Resolver desigualdades racionales
Aprendimos a resolver desigualdades lineales después de aprender a resolver ecuaciones lineales. Las técnicas eran muy parecidas con una gran excepción. Cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo, el signo de desigualdad se invierte.
Habiendo aprendido a resolver ecuaciones racionales, ahora estamos listos para resolver desigualdades racionales. Una desigualdad racional es una desigualdad que contiene una expresión racional.
Desigualdad racional
Una desigualdad racional es una desigualdad que contiene una expresión racional.
Desigualdades como ( quad dfrac {3} {2 x}> 1, quad dfrac {2 x} {x-3} <4, quad dfrac {2 x-3} {x -6} geq x, quad ) y ( quad dfrac {1} {4} - dfrac {2} {x ^ {2}} leq dfrac {3} {x} quad ) son desigualdades racionales, ya que cada una contiene una expresión racional.
Cuando resolvemos una desigualdad racional, usaremos muchas de las técnicas que usamos para resolver desigualdades lineales. Debemos recordar especialmente que cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo, el signo de desigualdad debe revertirse.
Otra diferencia es que debemos considerar cuidadosamente qué valor puede hacer que la expresión racional sea indefinida y, por lo tanto, debe excluirse.
Cuando resolvemos una ecuación y el resultado es (x = 3 ), sabemos que hay una solución, que es 3.
Cuando resolvemos una desigualdad y el resultado es (x> 3 ), sabemos que hay muchas soluciones. Graficamos el resultado para ayudar a mostrar mejor todas las soluciones, y comenzamos con 3. Tres se convierte en un punto crítico y luego decidimos si sombrear a la izquierda o derecha del mismo. Los números a la derecha de 3 son mayores que 3, por lo que sombreamos a la derecha.
Para resolver una desigualdad racional, primero debemos escribir la desigualdad con solo un cociente a la izquierda y 0 a la derecha.
A continuación determinamos los puntos críticos que se utilizarán para dividir la recta numérica en intervalos. Un punto crítico es un número que hace que la expresión racional sea cero o indefinida.
Luego evaluaremos los factores del numerador y el denominador, y encontraremos el cociente en cada intervalo. Esto identificará el intervalo, o intervalos, que contiene todas las soluciones de la desigualdad racional.
Escribimos la solución en notación de intervalo teniendo cuidado de determinar si se incluyen los puntos finales.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Resuelve y escribe la solución en notación de intervalo: ( dfrac {x-1} {x + 3} geq 0 )
Solución
Paso 1 . Escribe la desigualdad como un cociente a la izquierda y cero a la derecha.
Nuestra desigualdad está en esta forma. [ Dfrac {x-1} {x + 3} geq 0 nonumber ]
Paso 2 . Determine los puntos críticos: los puntos donde la expresión racional será cero o indefinida.
La expresión racional será cero cuando el numerador sea cero. Desde (x-1 = 0 ) cuando (x = 1 ), entonces 1 es un punto crítico.
La expresión racional será indefinida cuando el denominador sea cero. Como (x + 3 = 0 ) cuando (x = -3 ), entonces -3 es un punto crítico.
Los puntos críticos son 1 y -3.
Paso 3 . Usa los puntos críticos para dividir la recta numérica en intervalos.
La recta numérica se divide en tres intervalos:
[(- infty, -3) quad (-3,1) quad (1, infty) nonumber ]
Paso 4 . Probar un valor en cada intervalo. Arriba de la recta numérica, muestra el signo de cada factor de la expresión racional en cada intervalo. Debajo de la recta numérica, muestra el signo del cociente.
Para encontrar el signo de cada factor en un intervalo, elegimos cualquier punto en ese intervalo y lo usamos como punto de prueba. Cualquier punto en el intervalo dará a la expresión el mismo signo, por lo que podemos elegir cualquier punto en el intervalo.
[ text {Interval} (- infty, -3) nonumber ]
El número -4 está en el intervalo ((- infty, -3) ). Prueba (x = -4 ) en la expresión en el numerador y el denominador.
El numerador:
[ begin {array} {l} {x-1} \ {-4-1} \ {-5} \ { text {Negative}} end {array} nonumber ]
El denominador:
[ begin {array} {l} {x + 3} \ {-4 + 3} \ {-1} \ { text {Negative}} end {array} nonumber ]
Por encima de la recta numérica, marque el factor (x-1 ) negativo y marque el factor (x + 3 ) negativo.
Dado que un negativo dividido por un negativo es positivo, marque el cociente positivo en el intervalo ((- infty, -3) )
[ text {Interval} (-3,1) nonumber ]
El número 0 está en el intervalo ((- 3,1) ). Prueba (x = 0 ).
El numerador:
[ begin {array} {l} {x-1} \ {0-1} \ {-1} \ { text {Negative}} end {array} nonumber ] [ 19459005]
El denominador:
[ begin {array} {l} {x + 3} \ {0 + 3} \ {3} \ { text {Positive}} end {array} nonumber ] [19459005 ]
Por encima de la recta numérica, marque el factor (x-1 ) negativo y marque (x + 3 ) positivo.
Dado que un negativo dividido por un positivo es negativo, el cociente se marca negativo en el intervalo ((- 3,1) ).
[ text {Interval} (1, infty) nonumber ]
El número 2 está en el intervalo ((1, infty) ). Prueba (x = 2 ).
El numerador:
[ begin {array} {l} {x-1} \ {2-1} \ {1} \ { text {Positive}} end {array} nonumber ] [19459005 ]
El denominador:
[ begin {array} {l} {x + 3} \ {2 + 3} \ {5} \ { text {Positive}} end {array} nonumber ] [19459005 ]
Por encima de la recta numérica, marque el factor (x-1 ) positivo y marque (x + 3 ) positivo.
Dado que un positivo dividido por un positivo es positivo, marque el cociente positivo en el intervalo ((1, infty) ).
Paso 5 . Determine los intervalos donde la desigualdad es correcta. Escribe la solución en notación de intervalo.
Queremos que el cociente sea mayor o igual que cero, por lo que los números en los intervalos ((- infty, -3) ) y ((1, infty) ) son soluciones.
Pero ¿qué pasa con los puntos críticos?
El punto crítico (x = -3 ) hace que el denominador sea 0, por lo que debe excluirse de la solución y lo marcamos con un paréntesis.
El punto crítico (x = 1 ) hace que toda la expresión racional sea 0. La desigualdad requiere que la expresión racional sea mayor o igual que. Entonces, 1 es parte de la solución y lo marcaremos con un corchete.
Recuerde que cuando tenemos una solución compuesta por más de un intervalo, usamos el símbolo de unión, ( cup ), para conectar los dos intervalos. La solución en notación de intervalo es ((- infty, -3) cup [1, infty) ).
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Resuelve y escribe la solución en notación de intervalo: ( dfrac {x-2} {x + 4} geq 0 )
- Respuesta
-
((- infty, -4) cup [2, infty) )
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Resuelve y escribe la solución en notación de intervalo: ( dfrac {x + 2} {x-4} geq 0 )
- Respuesta
-
((- infty, -2] cup (4, infty) )
Resumimos los pasos para una fácil referencia.
Cómo resolver una desigualdad racional
Paso 1. Escribe la desigualdad como un cociente a la izquierda y cero a la derecha.
Paso 2. Determine los puntos críticos, los puntos donde la expresión racional será cero o indefinida.
Paso 3. Usa los puntos críticos para dividir la recta numérica en intervalos.
Paso 4. Pruebe un valor en cada intervalo. Encima de la línea numérica, muestra el signo de cada factor del numerador y denominador en cada intervalo. Debajo de la recta numérica, muestra el signo del cociente.
Paso 5. Determinar los intervalos donde la desigualdad es correcta. Escribe la solución en notación de intervalo.
El siguiente ejemplo requiere que primero obtengamos la desigualdad racional en la forma correcta.
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Resuelve y escribe la solución en notación de intervalo: ( dfrac {4 x} {x-6} <1 )
Solución
[ dfrac {4 x} {x-6} <1 nonumber ]
Resta 1 para obtener cero a la derecha.
[ dfrac {4 x} {x-6} -1 <0 nonumber ]
Reescribe 1 como fracción usando la pantalla LCD.
[ dfrac {4 x} {x-6} – frac {x-6} {x-6} <0 nonumber ]
Resta los numeradores y coloca la diferencia sobre el denominador común.
[ dfrac {4 x- (x-6)} {x-6} <0 nonumber ]
Simplificar.
[ dfrac {3 x + 6} {x-6} <0 nonumber ]
Factoriza el numerador para mostrar todos los factores.
[ dfrac {3 (x + 2)} {x-6} <0 nonumber ]
Encuentra los puntos críticos.
El cociente será cero cuando el numerador sea cero. El cociente no está definido cuando el denominador es cero.
[ begin {array} {rlrl} {x + 2} & {= 0} & {x-6} & {= 0} \ {x} & {= -2} & {x} & {= 6} end {array} nonumber ]
Usa los puntos críticos para dividir la recta numérica en intervalos.
Pruebe un valor en cada intervalo.
| ((- infty, -2) ) | ((- 2,6) ) | ((6, infty) ) | |
|---|---|---|---|
| (x + 2) ) |
x + 2 -3 + 2 -1 – |
x + 2 0 + 2 2 + |
x + 2 7 + 2 9 + |
| (x-6 ) |
x-6 -3-6 -9 – |
x-6 0-6 -6 – |
x-6 7-6 1 + |
Por encima de la recta numérica, muestra el signo de cada factor de la expresión racional en cada intervalo. Debajo de la recta numérica, muestra el signo del cociente.
Determine los intervalos donde la desigualdad es correcta. Queremos que el cociente sea negativo, por lo que la solución incluye los puntos entre −2 y 6. Dado que la desigualdad es estrictamente menor que, los puntos finales no están incluidos.
Escribimos la solución en notación de intervalo como (−2, 6).
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Resuelve y escribe la solución en notación de intervalo: ( dfrac {3 x} {x-3} <1 ).
- Respuesta
-
( left (- dfrac {3} {2}, 3 right) )
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Resuelve y escribe la solución en notación de intervalo: ( dfrac {3 x} {x-4} <2 ).
- Respuesta
-
((- 8,4) )
En el siguiente ejemplo, el numerador siempre es positivo, por lo que el signo de la expresión racional depende del signo del denominador.
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Resuelve y escribe la solución en notación de intervalo: ( dfrac {5} {x ^ {2} -2 x-15}> 0 ).
Solución
La desigualdad está en la forma correcta.
[ dfrac {5} {x ^ {2} -2 x-15}> 0 nonumber ]
Factoriza el denominador.
[ dfrac {5} {(x + 3) (x-5)}> 0 nonumber ]
Encuentra los puntos críticos. El cociente es 0 cuando el numerador es 0. Como el numerador siempre es 5, el cociente no puede ser 0.
El cociente estará indefinido cuando el denominador sea cero.
[ begin {alineado} & (x + 3) (x-5) = 0 \ & x = -3, x = 5 end {alineado} nonumber ]
Usa los puntos críticos para dividir la recta numérica en intervalos.
Valores de prueba en cada intervalo. Arriba de la recta numérica, muestra el signo de cada factor del denominador en cada intervalo. Debajo de la recta numérica, muestra el signo del cociente.
Escribe la solución en notación de intervalo.
[(- infty, -3) cup (5, infty) nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Resuelve y escribe la solución en notación de intervalo: ( dfrac {1} {x ^ {2} +2 x-8}> 0 ).
- Respuesta
-
((- infty, -4) cup (2, infty) )
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Resuelve y escribe la solución en notación de intervalo: ( dfrac {3} {x ^ {2} + x-12}> 0 ).
- Respuesta
-
((- infty, -4) cup (3, infty) )
El siguiente ejemplo requiere un poco de trabajo para obtener la forma necesaria.
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Resuelve y escribe la solución en notación de intervalo: ( dfrac {1} {3} – dfrac {2} {x ^ {2}} < dfrac {5} {3 x} ).
Solución
[ dfrac {1} {3} – dfrac {2} {x ^ {2}} < dfrac {5} {3 x} nonumber ]
Resta ( dfrac {5} {3 x} ) para obtener cero a la derecha.
[ dfrac {1} {3} – dfrac {2} {x ^ {2}} – dfrac {5} {3 x} <0 nonumber ]
Reescribe para obtener cada fracción con la pantalla LCD
[ dfrac {1 cdot x ^ {2}} {3 cdot x ^ {2}} – dfrac {2 cdot 3} {x ^ {2} cdot 3} – dfrac { 5 cdot x} {3 xx} <0 nonumber ]
Simplificar.
[ dfrac {x ^ {2}} {3 x ^ {2}} – dfrac {6} {3 x ^ {2}} – dfrac {5 x} {3 x ^ {2} } <0 nonumber ]
Resta los numeradores y coloca la diferencia sobre el denominador común.
[ dfrac {x ^ {2} -5 x-6} {3 x ^ {2}} <0 nonumber ]
Factoriza el numerador.
[ dfrac {(x-6) (x + 1)} {3 x ^ {2}} <0 nonumber ]
Encuentra los puntos críticos.
[ begin {array} {rlrl} {3 x ^ {2} = 0} && {x-6 = 0} && {x + 1 = 0} \ {x = 0} && {x = 6} && {x = -1} end {array} nonumber ]
Usa los puntos críticos para dividir la recta numérica en intervalos.
Por encima de la recta numérica, muestra el signo de cada factor en cada intervalo. Debajo de la recta numérica, muestra el signo del cociente.
Dado que 0 está excluido, la solución son los dos intervalos ((- 1,0) cup (0,6) ), ((- 1,0) ) y ((0,6 ) ).
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Resuelve y escribe la solución en notación de intervalo: ( dfrac {1} {2} + dfrac {4} {x ^ {2}} < dfrac {3} {x} ).
- Respuesta
-
((2,4) )
Ejercicio ( PageIndex {8} )
Resuelve y escribe la solución en notación de intervalo: ( dfrac {1} {3} + dfrac {6} {x ^ {2}} < dfrac {3} {x} ).
- Respuesta
-
((3,6) )
