7.8: Aplicaciones de funciones racionales

7.8: Aplicaciones de funciones racionales

Una buena aplicación de funciones racionales implica la cantidad de trabajo que una persona (o equipo de personas) puede hacer en un cierto período de tiempo. Podemos manejar estas aplicaciones que implican trabajo de manera similar al método que usamos para resolver problemas de distancia, velocidad y tiempo. Aquí está el principio rector.

Por ejemplo, supongamos que Emilia puede cortar el césped a una velocidad de 3 céspedes por hora. Después de 6 horas,

[ text {Work} = 3 frac { text {lawns}} { mathrm {hr}} times 6 mathrm {hr} = 18 text {céspedes. } ]

Un segundo concepto importante es el hecho de que las tasas se suman. Por ejemplo, si Emilia puede cortar el césped a una velocidad de 3 céspedes por hora y Michele puede cortar el mismo césped a una velocidad de

de 2 céspedes por hora, entonces juntos pueden cortar el césped a una velocidad combinada de 5 céspedes por hora.

Veamos un ejemplo.

 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Bill puede terminar un informe en 2 horas. María puede terminar el mismo informe en 4 horas. ¿Cuánto tiempo les llevará terminar el informe si trabajan juntos?

 

Solución

 

Un error común es que los tiempos se suman en este caso. Es decir, a Bill le toma 2 horas completar el informe y a Maria le toma 4 horas completar el mismo informe, por lo que si Bill y Maria trabajan juntos, tomará 6 horas completar el informe. Un pequeño pensamiento revela que este resultado no tiene sentido. Claramente, si trabajan juntos, les llevará menos tiempo que a Bill completar el informe solo; es decir, el tiempo combinado seguramente será inferior a 2 horas.

 

Sin embargo, como vimos anteriormente, las tasas a las que están trabajando se sumarán. Para aprovechar este hecho, configuramos lo que sabemos en una tabla de Trabajo, Tasa y Tiempo (ver Tabla ( PageIndex {5} )).

 

• Bill tarda 2 horas en completar 1 informe. Esto se refleja en las entradas en la primera fila de la Tabla ( PageIndex {5} ).

 

• Maria tarda 4 horas en completar 1 informe. Esto se refleja en las entradas en la segunda fila de la Tabla ( PageIndex {5} ).

 

• Deje que t represente el tiempo que les lleva completar 1 informe si trabajan juntos. Esto se refleja en las entradas en la última fila de la Tabla ( PageIndex {5} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
w (informes) r (informes / h) t (h)
Proyecto de ley 1 2
María 1 4
Juntos 1 t
 

Tabla ( PageIndex {5} ). Una tabla de trabajo, tasa y tiempo.

 

Tenemos consejos similares a los dados para las tablas de distancia, velocidad y tiempo.

 
 

Tablas de trabajo, velocidad y tiempo

 

Debido a que el trabajo, la tasa y el tiempo están relacionados por la ecuación [ text {Work} = text {Rate} times text {Time} ] cada vez que tiene dos cuadros en una fila completada, el tercer cuadro en esa fila se puede calcular mediante la relación Trabajo (= ) Velocidad ( veces ) Tiempo.

 
 

En el caso de la Tabla ( PageIndex {5} ), podemos calcular la tasa a la que Bill está trabajando resolviendo la ecuación Work (= ) Rate ( times ) Time for the Rate, luego sustituya los datos de Bill de la fila uno de la Tabla ( PageIndex {5} ).

 

[Rate (= frac { text {Work}} { text {Time}} = frac {1 text {report}} {2 mathrm {h}} ) ] [19459001 ]  

Por lo tanto, Bill está trabajando a una velocidad de 1/2 informe por hora. Observe cómo ingresamos este resultado en la primera fila de la Tabla 6. De manera similar, María está trabajando a una tasa de 1/4 de informe por hora, que también ingresamos en la Tabla ( PageIndex {6} ).

 

Hemos dejado que t represente el tiempo que les lleva escribir 1 informe si están trabajando juntos (ver Tabla ( PageIndex {5} )), por lo que el siguiente cálculo nos da la tasa combinada.

 

[Rate (= frac { text {Work}} { text {Time}} = frac {1 text {report}} {t mathrm {h}} ) ] [19459001 ]  

Es decir, juntos trabajan a una velocidad de 1 / t informes por hora. Este resultado también se registra en la Tabla ( PageIndex {6} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
w (informes) r (informes / h) t (h)
Proyecto de ley 1 1/2 2
María 1 1/4 4
Juntos 1 1 / t t
 

Tabla ( PageIndex {6} ). Cálculo de las entradas de tasa.

 

En nuestra discusión anterior, señalamos el hecho de que las tasas se suman. Por lo tanto, la ecuación que buscamos se encuentra en la columna Tasa de la Tabla ( PageIndex {6} ). Bill está trabajando a una tasa de 1/2 informe por hora y María está trabajando a una tasa de 1/4 informe por hora. Por lo tanto, su tasa combinada es 1/2 + 1/4 informes por hora. Sin embargo, la última fila de la Tabla ( PageIndex {6} ) indica que la tasa combinada también es 1 / t de informes por hora. Por lo tanto,

 

[ frac {1} {2} + frac {1} {4} = frac {1} {t} ]

 

Multiplica ambos lados de esta ecuación por el común denominador 4t.

 

[ begin {alineado} color {azul} {(4 t)} left [ frac {1} {2} + frac {1} {4} right] & = left [ frac {1} {t} right] color {azul} {(4 t)} \ 2 t + t & = 4 end {alineado} ]

 

Esta ecuación es lineal (no hay potencia de t que no sea 1) y se resuelve fácilmente.

 

[ begin {alineado} 3 t & = 4 \ t & = 4/3 end {alineado} ]

 

Por lo tanto, tomará 4/3 de una hora completar 1 informe si Bill y María trabajan juntos.

 

Nuevamente, es muy importante que verifiquemos este resultado.

 

• Sabemos que Bill hace 1/2 informes por hora. En 4/3 de una hora, Bill completará

 

[ text {Work} = frac {1} {2} frac { text {informes}} { mathrm {h}} times frac {4} {3} mathrm {h} = frac {2} {3} text {informes. } ]

 

Es decir, Bill completará 2/3 de un informe.

 

• Sabemos que María hace 1/4 informes por hora. En 4/3 de una hora, María completará

 

[ text {Work} = frac {1} {4} frac { text {informes}} { mathrm {h}} times frac {4} {3} mathrm {h} = frac {1} {3} mathrm {informes} ]

 

Es decir, María completará 1/3 de un informe.

 

Claramente, trabajando juntos, Bill y María completarán 2/3 + 1/3 informes, es decir, un informe completo.

 

Veamos otro ejemplo.

 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Liya tarda 7 horas más en pintar una cocina que Hank para completar el mismo trabajo. Juntos, pueden completar el mismo trabajo en 12 horas. ¿Cuánto tiempo le lleva a Hank completar el trabajo si trabaja solo?

 

Solución

 

Sea H el tiempo que le toma a Hank completar el trabajo de pintar la cocina cuando trabaja solo. Debido a que le toma a Liya 7 horas más de lo que le toma a Hank, deje que H + 7 represente el tiempo que le toma a Liya pintar la cocina cuando trabaja sola. Esto lleva a las entradas en la Tabla ( PageIndex {7} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
w (cocinas) r (cocinas / h) t (h)
Hank 1 H
Liya 1 H + 7
Juntos 1 12
 

Tabla ( PageIndex {7} ). Ingresando los datos dados para Hank y Liya.

 

Podemos calcular la tasa a la que Hank trabaja solo resolviendo la ecuación Work (= ) Rate ( times ) Time para la tasa, y luego sustituyendo los datos de Hank de la fila uno de la Tabla ( PageIndex { 7} ).

 

[ text {Rate} = frac { text {Work}} { text {Time}} = frac {1 text {kitchen}} {H text {hour}} ] [19459001 ]  

Por lo tanto, Hank está trabajando a una velocidad de 1 / H cocinas por hora. Del mismo modo, Liya está trabajando a razón de 1 / (H + 7) cocinas por hora. Debido a que les lleva 12 horas completar la tarea cuando trabajan juntos, su tasa combinada es de 1/12 cocinas por hora. Cada una de estas tasas se ingresa en la Tabla ( PageIndex {8} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
w (cocinas) r (cocinas / h) t (h)
Hank 1 1 / H H
Liya 1 1 / H + 7 H + 7
Juntos 1 1/12 12
 

Tabla ( PageIndex {8} ). Cálculo de las tarifas.

 

Debido a que las tasas se suman, podemos escribir

 

[ frac {1} {H} + frac {1} {H + 7} = frac {1} {12} ]

 

Multiplica ambos lados de esta ecuación por el denominador común 12H (H + 7).

 

[ begin {alineado} color {azul} {12 H (H + 7)} left ( frac {1} {H} + frac {1} {H + 7} right) & = left ( frac {1} {12} right) color {blue} {12 H (H + 7)} \ 12 (H + 7) +12 H & = H (H + 7) end {alineado} ]

 

Expandir y simplificar.

 

[ begin {alineado} 12 H + 84 + 12 H & = H ^ {2} +7 H \ 24 H + 84 & = H ^ {2} +7 H end {alineado} ]

 

Esta última ecuación no es lineal, por lo tanto, haga que un lado sea cero restando 24H y 84 de ambos lados de la ecuación.

 

[ begin {array} {l} {0 = H ^ {2} +7 H-24 H-84} \ {0 = H ^ {2} -17 H-84} end {array } ]

 

Tenga en cuenta que ac = (1) (- 84) = −84. El par entero {4, −21} tiene el producto −84 y suma a −17. Por lo tanto,

 

[0 = (H + 4) (H-21) ]

 

Utilizando la propiedad de producto cero,

 

[H + 4 = 0 quad text {o} quad H-21 = 0 ]

 

que conduce a las soluciones

 

[H = -4 quad text {o} quad H = 21 ]

 

Eliminamos la solución H = −4 de la consideración (no le toma a Hank tiempo negativo para pintar la cocina), por lo que concluimos que Hank tarda 21 horas en pintar la cocina.

 

¿Tiene sentido nuestra solución?

 
         
  • Hank necesita 21 horas para completar la cocina, por lo que está terminando 1/21 de la cocina por hora.
  •      
  • Liya tarda 7 horas más que Hank en completar la cocina, es decir, 28 horas, por lo que está terminando 1/28 de la cocina por hora.
  •  
 

Juntos, están trabajando a una velocidad combinada de

 

[ frac {1} {21} + frac {1} {28} = frac {4} {84} + frac {3} {84} = frac {7} {84} = frac {1} {12} ]

 

o 1/12 de cocina por hora. Esto concuerda con la tasa combinada en la Tabla ( PageIndex {8} ).

 
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