Saltar al contenido
las matematicas

7.7: Resolviendo Ecuaciones Racionales

                 

Al simplificar fracciones complejas en la sección anterior, vimos que multiplicar el numerador y el denominador por la expresión apropiada podría “borrar” todas las fracciones del numerador y el denominador, simplificando en gran medida la expresión racional.

 

En esta sección, se utiliza una técnica similar.

 
 

Borrar las fracciones de una ecuación racional

 

Si su ecuación tiene expresiones racionales, multiplique ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador para borrar la ecuación de expresiones racionales.

 
 

Veamos un ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Resuelve la siguiente ecuación para x.

 

[ frac {x} {2} – frac {2} {3} = frac {3} {4} ]

 

Solución

 

Para borrar esta ecuación de fracciones, multiplicaremos ambos lados por el denominador común para 2, 3 y 4, que es 12. Distribuya 12 en el segundo paso.

 

[ begin {alineado} color {azul} {12} left ( frac {x} {2} – frac {2} {3} right) & = left ( frac {3 } {4} right) color {blue} {12} \ color {blue} {12} left ( frac {x} {2} right) – color {blue} {12} left ( frac {2} {3} right) & = left ( frac {3} {4} right) color {blue} {12} end {alineado} ]

 

Multiplicar.

 

[6 x-8 = 9 ]

 

Hemos logrado eliminar las expresiones racionales de la ecuación al multiplicar por el común denominador. Ahora tenemos una ecuación lineal simple que puede resolverse agregando primero 8 a ambos lados de la ecuación, luego dividiendo ambos lados de la ecuación por 6.

 

[ begin {alineado} 6 x & = 17 \ x & = frac {17} {6} end {alineado} ]

 

Dejaremos que nuestros lectores verifiquen esta solución.

 
 

Probemos con otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Resuelve la siguiente ecuación para x. [6 = frac {5} {x} + frac {6} {x ^ {2}} ]

 

Solución

 

En esta ecuación, los denominadores son 1, x y (x ^ 2 ), y el denominador común para ambos lados de la ecuación es (x ^ 2 ). En consecuencia, comenzamos la solución multiplicando primero ambos lados de la ecuación por (x ^ 2 ).

 

[ begin {array} {l} { color {blue} {x ^ {2}} (6) = left ( frac {5} {x} + frac {6} {x ^ {2}} right) color {blue} {x ^ {2}}} \ { color {blue} {x ^ {2}} (6) = left ( frac {5} {x} right) color {blue} {x ^ {2}} + left ( frac {6} {x ^ {2}} right) color {blue} {x ^ {2}}} end { matriz} ]

 

Simplificar.

 

[6 x ^ {2} = 5 x + 6 ]

 

Tenga en cuenta que multiplicar ambos lados de la ecuación original por el mínimo común denominador borra la ecuación de todas las expresiones racionales. Esta última ecuación no es lineal, por lo tanto, haga que un lado de la ecuación sea igual a cero restando 5x y 6 de ambos lados de la ecuación.

 

[6 x ^ {2} -5 x-6 = 0 ]

 

Para factorizar el lado izquierdo de esta ecuación, tenga en cuenta que es un trinomio cuadrático con ac = (6) (- 6) = −36. El par entero 4 y −9 tienen el producto −36 y la suma −5. Divida el término medio usando este par y factor por agrupación.

 

[ begin {alineado} 6 x ^ {2} +4 x-9 x-6 & = 0 \ 2 x (3 x + 2) -3 (3 x + 2) & = 0 \ (2 x-3) (3 x + 2) & = 0 end {alineado} ]

 

La propiedad del producto cero obliga a

 

[2 x-3 = 0 quad text {o} quad 3 x + 2 = 0 ]

 

Cada una de estas ecuaciones lineales se resuelve fácilmente.

 

[x = frac {3} {2} quad text {o} quad x = – frac {2} {3} ]

 

Por supuesto, siempre debemos verificar nuestras soluciones. Sustituyendo x = 3/2 en el lado derecho de la ecuación original (4),

 

[ frac {5} {x} + frac {6} {x ^ {2}} = frac {5} {3/2} + frac {6} {(3/2) ^ {2}} = frac {5} {3/2} + frac {6} {9/4} ]

 

En la expresión final, multiplique la parte superior e inferior de la primera fracción por 2, la parte superior e inferior de la segunda fracción por 4.

 

[ frac {5} {3/2} cdot color {blue} { frac {2} {2}} + frac {6} {9/4} cdot color {blue} { frac {4} {4}} = frac {10} {3} + frac {24} {9} ]

 

Haz fracciones equivalentes con un denominador común de 9 y suma.

 

[ frac {10} {3} cdot color {blue} { frac {3} {3}} + frac {24} {9} = frac {30} {9} + frac {24} {9} = frac {54} {9} = 6 ]

 

Tenga en cuenta que este resultado es idéntico al lado izquierdo de la ecuación original (4). Por lo tanto, x = 3/2 comprobaciones.

 

Este ejemplo demuestra claramente que la verificación puede ser tan difícil y tan lenta como el cálculo utilizado originalmente para resolver la ecuación. Por esta razón, tendemos a ser flojos y no verificamos nuestras respuestas como deberíamos. Sin embargo, hay ayuda, ya que la calculadora gráfica puede ayudarnos a verificar las soluciones de las ecuaciones.

 

Primero, ingrese la solución 3/2 en la pantalla de su calculadora, presione el botón STOI, luego presione el botón X y ejecute el comando resultante en la pantalla presionando la tecla ENTER. El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) (a).

 

Luego, ingrese la expresión 5 / X + 6 / Xˆ2 y ejecute el comando resultante en la pantalla presionando la tecla ENTER. El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) (b). Tenga en cuenta que el resultado es 6, el mismo que se calculó a mano arriba, y coincide con el lado izquierdo de la ecuación original (4). También hemos usado la calculadora para verificar la segunda solución x = −2/3. Esto se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ) (c).

 
Screen Shot 2019-07-16 at 10.34.17 PM.png
Figura ( PageIndex {1} ). Usando la calculadora gráfica para verificar las soluciones de la ecuación (4).
 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Resuelve la siguiente ecuación para x.

 

[ frac {2} {x ^ {2}} = 1- frac {2} {x} ]

 

Solución

 

Primero, multiplique ambos lados de la ecuación (6) por el denominador común (x ^ 2 ).

 

[ begin {alineado} color {azul} {x ^ {2}} left ( frac {2} {x ^ {2}} right) & = left (1- frac { 2} {x} right) color {azul} {x ^ {2}} \ 2 & = x ^ {2} -2 x end {alineado} ]

 

Haz un lado cero.

 

[0 = x ^ {2} -2 x-2 ]

 

El lado derecho es un trinomio cuadrático con ac = (1) (- 2) = −2. No hay pares enteros con el producto −2 que sumen −2, por lo que este trinomio cuadrático no factoriza. Afortunadamente, la ecuación es cuadrática (segundo grado), por lo que podemos usar la fórmula cuadrática con a = 1, b = −2 y c = −2.

 

[x = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} = frac {- (- 2) pm sqrt {(- 2) ^ {2} -4 (1) (- 2)}} {2 (1)} = frac {2 pm sqrt {12}} {2} ]

 

Esto nos da dos soluciones, (x = (2- sqrt {12}) / 2 ) y (x = (2+ sqrt {12}) / 2 ). Verifiquemos la solución (x = (2- sqrt {12}) / 2 ). Primero, ingrese este resultado en su calculadora, presione el botón STOI, presione X, luego presione la tecla ENTER para ejecutar el comando y almacenar la solución en la variable X. Este comando se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (una).

 

Ingrese el lado izquierdo de la ecuación original (6) como 2 / xˆ2 y presione la tecla ENTER para ejecutar este comando. Esto se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (b).

 

Ingrese el lado derecho de la ecuación original (6) como 1-2 / X y presione la tecla ENTER para ejecutar este comando. Esto se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ) (c). Tenga en cuenta que los lados izquierdo y derecho de la ecuación (6) se muestran iguales a 3.732050808 en (x = (2- sqrt {12}) / 2 ) (en X = -0.7320508076), como se muestra en Figura ( PageIndex {2} ) (c). Esto muestra que (x = (2- sqrt {12}) / 2 ) es una solución de la ecuación (6).

 

Dejamos que nuestros lectores verifiquen la segunda solución, (x = (2+ sqrt {12}) / 2 ).

 
Screen Shot 2019-07-20 at 12.47.34 PM.png
Figura ( PageIndex {2} ). Usando la calculadora gráfica para verificar las soluciones de la ecuación (6).
 
 

Veamos otro ejemplo, este involucra la notación de función.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Considere la función definida por [f (x) = frac {1} {x} + frac {1} {x-4} ] Resuelva la ecuación f (x) = 2 para x usando ambos gráficos y técnicas analíticas, luego compare soluciones. Realice cada una de las siguientes tareas.

 

a. Dibuja la gráfica de f en papel cuadriculado. Rotula los ceros de f con sus coordenadas y las asíntotas de f con sus ecuaciones.

 

b. Agrega la gráfica de y = 2 a tu gráfica y estima las coordenadas de donde la gráfica de f se cruza con la gráfica de y = 2.

 

c. Use la utilidad de intersección en su calculadora para encontrar mejores aproximaciones de los puntos donde se intersecan las gráficas de f e y = 2.

 

d. Resuelve la ecuación f (x) = 2 algebraicamente y compara tus soluciones con las encontradas en la parte (c).

 

Solución

 

Para el gráfico en la parte (a), necesitamos encontrar los ceros de f y las ecuaciones de cualquier asíntota vertical u horizontal.

 

Para encontrar el cero de la función f, encontramos un denominador común y sumamos las dos expresiones racionales en la ecuación (8).

 

[f (x) = frac {1} {x} + frac {1} {x-4} = frac {x-4} {x (x-4)} + frac {x } {x (x-4)} = frac {2 x-4} {x (x-4)} ]

 

Tenga en cuenta que el numerador de este resultado es igual a cero (pero no el denominador) cuando x = 2. Este es el cero de f. Por lo tanto, la gráfica de f tiene una intersección x en (2, 0), como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).

 

Tenga en cuenta que la función racional en la ecuación (9) se reduce a los términos más bajos. Los denominadores de x y x + 4 en la ecuación (9) son cero cuando x = 0 yx = 4. Estas son nuestras asíntotas verticales, como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).

 

Para encontrar las asíntotas horizontales, necesitamos examinar qué sucede con los valores de la función a medida que x aumenta (o disminuye) sin límite. Ingrese la función en el menú Y = con 1 / X + 1 / (X-4), como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) (a). Presione 2nd TBLSET, luego resalte ASK para la variable independiente y presione ENTER para hacer esta selección permanente, como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) (b).

 

Presione 2nd TABLE, luego ingrese 10, 100, 1,000 y 10,000, como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) (c). Observe cómo los valores de Y1 se acercan a cero. En la Figura ( PageIndex {3} ) (d), a medida que x disminuye sin límite, el comportamiento final es el mismo. Esta es una indicación de una asíntota horizontal en y = 0, como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).

 
Screen Shot 2019-07-20 at 12.54.41 PM.png
Figura ( PageIndex {3} ). Examinando el comportamiento final de f con la calculadora gráfica.
 
Screen Shot 2019-07-20 at 12.56.11 PM.png
Figura ( PageIndex {4} ). Colocación de las asíntotas horizontales y verticales y la intersección x de la gráfica de la función f.
 

En este punto, ya tenemos nuestra función f cargada en Y1, por lo que podemos presionar el botón ZOOM y seleccionar 6: ZStandard para producir el gráfico que se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ). Como se esperaba, la calculadora gráfica no hace un buen trabajo con la función racional f, particularmente cerca de las discontinuidades en las asíntotas verticales. Sin embargo, hay suficiente información en la Figura ( PageIndex {5} ), junto con nuestro trabajo avanzado resumido en la Figura ( PageIndex {4} ), para dibujar un gráfico muy agradable de la función racional en nuestro papel cuadriculado , como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) (a). Nota: No hemos etiquetado las asíntotas con ecuaciones, ni ceros con coordenadas, en la Figura ( PageIndex {6} ) (a), ya que pensamos que la imagen podría estar un poco llena. Sin embargo, debe etiquetar cada una de estas partes en su papel cuadriculado, como lo hicimos en la Figura ( PageIndex {4} ).

 
Screen Shot 2019-07-20 at 12.58.10 PM.png
Figura ( PageIndex {5} ). La gráfica de f dibujada en la calculadora.
 

Abordemos ahora la parte (b) agregando la línea horizontal y = 2 al gráfico, como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) (b). Tenga en cuenta que la gráfica de y = 2 interseca la gráfica de la función racional f en dos puntos A y B. Los valores de x de los puntos A y B son las soluciones a nuestra ecuación f (x) = 2.

 

Podemos obtener una estimación aproximada de las coordenadas x de los puntos A y B directamente desde nuestro papel cuadriculado. El valor x del punto A es aproximadamente (x aproximadamente 0.3 ), mientras que el valor x del punto B parece ser aproximadamente (x aproximadamente 4.6 ).

 
Screen Shot 2019-07-20 at 1.01.13 PM.png
Figura ( PageIndex {6} ). Resolver f (x) = 2 gráficamente.
 

A continuación, abordemos la tarea requerida en la parte (c). Tenemos estimaciones muy razonables de las soluciones de f (x) = 2 basadas en los datos presentados en la Figura ( PageIndex {6} ) (b). Usemos la calculadora gráfica para mejorar estas estimaciones.

 

Primero, cargue la ecuación Y2 = 2 en el menú Y =, como se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ) (a). Necesitamos encontrar dónde la gráfica de Y1 se cruza con la gráfica de Y2, entonces presionamos 2nd CALC y seleccionamos 5: intersectar del menú. De la manera habitual, seleccione “Primera curva”, “Segunda curva” y mueva el cursor cerca del punto que desea estimar. Esta es tu “conjetura”. Realice tareas similares para el segundo punto de intersección.

 

Nuestros resultados se muestran en las Figuras ( PageIndex {7} ) (b) y en las Figuras ( PageIndex {7} ) (c). La estimación en la Figura ( PageIndex {7} ) (b) tiene (x aproximadamente 0.43844719 ), mientras que en la Figura ( PageIndex {7} ) (c) tiene (x aproximadamente 4.5615528 ) Tenga en cuenta que estos son más precisos que las aproximaciones de (x approx 0.3 ) y (x approx 4.6 ) capturadas de nuestra imagen dibujada a mano en la Figura ( PageIndex {6} ) (b).

 
Screen Shot 2019-07-20 at 1.04.22 PM.png
Figura ( PageIndex {7} ). Resolver f (x) = 2 gráficamente.
 

Finalmente, abordemos la solicitud de una solución algebraica de f (x) = 2 en la parte (d). Primero, reemplace f (x) con 1 / x + 1 / (x – 4) para obtener

 

[ begin {alineado} f (x) & = 2 \ frac {1} {x} + frac {1} {x-4} & = 2 end {alineado} ] [19459002 ]  

Multiplica ambos lados de esta ecuación por el común denominador x (x – 4).

 

[ begin {alineado} color {azul} {x (x-4)} left [ frac {1} {x} + frac {1} {x-4} right] & = [2] color {azul} {x (x-4)} \ color {azul} {x (x-4)} left [ frac {1} {x} right] + color {blue } {x (x-4)} left [ frac {1} {x-4} right] & = [2] color {blue} {x (x-4)} end {alineado} ]

 

Cancelar.

 

[ begin {alineado} color {azul} { not {x} (x-4)} left [ frac {1} { not {x}} right] + color {blue } {x (x-4)} left [ frac {1} {x-4} right] & = [2] color {blue} {x (x-4)} \ (x-4) + x & = 2 x (x-4) end {alineado} ]

 

Simplifica cada lado.

 

[2 x-4 = 2 x ^ {2} -8 x ]

 

Esta última ecuación no es lineal, por lo que hacemos que un lado sea cero restando 2x y sumando 4 a ambos lados de la ecuación.

 

[ begin {array} {l} {0 = 2 x ^ {2} -8 x-2 x + 4} \ {0 = 2 x ^ {2} -10 x + 4} end {array} ]

 

Tenga en cuenta que cada coeficiente en el lado derecho de esta última ecuación es divisible por 2. Dividamos ambos lados de la ecuación por 2, distribuyendo la división a través de cada término en el lado derecho de la ecuación.

 

[0 = x ^ {2} -5 x + 2 ]

 

El trinomio de la derecha es un cuadrático con ac = (1) (2) = 2. No hay pares enteros que tengan el producto 2 y la suma −5, por lo que este trinomio no factoriza. En su lugar, utilizaremos la fórmula cuadrática, con a = 1, b = −5 y c = 2.

 

[x = frac {-b pm sqrt {b ^ {2} -4 ac}} {2 a} = frac {- (- 5) pm sqrt {(- 5) ^ {2} -4 (1) (2)}} {2 (1)} = frac {5 pm sqrt {17}} {2} ]

 

Queda por comparar estos con las soluciones gráficas que se encuentran en la parte (c). Entonces, ingrese la solución ((5- sqrt {(} 17)) / (2) ) en la pantalla de su calculadora, como se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ) (a). Ingrese ((5+ sqrt {(} 17)) / (2) ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ) (b). Por lo tanto,

 

[ ( frac {5- sqrt {17}} {2} aproximadamente 0.4384471872 quad ) y ( quad frac {5+ sqrt {17}} {2} aprox 4.561552813 ) ]

 

Note el acuerdo cercano con las aproximaciones encontradas en la parte (c).

 
Screen Shot 2019-07-20 at 1.13.23 PM.png
Figura ( PageIndex {8} ). Aproximando las soluciones exactas.
 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Resuelve la siguiente ecuación para x, tanto gráfica como analíticamente [ frac {1} {x + 2} – frac {x} {2-x} = frac {x + 6} {x ^ {2 } -4} ]

 

Solución

 

Comenzamos la solución gráfica de la manera habitual, cargando los lados izquierdo y derecho de la ecuación (11) en Y1 e Y2, como se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ) (a). Tenga en cuenta que en la gráfica resultante, que se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ) (b), es muy difícil interpretar dónde la gráfica del lado izquierdo se cruza con la gráfica del lado derecho de la ecuación ( 11)

 
Screen Shot 2019-07-20 at 1.16.56 PM.png
Figura ( PageIndex {9} ). Dibuja los lados izquierdo y derecho de la ecuación (11).
 

En esta situación, una mejor estrategia es hacer que un lado de la ecuación (11) sea igual a cero.

 

[ frac {1} {x + 2} – frac {x} {2-x} – frac {x + 6} {x ^ {2} -4} = 0 ]

 

Nuestro enfoque ahora cambiará. Trazaremos el lado izquierdo de la ecuación (12), luego encontraremos dónde el lado izquierdo es igual a cero; es decir, encontraremos dónde la gráfica del lado izquierdo de la ecuación (12) intercepta el eje x.

 

Con este pensamiento en mente, cargue el lado izquierdo de la ecuación (12) en Y1, como se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ) (a). Tenga en cuenta que el gráfico en la Figura ( PageIndex {10} ) (b) parece tener solo una asíntota vertical en x = −2 (alguna cancelación debe eliminar el factor de x – 2 del denominador cuando combina los términos de el lado izquierdo de la ecuación (12) 3). Además, cuando utiliza la utilidad cero en el menú CALC de la calculadora gráfica, parece haber un cero en x = −4, como se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ) (b).

 
Screen Shot 2019-07-20 at 1.20.25 PM.png
Figura ( PageIndex {10} ). Encontrar el cero del lado izquierdo de la ecuación (12).
 

Por lo tanto, la ecuación (12) parece tener solo una solución, a saber, x = 4.

 

A continuación, busquemos una solución analítica de la ecuación (11). Tendremos que factorizar los denominadores para descubrir un denominador común.

 

[ frac {1} {x + 2} – frac {x} {2-x} = frac {x + 6} {(x + 2) (x-2)} ] [19459002 ]  

Es tentador usar un denominador de ((x + 2) (2 – x) (x – 2) ). Sin embargo, el denominador del segundo término en el lado izquierdo de esta última ecuación, 2 – x, está en un orden diferente que los factores en los otros denominadores, x − 2 y x + 2, así que realicemos un cambio de signo en este término y revertir el orden. Negaremos la barra de fracción y negaremos el denominador. Son dos cambios de signos, por lo que el término permanece sin cambios cuando escribimos

 

[ frac {1} {x + 2} + frac {x} {x-2} = frac {x + 6} {(x + 2) (x-2)} ] [19459002 ]  

Ahora vemos que un denominador común de (x + 2) (x – 2) será suficiente. Multiplicamos ambos lados de la última ecuación por ((x + 2) (x – 2) ).

 

[ begin {alineado} color {azul} {(x + 2) (x-2)} left [ frac {1} {x + 2} + frac {x} {x-2 } right] & = left [ frac {x + 6} {(x + 2) (x-2)} right] color {blue} {(x + 2) (x-2)} \ color {azul} {(x + 2) (x-2)} izquierda [ frac {1} {x + 2} derecha] + color {azul} {(x + 2) (x-2) } left [ frac {x} {x-2} right] & = left [ frac {x + 6} {(x + 2) (x-2)} right] color {blue} { (x + 2) (x-2)} end {alineado} ]

 

Cancelar.

 

[ begin {alineado} color {azul} {(x + 2) (x-2)} left [ frac {1} {x + 2} right] + color {blue} { (x + 2) (x-2)} left [ frac {x} {x-2} right] & = left [ frac {x + 6} {(x + 2) (x-2) } right] color {azul} {(x + 2) (x-2)} \ (x-2) + x (x + 2) & = x + 6 end {alineado} ]

 

Simplificar.

 

[ begin {array} {r} {x-2 + x ^ {2} +2 x = x + 6} \ {x ^ {2} +3 x-2 = x + 6} end {array} ]

 

Esta última ecuación no es lineal debido a la presencia de una potencia de x mayor que 1 (tenga en cuenta el término (x ^ 2 )). Por lo tanto, la estrategia es hacer que un lado de la ecuación sea igual a cero. Restaremos x y restaremos 6 de ambos lados de la ecuación.

 

[ begin {alineado} x ^ {2} +3 x-2-x-6 & = 0 \ x ^ {2} +2 x-8 & = 0 end {alineado} ] [ 19459002]  

El lado izquierdo es un trinomio cuadrático con ac = (1) (- 8) = −8. El par entero 4 y −2 tienen el producto −8 y la suma 2. Por lo tanto,

 

[(x + 4) (x-2) = 0 ]

 

Utilizando la propiedad del producto cero,

 

[x + 4 = 0 quad text {o} quad x-2 = 0 ]

 

entonces [x = -4 quad text {o} quad x = 2 ]

 

El hecho de que hayamos encontrado dos respuestas utilizando un método analítico es preocupante. Después de todo, el gráfico en la Figura ( PageIndex {10} ) (b) indica solo una solución, a saber, x = −4. Es reconfortante que una de nuestras soluciones analíticas también sea x = −4, pero sigue siendo desconcertante que nuestro enfoque analítico revele una segunda “respuesta”, a saber, x = 2.

 

Sin embargo, tenga en cuenta que hasta ahora no hemos prestado atención a las restricciones causadas por los denominadores. De hecho, una cuidadosa consideración de la ecuación (11) revela factores de x + 2 y x − 2 en los denominadores. Por lo tanto, x = −2 y x = 2 son restricciones.

 

Tenga en cuenta que una de nuestras respuestas, a saber, x = 2, es un valor restringido. Hará que algunos de los denominadores de la ecuación (11) sean iguales a cero, por lo que no puede ser una solución. Por lo tanto, la única solución viable es x = −4. Ciertamente, se puede verificar esta solución a mano, pero usemos la calculadora gráfica para ayudarnos en la verificación.

 

Primero, ingrese -4, presione el botón STO ( blacktriangleright ), presione X, luego presione ENTER para ejecutar el comando resultante y almacene -4 en la variable X. El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ) (a).

 

A continuación, calculamos el valor del lado izquierdo de la ecuación (11) en este valor de X. Ingrese el lado izquierdo de la ecuación (11) como 1 / (X + 2) -X / (2 -X), luego presione la tecla ENTER para ejecutar la instrucción y producir el resultado que se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ) (b).

 

Finalmente, ingrese el lado derecho de la ecuación (11) como (X + 6) / (xˆ2-4) y presione la tecla ENTER para ejecutar la declaración. El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ) (c). Tenga en cuenta que ambos lados de la ecuación son iguales a .1666666667 en X = -4. Por lo tanto, la solución x = −4 comprueba.

 
Screen Shot 2019-07-20 at 1.29.55 PM.png
Figura ( PageIndex {11} ). Usando la calculadora gráfica para verificar la solución x = −4 de la ecuación (11).
 
   

Ejercicio

 

Para cada una de las funciones racionales dadas en Ejercicios 1 6 , realice cada una de las siguientes tareas.

 
         
  1.      

    Configure un sistema de coordenadas en papel cuadriculado. Rotula y escala cada eje. Recuerde dibujar todas las líneas con una regla.

         
  2.      
  3.      

    Traza el cero de la función racional en tu sistema de coordenadas y etiquétalo con sus coordenadas. Trace las asíntotas verticales y horizontales en su sistema de coordenadas y etiquételas con sus ecuaciones. Use esta información (y su calculadora gráfica) para dibujar la gráfica de f.

         
  4.      
  5.      

    Traza la línea horizontal y = k en tu sistema de coordenadas y rotula esta línea con su ecuación.

         
  6.      
  7.      

    Use la utilidad de intersección de su calculadora para ayudar a determinar la solución de f (x) = k. Rotula este punto en tu gráfico con sus coordenadas.

         
  8.      
  9.      

    Resuelve la ecuación f (x) = k algebraicamente, colocando el trabajo para esta solución en tu papel cuadriculado al lado de tu sistema de coordenadas que contiene la solución gráfica. ¿Están de acuerdo las respuestas?

         
  10.  
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {1} )

 

(f (x) = frac {x − 1} {x + 2} ); k = 3

 
     
Respuesta
     
     

(x = – frac {7} {2} )

     

Screen Shot 2019-08-29 at 10.48.04 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {2} )

 

(f (x) = frac {x + 1} {x − 2} ); k = −3

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {3} )

 

(f (x) = frac {x + 1} {3 − x} ); k = 2

 
     
Respuesta
     
     

(x = frac {5} {3} )

     

Screen Shot 2019-08-29 at 10.50.02 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {4} )

 

(f (x) = frac {x + 3} {2 − x} ); k = 2

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {5} )

 

(f (x) = frac {2x + 3} {x − 1} ); k = −3

 
     
Respuesta
     
     

x = 0

     

Screen Shot 2019-08-29 at 10.51.32 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {6} )

 

(f (x) = frac {5−2x} {x − 1} ); k = 3

 
 

En Ejercicios 7 14 , usa una técnica estrictamente algebraica para resolver la ecuación f (x) = k para la función dada y el valor de k. Le recomendamos que verifique su resultado con su calculadora.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {7} )

 

(f (x) = frac {16x − 9} {2x − 1} ); k = 8

 
     
Respuesta
     
     

ninguno

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {8} )

 

(f (x) = frac {10x − 3} {7x + 7} ); k = 1

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {9} )

 

(f (x) = frac {5x + 8} {4x + 1} ); k = −11

 
     
Respuesta
     
     

(- frac {19} {49} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {10} )

 

(f (x) = – frac {6x − 11} {7x − 2} ); k = −6

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {11} )

 

(f (x) = – frac {35x} {7x + 1 2} ); k = −5

 
     
Respuesta
     
     

ninguno

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {12} )

 

(f (x) = – frac {66x − 5} {6x − 10} ); k = −11

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {13} )

 

(f (x) = frac {8x + 2} {x − 11} ); k = 11

 
     
Respuesta
     
     

41

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {14} )

 

(f (x) = frac {36x − 7} {3x − 4} ); k = 12

 
 

En Ejercicios 15 20 , usa una técnica estrictamente algebraica para resolver la ecuación dada. Le recomendamos que verifique su resultado con su calculadora.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {15} )

 

( frac {x} {7} + frac {8} {9} = – frac {8} {7} )

 
     
Respuesta
     
     

(- frac {128} {9} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {16} )

 

( frac {x} {3} + frac {9} {2} = – frac {3} {8} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {17} )

 

(- frac {57} {x} = 27− frac {40} {x ^ 2} )

 
     
Respuesta
     
     

(- frac {8} {5}, frac {3} {9} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {18} )

 

(- frac {117} {x} = 54+ frac {54} {x ^ 2} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {19} )

 

( frac {7} {x} = 4− frac {3} {x ^ 2} )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {7+ sqrt {97}} {8}, frac {7− sqrt {97}} {8} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {20} )

 

( frac {3} {x ^ 2} = 5− frac {3} {x} )

 
 

Para cada una de las funciones racionales dadas en Ejercicios 21 26 , realice cada una de las siguientes tareas.

 
         
  1.      

    Configure un sistema de coordenadas en papel cuadriculado. Rotula y escala cada eje. Recuerde dibujar todas las líneas con una regla.

         
  2.      
  3.      

    Traza el cero de la función racional en tu sistema de coordenadas y etiquétalo con sus coordenadas. Puede usar la utilidad cero de su calculadora para encontrar esto, si lo desea.

         
  4.      
  5.      

    Grafica las asíntotas verticales y horizontales en tu sistema de coordenadas y rotúlalas con sus ecuaciones. Use la información de asíntota y cero (y su calculadora gráfica) para dibujar la gráfica de f.

         
  6.      
  7.      

    Traza la línea horizontal y = k en tu sistema de coordenadas y rotula esta línea con su ecuación.

         
  8.      
  9.      

    Use la utilidad de intersección de su calculadora para ayudar a determinar la solución de f (x) = k. Rotula este punto en tu gráfico con sus coordenadas.

         
  10.      
  11.      

    Resuelve la ecuación f (x) = k algebraicamente, colocando el trabajo para esta solución en tu papel cuadriculado al lado de tu sistema de coordenadas que contiene la solución gráfica. ¿Están de acuerdo las respuestas?

         
  12.  
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {21} )

 

(f (x) = frac {1} {x} + frac {1} {x + 5} ), (k = frac {9} {14} )

 
     
Respuesta
     
     

(x = – frac {35} {9} ) o x = 2

     

Screen Shot 2019-08-29 at 10.54.48 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {22} )

 

(f (x) = frac {1} {x} + frac {1} {x − 2} ), (k = frac {8} {15} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {23} )

 

(f (x) = frac {1} {x − 1} – frac {1} {x + 1} ), (k = frac {1} {4} ) [19459002 ]  

     
Respuesta
     
     

x = −3 o x = 3

     

Screen Shot 2019-08-29 at 10.55.56 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {24} )

 

(f (x) = frac {1} {x − 1} – frac {1} {x + 2} ), (k = frac {1} {6} ) [19459002 ]  

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {25} )

 

(f (x) = frac {1} {x − 2} + frac {1} {x + 2} ), k = 4

 
     
Respuesta
     
     

(x = frac {1+ sqrt {65}} {4}, frac {1− sqrt {65}} {4} )

     

Screen Shot 2019-08-29 at 10.57.04 AM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {26} )

 

(f (x) = frac {1} {x − 3} + frac {1} {x + 2} ), k = 5

 
 

En Ejercicios 27 34 , usa una técnica estrictamente algebraica para resolver la ecuación dada. Le recomendamos que verifique su resultado con su calculadora.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {27} )

 

( frac {2} {x + 1} + frac {4} {x + 2} = −3 )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {−15+ sqrt {57}} {6}, frac {−15− sqrt {57}} {6} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {28} )

 

( frac {2} {x − 5} – frac {7} {x − 7} = 9 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {29} )

 

( frac {3} {x + 9} – frac {2} {x + 7} = −3 )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {−49+ sqrt {97}} {6}, frac {−49− sqrt {97}} {6} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {30} )

 

( frac {3} {x + 9} – frac {6} {x + 7} = 9 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {31} )

 

( frac {2} {x + 9} + frac {2} {x + 6} = −1 )

 
     
Respuesta
     
     

−7, −12

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {32} )

 

( frac {5} {x − 6} – frac {8} {x − 7} = −1 )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {33} )

 

( frac {3} {x + 3} + frac {6} {x + 2} = −2 )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {−19+ sqrt {73}} {4}, frac {−19− sqrt {73}} {4} )

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {34} )

 

( frac {2} {x − 4} – frac {2} {x − 1} = 1 )

 
 

Para cada una de las ecuaciones en Ejercicios 35 40 , realice cada una de las siguientes tareas.

 
         
  1. Sigue el ejemplo del ejemplo 10 en el texto. Haz que un lado de la ecuación sea igual a cero. Cargue el lado distinto de cero en su calculadora y dibuje su gráfico.
  2.      
  3. Determine las asíntotas verticales de mediante el análisis de la ecuación y el gráfico resultante en su calculadora. Use la función TABLA de su calculadora para determinar cualquier comportamiento de asíntota horizontal.
  4.      
  5. Use la utilidad de búsqueda de cero en el menú CALC para determinar el cero del lado distinto de cero de la ecuación resultante.
  6.      
  7. Configure un sistema de coordenadas en papel cuadriculado. Rotula y escala cada eje. Recuerde dibujar todas las líneas con una regla. Dibuje la gráfica del lado distinto de cero de la ecuación. Dibuja las asíntotas verticales y horizontales y etiquétalas con sus ecuaciones. Trace la intersección con el eje x y etiquétela con sus coordenadas.
  8.      
  9. Use una técnica algebraica para determinar la solución de la ecuación y compárela con la solución encontrada en el análisis gráfico anterior.
  10.  
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {35} )

 

( frac {x} {x + 1} + frac {8} {x ^ 2−2x − 3} = frac {2} {x − 3} )

 
     
Respuesta
     
     

x = 2

     

Screen Shot 2019-08-29 at 12.43.54 PM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {36} )

 

( frac {x} {x + 4} – frac {2} {x + 1} = frac {12} {x ^ 2 + 5x + 4} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {37} )

 

( frac {x} {x + 1} – frac {4} {2x + 1} = frac {2x − 1} {2x ^ 2 + 3x + 2} )

 
     
Respuesta
     
     

x = 3

     

Screen Shot 2019-08-29 at 12.44.41 PM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {38} )

 

( frac {2x} {x − 4} – frac {1} {x + 1} = frac {4x + 24} {x ^ 2−3x − 4} )

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {39} )

 

( frac {x} {x − 2} + frac {3} {x + 2} = frac {8} {4 − x ^ 2} )

 
     
Respuesta
     
     

(x = frac {5− sqrt {17}} {2}, frac {−5− sqrt {17}} {2} )

     

Screen Shot 2019-08-29 at 12.48.38 PM.png

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {40} )

 

( frac {x} {x − 6 1} – frac {4} {x + 1} = frac {x − 6} {1 − x ^ 2} )

 
 

En Ejercicios 41 68 , usa una técnica estrictamente algebraica para resolver la ecuación dada. Le recomendamos que verifique su resultado con su calculadora.

 
 

EJERCICIO ( PageIndex {41} )

 

( frac {x} {3x − 9} – frac {9} {x} = frac {1} {x − 3} )

 
     
Respuesta
     
     

27

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {42} )

 

(frac{5x}{x+2}+frac{5}{x−5} = frac{x+6}{x^2−3x−10})

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {43} )

 

(frac{3x}{x+2}−frac{7}{x} = −frac{1}{2x+4})

 
     
Answer
     
     

(frac{7}{2}, −frac{4}{3})

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {44} )

 

(frac{4x}{x+6}−frac{4}{x+4} = frac{x−4}{x^2+10x+24})

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {45} )

 

(frac{x}{x−5}+frac{9}{4−x} = frac{x+5}{x^2−9x+20})

 
     
Answer
     
     

10

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {46} )

 

(frac{6x}{x−5}−frac{2}{x−3} = frac{x−8}{x^2−8x+15})

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {47} )

 

(frac{2x}{x−4}+frac{5}{2−x} = frac{x+8}{x^2−6x+8})

 
     
Answer
     
     

3

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {48} )

 

(frac{x}{x−7}−frac{8}{5−x} = frac{x+7}{x^2−12x+35})

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {49} )

 

(−frac{x}{2x+2}−frac{6}{x} = −frac{2}{x+1})

 
     
Answer
     
     

−6, −2

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {50} )

 

(frac{7x}{x+3}−frac{4}{2−x} = frac{x+8}{x^2+x−6})​​​​​​

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{51})

 

(frac{2x}{x+5}−frac{2}{6−x} = frac{x−2}{x^2−x−30})

 
     
Answer
     
     

4, (frac{3}{2})

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {52} )

 

(frac{4x}{x+1}+frac{6}{x+3} = frac{x−9}{x^2+4x+3})

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {53} )

 

(frac{x}{x+7}−frac{2}{x+5}​​​​​​​ = frac{x+1}{x^2+12x+35})

 
     
Answer
     
     

3

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {54} )

 

(frac{5x}{6x+4}+frac{6}{x} = frac{1}{3x+2})

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {55} )

 

(frac{2x}{3x+9​​​​​​​}−frac{4}{x} = −frac{2}{x+3})

 
     
Answer
     
     

6

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {56} )

 

(frac{7x}{x+1}−frac{4}{x+2} = frac{x+6}{x^2+3x+2})

 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {57} )

 

(frac{x}{2x−8​​​​​​​} + frac{8}{x} = frac{2}{x−4})

 
     
Answer
     
     

−16

     
 
 
 
 

EJERCICIO ( PageIndex {58} )

 

(frac{3x}{x−6}+frac{6}{x−6} = frac{x+2}{x^2−12x+36})

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{59})

 

(frac{x}{x+2}+frac{2}{x} = −frac{5}{2x+4})

 
     
Answer
     
     

(frac{−9+sqrt{17}}{4}, frac{−9−sqrt{17}}{4})

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{60})

 

(frac{4x}{x−2}+frac{2}{2−x} = frac{x+4}{x^2−4x+4})

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{61})

 

(−frac{2x}{3x−9​​​​​​​}−frac{3}{x} = −frac{2}{x−3})

 
     
Answer
     
     

(−frac{9}{2})

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{62})

 

(frac{2x}{x+1}−frac{2}{x} = frac{1}{2x+2})

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{63})

 

(frac{x}{x+1}+frac{5}{x} = frac{1}{4x+4})

 
     
Answer
     
     

(frac{−19+sqrt{41}}{8}, frac{−19−sqrt{41}}{8})

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{64})

 

(frac{2x}{x−4}−frac{8}{x−7} = frac{x+2}{x^2−11x+28})

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{65})

 

(−frac{9x}{x−2}+frac{2}{x} = −frac{2}{4x−1})

 
     
Answer
     
     

(frac{9}{2}), 5

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{66})

 

(frac{2x}{x−3​​​​​​​}−frac{4}{4−x} = frac{x−9}{x^2−7x+12}) ​​​​​​​

 
 
 

EXERCISE (PageIndex{67})

 

(frac{4x}{x+6}−frac{5}{7−x} = frac{x−5}{x^2−x−42})

 
     
Answer
     
     

(frac{7}{2}, frac{5}{2})

     
 
 
 
 

EXERCISE (PageIndex{68})

 

(frac{x}{x−1​​​​​​​}−frac{4}{x} = frac{1}{5x−5})

 
                       
                                  
]]>