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las matematicas

7.8: Solución de sistemas con inversiones

Nancy planea invertir ($ 10,500 ) en dos bonos diferentes para distribuir su riesgo. El primer bono tiene un rendimiento anual de (10% ), y el segundo bono tiene un rendimiento anual de (6% ). Para recibir un retorno de (8.5% ) de los dos bonos, ¿cuánto debería invertir Nancy en cada bono? ¿Cuál es el mejor método para resolver este problema? Hay varias formas en que podemos resolver este problema. Como hemos visto en secciones anteriores, los sistemas de ecuaciones y matrices son útiles para resolver problemas del mundo real relacionados con las finanzas. Después de estudiar esta sección, tendremos las herramientas para resolver el problema del enlace usando el inverso de una matriz.

Encontrar el inverso de una matriz

 

Sabemos que el inverso multiplicativo de un número real (a ) es (a ^ {- 1} ), entonces

 

[aa ^ {- 1} = a ^ {- 1} a = left ( dfrac {1} {a} right) a = 1 label {eq0} ]

 

Por ejemplo, considere la situación de multiplicación escalar

 

[2 ^ {- 1} = dfrac {1} {2} nonumber ]

 

por lo tanto, de la ecuación ref {eq0}

 

[ left ( dfrac {1} {2} right) 2 = 1. nonumber ]

 

El inverso multiplicativo de una matriz es similar en concepto, excepto que el producto de la matriz (A ) y su inverso (A ^ {- 1} ) es igual a la identidad matriz. La matriz de identidad es una matriz cuadrada que contiene unos en la diagonal principal y ceros en todas partes. Identificamos matrices de identidad por (I_n ) donde (n ) representa la dimensión de la matriz. Las ecuaciones ref {eq1} y ref {eq2} son las matrices de identidad para una matriz (2 × 2 ) y una matriz (3 × 3 ), respectivamente:

 

[I_2 = begin {bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end {bmatrix} label {eq1} ]

 

[I_3 = begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end {bmatrix} label {eq2} ]

 

La matriz de identidad actúa como un (1 ) en el álgebra matricial. Por ejemplo,

 

[AI = IA = A nonumber ]

 

Una matriz que tiene un inverso multiplicativo tiene las propiedades

 

[AA ^ {- 1} = I ]

 

[A ^ {- 1} A = I ]

 

Una matriz que tiene un inverso multiplicativo se llama matriz invertible . Solo una matriz cuadrada puede tener un inverso multiplicativo, como la reversibilidad,

 

[AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I ]

 

es un requisito. No todas las matrices cuadradas tienen un inverso, pero si (A ) es invertible, entonces (A ^ {- 1} ) es único. Veremos dos métodos para encontrar el inverso de una matriz (2 × 2 ) y un tercer método que se puede usar en ambas matrices (2 × 2 ) y (3 × 3 ).

 
 

Definiciones: LA MATRIZ DE IDENTIDAD Y LA INVERSIÓN MULTIPLICATIVA

 

La matriz de identidad , (I_n ), es una matriz cuadrada que contiene unos en la diagonal principal y ceros en todas partes.

 

[I_2 = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber \ 0 & 1 end {bmatrix} ]

 

en cuanto a la matriz de identidad (2 × 2 )

 

[I_3 = begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 nonumber \ 0 & 1 & 0 nonumber \ 0 & 0 & 1 end {bmatrix} ]

 

en cuanto a la matriz de identidad (3 × 3 )

 

Si (A ) es una matriz (n × n ) y (B ) es una matriz (n × n ) tal que (AB = BA = I_n ), entonces ( B = A − 1 ), el inverso multiplicativo de una matriz (A ).

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): mostrando que la matriz de identidad actúa como un 1

 

Dada la matriz (A ), muestra que (AI = IA = A ).

 

[A = begin {bmatrix} 3 y 4 nonumber \ −2 & 5 end {bmatrix} ]

 

Solución

 

Use la multiplicación de matrices para mostrar que el producto de (A ) y la matriz de identidad es igual al producto de la matriz de identidad y (A ).

 

[ begin {align *} AI & = begin {bmatrix} 3 & 4 nonumber \ −2 & 5 end {bmatrix} begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber \ 0 & 1 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 3⋅1 + 4⋅0 & 3⋅0 + 4⋅1 nonumber \ −2⋅1 + 5⋅0 & −2⋅0 + 5⋅1 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 3 & 4 nonumber \ −2 & 5 end {bmatrix} end {align *} ]

 

[ begin {align *} AI & = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber \ 0 & 1 end {bmatrix} begin {bmatrix} 3 & 4 nonumber \ −2 & 5 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 1⋅3 + 0⋅ (−2) & 1⋅4 + 0⋅5 nonumber \ 0⋅3 + 1⋅ (−2) & 0⋅4 + 1⋅5 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 3 & 4 nonumber \ −2 & 5 end {bmatrix} end {align *} ]

 
 
 
 

Cómo: Dadas dos matrices, muestra que una es la inversa multiplicativa de la otra

 
         
  • Dada la matriz (A ) de orden (n × n ) y la matriz (B ) de orden (n × n ) multiplican (AB ).
  •      
  • Si (AB = I ), busque el producto (BA ). Si (BA = I ), entonces (B = A ^ {- 1} ) y (A = B ^ {- 1} ).
  •  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Mostrando que Matrix (A ) es el inverso multiplicativo de Matrix (B )

 

Muestre que las matrices dadas son inversas multiplicativas entre sí.

 

[A = begin {bmatrix} 1 y 5 nonumber \ −2 & −9 end {bmatrix} ]

 

y

 

[B = begin {bmatrix} −9 & −5 nonumber \ 2 & 1 end {bmatrix} ]

 

Solución

 

Multiplicar (AB ) y (BA ). Si ambos productos son iguales a la identidad, entonces las dos matrices son inversas entre sí.

 

[ begin {align *} AB & = begin {bmatrix} 1 & 5 nonumber \ −2 & −9 end {bmatrix} · begin {bmatrix} −9 & −5 nonumber \ 2 & 1 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 1 (−9) +5 (2) & 1 (−5) +5 (1) nonumber \ −2 (−9) −9 ( 2) & – 2 (−5) −9 (1) end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber \ 0 & 1 end {bmatrix} end {align *} ]

 

y

 

[ begin {align *} BA & = begin {bmatrix} −9 & −5 nonumber \ 2 & 1 end {bmatrix} · begin {bmatrix} 1 & 5 nonumber \ −2 & −9 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} −9 (1) −5 (−2) & – 9 (5) −5 (−9) nonumber \ 2 (1) +1 (−2) & 2 (−5) +1 (−9) end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber \ 0 & 1 end {bmatrix} end {align * } ]

 

(A ) y (B ) son inversas entre sí.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Muestre que las siguientes dos matrices son inversas entre sí.

 

[A = begin {bmatrix} 1 & 4 nonumber \ [4pt] −1 & −3 end {bmatrix} ]

 

y

 

[B = begin {bmatrix} −3 & −4 nonumber \ [4pt] 1 & 1 end {bmatrix} ]

 
     
Respuesta
     
     

( begin {align *} AB & = begin {bmatrix} 1 & 4 nonumber \ [4pt] −1 & −3 end {bmatrix} begin {bmatrix} −3 & −4 nonumber \ [4pt ] 1 & 1 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 1 (−3) +4 (1) & 1 (−4) +4 (1) nonumber \ [4pt] −1 (−3) + – 3 (1) y – 1 (−4) + – 3 (1) end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber \ [4pt] 0 & 1 end {bmatrix} end {align *} )

     

( begin {align *} BA & = begin {bmatrix} −3 & −4 nonumber \ [4pt] 1 & 1 end {bmatrix} begin {bmatrix} 1 & 4 nonumber \ [4pt] −1 & −3 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} −3 (1) + – 4 (−1) & – 3 (4) + – 4 (−3) nonumber \ [4pt] 1 (1) +1 (−1) & 1 (4) +1 (−3) end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber \ [4pt] 0 & 1 end {bmatrix} end {align *} )

     
 
 
 

Encontrar el inverso multiplicativo usando la multiplicación matricial

 

Ahora podemos determinar si dos matrices son inversas, pero ¿cómo encontraríamos el inverso de una matriz dada? Como sabemos que el producto de una matriz y su inverso es la matriz de identidad, podemos encontrar el inverso de una matriz configurando una ecuación usando multiplicación de matrices .

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Encontrar el inverso multiplicativo usando la multiplicación matricial

 

Usa la multiplicación de matrices para encontrar el inverso de la matriz dada.

 

[A = begin {bmatrix} 1 & −2 nonumber \ [4pt] 2 & −3 end {bmatrix} ]

 

Solución

 

Para este método, multiplicamos (A ) por una matriz que contiene constantes desconocidas y la igualamos a la identidad.

 

( begin {bmatrix} 1 & −2 nonumber \ [4pt] 2 & −3 end {bmatrix} begin {bmatrix} a & b nonumber \ [4pt] c & d end {bmatrix} = begin {bmatrix} 1 y 0 nonumber \ [4pt] 0 y 1 end {bmatrix} )

 

Encuentra el producto de las dos matrices en el lado izquierdo del signo igual.

 

[ begin {bmatrix} 1 & −2 nonumber \ [4pt] 2 & −3 end {bmatrix} begin {bmatrix} a & b nonumber \ [4pt] c & d end {bmatrix} = begin {bmatrix} 1a − 2c y 1b − 2d nonumber \ [4pt] 2a − 3c & 2b − 3d end {bmatrix} ]

 

A continuación, configure un sistema de ecuaciones con la entrada en la fila 1, columna 1 de la nueva matriz igual a la primera entrada de la identidad, (1 ). Establezca la entrada en la fila 2, columna 1 de la nueva matriz igual a la entrada correspondiente de la identidad, que es (0 ).

 

(1a − 2c = 1 espacio R_1 )

 

(2a − 3c = 0 espacio R_2 )

 

Utilizando operaciones de fila, multiplique y agregue de la siguiente manera: ((- 2) R_1 + R_2 rightarrow R_2 ). Suma las ecuaciones y resuelve (c ).

 

[ begin {align *} 1a − 2c & = 1 nonumber \ [4pt] 0 + 1c & = – 2 nonumber \ [4pt] c = −2 nonumber end {align *} nonumber ]

 

Sustituto por atrás para resolver (a ).

 

[ begin {align *} a − 2 (−2) & = 1 nonumber \ [4pt] a + 4 & = 1 nonumber \ [4pt] a & = – 3 nonumber end {align *} nonumber ]

 

Escriba otro sistema de ecuaciones que establezca la entrada en la fila 1, columna 2 de la nueva matriz igual a la entrada correspondiente de la identidad, (0 ). Establezca la entrada en la fila 2, columna 2 igual a la entrada correspondiente de la identidad.

 

(1b − 2d = 0 espacio R_1 )

 

(2b − 3d = 1 espacio R_2 )

 

Utilizando operaciones de fila, multiplique y agregue de la siguiente manera: ((- 2) R_1 + R_2 = R_2 ). Suma las dos ecuaciones y resuelve (d ).

 

[ begin {align *} 1b − 2d & = 0 nonumber \ [4pt] 0 + 1d & = 1 nonumber \ [4pt] d & = 1 nonumber end {align *} nonumber ]

 

Una vez más, sustituye y resuelve (b ).

 

[ begin {align *} b − 2 (1) & = 0 nonumber \ [4pt] b & −2 = 0 nonumber \ [4pt] b & = 2 nonumber end {align * } nonumber ]

 

[A ^ {- 1} = begin {bmatrix} −3 & 2 nonumber \ [4pt] −2 & 1 end {bmatrix} ]

 
 

Encontrar el inverso multiplicativo aumentando con la identidad

 

Otra forma de encontrar el inverso multiplicativo es aumentando con la identidad. Cuando la matriz (A ) se transforma en (I ), la matriz aumentada (I ) se transforma en (A ^ {- 1} ).

 

Por ejemplo, dado

 

(A = begin {bmatrix} 2 & 1 nonumber \ [4pt] 5 & 3 end {bmatrix} )

 

aumentar (A ) con la identidad

 

( left [ begin {array} {cc | cc} 2 y 1 y 1 y 0 \ 5 y 3 y 0 y 1 end {array} right] )

 

Realice operaciones de fila con el objetivo de convertir A en la identidad.

 
         
  1. Cambiar la fila 1 y la fila 2.      

    ( left [ begin {array} {cc | cc} 5 & 3 & 0 & 1 nonumber \ [4pt] 2 & 1 & 1 & 0 end {array} right] )

         
  2.      
  3. Multiplica la fila 2 por −2 y suma a la fila 1.      

    ( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & 1 & -2 & 1 nonumber \ [4pt] 2 & 1 & 1 & 0 end {array} right] )

         
  4.      
  5. Multiplica la fila 1 por −2 y suma a la fila 2.      

    ( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & 1 & -2 & 1 nonumber \ [4pt] 0 & -1 & 5 & -2 end {array} right] )

         
  6.      
  7. Agregue la fila 2 a la fila 1.      

    ( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & 0 & 3 & -1 nonumber \ [4pt] 0 & -1 & 5 & -2 end {array} right] )

         
  8.      
  9. Multiplica la fila 2 por − 1. −1.      

    ( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & 0 & 3 & -1 nonumber \ [4pt] 0 & 1 & -5 & 2 end {array} right] )

         
  10.  
 

La matriz que hemos encontrado es (A ^ {- 1} ).

 

(A ^ {- 1} = begin {bmatrix} 3 & −1 nonumber \ [4pt] −5 & 2 end {bmatrix} )

 

Encontrar el inverso multiplicativo de matrices (2 × 2 ) usando una fórmula

 

Cuando necesitamos encontrar el inverso multiplicativo de una matriz (2 × 2 ), podemos usar una fórmula especial en lugar de usar la multiplicación de matriz o aumentar con la identidad.

 

Si (A ) es una matriz (2 × 2 ), como

 

(A = begin {bmatrix} a & b nonumber \ [4pt] c & d end {bmatrix} )

 

la inversa multiplicativa de (A ) viene dada por la fórmula

 

(A ^ {- 1} = dfrac {1} {ad − bc} begin {bmatrix} d & −b nonumber \ [4pt] −c & a end {bmatrix} )

 

donde (ad − bc ≠ 0 ). Si (ad − bc = 0 ), entonces (A ) no tiene inverso.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Uso de la fórmula para encontrar el inverso multiplicativo de la matriz (A )

 

Usa la fórmula para encontrar el inverso multiplicativo de

 

[A = begin {bmatrix} 1 & −2 nonumber \ [4pt] 2 & −3 end {bmatrix} ]

 

Solución

 

Podemos verificar que nuestra fórmula funciona usando uno de los otros métodos para calcular el inverso. Aumentemos (A ) con la identidad.

 

( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & -2 & 1 & 0 nonumber \ [4pt] 2 & -3 & 0 & 1 end {array} right] )

 

Realice operaciones de fila con el objetivo de convertir (A ) en la identidad.

 
         
  1. Multiplique la fila 1 por (- 2 ) y agregue a la fila 2.      

    ( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & -2 & 1 & 0 nonumber \ [4pt] 0 & 1 & -2 & 1 end {array} right] )

         
  2.      
  3. Multiplique la fila 1 por (2 ) y agregue a la fila 1.      

    ( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & 0 & -3 & 2 nonumber \ [4pt] 0 & 1 & -2 & 1 end {array} right] )

         
  4.  
 

Entonces, hemos verificado nuestra solución original.

 

(A ^ {- 1} = begin {bmatrix} −3 & 2 nonumber \ [4pt] −2 & 1 end {bmatrix} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Usa la fórmula para encontrar el inverso de la matriz (A ). Verifique su respuesta aumentando con la matriz de identidad.

 

(A = begin {bmatrix} 1 & −1 nonumber \ [4pt] 2 & 3 end {bmatrix} )

 
     
Respuesta
     
     

(A ^ {- 1} = begin {bmatrix} dfrac {3} {5} & dfrac {1} {5} nonumber \ [4pt] – dfrac {2} {5} & dfrac {1} {5} end {bmatrix} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Encontrar el inverso de la matriz, si existe

 

Encuentre el inverso, si existe, de la matriz dada.

 

(A = begin {bmatrix} 3 y 6 nonumber \ [4pt] 1 & 2 end {bmatrix} )

 

Solución

 

Utilizaremos el método de aumentar con la identidad.

 

( left [ begin {array} {cc | cc} 3 & 6 & 1 & 0 nonumber \ [4pt] 1 & 3 & 0 & 1 end {array} right] )

 
         
  1. Cambiar la fila 1 y la fila 2.      

    ( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & 3 & 0 & 1 nonumber \ [4pt] 3 & 6 & 1 & 0 end {array} right] )

         
  2.      
  3. Multiplica la fila 1 por −3 y agrégala a la fila 2.      

    ( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & 2 & 1 & 0 nonumber \ [4pt] 0 & 0 & -3 & 1 end {array} right] )

         
  4.      
  5. No hay nada más que podamos hacer. Los ceros en la fila 2 indican que esta matriz no tiene inversa.
  6.  
 
 
Encontrar el inverso multiplicativo de matrices (3 × 3 )
 

Desafortunadamente, no tenemos una fórmula similar a la de una matriz (2 × 2 ) para encontrar el inverso de una matriz (3 × 3 ). En cambio, aumentaremos la matriz original con la matriz de identidad y utilizaremos operaciones de fila para obtener el inverso.

 

Dada una matriz (3 × 3 )

 

[A = begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 nonumber \ [4pt] 3 & 3 & 1 nonumber \ [4pt] 2 & 4 & 1 end {bmatrix} ]

 

aumentar (A ) con la matriz de identidad

 

[ begin {array} {c | c} A&I end {array} = left [ begin {array} {ccc | ccc} 2 y 3 y 1 y 1 y 0 y 0 nonumber \ [4pt] 3 y 3 y 1 y 0 y 1 y 0 nonumber \ [4pt ] 2 y 4 y 1 y 0 y 0 y 1 end {array} right] ]

 

Para comenzar, escribimos la matriz aumentada con la identidad a la derecha y (A ) a la izquierda. Realizando operaciones de fila elementales para que la matriz de identidad aparezca a la izquierda, obtendremos la matriz inversa a la derecha. Encontraremos el inverso de esta matriz en el siguiente ejemplo.

 
 

Cómo: dada una matriz (3 × 3 ), encontrar el inverso

 
         
  1. Escriba la matriz original aumentada con la matriz de identidad a la derecha.
  2.      
  3. Utilice operaciones de fila elementales para que la identidad aparezca a la izquierda.
  4.      
  5. Lo que se obtiene a la derecha es el inverso de la matriz original.
  6.      
  7. Use la multiplicación de matrices para mostrar que (AA ^ {- 1} = I ) y (A ^ {- 1} A = I ).
  8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Encontrar el inverso de una matriz (3 × 3 )

 

Dada la matriz (3 × 3 ) (A ), encuentre el inverso.

 

(A = begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 nonumber \ [4pt] 3 & 3 & 1 nonumber \ [4pt] 2 & 4 & 1 end {bmatrix} )

 

Solución

 

Aumente (A ) con la matriz de identidad y luego comience las operaciones de fila hasta que la matriz de identidad reemplace (A ). La matriz de la derecha será la inversa de (A ).

 

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 nonumber \ [4pt] 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 nonumber \ [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 end {array} right] xrightarrow {Interchange space R_ space y space R_1} left [ begin {array} {ccc | ccc} 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 nonumber \ [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 nonumber \ [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 end {array} right] )

 

(- R_2 + R_1 = R_1 rightarrow left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 y 0 y 0 y -1 y 1 y 0 nonumber \ [4pt] 2 y 3 y 1 y 1 y 0 y 0 nonumber \ [4pt] 2 y 4 y 1 y 0 y 0 y 1 end {array} right] )

 

(- R_2 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 nonumber \ [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 nonumber \ [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 end { matriz} right] )

 

(R_2 leftrightarrow R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 nonumber \ [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 nonumber \ [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 end { right] )

 

(- 2R_1 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 y 0 y 0 y -1 y 1 y 0 nonumber \ [4pt] 0 y 1 y 0 y -1 y 0 y 1 nonumber \ [4pt] 0 y 3 y 1 y 3 y -2 y 0 end {array} right] )

 

(- 3R_2 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 y 0 y 0 y -1 y 1 y 0 nonumber \ [4pt] 0 y 1 y 0 y -1 y 0 y 1 nonumber \ [4pt] 0 y 0 y 1 y 6 y -2 & – 3 end {array} right] )

 

Por lo tanto,

 

(A ^ {- 1} = B = begin {bmatrix} −1 & 1 & 0 nonumber \ [4pt] −1 & 0 & 1 nonumber \ [4pt] 6 & −2 & −3 end {bmatrix} ) [ 19459001]  

Análisis

 

Para demostrar que (B = A ^ {- 1} ), multipliquemos las dos matrices para ver si el producto es igual a la identidad, si (AA ^ {- 1} = I ) y ( A ^ {- 1} A = I ).

 

[ begin {align *} AA ^ {- 1} & = begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 nonumber \ [4pt] 3 & 3 & 1 nonumber \ [4pt] 2 & 4 & 1 end {bmatrix} begin {bmatrix } −1 & 1 & 0 nonumber \ [4pt] −1 & 0 & 1 nonumber \ [4pt] 6 & −2 & −3 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 2 (−1) +3 (−1) +1 (6) y 2 (1) +3 (0) +1 (−2) y 2 (0) +3 (1) +1 (−3) nonumber \ [4pt] 3 (−1 ) +3 (−1) +1 (6) y 3 (1) +3 (0) +1 (−2) y 3 (0) +3 (1) +1 (−3) nonumber \ [4pt ] 2 (−1) +4 (−1) +1 (6) y 2 (1) +4 (0) +1 (−2) y 2 (0) +4 (1) +1 (−3) end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 nonumber \ [4pt] 0 & 0 & 1 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] A ^ {- 1} A & = begin {bmatrix} −1 & 1 & 0 nonumber \ [4pt] −1 & 0 & 1 nonumber \ [4pt] 6 & −2 & −3 end {bmatrix} begin {bmatrix} & 2 & 31 nonumber \ [4pt] 3 & 3 & 1 nonumber \ [ 4pt] 2 y 4 y 1 end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} −1 (2) +1 (3) +0 (2) & −1 (3) +1 (3) +0 (4) & −1 (1) +1 (1) +0 (1) nonumber \ [4pt] −1 (2) +0 (3) +1 (2) & −1 (3) +0 ( 3) +1 (4) y −1 (1) +0 (1) +1 (1) nonumber \ [4pt] 6 (2) + – 2 (3) + – 3 (2) y 6 (3 ) + – 2 (3) + – 3 (4) y 6 (1) + – 2 (1) + – 3 (1) end {bmatrix} nonumber \ [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 nonumber \ [4pt] 0 & 1 & 0 nonumber \ [4pt] 0 & 0 & 1 end {bmatrix} end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Encuentre el inverso de la matriz (3 × 3 ).

 

(A = begin {bmatrix} 2 & −17 & 11 nonumber \ [4pt] −1 & 11 & −7 nonumber \ [4pt] 0 & 3 & −2 end {bmatrix} )

 
     
Respuesta
     
     

(A ^ {- 1} = begin {bmatrix} 1 & 1 & 2 nonumber \ [4pt] 2 & 4 & −3 nonumber \ [4pt] 3 & 6 & −5 end {bmatrix} )

     
 
 
 

Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales usando el inverso de una matriz

 

Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el inverso de una matriz requiere la definición de dos nuevas matrices: (X ) es la matriz que representa las variables del sistema, y ​​ (B ) es la matriz que representa las constantes . Usando la multiplicación de matriz , podemos definir un sistema de ecuaciones con el mismo número de ecuaciones que las variables como

 

(AX = B )

 

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales usando una matriz inversa, sea (A ) la matriz de coeficientes, sea (X ) la matriz variable y sea (B ) la matriz constante. Por lo tanto, queremos resolver un sistema (AX = B ). Por ejemplo, mira el siguiente sistema de ecuaciones.

 

(a_1x + b_1y = c_1 )

 

(a_2x + b_2y = c_2 )

 

Desde este sistema, la matriz de coeficientes es

 

(A = begin {bmatrix} a_1 & b_1 nonumber \ [4pt] a_2 & b_2 end {bmatrix} )

 

La matriz variable es

 

(X = begin {bmatrix} x nonumber \ [4pt] y end {bmatrix} )

 

Y la matriz constante es

 

(B = begin {bmatrix} c_1 nonumber \ [4pt] c_2 end {bmatrix} )

 

Entonces (AX = B ) se parece a

 

( begin {bmatrix} a_1 & b_1 nonumber \ [4pt] a_2 & b_2 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber \ [4pt] y end {bmatrix} = begin {bmatrix} c_1 nonumber \ [4pt] c_2 end {bmatrix} )

 

Recuerde la discusión anterior en esta sección sobre la multiplicación de un número real por su inverso, ((2 ^ {- 1}) 2 = left ( dfrac {1} {2} right) 2 = 1 ) . Para resolver una sola ecuación lineal (ax = b ) para (x ), simplemente multiplicaríamos ambos lados de la ecuación por el inverso multiplicativo (recíproco) de (a ). Por lo tanto,

 

[ begin {align *} ax & = b \ left ( dfrac {1} {a} right) ax & = left ( dfrac {1} {a} right) b \ left (a ^ {- 1} right) ax & = left (a ^ {- 1} right) b \ left [ left (a ^ {- 1} right) a right] x & = left (a ^ {- 1} right) b \ 1x & = left (a ^ {- 1} right) b \ x & = left (a ^ {- 1} right) b end {align *} ]

 

La única diferencia entre resolver una ecuación lineal y un sistema de ecuaciones escritas en forma de matriz es que encontrar el inverso de una matriz es más complicado y la multiplicación de la matriz es un proceso más largo. Sin embargo, el objetivo es el mismo: aislar la variable.

 

Investigaremos esta idea en detalle, pero es útil comenzar con un sistema (2 × 2 ) y luego pasar a un sistema (3 × 3 ).

 
 

RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES UTILIZANDO LA INVERSIÓN DE UNA MATRIZ

 

Dado un sistema de ecuaciones, escriba la matriz de coeficientes (A ), la matriz variable (X ) y la matriz constante (B ). Entonces

 

(AX = B )

 

Multiplica ambos lados por el inverso de (A ) para obtener la solución.

 

[ begin {align *} left (A ^ {- 1} right) AX & = left (A ^ {- 1} right) B \ left [ left (A ^ {- 1} right) A right] X & = left (A ^ {- 1} right) B \ IX & = left (A ^ {- 1} right) B \ X & = left (A ^ {-1} right) B end {align *} ]

 
 
 
 

Preguntas y respuestas: Si la matriz de coeficientes no tiene una inversa, ¿eso significa que el sistema no tiene solución?

 

No, si la matriz de coeficientes no es invertible, el sistema podría ser inconsistente y no tener solución, o ser dependiente y tener infinitas soluciones.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Resolviendo un sistema (2 × 2 ) usando el inverso de una matriz

 

Resuelve el sistema de ecuaciones dado usando el inverso de una matriz.

 

[ begin {align *} 3x + 8y & = 5 \ 4x + 11y & = 7 end {align *} ]

 

Solución

 

Escriba el sistema en términos de una matriz de coeficientes, una matriz variable y una matriz constante.

 

(A = begin {bmatrix} 3 & 8 nonumber \ [4pt] 4 & 11 end {bmatrix} ), (X = begin {bmatrix} x nonumber \ [4pt] y end { bmatrix} ), (B = begin {bmatrix} 5 nonumber \ [4pt] 7 end {bmatrix} )

 

Entonces

 

( begin {bmatrix} 3 y 8 nonumber \ [4pt] 4 y 11 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber \ [4pt] y end {bmatrix} = begin {bmatrix} 5 nonumber \ [4pt] 7 end {bmatrix} )

 

Primero, necesitamos calcular (A ^ {- 1} ). Usando la fórmula para calcular el inverso de una matriz (2 ) por (2 ), tenemos:

 

[ begin {align *} A ^ {- 1} & = dfrac {1} {ad − bc} begin {bmatrix} d & −b nonumber \ [4pt] −c & a end {bmatrix } \ & = dfrac {1} {3 (11) −8 (4)} begin {bmatrix} 11 & −8 nonumber \ [4pt] −4 & 3 end {bmatrix} \ & = dfrac { 1} {1} begin {bmatrix} 11 & −8 nonumber \ [4pt] −4 & 3 end {bmatrix} end {align *} ]

 

Entonces,

 

(A ^ {- 1} = begin {bmatrix} 11 & −8 nonumber \ [4pt] −4 & 3 end {bmatrix} )

 

Ahora estamos listos para resolver. Multiplica ambos lados de la ecuación por (A ^ {- 1} ).

 

[ begin {align *} left (A ^ {- 1} right) AX & = left (A ^ {- 1} right) B \ [4pt] begin {bmatrix} 11 & – 8 nonumber \ [4pt] −4 & 3 end {bmatrix} begin {bmatrix} 3 & 8 nonumber \ [4pt] 4 & 11 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber \ [4pt] y end {bmatrix} & = begin {bmatrix} 11 & −8 nonumber \ [4pt] −4 & 3 end {bmatrix} begin {bmatrix} 5 nonumber \ [4pt] 7 end {bmatrix} \ [4pt ] begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber \ [4pt] 0 & 1 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber \ [4pt] y end {bmatrix} & = begin {bmatrix} 11 (5) + (- 8) 7 nonumber \ [4pt] −4 (5) +3 (7) end {bmatrix} \ [4pt] begin {bmatrix} x nonumber \ [4pt] y end { bmatrix} & = begin {bmatrix} −1 nonumber \ [4pt] 1 end {bmatrix} end {align *} ]

 

La solución es ((- 1,1) ).

 
 
 

Preguntas y respuestas: ¿Podemos resolver (X ) al encontrar el producto (BA ^ {- 1} )?

 

No, recuerde que la multiplicación de matrices no es conmutativa, entonces (A ^ {- 1} B ≠ BA ^ {- 1} ). Considere nuestros pasos para resolver la ecuación matricial.

 

[ begin {align *} left (A ^ {- 1} right) AX & = left (A ^ {- 1} right) B \ left [ left (A ^ {- 1} right) A right] X & = left (A ^ {- 1} right) B \ IX & = left (A ^ {- 1} right) B \ X & = left (A ^ {-1} right) B end {align *} ]

 

Observe que en el primer paso multiplicamos ambos lados de la ecuación por (A ^ {- 1} ), pero el (A ^ {- 1} ) estaba a la izquierda de (A ) en el lado izquierdo y a la izquierda de (B ) en el lado derecho. Como la multiplicación de matrices no es conmutativa, el orden importa.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Resolver un sistema 3 × 3 usando el inverso de una matriz

 

Resuelve el siguiente sistema usando el inverso de una matriz.

 

[ begin {align *} 5x + 15y + 56z & = 35 \ -4x-11y-41z & = -26 \ -x-3y-11z & = -7 end {align *} ] [19459001 ]  

Solución

 

Escribe la ecuación (AX = B ).

 

( begin {bmatrix} 5 & 15 & 56 nonumber \ [4pt] −4 & −11 & −41 nonumber \ [4pt] −1 & −3 & −11 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber \ [4pt] y nonumber \ [4pt] z end {bmatrix} = begin {bmatrix} 35 nonumber \ [4pt] −26 nonumber \ [4pt] −7 end {bmatrix} )

 

Primero, encontraremos el inverso de (A ) aumentando con la identidad.

 

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 5 & 15 & 56 & 1 & 0 & 0 nonumber \ [4pt] −4 & −11 & −41 & 0 & 1 & 0 nonumber \ [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 end {array} right] )

 

Multiplicar la fila 1 por ( dfrac {1} {5} ).

 

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & dfrac {56} {5} & dfrac {1} {5} & 0 & 0 nonumber \ [4pt] −4 & −11 & −41 & 0 y 1 y 0 nonumber \ [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 end {array} right] )

 

Multiplicar la fila 1 por (4 ) y agregar a la fila 2.

 

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & dfrac {56} {5} & dfrac {1} {5} & 0 & 0 nonumber \ [4pt] 0 & 1 & dfrac {19} {5} & dfrac {4} {5} & 1 & 0 nonumber \ [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 end {array} right] )

 

Agregue la fila 1 a la fila 3.

 

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & dfrac {56} {5} & dfrac {1} {5} & 0 & 0 nonumber \ [4pt] 0 & 1 & dfrac {19} {5} & dfrac {4} {5} & 1 & 0 nonumber \ [4pt] 0 & 0 & dfrac {1} {5} & dfrac {1} {5} & 0 & 1 end {array} right] ) [ 19459001]  

Multiplicar la fila 2 por (- 3 ) y agregar a la fila 1.

 

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & – dfrac {1} {5} & – dfrac {11} {5} & – 3 & 0 nonumber \ [4pt] 0 & 1 & dfrac {19} {5} & dfrac {4} {5} & 1 & 0 nonumber \ [4pt] 0 & 0 & dfrac {1} {5} & dfrac {1} {5} y 0 y 1 end {array} right ] )

 

Multiplica la fila 3 por (5 ).

 

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & – dfrac {1} {5} & – dfrac {11} {5} & – 3 & 0 nonumber \ [4pt] 0 & 1 & dfrac {19} {5} & dfrac {4} {5} & 1 & 0 nonumber \ [4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 5 end {array} right] )

 

Multiplicar la fila 3 por ( dfrac {1} {5} ) y agregar a la fila 1.

 

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -2 & -3 & 1 nonumber \ [4pt] 0 & 1 & dfrac {19} {5} & dfrac {4} {5} & 1 y 0 no número \ [4pt] 0 y 0 y 1 y 1 y 0 y 5 end {array} right] )

 

Multiplicar la fila 3 por (- dfrac {19} {5} ) y agregar a la fila 2.

 

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -2 & -3 & 1 nonumber \ [4pt] 0 & 1 & 0 & -3 & 1 & -19 nonumber \ [4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 5 end {array} right ] )

 

Entonces,

 

(A ^ {- 1} = begin {bmatrix} −2 & −3 & 1 nonumber \ [4pt] −3 & 1 & −19 nonumber \ [4pt] 1 & 0 & 5 end {bmatrix} )

 

Multiplica ambos lados de la ecuación por (A ^ {- 1} ). Queremos (A ^ {- 1} AX = A ^ {- 1} B ):

 

( begin {bmatrix} −2 & −3 & 1 nonumber \ [4pt] −3 & 1 & −19 nonumber \ [4pt] 1 & 0 & 5 end {bmatrix} begin {bmatrix} 5 y 15 y 56 nonumber \ [4pt ] −4 & −11 & −41 nonumber \ [4pt] −1 & −3 & −11 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber \ [4pt] y nonumber \ [4pt] z end { bmatrix} = begin {bmatrix} −2 & −3 & 1 nonumber \ [4pt] −3 & 1 & −19 nonumber \ [4pt] 1 & 0 & 5 end {bmatrix} begin {bmatrix} 35 nonumber \ [4pt] – 26 nonumber \ [4pt] −7 end {bmatrix} )

 

Por lo tanto,

 

(A ^ {- 1} B = begin {bmatrix} −70 + 78−7 nonumber \ [4pt] −105−26 + 133 nonumber \ [4pt] 35 + 0−35 end {bmatrix} = begin {bmatrix} 1 nonumber \ [4pt] 2 nonumber \ [4pt] 0 end {bmatrix} )

 

La solución es ((1,2,0) ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resuelva el sistema usando la inversa de la matriz de coeficientes.

 

[ begin {align *} 2x-17y + 11z & = 0 \ -x + 11y-7z & = 8 \ 3y-2z & = -2 end {align *} ]

 
     
Respuesta
     
     

(X = begin {bmatrix} 4 nonumber \ [4pt] 38 nonumber \ [4pt] 58 end {bmatrix} )

     
 
 
 
 

Cómo: dado un sistema de ecuaciones, resolver con inversas matriciales usando una calculadora

 
         
  1. Guarde la matriz de coeficientes y la matriz constante como variables de matriz ([A] ) y ([B] ).
  2.      
  3. Ingrese la multiplicación en la calculadora, llamando cada variable de matriz según sea necesario.
  4.      
  5. Si la matriz de coeficientes es invertible, la calculadora presentará la matriz de solución; Si la matriz de coeficientes no es invertible, la calculadora presentará un mensaje de error.
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Uso de una calculadora para resolver un sistema de ecuaciones con matrices inversas

 

Resuelve el sistema de ecuaciones con inversas matriciales usando una calculadora

 

[begin{align*} 2x+3y+z&= 32\ 3x+3y+z&= -27\ 2x+4y+z&= -2 end{align*}]

 

Solución

 

On the matrix page of the calculator, enter the coefficient matrix as the matrix variable ([ A ]), and enter the constant matrix as the matrix variable ([ B ]).

 

([A]=begin{bmatrix}2&3&1 nonumber \[4pt] 3&3&1 nonumber \[4pt] 2&4&1end{bmatrix}), ([B]=begin{bmatrix}32 nonumber \[4pt] −27 nonumber \[4pt] −2end{bmatrix})

 

On the home screen of the calculator, type in the multiplication to solve for (X), calling up each matrix variable as needed.

 

([A]^{−1}×[B])

 

Evaluate the expression.

 

(begin{bmatrix}−59 nonumber \[4pt] −34 nonumber \[4pt] 252end{bmatrix})

 
 
 

Media

 

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