7.6: Fracciones complejas

7.6: Fracciones complejas

                 

En esta sección, aprendemos cómo simplificar lo que se llama fracciones complejas, un ejemplo de lo que sigue.

 

[ dfrac { dfrac {1} {2} + dfrac {1} {3}} { dfrac {1} {4} + dfrac {2} {3}} ]

 

Tenga en cuenta que tanto el numerador como el denominador son problemas de fracciones por derecho propio, lo que da crédito a la razón por la que nos referimos a dicha estructura como una «fracción compleja».

 

Hay dos técnicas muy diferentes que podemos usar para simplificar la fracción compleja (1). La primera técnica es una elección «natural».

 
 

Simplificación de fracciones complejas: primera técnica

 

Para simplificar una fracción compleja, proceda de la siguiente manera:

 
         
  1. Simplifica el numerador.
  2.      
  3. Simplifica el denominador.
  4.      
  5. Simplifique el problema de división que queda.
  6.  
 
 

Sigamos este esquema para simplificar la fracción compleja (1). Primero, agregue las fracciones en el numerador de la siguiente manera.

 

[ dfrac {1} {2} + dfrac {1} {3} = dfrac {3} {6} + dfrac {2} {6} = dfrac {5} {6} ]

 

En segundo lugar, suma las fracciones en el denominador de la siguiente manera.

 

[ dfrac {1} {4} + dfrac {2} {3} = dfrac {3} {12} + dfrac {8} {12} = dfrac {11} {12} ]

 

Sustituya los resultados de (2) y (3) en el numerador y el denominador de (1), respectivamente.

 

[ dfrac { dfrac {1} {2} + dfrac {1} {3}} { dfrac {1} {4} + dfrac {2} {3}} = dfrac { dfrac {5} {6}} { dfrac {11} {12}} ]

 

El lado derecho de (4) es equivalente a

 

[ dfrac {5} {6} div dfrac {11} {12} ]

 

Este es un problema de división, así que invierte y multiplica, factoriza, luego cancela factores comunes.

 

[ begin {alineado} dfrac { dfrac {1} {2} + dfrac {1} {3}} { dfrac {1} {4} + dfrac {2} {3}} & = dfrac {5} {6} cdot dfrac {12} {11} \ & = dfrac {5} {2 cdot 3} cdot dfrac {2 cdot 2 cdot 3} {11 } \ & = dfrac {5} { not {2} cdot not {3}} cdot dfrac { not {2} cdot 2 cdot not {3}} {11} \ & = dfrac {10} {11} end {alineado} ]

 

Aquí hay un arreglo del trabajo, de principio a fin, presentado sin comentarios. Esta es una buena plantilla para emular al hacer tu tarea.

 

[ begin {alineado} dfrac { dfrac {1} {2} + dfrac {1} {3}} { dfrac {1} {4} + dfrac {2} {3}} & = dfrac { dfrac {3} {6} + dfrac {2} {6}} { dfrac {3} {12} + dfrac {8} {12}} \ & = dfrac { dfrac {5} {6}} { dfrac {11} {12}} \ & = dfrac {5} {6} cdot dfrac {12} {11} \ & = dfrac {5} { 2 cdot 3} cdot dfrac {2 cdot 2 cdot 3} {11} \ & = dfrac {5} { not {2} cdot not {3}} cdot dfrac { no {2} cdot 2 cdot not {3}} {11} \ & = dfrac {10} {11} end {alineado} ]

 

Ahora, veamos un segundo enfoque del problema. Vimos que simplificar el numerador en (2) requería un denominador común de 6. Simplificar el denominador en (3) requería un denominador común de 12. Entonces, elijamos otro denominador común, este es un denominador común para el numerador y el denominador, a saber, 12. Ahora, multiplique arriba y abajo (numerador y denominador) de la fracción compleja (1) por 12, de la siguiente manera.

 

[ dfrac { dfrac {1} {2} + dfrac {1} {3}} { dfrac {1} {4} + dfrac {2} {3}} = dfrac { left ( dfrac {1} {2} + dfrac {1} {3} right) color {blue} {12}} { left ( dfrac {1} {4} + dfrac {2} { 3} right) color {azul} {12}} ]

 

Distribuya el 12 en numerador y denominador y simplifique.

 

[ dfrac { left ( dfrac {1} {2} + dfrac {1} {3} right) color {blue} {12}} { left ( dfrac {1} { 4} + dfrac {2} {3} right) color {blue} {12}} = dfrac { left ( dfrac {1} {2} right) color {blue} {12} + left ( dfrac {1} {3} right) color {blue} {12}} { left ( dfrac {1} {4} right) color {blue} {12} + left ( dfrac {2} {3} right) color {blue} {12}} = dfrac {6 + 4} {3 + 8} = dfrac {10} {11} ]

 

Resumamos esta segunda técnica.

 
 

Simplificación de fracciones complejas: segunda técnica

 

Para simplificar una fracción compleja, proceda de la siguiente manera:

 
         
  1. Encuentra un denominador común para el numerador y el denominador.
  2.      
  3. Borrar fracciones del numerador y el denominador multiplicando cada uno por el común denominador encontrado en el primer paso.
  4.  
 
 

Tenga en cuenta que para este problema en particular, el segundo método es mucho más eficiente. Ahorra espacio y tiempo y es más estéticamente agradable. Es la técnica que favoreceremos en el resto de esta sección.

 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Utilice las técnicas primera y segunda para simplificar la expresión [ dfrac { dfrac {1} {x} -1} {1- dfrac {1} {x ^ {2}}} ] Indique todo restricciones

 

Solución

 

Usemos la primera técnica, simplificando numerador y denominador por separado antes de dividir. Primero, haz fracciones equivalentes con un denominador común para el problema de resta en el numerador de (7) y simplifica. Haz lo mismo para el denominador.

 

[ dfrac { dfrac {1} {x} -1} {1- dfrac {1} {x ^ {2}}} = dfrac { dfrac {1} {x} – dfrac {x} {x}} { dfrac {x ^ {2}} {x ^ {2}} – dfrac {1} {x ^ {2}}} = dfrac { dfrac {1-x} { x}} { dfrac {x ^ {2} -1} {x ^ {2}}} ]

 

Luego, invierte y multiplica, luego factoriza.

 

[ dfrac { dfrac {1} {x} -1} {1- dfrac {1} {x ^ {2}}} = dfrac {1-x} {x} cdot dfrac {x ^ {2}} {x ^ {2} -1} = dfrac {1-x} {x} cdot dfrac {x ^ {2}} {(x + 1) (x-1)} ]

 

Invocamos la regla de cambio de signo y negamos dos partes de la fracción (1 – x) / x, numerador y barra de fracción, luego cancelamos los factores comunes.

 

[ dfrac { dfrac {1} {x} -1} {1- dfrac {1} {x ^ {2}}} = – dfrac {x-1} {x} cdot dfrac {x ^ {2}} {(x + 1) (x-1)} = – dfrac { x-1 } { not {x}} cdot dfrac {x not {x}} {(x + 1) ( x-1 )} ]

 

Por lo tanto,

 

[ dfrac { dfrac {1} {x} -1} {1- dfrac {1} {x ^ {2}}} = – dfrac {x} {x + 1} ] [ 19459002]  

Ahora, intentemos el problema por segunda vez, multiplicando numerador y denominador por (x ^ 2 ) para borrar las fracciones tanto del numerador como del denominador.

 

[ dfrac { dfrac {1} {x} -1} {1- dfrac {1} {x ^ {2}}} = dfrac { left ( dfrac {1} {x} -1 right) color {blue} {x ^ {2}}} { left (1- dfrac {1} {x ^ {2}} right) color {blue} {x ^ {2} }} = dfrac { left ( dfrac {1} {x} right) color {blue} {x ^ {2}} – (1) color {blue} {x ^ {2}}} { (1) color {azul} {x ^ {2}} – izquierda ( dfrac {1} {x ^ {2}} derecha) color {azul} {x ^ {2}}} = dfrac {xx ^ {2}} {x ^ {2} -1} ]

 

El orden en el numerador de la última fracción indica que un cambio de signo sería útil. Negar el numerador y la barra de fracción, factor, luego cancelar factores comunes.

 

[ dfrac { dfrac {1} {x} -1} {1- dfrac {1} {x ^ {2}}} = – dfrac {x ^ {2} -x} {x ^ {2} -1} = – dfrac {x (x-1)} {(x + 1) (x-1)} = – dfrac {x (x-1) } { (x + 1) (x-1) } = – dfrac {x} {x + 1} ]

 

Esta es precisamente la misma respuesta encontrada con la primera técnica. Para enumerar las restricciones, debemos asegurarnos de que ningún valor de x haga que ningún denominador sea igual a cero, al comienzo del problema, en el cuerpo de nuestro trabajo o en la respuesta final.

 

En el problema original, si x = 0, entonces 1 / x y (1 / x ^ {2} ) están indefinidos, por lo que x = 0 es una restricción. En el cuerpo de nuestro trabajo, los factores x + 1 yx – 1 encontrados en varios denominadores hacen que las restricciones x = −1 y x = 1. Ningún otro denominador ofrece restricciones que aún no se hayan enumerado. Por lo tanto, para todos los x distintos de −1, 0 y 1, el lado izquierdo de

 

[ dfrac { dfrac {1} {x} -1} {1- dfrac {1} {x ^ {2}}} = – dfrac {x} {x + 1} ] [ 19459002]  

es idéntico al lado derecho. Nuevamente, la utilidad de tabla de la calculadora proporciona una amplia evidencia de este hecho en las capturas de pantalla que se muestran en la Figura ( PageIndex {1} ).

 

Tenga en cuenta los mensajes ERR (error) en cada uno de los valores restringidos de x, pero también observe la perfecta concordancia de Y1 e Y2 en todos los demás valores de x.

 
 

Veamos otro ejemplo, un ejemplo importante que involucra notación de funciones.

 
Screen Shot 2019-07-16 at 9.39.29 PM.png
Figura ( PageIndex {1} ). Usando la función de tabla de la calculadora gráfica para verificar la identidad en (8).
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Dado que [f (x) = dfrac {1} {x} ], simplifique la expresión [ dfrac {f (x) -f (2)} {x-2} ]. Enumere todas las restricciones.

 

Solución

 

Recuerde, f (2) significa sustituir 2 por x. Debido a que f (x) = 1 / x, sabemos que f (2) = 1/2, entonces

 

[ dfrac {f (x) -f (2)} {x-2} = dfrac { dfrac {1} {x} – dfrac {1} {2}} {x-2} ]

 

Para borrar las fracciones del numerador, usaríamos un denominador común de 2x. No hay fracciones en el denominador que necesiten borrarse, por lo que el denominador común para numerador y denominador es 2x. Multiplicar numerador y denominador por 2x.

 

[ dfrac {f (x) -f (2)} {x-2} = dfrac { left ( dfrac {1} {x} – dfrac {1} {2} right) color {azul} {2x}} {(x-2) color {azul} {2x}} = dfrac { left ( dfrac {1} {x} right) color {blue} {2x} – left ( dfrac {1} {2} right) color {blue} {2x}} {(x-2) color {blue} {2x}} = dfrac {2-x} {2 x (x-2)} ]

 

Niega el numerador y la barra de fracciones, luego cancela los factores comunes.

 

[ dfrac {f (x) -f (2)} {x-2} = – dfrac {x-2} {2 x (x-2)} = – dfrac { x -2 } {2 x ( x-2 )} = – dfrac {1} {2 x} ]

 

En el problema original, tenemos un denominador de x – 2, entonces x = 2 es una restricción. Si el cuerpo de nuestro trabajo, hay una fracción 1 / x, que no está definida cuando x = 0, entonces x = 0 también es una restricción. Los denominadores restantes no proporcionan otras restricciones. Por lo tanto, para todos los valores de x excepto 0 y 2, el lado izquierdo de

 

[ dfrac {f (x) -f (2)} {x-2} = – dfrac {1} {2 x} ]

 

es idéntico al lado derecho.

 
 

Veamos otro ejemplo que involucra notación de funciones.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Dado [f (x) = dfrac {1} {x ^ {2}} ], simplifica la expresión [ dfrac {f (x + h) -f (x)} {h} ] Enumere todas las restricciones.

 

Solución

 

La notación de función f (x + h) nos pide que reemplacemos cada instancia de x en la fórmula 1 (/ x ^ {2} ) con x + h. Por lo tanto, (f (x + h) = 1 / (x + h) ^ {2} ).

 

Aquí hay otra forma de pensar en esta sustitución. Supongamos que eliminamos la x de

 

[f (x) = dfrac {1} {x ^ {2}} ]

 

para que se lea

 

[f ( space) = dfrac {1} {( space) ^ {2}} ]

 

Ahora, si desea calcular f (2), simplemente inserte un 2 en el área en blanco entre paréntesis. En nuestro caso, queremos calcular f (x + h), por lo que insertamos una x + h en el espacio en blanco entre paréntesis en (12) para obtener

 

[f (x + h) = dfrac {1} {(x + h) ^ {2}} ]

 

Teniendo en cuenta estos comentarios preliminares, volvamos al problema. Primero, interpretamos la notación de función como en nuestras observaciones preliminares y escribimos

 

[ dfrac {f (x + h) -f (x)} {h} = dfrac {\ ( begin {alineado} dfrac {f (x + h) -f (x)} {h} & ​​= dfrac {x ^ {2} – left (x ^ {2} +2 x h + h ^ {2} right)} {hx ^ {2} (x + h) ^ {2 }} \ & = dfrac {x ^ {2} -x ^ {2} -2 x hh ^ {2}} {hx ^ {2} (x + h) ^ {2}} \ & = dfrac {-2 x hh ^ {2}} {hx ^ {2} (x + h) ^ {2}} end {alineado} ) frac {1} {(x + h) ^ {2}} – dfrac {1} {x ^ {2}}} {h} ]

 

El denominador común para el numerador se encuentra al enumerar cada factor a la potencia más alta que se produce. Por lo tanto, el denominador común es (x ^ {2} (x + h) ^ {2} ). El denominador no tiene fracciones para borrar, por lo que es suficiente multiplicar tanto el numerador como el denominador por (x ^ {2} (x + h) ^ {2} ).

 

[ begin {alineado} dfrac {f (x + h) -f (x)} {h} & ​​= dfrac { left ( dfrac {1} {(x + h) ^ {2 }} – dfrac {1} {x ^ {2}} right) color {blue} {x ^ {2} (x + h) ^ {2}}} {h color {blue} {x ^ {2} (x + h) ^ {2}}} \ & = dfrac { left ( dfrac {1} {(x + h) ^ {2}} right) color {blue} {x ^ {2} (x + h) ^ {2}} – left ( dfrac {1} {x ^ {2}} right) color {blue} {x ^ {2} (x + h) ^ {2}}} {h color {azul} {x ^ {2} (x + h) ^ {2}}} \ & = dfrac {x ^ {2} – (x + h) ^ {2 }} {hx ^ {2} (x + h) ^ {2}} end {alineado} ]

 

Ahora ampliaremos el numerador. No olvides usar paréntesis y distribuir ese signo menos.

 

[ begin {alineado} dfrac {f (x + h) -f (x)} {h} & ​​= dfrac {x ^ {2} – left (x ^ {2} +2 x h + h ^ {2} right)} {hx ^ {2} (x + h) ^ {2}} \ & = dfrac {x ^ {2} -x ^ {2} -2 x hh ^ {2}} {hx ^ {2} (x + h) ^ {2}} \ & = dfrac {-2 x hh ^ {2}} {hx ^ {2} (x + h) ^ {2 }} end {alineado} ]

 

Finalmente, factoriza a −h fuera del numerador con la esperanza de encontrar un factor común para cancelar.

 

[ begin {alineado} dfrac {f (x + h) -f (x)} {h} & ​​= dfrac {-h (2 x + h)} {hx ^ {2} (x + h) ^ {2}} \ & = dfrac {- not {h} (2 x + h)} { not {h} x ^ {2} (x + h) ^ {2}} & = dfrac {- (2 x + h)} {x ^ {2} (x + h) ^ {2}} end {alineado} ]

 

Ahora debemos discutir las restricciones. En la pregunta original (11), la h en el denominador no debe ser igual a cero. Por lo tanto, h = 0 es una restricción. En la forma simplificada final, el factor de (x ^ {2} ) en el denominador no está definido si x = 0. Por lo tanto, x = 0 es una restricción. Finalmente, el factor de ((x + h) ^ {2} ) en el denominador final no está definido si x + h = 0, entonces x = −h es una restricción. Los denominadores restantes no proporcionan restricciones adicionales. Por lo tanto, proporcionó (h neq 0, x neq 0, ) y (x neq-h ), para todas las demás combinaciones de x y h, el lado izquierdo de

 

[ dfrac {f (x + h) -f (x)} {h} = dfrac {- (2 x + h)} {x ^ {2} (x + h) ^ {2} } ]

 

es idéntico al lado derecho.

 
 

Veamos un ejemplo final usando la notación de función.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Si [f (x) = dfrac {x} {x + 1} ] simplifica f (f (x)).

 

Solución

 

Primero evaluamos f en x, luego evaluamos f en el resultado del primer cálculo. Por lo tanto, primero trabajamos la función interna para obtener

 

[f (f (x)) = f left ( dfrac {x} {x + 1} right) ]

 

La notación f (x / (x + 1)) nos pide que reemplacemos cada aparición de x en la fórmula x / (x + 1) con la expresión x / (x + 1). ¿Confuso? Aquí hay una manera fácil de pensar en esta sustitución. Supongamos que eliminamos x de

 

[f (x) = dfrac {x} {x + 1} ]

 

reemplazando cada aparición de x con paréntesis vacíos, lo que producirá la plantilla

 

[f ( space) = dfrac {( space)} {( space) +1} ]

 

Ahora, si se le pide que calcule f (3), simplemente inserte 3 en las áreas en blanco entre paréntesis. En este caso, queremos calcular f (x / (x + 1)), por lo que insertamos x / (x + 1) en el espacio en blanco entre cada conjunto de paréntesis en (15) para obtener

 

[f left ( dfrac {x} {x + 1} right) = dfrac { dfrac {x} {x + 1}} { dfrac {x} {x + 1} +1 } ]

 

Ahora tenemos una fracción compleja. El denominador común para la parte superior e inferior de esta fracción compleja es x + 1. Por lo tanto, multiplicamos tanto el numerador como el denominador de nuestra fracción compleja por x + 1 y utilizamos la propiedad distributiva de la siguiente manera.

 

[ dfrac { dfrac {x} {x + 1}} { dfrac {x} {x + 1} +1} = dfrac { left ( dfrac {x} {x + 1} right) color {blue} {(x + 1)}} { left ( dfrac {x} {x + 1} +1 right) color {blue} {(x + 1)}} = dfrac { left ( dfrac {x} {x + 1} right) color {blue} {(x + 1)}} { left ( dfrac {x} {x + 1} right) color {azul} {(x + 1)} + (1) color {azul} {(x + 1)}} ]

 

Cancelar y simplificar.

 

[ dfrac { left ( dfrac {x} {x + 1} right) color {blue} {(x + 1)}} { left ( dfrac {x} {x + 1 } right) color {blue} {(x + 1)} + (1) color {blue} {(x + 1)}} = dfrac {x} {x + (x + 1)} = dfrac {x} {2 x + 1} ]

 

En el denominador final, el valor x = −1/2 hace que el denominador 2x + 1 sea igual a cero. Por lo tanto, x = −1/2 es una restricción. En el cuerpo de nuestro trabajo, varias fracciones tienen denominadores de x + 1 y, por lo tanto, no están definidas en x = −1. Por lo tanto, x = −1 es una restricción. Ningún otro denominador agrega restricciones adicionales.

 

Por lo tanto, para todos los valores de x, excepto x = −1/2 yx = −1, el lado izquierdo de

 

[f (f (x)) = dfrac {x} {2 x + 1} ]

 

es idéntico al lado derecho.

 
   

Ejercicio

 

En Ejercicios 1 6 , evalúa la función en el número racional dado. Luego use la primera o segunda técnica para simplificar fracciones complejas explicadas en la narración para simplificar su respuesta.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {1} )

 

Dado

 

(f (x) = frac {x + 1} {2 − x} ),

 

evaluar y simplificar (f ( frac {1} {2}) ).

 
     
Respuesta
     
     

1

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {2} )

 

Dado

 

(f (x) = frac {2 − x} {x + 5} ),

 

evaluar y simplificar (f ( frac {3} {2}) ).

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {3} )

 

Dado

 

(f (x) = frac {2x + 3} {4 − x} ),

 

evaluar y simplificar (f ( frac {1} {3}) ).

 
     
Respuesta
     
     

1

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {4} )

 

Dado

 

(f (x) = frac {3−2x} {x + 5} )

 

evaluar y simplificar (f ( frac {2} {5}) )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {5} )

 

Dado

 

(f (x) = frac {5−2x} {x + 4} ),

 

evaluar y simplificar (f ( frac {3} {5}) ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {19} {23} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {6} )

 

Dado

 

(f (x) = frac {2x − 9} {11 − x} ),

 

evaluar y simplificar (f ( frac {4} {3}) ).

 
 

En Ejercicios 7 46 , simplifica la expresión racional compleja dada. Indique todas las restricciones .

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {7} )

 

( frac {5+ frac {6} {x}} { frac {25} {x} – frac {36} {x ^ 3}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 0, – frac {6} {5}, o frac {6} {5} ),

     

( frac {x ^ 2} {5x − 6} ).

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {8} )

 

( frac {7+ frac {9} {x}} { frac {49} {x} – frac {81} {x ^ 3}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {9} )

 

( frac { frac {7} {x − 2} – frac {5} {x − 7}} { frac {8} {x − 7} + frac {3} {x + 8}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 2, 7, −8 o – frac {43} {11} ),

     

( frac {(2x − 39) (x + 8)} {(11x + 43) (x − 2)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {10} )

 

( frac { frac {9} {x + 4} – frac {7} {x − 9}} { frac {9} {x − 9} + frac {5} {x− 4}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {11} )

 

( frac {3+ frac {7} {x}} { frac {9} {x ^ 2} – frac {49} {x ^ 4}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 0, – frac {7} {3}, o frac {7} {3} ),

     

( frac {x ^ 3} {3x − 7} ).

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {12} )

 

( frac {2− frac {5} {x}} { frac {4} {x ^ 2} – frac {25} {x ^ 4}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {13} )

 

( frac { frac {9} {x + 4} + frac {7} {x + 9}} { frac {9} {x + 9} + frac {2} {x− 8}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −4, −9, 8 o frac {54} {11} ),

     

( frac {(16x + 109) (x − 8)} {(11x − 54) (x + 4)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {14} )

 

( frac { frac {4} {x − 6} + frac {9} {x − 9}} { frac {9} {x − 6} + frac {8} {x− 9}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {15} )

 

( frac { frac {5} {x − 7} – frac {4} {x − 4}} { frac {10} {x − 4} – frac {5} {x + 2}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 7, 4, −2 o −8 ),

     

( frac {x + 2} {5 (x − 7)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {16} )

 

( frac { frac {3} {x + 6} + frac {7} {x + 9}} { frac {9} {x + 6} – frac {4} {x + 9}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {17} )

 

( frac { frac {6} {x − 3} + frac {5} {x − 8}} { frac {9} {x − 3} + frac {7} {x− 8}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 3, 8 o frac {93} {16} )

     

( frac {11x − 63} {16x − 93} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {18} )

 

( frac { frac {7} {x − 7} – frac {4} {x − 2}} { frac {7} {x − 7} – frac {6} {x− 2}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {19} )

 

( frac { frac {4} {x − 2} + frac {7} {x − 7}} { frac {5} {x − 2} + frac {2} {x− 6}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 2, 7 o frac {39} {7} ),

     

( frac {11x − 42} {7x − 39} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {20} )

 

( frac { frac {9} {x + 2} – frac {7} {x + 5}} { frac {4} {x + 2} + frac {3} {x + 5}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {21} )

 

( frac {5+ frac {4} {x}} { frac {25} {x} – frac {16} {x ^ 3}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 0, – frac {4} {5}, o frac {4} {5} ),

     

( frac {x ^ 2} {5x − 4} ).

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {22} )

 

( frac { frac {6} {x + 5} + frac {5} {x + 4}} { frac {8} {x + 5} – frac {3} {x + 4}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {23} )

 

( frac { frac {9} {x − 5} + frac {8} {x + 4}} { frac {5} {x − 5} – frac {4} {x + 4}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 5, −4 o −40 ),

     

( frac {17x − 4} {x + 40} ).

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {24} )

 

( frac { frac {4} {x − 6} + frac {4} {x − 9}} { frac {6} {x − 6} + frac {6} {x− 9}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {25} )

 

( frac { frac {6} {x + 8} + frac {5} {x − 2}} { frac {5} {x − 2} – frac {2} {x + 2}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −8, 2, −2, o – frac {14} {3} ),

     

( frac {(11x + 28) (x + 2)} {(3x + 14) (x + 8)} ).

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {26} )

 

( frac { frac {7} {x + 9} + frac {9} {x − 2}} { frac {4} {x − 2} + frac {7} {x + 1}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {27} )

 

( frac { frac {7} {x + 7} – frac {5} {x + 4}} { frac {8} {x + 7} – frac {3} {x + 4}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −7, −4 o – frac {11} {5} ),

     

( frac {2x − 7} {5x + 11} ).

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {28} )

 

( frac {25− frac {16} {x ^ 2}} {5+ frac {4} {x}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {29} )

 

( frac { frac {64} {x} – frac {25} {x ^ 3}} {8− frac {5} {x}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 0 o frac {5} {8} ),

     

( frac {8x + 5} {x ^ 2} ).

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {30} )

 

( frac { frac {4} {x + 2} + frac {5} {x − 6}} { frac {7} {x − 6} – frac {5} {x + 7}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {31} )

 

( frac { frac {2} {x − 6} – frac {4} {x + 9}} { frac {3} {x − 6} – frac {6} {x + 9}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 6, −9 o 21 ),

     

( frac {2} {3} ).

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {32} )

 

( frac { frac {3} {x + 6} – frac {4} {x + 4}} { frac {6} {x + 6} – frac {8} {x + 4}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {33} )

 

( frac { frac {9} {x ^ 2} – frac {64} {x ^ 4}} {3− frac {8} {x}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 0 o frac {8} {3} ),

     

( frac {3x + 8} {x ^ 3} ).

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {34} )

 

( frac { frac {9} {x ^ 2} – frac {25} {x ^ 4}} {3− frac {5} {x}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {35} )

 

( frac { frac {4} {x − 4} – frac {8} {x − 7}} { frac {4} {x − 7} + frac {2} {x + 2}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 4, 7, −2 o 1 ),

     

( frac {−2 (x + 2)} {3 (x − 4)} ).

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {36} )

 

( frac {2− frac {7} {x}} {4− frac {49} {x ^ 2}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {37} )

 

( frac { frac {3} {x ^ 2 + 8x − 9} + frac {3} {x ^ 2−81}} { frac {9} {x ^ 2−81} + frac {9} {x ^ 2−8x − 9}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 1, −9, 9, −1, −5 ),

     

( frac {(x − 5) (x + 1)} {3 (x + 5) (x − 1)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {38} )

 

( frac { frac {7} {x ^ 2−5x − 14} + frac {2} {x ^ 2−7x − 18}} { frac {5} {x ^ 2−7x −18} + frac {8} {x ^ 2−6x − 27}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {39} )

 

( frac { frac {2} {x ^ 2 + 8x + 7} + frac {5} {x ^ 2 + 13x + 42}} { frac {7} {x ^ 2 + 13x +42} + frac {6} {x ^ 2 + 3x − 18}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −1, −7, −6, 3, – frac {21} {13} ),

     

( frac {(7x + 17) (x − 3)} {(13x + 21) (x + 1)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {40} )

 

( frac { frac {3} {x ^ 2 + 5x − 14} + frac {3} {x ^ 2−7x − 98}} { frac {3} {x ^ 2−7x −98} + frac {3} {x ^ 2−15x + 14}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {41} )

 

( frac { frac {6} {x ^ 2 + 11x + 24} – frac {6} {x ^ 2 + 13 + 40}} { frac {9} {x ^ 2 + 13x +40} – { frac {9} {x ^ 2−3x − 40}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −3, −8, −5, 8 ),

     

( frac {−1 (x − 8)} {12 (x + 3)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {42} )

 

( frac { frac {7} {x ^ 2 + 19x + 90} + frac {7} {x ^ 2 + 19x + 90}} { frac {9} {x ^ 2 + 19x +90} + frac {9} {x ^ 2 + 7x − 18}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {43} )

 

( frac { frac {7} {x ^ 2−6x + 5} + frac {7} {x ^ 2 + 2x − 35}} { frac {8} {x ^ 2 + 2x −35} + frac {8} {x ^ 2 + 8x + 7}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 1, 5, −7, −1, 2 ),

     

( frac {7 (x + 3) (x + 1)} {8 (x − 2) (x − 1)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {44} )

 

( frac { frac {2} {x ^ 2−4x − 12} – frac {2} {x ^ 2 − x − 30}} { frac {2 } {x ^ 2 − x − 30} – frac {2} {x ^ 2−4x − 45}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {45} )

 

( frac { frac {4} {x ^ 2 + 6x − 7} – frac {4} {x ^ 2 + 2x − 3}} { frac {4 } {x ^ 2 + 2x − 3} – frac {4} {x ^ 2 + 5x + 6}} )

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −7, 1, −3, −2 ),

     

( frac {−4 (x + 2)} {3 (x + 7)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {46} )

 

( frac { frac {9} {x ^ 2 + 3x − 4} + frac {8} {x ^ 2−7x + 6}} { frac {4} {x ^ 2−7x +6} + frac {9} {x ^ 2−10x + 24}} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {47} )

 

Dado (f (x) = frac {2} {x} ), simplifica

 

( frac {f (x) −f (3)} {x − 3} ).

 

Indique todas las restricciones.

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 0, 3 ),

     

( frac {−2} {3x} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {48} )

 

Dado (f (x) = frac {5} {x} ), simplifica

 

( frac {f (x) −f (2)} {x − 2} ).

 

Indique todas las restricciones.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {49} )

 

Dado (f (x) = frac {3} {x ^ 2} ), simplifica

 

( frac {f (x) −f (1)} {x − 1} ).

 

Indique todas las restricciones.

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 0, 1 ),

     

(- frac {3 (x + 1)} {x ^ 2} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {50} )

 

Dado (f (x) = frac {5} {x ^ 2} ), simplifica

 

( frac {f (x) −f (2)} {x − 2} ).

 

Indique todas las restricciones.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {51} )

 

Dado (f (x) = frac {7} {x} ), simplifica

 

( frac {f (x + h) −f (x)} {h} ).

 

Indique todas las restricciones.

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 0, −h ) y (h ne 0 ),

     

(- frac {7} {h (x + h)} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {52} )

 

Dado (f (x) = frac {4} {x} ), simplifica

 

( frac {f (x + h) −f (x)} {h} ).

 

Indique todas las restricciones.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {53} )

 

Dado

 

(f (x) = frac {x + 1} {3 − x} ),

 

encuentra y simplifica (f ( frac {1} {x}) ). Indique todas las restricciones.

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 0, frac {1} {3} ),

     

( frac {x + 1} {3x − 1} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {54} )

 

Dado

 

(f (x) = frac {2 − x} {3x + 4} )

 

encuentra y simplifica (f ( frac {2} {x}) ). Indique todas las restricciones.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {55} )

 

Dado

 

(f (x) = frac {x + 1} {2−5x} ),

 

encuentra y simplifica (f ( frac {5} {x}) ). Indique todas las restricciones.

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne 0, frac {25} {2} ),

     

( frac {x + 5} {2x − 25} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {56} )

 

Dado

 

(f (x) = frac {2x − 3} {4 + x} ),

 

encuentra y simplifica (f ( frac {1} {x}) ). Indique todas las restricciones.

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {57} )

 

Dado

 

(f (x) = frac {x} {x + 2} ),

 

encuentra y simplifica f (f (x)). Indique todas las restricciones.

 
     
Respuesta
     
     

Proporcionado (x ne −2, – frac {4} {3} ),

     

( frac {x} {3x + 4} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {58} )

 

Dado

 

(f (x) = frac {2x} {x + 5} )

 

encuentra y simplifica f (f (x)). Indique todas las restricciones.

 
                               
                                  
]]>

,

Deja una respuesta