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las matematicas

7.6: Sistemas de medida (Parte 1)

En esta sección veremos cómo convertir entre diferentes tipos de unidades, como pies a millas o kilogramos a libras. La idea básica en todas las conversiones de unidades será usar una forma de 1, la identidad multiplicativa, para cambiar las unidades pero no el valor de una cantidad.

Realizar conversiones de unidades en el sistema de los Estados Unidos

 

Hay dos sistemas de medición comúnmente utilizados en todo el mundo. La mayoría de los países usan el sistema métrico. Estados Unidos usa un sistema de medición diferente, generalmente llamado sistema estadounidense. Primero veremos el sistema estadounidense.

 

El sistema de medición de EE. UU. Utiliza unidades de pulgada, pie, yarda y milla para medir la longitud, y libras y toneladas para medir el peso. Por capacidad, las unidades utilizadas son taza, pinta, cuarto y galones. Tanto el sistema estadounidense como el sistema métrico miden el tiempo en segundos, minutos u horas.

 

Las equivalencias entre las unidades básicas del sistema de medición de EE. UU. Se enumeran en la Tabla ( PageIndex {1} ). La tabla también muestra, entre paréntesis, las abreviaturas comunes para cada medición.

                                                                                                                                                                                                                                                                   
Tabla ( PageIndex {1} )
Unidades del sistema de EE. UU.
Longitud Volumen
             

1 pie (ft) = 12 pulgadas (pulg.)

             

1 yarda (yd) = 3 pies (ft)

             

1 milla (mi) = 5280 pies (ft)

             
             

3 cucharaditas (t) = 1 cucharada (T)

             

16 cucharadas (T) = 1 taza (C)

             

1 taza (C) = 8 onzas líquidas (fl oz)

             

1 pinta (pt) = 2 tazas (C)

             

1 cuarto (qt) = 2 pintas (pt)

             

1 galón (gal) = 4 cuartos (qt)

             
Peso Tiempo
             

1 libra (lb) = 16 onzas (oz)

             

1 tonelada = 2000 libras (lb)

             
             

1 minuto (min) = 60 segundos (s)

             

1 hora (h) = 60 minutos (min)

             

1 día = 24 horas (h)

             

1 semana (semana) = 7 días

             

1 año (año) = 365 días

             
 

En muchas aplicaciones de la vida real, necesitamos convertir entre unidades de medida. Usaremos la propiedad de identidad de la multiplicación para hacer estas conversiones. Replantearemos la propiedad de identidad de la multiplicación aquí para una fácil referencia.

 

Para cualquier número real a,

 

$$ a cdot 1 = a qquad 1 cdot a = a $$

 

Para usar la propiedad de identidad de la multiplicación, escribimos 1 en una forma que nos ayudará a convertir las unidades. Por ejemplo, supongamos que queremos convertir pulgadas a pies. Sabemos que 1 pie es igual a 12 pulgadas, por lo que podemos escribir 1 como la fracción ( dfrac {1 ; ft} {12 ; in} ). Cuando multiplicamos por esta fracción, no cambiamos el valor sino que simplemente cambiamos las unidades. Pero ( dfrac {12 ; in} {1 ; ft} ) también es igual a 1. ¿Cómo decidimos si multiplicamos por ( dfrac {1 ; ft} {12 ; in} ) o ( dfrac {12 ; in} {1 ; ft} )? Elegimos la fracción que hará que las unidades que queremos convertir de se dividan. Por ejemplo, supongamos que queremos convertir 60 pulgadas a pies. Si elegimos la fracción que tiene pulgadas en el denominador, podemos eliminar las pulgadas.

 

$$ 60 ; cancel {in} cdot dfrac {1 ; ft} {12 ; cancel {in}} = 5 ; ft $$

 

Por otro lado, si quisiéramos convertir 5 pies a pulgadas, elegiríamos la fracción que tiene pies en el denominador.

 

$$ 5 ; cancel {ft} cdot dfrac {12 ; En 1; cancel {ft}} = 60 ; en $$

 

Tratamos las palabras de unidad como factores y “dividimos” unidades comunes como lo hacemos con factores comunes.

 
 

CÓMO: REALIZAR CONVERSIONES DE LA UNIDAD

 

Paso 1. Multiplica la medida a convertir por 1; escriba 1 como una fracción que relaciona las unidades dadas y las unidades necesarias.

 

Paso 2. Multiplica.

 

Paso 3. Simplifica la fracción, realiza las operaciones indicadas y elimina las unidades comunes.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Mary Anne mide 66 pulgadas de alto. ¿Cuál es su altura en pies?

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Convertir 66 pulgadas en pies.
Multiplique la medida a convertir por 1. 66 pulgadas • 1
Escribe 1 como una fracción que relaciona las unidades dadas y las unidades necesarias. $$ 66 ; pulgadas cdot dfrac {1 ; pie} {12 ; pulgadas} $$
Multiplica. $$ dfrac {66 ; pulgadas; cdot 1 ; pie} {12 ; pulgadas} $$
Simplifica la fracción. $$ dfrac {66 ; cancelar {pulgadas} ; cdot 1 ; pie} {12 ; cancel {pulgadas}} = dfrac {66 ; pies} {12} $$
5,5 pies
 

Observe que cuando simplificamos la fracción, primero dividimos las pulgadas. Mary Anne mide 5.5 pies de alto.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

 

Lexie mide 30 pulgadas de alto. Convierta su altura en pies.

 
     
Respuesta
     
     

2.5 pies

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

 

Rene compró una manguera de 18 yardas de largo. Convierte la longitud a pies.

 
     
Respuesta
     
     

54 pies

     
 
 
 

Cuando usamos la propiedad de identidad de la multiplicación para convertir unidades, debemos asegurarnos de que las unidades de las que queremos cambiar se dividan. Por lo general, esto significa que queremos que la fracción de conversión tenga esas unidades en el denominador.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Ndula, un elefante en el Safari Park de San Diego, pesa casi 3.2 toneladas. Convierta su peso en libras.

 

A photograph of an adult elephant.

 

Figura ( PageIndex {1} ) (crédito: Guldo Da Rozze, Flickr)

 

Solución

 

Convertiremos 3.2 toneladas en libras, usando las equivalencias en la Tabla ( PageIndex {1} ). Usaremos la propiedad de identidad de la multiplicación, escribiendo 1 como la fracción ( dfrac {2000 ; lbs} {1 ; ton} )

                                                                                                                                                                                                              
Multiplique la medida a convertir por 1. 3,2 toneladas • 1
Escribe 1 como una fracción que relaciona toneladas y libras. $$ 3,2 ; montones; cdot dfrac {2000 ; lbs} {1 ; toneladas} $$
Simplifica. $$ dfrac {3.2 ; cancelar {toneladas} ; cdot 2000 ; lbs} {1 ; cancel {tons}} $$
Multiplica. 6400 libras
 

.Ndula pesa casi 6.400 libras.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

 

El SUV de Arnold pesa alrededor de 4,3 toneladas. Convierte el peso en libras.

 
     
Respuesta
     
     

8600 libras

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} ):

 

Un crucero pesa 51,000 toneladas. Convierte el peso en libras.

 
     
Respuesta
     
     

102,000,000 libras

     
 
 
 

A veces, para convertir de una unidad a otra, es posible que necesitemos usar varias otras unidades intermedias, por lo que tendremos que multiplicar varias fracciones.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Juliet irá con su familia a su casa de verano. Ella estará fuera por 9 semanas. Convierte el tiempo a minutos.

 

Solución

 

Para convertir semanas en minutos, convertiremos semanas a días, días a horas y luego horas a minutos. Para hacer esto, multiplicaremos por factores de conversión de 1.

                                                                                                                                                              
Escriba 1 como ( dfrac {7 ; días} {1 ; semana}, dfrac {24 ; horas} {1 ; día}, dfrac {60 ; minutos} {1 ; hora}). $$ dfrac {9 ; wk} {1} cdot dfrac {7 ; días} {1 ; wk} cdot dfrac {24 ; h}} {1 ; día} cdot dfrac {60 ; min} {1 ; h}} $$
Cancelar unidades comunes. $$ dfrac {9 ; cancel {wk}} {1} cdot dfrac {7 ; cancel { textcolor {blue} {days}}} {1 ; cancel {wk}} cdot dfrac {24 ; cancel { textcolor {red} {hr}}} {1 ; cancel { textcolor {blue} {day}}} cdot dfrac {60 ; min} {1 ; cancel { textcolor {red} {hr}}} $$
Multiplica. $$ dfrac {9 cdot 7 cdot 24 cdot cdot 60 ; min} {1 cdot 1 cdot 1 cdot 1} = 90,720 ; min $$
 

Juliet estará fuera durante 90,720 minutos.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

La distancia entre la Tierra y la luna es de aproximadamente 250,000 millas. Convierta esta longitud a yardas.

 
     
Respuesta
     
     

440,000,000 yardas

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

 

Un equipo de astronautas pasa 15 semanas en el espacio. Convierte el tiempo a minutos.

 
     
Respuesta
     
     

151,200 minutos

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

¿Cuántas onzas líquidas hay en 1 galón de leche?

 

A photograph of a milk display in a grocery store.

 

Figura ( PageIndex {2} ) (crédito: www.bluewaikiki.com, Flickr)

 

Solución

 

Usa los factores de conversión para obtener las unidades correctas: convierte galones a cuartos, cuartos a pintas, pintas a tazas y tazas a onzas líquidas.

                                                                                                                                                                                                              
Multiplique la medida a convertir por 1. $$ dfrac {1 ; gal} {1} cdot dfrac {4 ; qt} {1 ; gal} cdot dfrac {2 ; pt} {1 ; qt} cdot dfrac {2 ; C} {1 ; pt} cdot dfrac {8 ; Florida; oz} {1 ; C} $$
Simplifica. $$ dfrac {1 ; cancel {gal}} {1} cdot dfrac {4 ; cancel {qt}} {1 ; cancel {gal}} cdot dfrac {2 ; cancel {pt}} {1 ; cancel {qt}} cdot dfrac {2 ; cancelar {C}} {1 ; cancel {pt}} cdot dfrac {8 ; Florida; oz} {1 ; cancelar {C}} $$
Multiplica. $$ dfrac {1 cdot 4 cdot 2 cdot 2 cdot 8 ; Florida; oz} {1 cdot 1 cdot 1 cdot 1 cdot 1} $$
Simplifica. 128 onzas líquidas
 

Hay 128 onzas líquidas en un galón.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} ):

 

¿Cuántas tazas hay en 1 galón?

 
     
Respuesta
     
     

16 tazas

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

 

¿Cuántas cucharaditas hay en 1 taza?

 
     
Respuesta
     
     

48 cucharaditas

     
 
 
 

Usar unidades de medida mixtas en el sistema de EE. UU.

 

Realizar operaciones aritméticas en mediciones con unidades mixtas de medidas requiere cuidado. Asegúrese de sumar o restar unidades similares.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Charlie compró tres filetes para una barbacoa. Sus pesos eran 14 onzas, 1 libra 2 onzas y 1 libra 6 onzas. ¿Cuántas libras totales de carne compró?

 

A photograph of meat being cooked on a charcoal grill.

 

Figura ( PageIndex {3} ) (crédito: Helen Penjam, Flickr)

 

Solución

 

Agregaremos los pesos de los filetes para encontrar el peso total de los filetes.

                                                                                                                                                              
Agrega las onzas. Luego agrega las libras. $$ begin {split} 14 ; & onzas \ 1 ; libra quad 2 ; & onzas \ + ; 1 ; libra quad 6 ; & onzas \ hline 2 ; libras quad 22 ; & onzas end {split} $$
Convertir 22 onzas a libras y onzas. $$ 22 ; onzas = 1 ; libra,; 6 ; onzas $$
Agrega las libras. 2 libras + 1 libra, 6 onzas = 3 libras, 6 onzas
 

Charlie compró 3 libras y 6 onzas de bistec.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} ):

 

Laura dio a luz trillizos que pesaban 3 libras y 12 onzas, 3 libras y 3 onzas y 2 libras y 9 onzas. ¿Cuál fue el peso total al nacer de los tres bebés?

 
     
Respuesta
     
     

9 libras 8 onzas

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} ):

 

Seymour cortó dos piezas de molduras de corona para su habitación familiar de 8 pies 7 pulgadas y 12 pies 11 pulgadas. ¿Cuál fue la longitud total de la moldura?

 
     
Respuesta
     
     

21 pies 6 pulg.

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Anthony compró cuatro tablas de madera de 6 pies y 4 pulgadas de largo cada una. Si las cuatro tablas se colocan de extremo a extremo, ¿cuál es la longitud total de la madera?

 

The image shows 4 planks of wood placed end-to-end horizontally. Each plank is labeled 6 feet 4 inches. A line starts at the left of the first plank and runs horizontally to the right of the fourth plank. The line is labeled with the letter l to represent length.

 

Solución

 

Multiplicaremos la longitud de una tabla por 4 para encontrar la longitud total.

                                                                                                                                                              
Multiplica las pulgadas y luego los pies. $$ begin {split} 6 ; pies quad 4 ; pulgadas & \ times qquad 4 & \ hline 24 ; pies quad 16 ; pulgadas & end {split} $$
Convertir 16 pulgadas a pies. 24 pies + 1 pie 4 pulgadas
Agrega los pies. 25 pies 4 pulgadas
 

Anthony compró 25 pies 4 pulgadas de madera.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} ):

 

Henri quiere triplicar su receta de salsa de espagueti, que requiere 1 libra y 8 onzas de pavo molido. ¿Cuántas libras de pavo molido necesitará?

 
     
Respuesta
     
     

4 libras 8 oz.

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} ):

 

Joellen quiere duplicar una solución de 5 galones 3 cuartos de galón. ¿Cuántos galones de solución tendrá en total?

 
     
Respuesta
     
     

11 gal. 2 qts.

     
 
 
 
 

Realizar conversiones de unidades en el sistema métrico

 

En el sistema métrico, las unidades están relacionadas por potencias de 10. Las palabras raíz de sus nombres reflejan esta relación. Por ejemplo, la unidad básica para medir la longitud es un metro. Un kilómetro son 1000 metros; el prefijo kilo significa mil. Un centímetro es ( dfrac {1} {100} ) de un metro, porque el prefijo centi- significa una centésima parte (igual que un centavo es ( dfrac {1} {100} ) de un dólar )

 

Las equivalencias de las mediciones en el sistema métrico se muestran en la Tabla ( PageIndex {2} ). Las abreviaturas comunes para cada medida se dan entre paréntesis.

                                                                                                                                                                                                                                                             
Tabla ( PageIndex {2} )
Mediciones métricas
Longitud Misa Volumen / Capacidad
             

1 kilómetro (km) = 1000 m

             

1 hectómetro (hm) = 100 m

             

1 decámetro (presa) = 10 m

             

1 metro (m) = 1 m

             

1 decímetro (dm) = 0,1 m

             

1 centímetro (cm) = 0,01 m

             

1 milímetro (mm) = 0,001 m

             
             

1 kilogramo (kg) = 1000 g

             

1 hectograma (hg) = 100 g

             

1 decagramo (dag) = 10 g

             

1 gramo (g) = 1 g

             

1 decigramo (dg) = 0.1 g

             

1 centigramo (cg) = 0,01 g

             

1 miligramo (mg) = 0,001 g

             
             

1 kilolitro (kL) = 1000 L

             

1 hectolitro (hL) = 100 L

             

1 decalitro (daL) = 10 L

             

1 litro (L) = 1 L

             

1 decilitro (dL) = 0.1 L

             

1 centilitro (cL) = 0.01 L

             

1 mililitro (mL) = 0.001 L

             
             

1 metro = 100 centímetros

             

1 metro = 1000 milímetros

             
             

1 gramo = 100 centigramos

             

1 gramo = 1000 miligramos

             
             

1 litro = 100 centilitros

             

1 litro = 1000 mililitros

             
 

Para realizar conversiones en el sistema métrico, utilizaremos la misma técnica que utilizamos en el sistema de EE. UU. Usando la propiedad de identidad de la multiplicación, multiplicaremos por un factor de conversión de uno para llegar a las unidades correctas.

 

¿Alguna vez has corrido una carrera de 5 k 10 k? Las longitudes de esas carreras se miden en kilómetros. El sistema métrico se usa comúnmente en los Estados Unidos cuando se habla de la duración de una carrera.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Nick corrió una carrera de 10 kilómetros. ¿Cuántos metros corrió?

 

A photograph of 8 male runners in a track race.

 

Figura ( PageIndex {4} ) (crédito: William Warby, Flickr)

 

Solución

 

Convertiremos kilómetros a metros usando la propiedad de identidad de multiplicación y las equivalencias en la tabla 7.63.

                                                                                                                                                                                                              
Multiplique la medida a convertir por 1. $$ 10 ; textcolor {rojo} {km} ; cdot 1 $$
Escribe 1 como una fracción que relaciona kilómetros y metros. $$ 10 ; textcolor {rojo} {km} ; cdot dfrac {1000 ; m} {1 ; textcolor {rojo} {km}} $$
Simplifica. $$ dfrac {10 ; cancel { textcolor {red} {km}} ; cdot 1000 ; m} {1 ; cancel { textcolor {red} {km}}} $$
Multiplica. $$ 10.000 ; m $$
 

Nick corrió 10,000 metros.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} ):

 

Sandy completó su primera carrera de 5 km. ¿Cuántos metros corrió ella?

 
     
Respuesta
     
     

5000 m

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} ):

 

Herman compró una alfombra de 2.5 metros de largo. ¿Cuántos centímetros tiene la longitud?

 
     
Respuesta
     
     

250 cm

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

El bebé recién nacido de Eleanor pesaba 3200 gramos. ¿Cuántos kilogramos pesó el bebé?

 

Solución

 

Convertiremos gramos a kilogramos.

                                                                                                                                                                                                                                                              
Multiplique la medida a convertir por 1. $$ 3200 ; textcolor {rojo} {g} ; cdot 1 $$
Escribe 1 como una fracción que relaciona kilogramos y gramos. $$ 3200 ; textcolor {rojo} {g} ; cdot dfrac {1 ; kg} {1000 ; textcolor {rojo} {g}} $$
Simplifica. $$ 3200 ; cancel { textcolor {red} {g}} ; cdot dfrac {1 ; kg} {1000 ; cancel { textcolor {red} {g}}} $$
Multiplica. $$ dfrac {3200 ; kilogramos} {1000} $$
Divide. $$ 3,2 ; kilogramos $$
 

El bebé pesaba 3,2 kilogramos.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

El bebé recién nacido de Kari pesaba 2800 gramos. ¿Cuántos kilogramos pesó el bebé?

 
     
Respuesta
     
     

2,8 kilogramos

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Anderson recibió un paquete marcado con 45004500 gramos. ¿Cuántos kilogramos pesó este paquete?

 
     
Respuesta
     
     

4,5 kilogramos

     
 
 
 

Dado que el sistema métrico se basa en múltiplos de diez, las conversiones implican multiplicar por múltiplos de diez. En Operaciones decimales , aprendimos cómo simplificar estos cálculos simplemente moviendo el decimal. Para multiplicar por 10, 100 o 1000, movemos el decimal a la derecha 1, 2 o 3 lugares, respectivamente. Para multiplicar por 0.1, 0.01 o 0.001, movemos el decimal a la izquierda 1, 2 o 3 lugares respectivamente. Podemos aplicar este patrón cuando hacemos conversiones de medición en el sistema métrico.

 

En el ejemplo 7.51, cambiamos 3200 gramos a kilogramos al multiplicar por 1 1000 (o 0.001). Esto es lo mismo que mover el decimal 3 lugares a la izquierda.

 

Multiplying 3200 by 1 over 1000 gives 3.2. Notice that the answer, 3.2, is similar to the original value, 3200, just with the decimal moved three places to the left.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Convertir: (a) 350 litros a kilolitros (b) 4.1 litros a mililitros.

 

Solución

 

(a) Convertiremos litros a kilolitros. En la Tabla 7.63, vemos que 1 kilolitro = 1000 litros.

                                                                                                                                                              
Multiplica por 1, escribiendo 1 como una fracción que relaciona litros con kilolitros. $$ 350 ; L ; cdot dfrac {1 ; kL} {1000 ; L} $$
Simplifica. $$ 350 ; cancelar {L} ; cdot dfrac {1 ; kL} {1000 ; cancelar {L}} $$
Mueve las 3 unidades decimales a la izquierda.
 

0,35 kL

 

(b) Convertiremos litros a mililitros. En la Tabla 7.63, vemos que 1 litro = 1000 mililitros.

                                                                                                                                                              
Multiplica por 1, escribiendo 1 como una fracción que relaciona mililitros con litros. $$ 4,1 ; L ; cdot dfrac {1000 ; mL} {1 ; L} $$
Simplifica. $$ 4,1 ; cancelar {L} ; cdot dfrac {1000 ; mL} {1 ; cancelar {L}} $$
Mueve las 3 unidades decimales a la izquierda.
 

4100 ml

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} ):

 

Convertir: (a) 7.25 L a kL (b) 6.3 L a mL.

 
     
Responda a
     
     

0,00725 kL

     
     
Respuesta b
     
     

6300 ml

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} ):

 

Convertir: (a) 350 hL a L (b) 4.1 L a cL.

 
     
Responda a
     
     

35,000 L

     
     
Respuesta b
     
     

410 cL

     
 
 
 
 
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