfrac {-2 x hh ^ {2}} {hx ^ {2} (x + h) ^ {2}} end {alineado} ) frac {1} {(x + h) ^ {2}} – dfrac {1} {x ^ {2}}} {h} ]

El denominador común para el numerador se encuentra al enumerar cada factor a la potencia más alta que se produce. Por lo tanto, el denominador común es (x ^ {2} (x + h) ^ {2} ). El denominador no tiene fracciones para borrar, por lo que es suficiente multiplicar tanto el numerador como el denominador por (x ^ {2} (x + h) ^ {2} ).

[ begin {alineado} dfrac {f (x + h) -f (x)} {h} & ​​= dfrac { left ( dfrac {1} {(x + h) ^ {2 }} – dfrac {1} {x ^ {2}} right) color {blue} {x ^ {2} (x + h) ^ {2}}} {h color {blue} {x ^ {2} (x + h) ^ {2}}} \ & = dfrac { left ( dfrac {1} {(x + h) ^ {2}} right) color {blue} {x ^ {2} (x + h) ^ {2}} – left ( dfrac {1} {x ^ {2}} right) color {blue} {x ^ {2} (x + h) ^ {2}}} {h color {azul} {x ^ {2} (x + h) ^ {2}}} \ & = dfrac {x ^ {2} – (x + h) ^ {2 }} {hx ^ {2} (x + h) ^ {2}} end {alineado} ]

Ahora ampliaremos el numerador. No olvides usar paréntesis y distribuir ese signo menos.

[ begin {alineado} dfrac {f (x + h) -f (x)} {h} & ​​= dfrac {x ^ {2} – left (x ^ {2} +2 x h + h ^ {2} right)} {hx ^ {2} (x + h) ^ {2}} \ & = dfrac {x ^ {2} -x ^ {2} -2 x hh ^ {2}} {hx ^ {2} (x + h) ^ {2}} \ & = dfrac {-2 x hh ^ {2}} {hx ^ {2} (x + h) ^ {2 }} end {alineado} ]

Finalmente, factoriza a −h fuera del numerador con la esperanza de encontrar un factor común para cancelar.

[ begin {alineado} dfrac {f (x + h) -f (x)} {h} & ​​= dfrac {-h (2 x + h)} {hx ^ {2} (x + h) ^ {2}} \ & = dfrac {- not {h} (2 x + h)} { not {h} x ^ {2} (x + h) ^ {2}} & = dfrac {- (2 x + h)} {x ^ {2} (x + h) ^ {2}} end {alineado} ]

Ahora debemos discutir las restricciones. En la pregunta original (11), la h en el denominador no debe ser igual a cero. Por lo tanto, h = 0 es una restricción. En la forma simplificada final, el factor de (x ^ {2} ) en el denominador no está definido si x = 0. Por lo tanto, x = 0 es una restricción. Finalmente, el factor de ((x + h) ^ {2} ) en el denominador final no está definido si x + h = 0, entonces x = −h es una restricción. Los denominadores restantes no proporcionan restricciones adicionales. Por lo tanto, proporcionó (h neq 0, x neq 0, ) y (x neq-h ), para todas las demás combinaciones de x y h, el lado izquierdo de

[ dfrac {f (x + h) -f (x)} {h} = dfrac {- (2 x + h)} {x ^ {2} (x + h) ^ {2} } ]

es idéntico al lado derecho.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Si [f (x) = dfrac {x} {x + 1} ] simplifica f (f (x)).

Solución

Primero evaluamos f en x, luego evaluamos f en el resultado del primer cálculo. Por lo tanto, primero trabajamos la función interna para obtener

[f (f (x)) = f left ( dfrac {x} {x + 1} right) ]

La notación f (x / (x + 1)) nos pide que reemplacemos cada aparición de x en la fórmula x / (x + 1) con la expresión x / (x + 1). ¿Confuso? Aquí hay una manera fácil de pensar en esta sustitución. Supongamos que eliminamos x de

[f (x) = dfrac {x} {x + 1} ]

reemplazando cada aparición de x con paréntesis vacíos, lo que producirá la plantilla

[f ( space) = dfrac {( space)} {( space) +1} ]

Ahora, si se le pide que calcule f (3), simplemente inserte 3 en las áreas en blanco entre paréntesis. En este caso, queremos calcular f (x / (x + 1)), por lo que insertamos x / (x + 1) en el espacio en blanco entre cada conjunto de paréntesis en (15) para obtener

[f left ( dfrac {x} {x + 1} right) = dfrac { dfrac {x} {x + 1}} { dfrac {x} {x + 1} +1 } ]

Ahora tenemos una fracción compleja. El denominador común para la parte superior e inferior de esta fracción compleja es x + 1. Por lo tanto, multiplicamos tanto el numerador como el denominador de nuestra fracción compleja por x + 1 y utilizamos la propiedad distributiva de la siguiente manera.

[ dfrac { dfrac {x} {x + 1}} { dfrac {x} {x + 1} +1} = dfrac { left ( dfrac {x} {x + 1} right) color {blue} {(x + 1)}} { left ( dfrac {x} {x + 1} +1 right) color {blue} {(x + 1)}} = dfrac { left ( dfrac {x} {x + 1} right) color {blue} {(x + 1)}} { left ( dfrac {x} {x + 1} right) color {azul} {(x + 1)} + (1) color {azul} {(x + 1)}} ]

Cancelar y simplificar.

[ dfrac { left ( dfrac {x} {x + 1} right) color {blue} {(x + 1)}} { left ( dfrac {x} {x + 1 } right) color {blue} {(x + 1)} + (1) color {blue} {(x + 1)}} = dfrac {x} {x + (x + 1)} = dfrac {x} {2 x + 1} ]

En el denominador final, el valor x = −1/2 hace que el denominador 2x + 1 sea igual a cero. Por lo tanto, x = −1/2 es una restricción. En el cuerpo de nuestro trabajo, varias fracciones tienen denominadores de x + 1 y, por lo tanto, no están definidas en x = −1. Por lo tanto, x = −1 es una restricción. Ningún otro denominador agrega restricciones adicionales.

Por lo tanto, para todos los valores de x, excepto x = −1/2 yx = −1, el lado izquierdo de

[f (f (x)) = dfrac {x} {2 x + 1} ]

es idéntico al lado derecho.