Resolver proporciones
Cuando dos expresiones racionales son iguales, la ecuación que las relaciona se denomina proporción .
Proporción
Una proporción es una ecuación de la forma ( dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} ), donde (b neq 0, d neq 0 ).
La proporción se lee ” (a ) es a (b ) como (c ) es a (d )”.
La ecuación ( dfrac {1} {2} = dfrac {4} {8} ) es una proporción porque las dos fracciones son iguales. La proporción ( dfrac {1} {2} = dfrac {4} {8} ) se lee “1 es a 2 como 4 es a 8”.
Dado que una proporción es una ecuación con expresiones racionales, resolveremos proporciones de la misma manera que resolvimos ecuaciones racionales. Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD para borrar las fracciones y luego resolver la ecuación resultante.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Resuelve: ( dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} ).
Solución
[ dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7}, quad n neq-14 nonumber ]
Multiplica ambos lados por LCD.
[7 (n + 14) left ( dfrac {n} {n + 14} right) = 7 (n + 14) left ( dfrac {5} {7} right) nonumber ]
Eliminar los factores comunes en cada lado.
[7 n = 5 (n + 14) nonumber ]
Simplificar.
[7 n = 5 n + 70 nonumber ]
Resuelve para (n ).
[ begin {alineado} 2n & = 70 \ n & = 35 end {alineado} nonumber ]
Verificar.
[ dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} nonumber ]
Sustituto (n = 35 )
[ dfrac {35} {35 + 14} overset {?} {=} Dfrac {5} {7} nonumber ]
Simplificar.
[ dfrac {35} {49} overset {?} {=} Dfrac {5} {7} nonumber ]
Mostrar factores comunes.
[ dfrac {5 cdot 7} {7 cdot 7} overset {?} {=} Dfrac {5} {7} nonumber ]
Simplificar.
[ dfrac {5} {7} = dfrac {5} {7} ; surd nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Resuelve la proporción: ( dfrac {y} {y + 55} = dfrac {3} {8} ).
- Respuesta
-
(y = 33 )
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Resuelve la proporción: ( dfrac {z} {z-84} = – dfrac {1} {5} ).
- Respuesta
-
(z = 14 )
Observe en el último ejemplo que cuando borramos las fracciones multiplicando por la pantalla LCD, el resultado es el mismo que si hubiéramos multiplicado en forma cruzada.
[ begin {alineado} dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} quad quad quad dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5 } {7} \ 7 (n + 14) left ( dfrac {n} {n + 14} right) = 7 (n + 14) left ( dfrac {5} {7} right) quad quad quad dfrac {n} {n + 14} = dfrac {5} {7} \ 7n = 5 (n + 14) quad quad quad 7n = 5 (n + 14) end {alineado} nonumber ]
Para cualquier proporción, ( dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} ), obtenemos el mismo resultado cuando limpiamos las fracciones multiplicando por la pantalla LCD como cuando multiplicamos en forma cruzada .
[ begin {alineado} dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} quad quad quad dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} \ bd left ( dfrac {a} {b} = frac {c} {d} right) bd quad quad quad frac {a} {b} = frac {c} {d} \ ad = bc quad quad quad ad = bc end {alineado} nonumber ]
Para resolver aplicaciones con proporciones, seguiremos nuestra estrategia habitual para resolver aplicaciones. Pero cuando establecemos la proporción, debemos asegurarnos de tener las unidades correctas: las unidades en los numeradores deben coincidir entre sí y las unidades en el Los denominadores también deben coincidir entre sí.
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Cuando los pediatras recetan acetaminofén a los niños, recetan 5 mililitros (ml) de acetaminofeno por cada 25 libras de peso del niño. Si Zoe pesa 80 libras, ¿cuántos mililitros de paracetamol le recetará su médico?
Solución
Identifica lo que se nos pide que encontremos y elige una variable para representarlo.
¿Cuántos ml de acetaminofeno le recetará el médico?
Deje (a = ml ) de acetaminofén.
Escribe una oración que proporcione la información para encontrarla.
Si se recetan 5 ml por cada 25 libras, ¿cuánto se recetará por 80 libras?
Traduce a una proporción: ten cuidado con las unidades.
Paso 1 . Escribe la desigualdad como un cociente a la izquierda y cero a la derecha. Nuestra desigualdad está en esta forma.
[ dfrac {x-1} {x + 3} geq 0 nonumber ]
Paso 2 . Determine los puntos críticos: los puntos donde la expresión racional será cero o indefinida.
La expresión racional será cero cuando el numerador sea cero. Desde (x-1 = 0 ) cuando (x = 1 ), entonces 1 es un punto crítico. La expresión racional será indefinida cuando el denominador sea cero. Como (x + 3 = 0 ) cuando (x = -3 ), entonces -3 es un punto crítico.
Paso 3 . Usa los puntos críticos para dividir la recta numérica en intervalos.
Paso 4 . Arriba de la recta numérica, muestra el signo de cada factor de la expresión racional en cada intervalo. Debajo de la recta numérica, muestra el signo del cociente.
Use valores en cada intervalo para determinar el valor de cada factor en el intervalo. En el intervalo (-3,1), cero es un buen valor para probar. Por ejemplo, cuando (x = 0 ) entonces (x-1 = -1 ) y (x + 3 = 3 ) El factor (x-1 ) se marca como negativo y (x + 3 ) marcado como positivo. Como un negativo dividido por un positivo es negativo, el cociente se marca como negativo en ese intervalo.
Paso 5 . Determine los intervalos donde la desigualdad es correcta. Escribe la solución en notación de intervalo.
Queremos que el cociente sea mayor o igual que cero, por lo que los números en los intervalos ((- infty, -3) ) y ((1, infty) ) son soluciones. Como 3 debe excluirse ya que hace que la expresión racional sea 0, no podemos incluirla en la solución. Podemos incluir 1 en nuestra solución.
[(- infty, -3) cup [1, infty) nonumber ]
Multiplica ambos lados por la pantalla LCD, 400. Elimina los factores comunes en cada lado. Simplifica, pero no multipliques a la izquierda. Observe cuál será el siguiente paso.
[16 cdot 5 = 5 a nonumber ]
Resuelve para (a ).
[ begin {alineado} dfrac {16 cdot 5} {5} & = dfrac {5 a} {5} \ 16 & = a end {alineado} nonumber ]
Verificar. ¿Es razonable la respuesta? Escribe una oración completa.
El pediatra le recetaría 16 ml de acetaminofén a Zoe.
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Los pediatras recetan 5 mililitros (ml) de acetaminofeno por cada 25 libras de peso de un niño. ¿Cuántos mililitros de acetaminofeno le recetará el médico a Emilia, que pesa 60 libras?
- Respuesta
-
El pediatra le recetará 12 ml de acetaminofén a Emilia.
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Por cada 1 kilogramo (kg) de peso de un niño, los pediatras recetan 15 miligramos (mg) de un reductor de fiebre. Si Isabella pesa 12 kg, ¿cuántos miligramos del reductor de fiebre le recetará el pediatra?
- Respuesta
-
El pediatra le recetará 180 mg de reductor de fiebre a Isabella.
Resolver aplicaciones de figuras similares
Cuando encoges o amplías una foto en un teléfono o tableta, calculas una distancia en un mapa, o usas un patrón para construir una estantería o coses un vestido, estás trabajando con figuras similares. Si dos figuras tienen exactamente la misma forma, pero diferentes tamaños, se dice que son similares. Uno es un modelo a escala del otro. Todos sus ángulos correspondientes tienen las mismas medidas y sus lados correspondientes tienen la misma relación.
Cifras similares
Dos figuras son similares si las medidas de sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes tienen la misma relación.
Por ejemplo, los dos triángulos en la Figura a continuación son similares. Cada lado de ( Delta ABC ) es cuatro veces la longitud del lado correspondiente de ( Delta XYZ ).
Esto se resume en la propiedad de triángulos similares.
Propiedad de triángulos similares
Si ( Delta ABC ) es similar a ( Delta XYZ ), su medida de ángulo correspondiente es igual y sus lados correspondientes tienen la misma relación.
Para resolver aplicaciones con cifras similares, seguiremos la Estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría que utilizamos anteriormente.
Ejemplo ( PageIndex {3} )
En un mapa, San Francisco, Las Vegas y Los Ángeles forman un triángulo. La distancia entre las ciudades se mide en pulgadas. La figura de la izquierda a continuación representa el triángulo formado por las ciudades en el mapa. Si la distancia real de Los Ángeles a Las Vegas es de 270 millas, encuentre la distancia de Los Ángeles a San Francisco.
Solución
Dado que los triángulos son similares, los lados correspondientes son proporcionales.
Lea el problema. Dibuja las figuras y etiquétalas con la información dada. Las figuras se muestran arriba.
Identifique lo que estamos buscando: la distancia real de Los Ángeles a San Francisco
Nombre las variables: Let (x ) = distancia de Los Ángeles a San Francisco.
Traducir a una ecuación. Como los triángulos son similares, los lados correspondientes son proporcionales. Haremos los numeradores “millas” y los denominadores “pulgadas”.
[$ dfrac {x text {millas}} {1.3 text {pulgadas}} = dfrac {270 text {millas}} {1 text {inch}} $ nonumber ] [19459007 ]
Resuelve la ecuación.
[ begin {alineado} 1.3 left ( dfrac {x} {1.3} right) & = 1.3 left ( dfrac {270} {1} right) \ x & = 351 end { alineado} nonumber ]
Verificar . En el mapa, la distancia de Los Ángeles a San Francisco es mayor que la distancia de Los Ángeles a Las Vegas. Como 351 es más que 270, la respuesta tiene sentido.
Marque (x = 351 ) en la proporción original. Usa una calculadora.
[ begin {alineado} dfrac {x text {millas}} {1.3 text {pulgadas}} & = dfrac {270 text {millas}} {1 text {pulgadas}} \ dfrac {351 text {millas}} {1.3 text {pulgadas}} y overset {?} {=} dfrac {270 text {millas}} {1 text {pulgadas}} \ dfrac { 270 text {miles}} {1 text {inch}} & = dfrac {270 text {miles}} {1 text {inch}} surd end {alineado} nonumber ]
Responda la pregunta: La distancia de Los Ángeles a San Francisco es de 351 millas.
En el mapa, Seattle, Portland y Boise forman un triángulo. La distancia entre las ciudades se mide en pulgadas. La figura de la izquierda a continuación representa el triángulo formado por las ciudades en el mapa. La distancia real de Seattle a Boise es de 400 millas.
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Encuentra la distancia real de Seattle a Portland.
- Respuesta
-
La distancia es de 150 millas.
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Encuentra la distancia real de Portland a Boise.
- Respuesta
-
La distancia es de 350 millas.
Podemos usar figuras similares para encontrar alturas que no podemos medir directamente.
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Tyler mide 6 pies de altura. Una tarde, su sombra tenía 8 pies de largo. Al mismo tiempo, la sombra de un árbol tenía 24 pies de largo. Encuentra la altura del árbol.
Solución
Lee el problema y dibuja una figura. Estamos buscando (h ), la altura del árbol.
Usaremos triángulos similares para escribir una ecuación. El triángulo pequeño es similar al triángulo grande.
[ dfrac {h} {24} = dfrac {6} {8} nonumber ]
Resuelve la proporción.
[ begin {alineado} 24 left ( dfrac {6} {8} right) & = 24 left ( dfrac {h} {24} right) \ 18 & = h end { alineado} nonumber ]
Simplificar. Cheque.
La altura de Tyler es menor que la longitud de su sombra, por lo que tiene sentido que la altura del árbol sea menor que la longitud de su sombra. Marque (h = 18 ) en la proporción original.
[ begin {alineado} & dfrac {6} {8} = dfrac {h} {24} \ & dfrac {6} {8} overset {?} {=} Dfrac { 18} {24} \ & dfrac {3} {4} = dfrac {3} {4} surd end {alineado} nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Un poste de teléfono proyecta una sombra de 50 pies de largo. Cerca de allí, una señal de tráfico de 8 pies de altura proyecta una sombra de 10 pies de largo. ¿Qué altura tiene el poste telefónico?
- Respuesta
-
El poste telefónico mide 40 pies de altura.
Ejercicio ( PageIndex {8} )
Un pino proyecta una sombra de 80 pies al lado de un edificio de 30 pies de altura que proyecta una sombra de 40 pies. ¿Qué altura tiene el pino?
- Respuesta
-
El pino mide 60 pies de alto.
Resolver aplicaciones de movimiento uniforme
Hemos resuelto problemas de movimiento uniforme usando la fórmula (D = r t ) en capítulos anteriores. Utilizamos una tabla como la siguiente para organizar la información y llevarnos a la ecuación.
| |
Velocidad ( cdot ) Tiempo = Distancia |
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|
La fórmula (D = r t ) supone que conocemos (r ) y (t ) y los usamos para encontrar (D ). Si conocemos (D ) y (r ) y necesitamos encontrar (t ), resolveríamos la ecuación para (t ) y obtendríamos la fórmula (t = dfrac {D} {r } ).
También hemos explicado cómo volar con o contra el viento afecta la velocidad de un avión. Revisaremos esa idea en el siguiente ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Un avión puede volar 200 millas en un viento de 30 mph en la misma cantidad de tiempo que lleva volar 300 millas con un viento de cola de 30 mph. ¿Cuál es la velocidad del avión?
Solución
Esta es una situación de movimiento uniforme. Un diagrama nos ayudará a visualizar la situación.
Completamos el cuadro para organizar la información.
Estamos buscando la velocidad del avión. Sea (r ) = la velocidad del avión.
Cuando el avión vuela con el viento, el viento aumenta su velocidad y la tasa es (r + 30 ).
Cuando el avión vuela contra el viento, el viento disminuye su velocidad y la velocidad es (r – 30 ).
Escribe las tarifas. Escribe en las distancias. Como (D = r cdot t ), resolvemos para (t ) y obtenemos (t = dfrac {D} {r} ). Dividimos la distancia por la tasa en cada fila y colocamos la expresión en la columna de tiempo.
| |
Velocidad ( cdot ) Tiempo = Distancia |
| Viento en contra |
(r-30 ) |
( dfrac {200} {r-30} ) |
200 |
| Viento de cola |
(r + 30 ) |
( dfrac {300} {r + 30} ) |
300 |
Sabemos que los tiempos son iguales y por eso escribimos nuestra ecuación.
[ dfrac {200} {r-30} = dfrac {300} {r + 30} nonumber ]
Multiplicamos ambos lados por la pantalla LCD.
[(r + 30) (r-30) left ( frac {200} {r-30} right) = (r + 30) (r-30) left ( frac {300} {r + 30} right) nonumber ]
Simplifica y resuelve.
[ begin {alineado} (r + 30) (200) & = (r-30) 300 \ 200 r + 6000 & = 300 r-9000 \ 15000 & = 100 r end {alineado} nonumber ]
Verificar.
¿Es (150 mathrm {mph} ) una velocidad razonable para un avión? Si. Si el avión viaja (150 mathrm {mph} ) y el viento es (30 mathrm {mph} ),
[ text {Tailwind} quad 150 + 30 = 180 mathrm {mph} quad dfrac {300} {180} = dfrac {5} {3} text {horas} nonumber ]
[ text {Headwind} 150-30 = 120 mathrm {mph} dfrac {200} {120} = dfrac {5} {3} text {horas} nonumber ]
Los tiempos son iguales, por lo que se comprueba. El avión viajaba (150 mathrm {mph} ).
Ejercicio ( PageIndex {9} )
Link puede andar en bicicleta 20 millas en un viento de 3 mph en la misma cantidad de tiempo que puede andar 30 millas con un viento de cola de 3 mph. ¿Cuál es la velocidad de ciclismo de Link?
- Respuesta
-
La velocidad de ciclismo de Link es de 15 mph.
Ejercicio ( PageIndex {10} )
Danica puede navegar su bote 5 millas en un viento de 7 mph en la misma cantidad de tiempo que puede navegar 12 millas con un viento de cola de 7 mph. ¿Cuál es la velocidad del barco de Danica sin viento?
- Respuesta
-
La velocidad del barco de Danica es de 17 mph.
En el siguiente ejemplo, sabremos el tiempo total resultante de viajar diferentes distancias a diferentes velocidades.
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Jazmine entrenó durante 3 horas el sábado. Corrió 8 millas y luego en bicicleta 24 millas. Su velocidad en bicicleta es 4 mph más rápido que su velocidad de carrera. ¿Cuál es su velocidad de carrera?
Solución
Esta es una situación de movimiento uniforme. Un diagrama nos ayudará a visualizar la situación.
Completamos el cuadro para organizar la información. Estamos buscando la velocidad de carrera de Jazmine. Sea (r ) = la velocidad de carrera de Jazmine.
Su velocidad en bicicleta es 4 millas más rápida que su velocidad de carrera. (r + 4 ) = su velocidad en bicicleta
Se dan las distancias, ingrésalas en la tabla. Como (D = r cdot t ), resolvemos para (t ) y obtenemos (t = dfrac {D} {r} ).
Dividimos la distancia por la tasa en cada fila y colocamos la expresión en la columna de tiempo.
| |
Velocidad ( cdot ) Tiempo = Distancia |
| Ejecutar |
(r ) |
( dfrac {8} {r} ) |
8 |
| Bicicleta |
(r + 4 ) |
( dfrac {24} {r + 4} ) |
24 |
| |
|
3 |
|
Escribe una oración: Su tiempo más el tiempo en bicicleta es de 3 horas.
Traduce la oración para obtener la ecuación.
[ dfrac {8} {r} + dfrac {24} {r + 4} = 3 nonumber ]
Resolver.
[ begin {alineado}
r (r + 4) left ( dfrac {8} {r} + dfrac {24} {r + 4} right) & = 3 cdot r (r + 4) \
8 (r + 4) +24 r & = 3 r (r + 4) \
8 r + 32 + 24 r & = 3 r ^ {2} +12 r \
32 + 32 r & = 3 r ^ {2} +12 r \
0 & = 3 r ^ {2} -20 r-32 \
0 & = (3 r + 4) (r-8)
end {alineado} nonumber ]
[ begin {array} {lc} {(3 r + 4) = 0} & {(r-8) = 0} \ cancel {r = dfrac {4} {3}} quad & {r = 8} end {array} nonumber ]
Verificar.
Una velocidad negativa no tiene sentido en este problema, por lo que (r = 8 ) es la solución.
¿Es 8 mph una velocidad de carrera razonable? Si.
Si la velocidad de carrera de Jazmine es 4, entonces su velocidad de bicicleta, (r + 4 ), que es (8 + 4 = 12 ).
[ text {Run} 8 mathrm {mph} quad dfrac {8 mathrm {miles}} {8 mathrm {mph}} = 1 text {hora} nonumber ]
[ text {Bike} 12 text {mph} quad dfrac {24 text {millas}} {12 mathrm {mph}} = 2 text {horas} nonumber ]
horas
La velocidad de carrera de Jazmine es de 8 mph.
Ejercicio ( PageIndex {11} )
Dennis hizo esquí de fondo durante 6 horas el sábado. Esquiaba 20 millas cuesta arriba y luego 20 millas cuesta abajo, volviendo a su punto de partida. Su velocidad de subida era 5 mph más lenta que su velocidad de bajada. ¿Cuál fue la velocidad de Dennis cuesta arriba y su velocidad cuesta abajo?
- Respuesta
-
La velocidad de subida de Dennis era de 10 mph y su velocidad de bajada era de 5 mph.
Ejercicio ( PageIndex {12} )
Joon condujo 4 horas hasta su casa, conduciendo 208 millas en la carretera interestatal y 40 millas en caminos rurales. Si conducía 15 mph más rápido en la carretera interestatal que en las carreteras del país, ¿cuál era su velocidad en las carreteras del país?
- Respuesta
-
La tasa de Joon en las carreteras del país es de 50 mph.
Una vez más, utilizaremos la fórmula de movimiento uniforme resuelta para la variable (t ).
Ejemplo ( PageIndex {7} )
Hamilton montó su bicicleta cuesta abajo 12 millas en el camino del río desde su casa hasta el océano y luego cabalgó cuesta arriba para regresar a casa. Su velocidad cuesta arriba era 8 millas por hora más lenta que su velocidad cuesta abajo. Le llevó 2 horas más llegar a casa que llegar al océano. Encuentra la velocidad de descenso de Hamilton.
Solución
Esta es una situación de movimiento uniforme. Un diagrama nos ayudará a visualizar la situación.
Completamos el cuadro para organizar la información.
Estamos buscando la velocidad de descenso de Hamilton. Sea (h ) = la velocidad de descenso de Hamilton.
Su velocidad cuesta arriba es 8 millas por hora más lenta. (h-8 ) = Velocidad cuesta arriba de Hamilton.
Ingrese las tasas en la tabla.
La distancia es la misma en ambas direcciones: 12 millas.
Como (D = r cdot t ), resolvemos para (t ) y obtenemos (t = dfrac {D} {r} ). Dividimos la distancia por la tasa en cada fila y colocamos la expresión en la columna de tiempo.
| |
Velocidad ( cdot ) Tiempo = Distancia |
| Cuesta abajo |
(h ) |
( dfrac {12} {h} ) |
12 |
| Cuesta arriba |
(h-8 ) |
( dfrac {12} {h-8} ) |
12 |
Escribe una oración de palabras sobre la línea: tardó 2 horas más cuesta arriba que cuesta abajo. El tiempo cuesta arriba es 2 más que el tiempo cuesta abajo.
Traduce la oración para obtener la ecuación.
[ dfrac {12} {h-8} = dfrac {12} {h} +2 nonumber ]
Resolver.
[ begin {alineado}
h (h-8) left ( dfrac {12} {h-8} right) & = h (h-8) left ( dfrac {12 } {h} +2 right) \
12 h & = 12 (h-8) +2 h (h-8) \
12 h & = 12 h-96 + 2 h ^ { 2} -16 h \
0 & = 2 h ^ {2} -16 h-96 \
0 & = 2 left (h ^ {2} -8 h-48 right)
0 & = 2 (h-12) (h + 4)
end {alineado} nonumber ]
[ begin {array} {lc} h-12 = 0 & h + 4 = 0 \ h = 12 & cancel {h = 4} end {array} nonumber ]
Verificar. ¿Es (12 mathrm {mph} ) una velocidad razonable para andar en bicicleta cuesta abajo? Si.
[ text {Downhill} 12 mathrm {mph} quad dfrac {12 text {miles}} {12 mathrm {mph}} = 1 text {hora} nonumber ]
[ text {Uphill} 12-8 = 4 mathrm {mph} quad dfrac {12 text {miles}} {4 mathrm {mph}} = 3 text {horas} nonumber ]
El tiempo cuesta arriba es 2 horas más que el tiempo cuesta abajo.
La velocidad de descenso de Hamilton es (12 mathrm {mph} ).
Ejercicio ( PageIndex {13} )
Kayla montó su bicicleta 75 millas a casa desde la universidad un fin de semana y luego tomó el autobús de regreso a la universidad. Le llevó 2 horas menos regresar a la universidad en el autobús de lo que la llevó a casa en su bicicleta, y la velocidad promedio del autobús fue 10 millas por hora más rápida que la velocidad en bicicleta de Kayla. Encuentra la velocidad en bicicleta de Kayla.
- Respuesta
-
La velocidad en bicicleta de Kayla era de 15 mph.
Ejercicio ( PageIndex {14} )
Victoria trota 12 millas hacia el parque a lo largo de un sendero plano y luego regresa trotando por un sendero montañoso de 20 millas. Trota 1 milla por hora más despacio en el sendero montañoso que en el sendero plano, y su viaje de regreso la lleva dos horas más. Encuentra su ritmo de jogging en el camino plano.
- Respuesta
-
Victoria trotó 6 mph en el camino plano.
Resolver aplicaciones de trabajo
La revista semanal de chismes tiene una gran historia sobre el bebé de la princesa y el editor quiere que la revista se imprima lo antes posible. Le ha pedido a la impresora que ejecute una imprenta adicional para que la impresión se realice más rápidamente. Presione # 1 toma 6 horas para hacer el trabajo y Presione # 2 toma 12 horas para hacer el trabajo. ¿Cuánto tiempo llevará la impresora imprimir la revista con ambas prensas funcionando juntas?
Esta es una aplicación típica de “trabajo”. Aquí hay tres cantidades involucradas: el tiempo que les tomaría a cada una de las dos prensas hacer el trabajo solo y el tiempo que les tomaría a ellos hacer el trabajo juntos.
Si la Prensa # 1 puede completar el trabajo en 6 horas, en una hora se completará ( dfrac {1} {6} ) del trabajo.
Si la Prensa # 2 puede completar el trabajo en 12 horas, en una hora se completará ( dfrac {1} {12} ) del trabajo.
Dejaremos que (t ) sea la cantidad de horas que le tomaría a las prensas imprimir las revistas con ambas prensas funcionando juntas. Entonces, en 1 hora trabajando juntos, han completado ( dfrac {1} {t} ) del trabajo.
Podemos modelar esto con la palabra ecuación y luego traducirlo a una ecuación racional. Para encontrar el tiempo que les tomaría a las prensas completar el trabajo si trabajaran juntas, resolvemos (t ).
Siga los pasos para organizar la información. Estamos buscando cuántas horas tomaría completar el trabajo con ambas prensas funcionando juntas.
Paso 1 : Deje (t ) = la cantidad de horas necesarias para completar el trabajo juntos.
Paso 2 : Ingrese las horas por trabajo para Presione # 1, Presione # 2, y cuando trabajen juntos.
Si un trabajo en la Prensa # 1 toma 6 horas, entonces en 1 hora ( dfrac {1} {6} ) del trabajo se completa.
Del mismo modo, encuentre la parte del trabajo completado / horas para la Prensa n. ° 2 y cuando ambos estén juntos.
| |
Número de horas para completar el trabajo. |
Parte del trabajo completado / hora |
| Presione # 1 |
6 |
( dfrac {1} {6} ) |
| Presione # 2 |
12 |
( dfrac {1} {12} ) |
| Juntos |
(t ) |
( dfrac {1} {t} ) |
Escribe una oración de una palabra. La parte completada por Press # 1 más la parte completada por Press # 2 es igual a la cantidad completada juntos.
Paso 3 : Traducir a una ecuación.
[ text {Trabajo completado por} \ underbrace { text {Press} # 1 + text {Press} # 2 = text {Together}} \ dfrac {1} {6 } qquad + qquad dfrac {1} {12} qquad = qquad dfrac {1} {t} nonumber ]
Paso 4 : Resuelve. Simplificar.
[ dfrac {1} {6} + dfrac {1} {12} = dfrac {1} {t} nonumber ]
Multiplica por la pantalla LCD, (12t ) y simplifica.
[ begin {alineado}
12 t left ( dfrac {1} {6} + dfrac {1} {12} right) & = 12 t left ( dfrac {1} {t} right) \
2 t + t & = 12 \
3 t & = 12 \
t & = 4
end {alineado} nonumber ] [ 19459007]
Cuando ambas prensas están funcionando, toma 4 horas hacer el trabajo.
Tenga en cuenta que debería tomar menos tiempo para que dos prensas completen un trabajo trabajando juntas que para que cualquier prensa lo haga solo.
Ejemplo ( PageIndex {8} )
Supongamos que Pete puede pintar una habitación en 10 horas. Si trabaja a un ritmo constante, en 1 hora pintaría ( dfrac {1} {10} ) de la habitación. Si Alicia tardaría 8 horas en pintar la misma habitación, en 1 hora pintaría ( dfrac {1} {8} ) de la habitación. ¿Cuánto tiempo les tomaría a Pete y Alicia pintar la habitación si trabajaran juntos (y no interfirieran con el progreso del otro)?
Solución
Esta es una aplicación de “trabajo”. Los siguientes pasos nos ayudarán a organizar la información. Estamos buscando la cantidad de horas que les tomará pintar la habitación juntos.
En una hora, Pete hizo ( dfrac {1} {10} ) del trabajo. Alicia hizo ( dfrac {1} {8} ) del trabajo. Y juntos hicieron ( dfrac {1} {t} ) del trabajo.
Paso 1 : Sea (t ) la cantidad de horas necesarias para pintar la habitación juntos.
Paso 2 : Ingrese las horas por trabajo para Pete, Alicia y cuándo trabajan juntos. En 1 hora trabajando juntos, han completado ( dfrac {1} {t} ) del trabajo. Del mismo modo, encuentre la parte del trabajo completado / hora por Pete y luego por Alicia.
| |
Número de horas para completar el trabajo. |
Parte del trabajo completado / hora |
| Pete |
10 |
( dfrac {1} {10} ) |
| Alicia |
8 |
( dfrac {1} {8} ) |
| Juntos |
(t ) |
( dfrac {1} {t} ) |
Escribe una oración de palabra. El trabajo completado por Pete más el trabajo completado por Alicia es igual al trabajo total completado.
Paso 3 : Traducir a una ecuación.
[ text {Trabajo completado por} \ underbrace { text {Pete} + text {Alicia} = text {Together}} \ dfrac {1} {10} qquad + qquad dfrac {1} {8} qquad = qquad dfrac {1} {t} nonumber ]
Paso 4 : Simplifica. Resolver.
Multiplica por la pantalla LCD, (40t ).
[40 t left ( dfrac {1} {10} + dfrac {1} {8} right) = 40 t left ( dfrac {1} {t} right) nonumber ]
Distribuir.
[40 t cdot dfrac {1} {10} +40 t cdot dfrac {1} {8} = 40 t left ( dfrac {1} {t} right) nonumber ]
Simplifica y resuelve.
[ begin {array} {r}
{4 t + 5 t = 40} \
{9 t = 40} \
{t = dfrac {40} { 9}}
end {array} nonumber ]
Escribiremos como un número mixto para poder convertirlo en horas y minutos.
[t = 4 dfrac {4} {9} text {horas} nonumber ]
Recuerda, 1 hora = 60 minutos.
[t = 4 text {horas} + dfrac {4} {9} (60 text {minutos}) nonumber ]
Multiplica, y luego redondea al minuto más cercano.
[t = 4 text {horas} +27 text {minutos} nonumber ]
Le tomaría a Pete y Alica unas 4 horas y 27 minutos pintar la habitación.
Ejercicio ( PageIndex {15} )
Un jardinero puede cortar un campo de golf en 4 horas, mientras que otro jardinero puede cortar el mismo campo de golf en 6 horas. ¿Cuánto tiempo tomaría si los dos jardineros trabajaran juntos para cortar el campo de golf?
- Respuesta
-
Cuando los dos jardineros trabajan juntos, toma 2 horas y 24 minutos.
Ejercicio ( PageIndex {16} )
Daria puede desmalezar el jardín en 7 horas, mientras que su madre puede hacerlo en 3. ¿Cuánto tiempo les llevará a las dos trabajar juntas?
- Respuesta
-
Cuando Daria y su madre trabajan juntas, toma 2 horas y 6 minutos.
Ejemplo ( PageIndex {9} )
Ra’shon puede limpiar la casa en 7 horas. Cuando su hermana lo ayuda, le toma 3 horas. ¿Cuánto tiempo le toma a su hermana cuando limpia la casa sola?
Solución
Este es un problema de trabajo. Los siguientes pasos nos ayudarán a organizar la información. Estamos buscando cuántas horas le tomaría a la hermana de Ra’shon completar el trabajo sola.
Paso 1 : Sea (s ) la cantidad de horas que la hermana de Ra’shon tarda en limpiar la casa sola.
Paso 2 : Ingrese las horas por trabajo para Ra’shon, su hermana, y cuando trabajen juntos. Si Ra’shon tarda 7 horas, entonces en 1 hora ( dfrac {1} {s} ) del trabajo se completa. Si la hermana de Ra’shon toma (s ) horas, entonces en 1 hora ( dfrac {1} {s} ) del trabajo se completa.
| |
Número de horas para completar el trabajo. |
Parte del trabajo completado / hora |
| Ra’shon |
7 |
( dfrac {1} {7} ) |
| Su hermana |
(s ) |
( dfrac {1} {s} ) |
| Together |
3 |
(dfrac{1}{3}) |
Write a word sentence. The part completed by Ra’shon plus the part by his sister equals the amount completed together.
Step 3 : Translate to an equation.
[text {Work completed by}\ underbrace{text {Ra’shon } + text {His sister } = text {Together}}\ dfrac{1}{7} qquad+qquaddfrac{1}{s}qquad =qquad dfrac{1}{3} nonumber ]
Step 4 : Simplify. Solve.
[dfrac{1}{7}+dfrac{1}{5}=dfrac{1}{3} nonumber ]
Multiply by the LCD, 21s.
[begin{aligned}
21 sleft(dfrac{1}{7}+dfrac{1}{s}right) &=left(dfrac{1}{3}right) 21 s \
3 s+21 &=7 s
end{aligned} nonumber ]
Simplificar.
[begin{aligned}
-4 s &=-21 \
s &=frac{-21}{-4}=frac{21}{4}
end{aligned} nonumber ]
Write as a mixed number to convert it to hours and minutes.
[s=5 dfrac{1}{4} text { hours } nonumber ]
There are 60 minutes in 1 hour.
[s=5 text { hours }+dfrac{1}{4}(60 text { minutes })\ s=5text { hours }+15text { minutes } nonumber ]
It would take Ra’shon’s sister 5 hours and 15 minutes to clean the house alone.
Exercise (PageIndex{17})
Alice can paint a room in 6 hours. If Kristina helps her it takes them 4 hours to paint the room. How long would it take Kristina to paint the room by herself?
- Respuesta
-
Kristina can paint the room in 12 hours.
Exercise (PageIndex{18})
Tracy can lay a slab of concrete in 3 hours, with Jordan’s help they can do it in 2 hours. If Jordan works alone, how long will it take?
- Respuesta
-
It will take Jordan 6 hours.
Solve Direct Variation Problems
When two quantities are related by a proportion, we say they are proportional to each other. Another way to express this relation is to talk about the variation of the two quantities. Discutiremos la variación directa y la variación inversa en esta sección.
Lindsay gets paid $15 per hour at her job. If we let (s) be her salary and h be the number of hours she has worked, we could model this situation with the equation
[s=15 h nonumber ]
Lindsay’s salary is the product of a constant, 15, and the number of hours she works. We say that Lindsay’s salary varies directly with the number of hours she works. Dos variables varían directamente si una es producto de una constante y la otra.
Direct Variation
For any two variables (x) and (y), (y) varies directly with (x) if
The constant (k) is called the constant of variation.
In applications using direct variation, generally we will know values of one pair of the variables and will be asked to find the equation that relates (x) and (y). Then we can use that equation to find values of (y) for other values of (x).
We’ll list the steps here.
How to Solve direct variation problems
Step 1 . Write the formula for direct variation.
Step 2 . Substitute the given values for the variables.
Step 3 . Solve for the constant of variation.
Step 4 . Write the equation that relates (x) and (y) using the constant of variation.
Now we’ll solve an application of direct variation.
Ejemplo ( PageIndex {10} )
When Raoul runs on the treadmill at the gym, the number of calories, (c), he burns varies directly with the number of minutes, (m), he uses the treadmill. Quemó 315 calorías cuando usó la cinta de correr durante 18 minutos.
- Write the equation that relates (c) and (m).
- How many calories would he burn if he ran on the treadmill for 25 minutes?
Solution
-
The number of calories, (c), varies directly with the number of minutes, (m), on the treadmill, and (c=315) when (m=18).
Write the formula for direct variation.
[y=kx nonumber ]
We will use (c) in place of (y) and (m) in place of (x).
[c=k m nonumber ]
Substitute the given values for the variables.
[315=k cdot 18 nonumber ]
Solve for the constant of variation.
[begin{aligned}
&dfrac{315}{18}=dfrac{k cdot 18}{18}\
&17.5=k
end{aligned} nonumber ]
Write the equation that relates (c) and (m).
[c=k m nonumber ]
Substitute in the constant of variation.
[c=17.5 m nonumber ]
-
Find (c) when (m = 25).
Write the equation that relates (c) and (m).
[c=17.5 m nonumber ]
Substitute the given value for (m).
[c=17.5(25) nonumber ]
Simplificar.
[c=437.5 nonumber ]
Raoul would burn 437.5 calories if he used the treadmill for 25 minutes.
Exercise (PageIndex{19})
The number of calories, (c), burned varies directly with the amount of time, (t), spent exercising. Arnold quemó 312 calorías en 65 minutos haciendo ejercicio.
- Write the equation that relates (c) and (t).
- How many calories would he burn if he exercises for 90 minutes?
- Respuesta
-
- (c=4.8 t)
- He would burn 432 calories.
Exercise (PageIndex{20})
The distance a moving body travels, (d), varies directly with time, (t), it moves. A train travels 100 miles in 2 hours.
- Write the equation that relates (d) and (t).
- How many miles would it travel in 5 hours?
- Respuesta
-
- (d=50 t)
- It would travel 250 miles.
Solve Inverse Variation Problems
Many applications involve two variable that vary inversely. A medida que una variable aumenta, la otra disminuye. The equation that relates them is (y=dfrac{k}{x}) .
Inverse Variation
For any two variables (x) and (y), (y) varies inversely with (x) if
(y=dfrac{k}{x}), where (kneq 0)
The constant (k) is called the constant of variation.
The word ‘inverse’ in inverse variation refers to the multiplicative inverse. The multiplicative inverse of (x) is (dfrac{1}{x}).
We solve inverse variation problems in the same way we solved direct variation problems. Solo la forma general de la ecuación ha cambiado. Copiaremos el cuadro de procedimiento aquí y simplemente cambiaremos “directo” a “inverso”.
how to Solve inverse variation problems
Step 1 . Write the formula for inverse variation.
Step 2 . Substitute the given values for the variables.
Step 3 . Solve for the constant of variation.
Step 4 . Write the equation that relates (x) and (y) using the constant of variation.
Ejemplo ( PageIndex {11} )
The frequency of a guitar string varies inversely with its length. A 26 in.-long string has a frequency of 440 vibrations per second.
- Write the equation of variation.
- How many vibrations per second will there be if the string’s length is reduced to 20 inches by putting a finger on a fret?
Solution
-
The frequency varies inversely with the length.
Name the variables. Let (f) = frequency. (L) = length
Write the formula for inverse variation.
[y=dfrac{k}{x} nonumber ]
We will use (f) in place of (y) and (L) in place of (x).
[f=dfrac{k}{L} nonumber ]
[f=440 text { when } L=26 nonumber ]
Substitute the given values for the variables.
[440=dfrac{k}{26} nonumber ]
Solve for the constant of variation.
[begin{aligned}
&26(440)=26left(dfrac{k}{26}right)\
&11,440=k
end{aligned} nonumber ]
Write the equation that relates (f) and (L).
[f=dfrac{k}{L} nonumber ]
Substitute the constant of variation.
[f=dfrac{11,440}{L} nonumber ]
-
Find (f) when (L=20).
Write the equation that relates (f) and (L).
[f=dfrac{11,440}{L} nonumber ]
Substitute the given value forL.
[f=dfrac{11,440}{20} nonumber ]
Simplificar.
[f=572 nonumber ]
A 20”-guitar string has frequency 572 vibrations per second.
Exercise (PageIndex{21})
The number of hours it takes for ice to melt varies inversely with the air temperature. Suppose a block of ice melts in 2 hours when the temperature is 65 degrees Celsius.
- Write the equation of variation.
- How many hours would it take for the same block of ice to melt if the temperature was 78 degrees?
- Respuesta
-
- (h=dfrac{130}{t})
- (1 dfrac{2}{3}) hours
Exercise (PageIndex{22})
Xander’s new business found that the daily demand for its product was inversely proportional to the price, (p). When the price is $5, the demand is 700 units.
- Write the equation of variation.
- What is the demand if the price is raised to $7?
- Respuesta
-
- (x=dfrac{3500}{p})
- 500 units
]]>
