las matematicas

8.1: Distancia, punto medio y la parábola

8.1: Distancia, punto medio y la parábola

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Aplica las fórmulas de distancia y punto medio.
    •      
  • Grafica una parábola usando su ecuación dada en estándar de.
    •      
  • Determine la forma estándar para la ecuación de una parábola dada una forma general.
    •  
 
 

Secciones cónicas

 

Una sección cónica 1 es una curva obtenida de la intersección de un cono circular recto y un plano. Las secciones cónicas son la parábola, el círculo, la elipse y la hipérbola.

 
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Figura 8.1.1
 

El objetivo es dibujar estos gráficos en un plano de coordenadas rectangular.

 
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Figura 8.1.2
 

Las fórmulas de distancia y punto medio

 

Comenzamos con una revisión de la fórmula de distancia 2 . Dados dos puntos ((x_ {1}, y_ {1}) ) y ((x_ {2}, y_ {2}) ) en un plano de coordenadas rectangular, la distancia (d ) entre ellos es dada por la fórmula de la distancia,

 

(d = sqrt { left (x_ {2} -x_ {1} right) ^ {2} + left (y_ {2} -y_ {1} right) ^ {2}} )

 

Además, el punto que divide el segmento de línea formado por estos dos puntos se llama punto medio 3 y viene dado por la fórmula,

 

( left ( frac {x_ {1} + x_ {2}} {2}, frac {y_ {1} + y_ {2}} {2} right) )

 

El punto medio es un par ordenado formado por el promedio de los valores (x ) y el promedio de los valores (y ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Dado ((- 2, −5) ) y ((- 4, −3) ) calculan la distancia y el punto medio entre ellos.

 

Solución :

 

En este caso, utilizaremos las fórmulas con los siguientes puntos:

 

( begin {array} {cc} { left (x_ {1}, y_ {1} right)} & { left (x_ {2}, y_ {2} right)} \ { color {black} {( color {Cerulean} {- 2} color {black} {,} color {OliveGreen} {- 5})}} & { color {black} {( color {Cerulean } {- 4} color {black} {,} color {OliveGreen} {- 3})}} end {array} )

 

Es una buena práctica incluir la fórmula en su forma general antes de sustituir los valores por las variables; Esto mejora la legibilidad y reduce la probabilidad de cometer errores.

 

( begin {alineado} d & = sqrt { left (x_ {2} -x_ {1} right) ^ {2} + left (y_ {2} -y_ {1} right ) ^ {2}} \ & = sqrt {[ color {Cerulean} {- 4} color {black} {-} ( color {Cerulean} {- 2} color {black} {)}] ^ {2} + [ color {OliveGreen} {- 3} color {black} {-} ( color {OliveGreen} {- 5} color {black} {)}] ^ {2}} \ & = sqrt {(- 4 + 2) ^ {2} + (- 3 + 5) ^ {2}} \ & = sqrt {(- 2) ^ {2} + (2) ^ {2}} \ & = sqrt {4 + 4} \ & = sqrt {8} \ & = 2 sqrt {2} end {alineado} )

 

Luego determina el punto medio.

 

( begin {alineado} left ( frac {x_ {1} + x_ {2}} {2}, frac {y_ {1} + y_ {2}} {2} right) & = left ( frac {-2 + (- 4)} {2}, frac {-5 + (- 3)} {2} right) \ & = left ( frac {-6} { 2}, frac {-8} {2} right) \ & = (- 3, -4) end {alineado} )

 

Trazando estos puntos en un gráfico que tenemos,

 
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Figura 8.1.3
 

Respuesta :

 

Distancia: (2 sqrt {2} ) unidades; punto medio: ((- 3, −4) )

 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

El diámetro de un círculo está definido por los dos puntos ((- 1,2) ) y ((1, −2) ). Determine el radio del círculo y úselo para calcular su área.

 

Solución:

 

Encuentra el diámetro usando la fórmula de la distancia.

 

( begin {alineado} d & = sqrt { left (x_ {2} -x_ {1} right) ^ {2} + left (y_ {2} -y_ {1} right ) ^ {2}} \ & = sqrt { left [ color {Cerulean} {1} color {black} {-} ( color {Cerulean} {- 1} color {black} {)} ^ {2} + ( color {OliveGreen} {- 2} color {black} {-} color {OliveGreen} {2} color {black} {)} ^ {2} right.} \ & = sqrt {[2) ^ {2} + (- 4) ^ {2}} \ & = sqrt {4 + 16} \ & = sqrt {20} \ & = 2 sqrt {5 } end {alineado} )

 

Recuerde que el radio de un círculo es la mitad del diámetro del círculo. Por lo tanto, si (d = 2 sqrt {5} ) unidades, entonces

 

(r = frac {d} {2} = frac {2 sqrt {5}} {2} = sqrt {5} )

 

El área de un círculo viene dada por la fórmula (A = πr ^ {2} ) y tenemos

 

( begin {alineado} A & = pi ( sqrt {5}) ^ {2} \ & = pi cdot 5 \ & = 5 pi end {alineado} ) [ 19459003]  

El área se mide en unidades cuadradas.

 

Respuesta :

 

Radio: unidades ( sqrt {5} ); área: (5π ) unidades cuadradas

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Dado ((0,0) ) y ((9, −3) ) calculan la distancia y el punto medio entre ellos.

 

Respuesta

 

Distancia: (3 sqrt {10} ) unidades; punto medio: ( left ( frac {9} {2}, – frac {3} {2} right) )

 

 
 
 

La parábola

 

Una parábola 4 es el conjunto de puntos en un plano equidistante de una línea dada, llamada directriz, y un punto que no está en la línea, llamado el foco. En otras palabras, si se le da una línea (L ) la directriz, y un punto (F ) el foco, entonces ((x, y) ) es un punto en la parábola si la distancia más corta de el foco y de él a la línea es igual como se muestra a continuación:

 
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Figura 8.1.4
 

El vértice de la parábola es el punto donde la distancia más corta a la directriz es mínima. Además, una parábola está formada por la intersección de un cono con un plano oblicuo que es paralelo al lado del cono:

 
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Figura 8.1.5
 

Recuerde que la gráfica de una función cuadrática, una función polinómica de grado 2, es parabólica. Podemos escribir la ecuación de una parábola en forma general 5 o podemos escribir la ecuación de una parábola en forma estándar [19459047 ] 6 :

 

( begin {array} {cc} { color {Cerulean} {General : Form}} & { color {Cerulean} {Standard : Form}} \ {y = ax ^ {2} + b x + c} & {y = a (xh) ^ {2} + k} end {array} )

 

Ambas formas son útiles para determinar la forma general del gráfico. Sin embargo, en esta sección nos centraremos en obtener la forma estándar, que a menudo se denomina forma de vértice 7 . Dada una función cuadrática en forma estándar, el vértice es ((h, k) ). Para ver que este es el caso, considere graficar (y = (x + 3) ^ {2} +2 ) usando transformaciones.

 

( begin {array} {ll} {y = x ^ {2}} & { color {Cerulean} {Basic : squaring : function.}} \ {y = (x + 3) ^ {2}} & { color {Cerulean} {Horizontal : shift : left : 3 : units.}} \ {y = (x + 3) ^ {2} +2} & { color {Cerulean} {Vertical : shift : up : 2 : units.}} End {array} )

 

Usa estas traducciones para dibujar el gráfico,

 
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Figura 8.1.6
 

Aquí podemos ver que el vértice es ((- 3,2) ). Esto se puede determinar directamente a partir de la ecuación en forma estándar,

 

( begin {array} {l} {y = a (xh) ^ {2} : + : : k} \ color {Cerulean} { quad quad quad quad : downarrow quad quad : color {Cerulean} { downarrow}} \ {y = [x – (- 3)] ^ {2} +2} end {array} )

 

Escrito de esta forma podemos ver que el vértice es ((- 3,2) ). Sin embargo, la ecuación generalmente no se da en forma estándar. La transformación de la forma general a la forma estándar, completando el cuadrado, es el proceso principal mediante el cual bosquejaremos todas las secciones cónicas.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Reescribe la ecuación en forma estándar y determina el vértice de su gráfica: (y = x ^ {2} -8 x + 15 ).

 

Solución:

 

Comienza haciendo espacio para el término constante que completa el cuadrado.

 

( begin {alineado} y & = x ^ {2} -8 x + 15 \ & = x ^ {2} -8 x color {Cerulean} {+ _ _ _} color {negro} {+} 15 color {Cerulean} {- _ _ _} end {alineado} )

 

La idea es sumar y restar el valor que completa el cuadrado, ( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} ), y luego factorizar. En este caso, suma y resta ( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} = left ( frac {-8} {2} right) ^ {2} = (- 4) ^ {2} = 16 ).

 

( begin {alineado} y & = x ^ {2} -8 x + 15 quad quad quad quad quad quad : : color {Cerulean} {Agregar : y : restar : 16.} \ & = color {black} { left (x ^ {2} -8 x color {Cerulean} {+ 16} right)} + 15 color {Cerulean} {- 16} quad color {Cerulean} {Factor.} \ & = (x-4) (x-4) -1 \ & = (x-4) ^ {2} -1 end {alineado} )

 

Sumar y restar el mismo valor dentro de una expresión no lo cambia. Hacerlo es equivalente a agregar (0 ). Una vez que la ecuación está en esta forma, podemos determinar fácilmente el vértice.

 

( begin {array} {l} {y = a (xh) ^ {2} : + : k} \ quad quad quad quad : color {Cerulean} { downarrow} quad quad color {Cerulean} { downarrow} \ {y = (x : – : 4) ^ {2} + (- 1)} end {array} )

 

Aquí tenemos una traducción a la derecha (4 ) unidades y hacia abajo (1 ) unidad. Por lo tanto, (h = 4 ) y (k = −1 ).

 

Respuesta :

 

(y = (x-4) ^ {2} -1 ); vértice: ((4, −1) )

 
 
 
 

Si hay un coeficiente principal distinto de (1 ), comience factorizando ese coeficiente principal a partir de los dos primeros términos del trinomio.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Reescribe la ecuación en forma estándar y determina el vértice de la gráfica: (y = -2 x ^ {2} +12 x-16 ).

 

Solución:

 

Dado que (a = −2 ), factorice esto a partir de los primeros dos términos para completar el cuadrado. Deje espacio dentro de los paréntesis para sumar y restar el valor que completa el cuadrado.

 

( begin {alineado} y & = – 2 x ^ {2} +12 x-16 \ & = – 2 color {negro} { left (x ^ {2} -6 x color {Cerulean} {+ _ _ _- _ _ _} right) -} 16 end {alineado} )

 

Ahora use (- 6 ) para determinar el valor que completa el cuadrado. En este caso, ( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} = left ( frac {-6} {2} right) ^ {2} = (- 3) ^ {2} = 9 ). Suma y resta (9 ) y factoriza de la siguiente manera:

 

( begin {alineado} y & = – 2 x ^ {2} +12 x-16 \ & = – 2 color {negro} { left (x ^ {2} -6 x color {Cerulean} {+ _ _ _- _ _ _} right)} – ​​16 quad color {Cerulean} {Agregar : y : restar : 9.} \ & = – 2 color {negro} { left (x ^ {2} -6 x color {Cerulean} {+ 9-9} right) -} 16 quad quad : : : quad color {Cerulean} {Factor.} \ & = – 2 [(x-3) (x-3) -9] -16 \ & = – 2 left [(x-3) ^ {2} -9 right] -16 quad quad quad quad : : color {Cerulean} {Distribuir : the : – 2.} \ & = – 2 (x-3) ^ {2} + 18-16 & = – 2 (x-3) ^ {2} +2 end {alineado} )

 

De esta forma, podemos determinar fácilmente el vértice.

 

( begin {array} {l} {y = a 🙁 x : – : h) ^ {2} + k} \ quad quad quad quad quad color { Cerulean} { downarrow} quad : : color {Cerulean} { downarrow} \ {y = -2 (x-3) ^ {2} +2} end {array} )

 

Aquí (h = 3 ) y (k = 2 ).

 

Respuesta :

 

y = −2 (x − 3) 2 + 2y = −2 (x − 3) 2 + 2; vértice: (3,2) (3,2)

 
 

Utilice tanto la forma general como la forma estándar al dibujar el gráfico de una parábola.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Gráfico: (y = -2 x ^ {2} +12 x-16 ).

 

Solución :

 

Del ejemplo anterior tenemos dos formas equivalentes de esta ecuación,

 

( begin {array} {c} { color {Cerulean} {General : Form}} & { color {Cerulean} {Standard : Form}} \ {y = -2 x ^ { 2} +12 x-16} y {y = -2 (x-3) ^ {2} +2} end {array} )

 

Recuerde que si el coeficiente principal (a> 0 ) la parábola se abre hacia arriba y si (a <0 ) la parábola se abre hacia abajo. En este caso, (a = −2 ) y concluimos que la parábola se abre hacia abajo. Use la forma general para determinar la intercepción (y ). Cuando (x = 0 ) podemos ver que la intercepción (y ) - es ((0, −16) ). De la ecuación en forma estándar, podemos ver que el vértice es ((3,2) ). Para encontrar la intercepción (x ) - podríamos usar cualquier forma. En este caso, utilizaremos la forma estándar para determinar los valores de (x ) donde (y = 0 ),

 

( begin {alineado} y & = – 2 (x-3) ^ {2} +2 quad color {Cerulean} {Set : y = 0 : y : solve.} \ 0 & = – 2 (x-3) ^ {2} +2 \ – 2 & = – 2 (x-3) ^ {2} \ & 1 = (x-3) ^ {2} quad quad quad : : color {Cerulean} {Apply : the : square : root : property.} \ pm 1 & = x-3 \ 3 pm 1 & = x end { alineado} )

 

Aquí (x = 3−1 = 2 ) o (x = 3 + 1 = 4 ) y, por lo tanto, (x ) – las intersecciones son ((2,0) ) y ( (4,0) ). Use esta información para dibujar el gráfico.

 

Respuesta :

 
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Figura 8.1.7
 
 
 

Hasta ahora hemos estado dibujando parábolas que se abren hacia arriba o hacia abajo porque estos gráficos representan funciones. En este punto, ampliamos nuestro estudio para incluir parábolas que se abren hacia la derecha o hacia la izquierda. Si tomamos la ecuación que define la parábola en el ejemplo anterior,

 

(y = -2 (x-3) ^ {2} +2 )

 

y cambia los valores x e y que obtenemos

 

(x = -2 (y-3) ^ {2} +2 )

 

Esto produce un nuevo gráfico con simetría sobre la línea (y = x ).

 
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Figura 8.1.8
 

Tenga en cuenta que el gráfico resultante no es una función. Sin embargo, tiene la misma forma parabólica general que se abre a la izquierda. Podemos reconocer ecuaciones de parábolas que se abren a izquierda o derecha al notar que son cuadráticas en (y ) en lugar de (x ). Graficar parábolas que se abren hacia la izquierda o la derecha es similar a graficar parábolas que se abren hacia arriba y hacia abajo. En general, tenemos

 
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Figura 8.1.9
 

En todos los casos, el vértice es ((h, k) ). Tenga cuidado de anotar la ubicación de (h ) y (k ) en cada ecuación.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Gráfico: (x = y ^ {2} +10 y + 13 ).

 

Solución:

 

Debido a que el coeficiente de (y ^ {2} ) es positivo, (a = 1 ), concluimos que el gráfico es una parábola que se abre a la derecha. Además, cuando (y = 0 ) está claro que (x = 13 ) y, por lo tanto, la intercepción (x ) – es ((13,0) ). Completa el cuadrado para obtener el formulario estándar. Aquí sumaremos y restaremos ( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} = left ( frac {10} {2} right) ^ {2} = (5) ^ {2} = 25 ).

 

( begin {alineado} x & = y ^ {2} +10 y + 13 \ & = y ^ {2} +10 y color {Cerulean} {+ 25-25} color {negro } {+} 13 \ & = (y + 5) (y + 5) -12 \ & = (y + 5) ^ {2} -12 end {alineado} )

 

Por lo tanto,

 

( begin {array} {l} {x = a 🙁 y : – : k) ^ {2} : : : + : : : : h} quad quad quad quad quad color {Cerulean} { downarrow} quad quad quad color {Cerulean} { downarrow} \ {x = (y – (- 5)) ^ { 2} + (- 12)} end {array} )

 

De esto podemos ver que el vértice ((h, k) = (- 12, −5) ). Luego use el formulario estándar para encontrar las intersecciones con (y ) configurando (x = 0 ).

 

( begin {alineado} x & = (y + 5) ^ {2} -12 \ 0 & = (y + 5) ^ {2} -12 \ 12 & = (y + 5) ^ {2} \ pm sqrt {12} & = y + 5 \ pm 2 sqrt {3} & = y + 5 \ – 5 pm 2 sqrt {3} & = y end {alineado} )

 

Las (y ) – intersecciones son ((0, -5-2 sqrt {3}) ) y ((0, -5 + 2 sqrt {3}) ). Use esta información para dibujar el gráfico.

 

Respuesta:

 
fb969faa134cf69fdf3317e4bbb8cbe1.png
Figura 8.1.10
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Gráfico: (x = -2 y ^ {2} +4 y-5 ).

 

Solución:

 

Debido a que el coeficiente de (y ^ {2} ) es (a = −2 ), concluimos que el gráfico es una parábola que se abre a la izquierda. Además, cuando (y = 0 ) está claro que (x = −5 ) y, por lo tanto, la intercepción (x ) – es ((- 5,0) ). Comience factorizando el coeficiente principal de la siguiente manera:

 

( begin {alineado} x & = – 2 y ^ {2} +4 y-5 \ & = – 2 left (y ^ {2} -2 y + _ _ _- _ _ _ right) -5 end {alineado} )

 

Aquí sumaremos y restaremos ( left ( frac {b} {2} right) ^ {2} = left ( frac {-2} {2} right) ^ {2} = (-1) ^ {2} = 1 ).

 

( begin {alineado} x & = – 2 y ^ {2} +4 y-5 \ & = – 2 color {negro} { left (y ^ {2} -2 y color {Cerulean} {+ 1-1} right) -} 5 \ & = – 2 left [(y-1) ^ {2} -1 right] -5 \ & = – 2 (y-1 ) ^ {2} + 2-5 \ & = – 2 (y-1) ^ {2} -3 end {alineado} )

 

Por lo tanto, desde la forma del vértice, (x = -2 (y-1) ^ {2} -3 ), podemos ver que el vértice es ((h, k) = (- 3,1) ). Como el vértice está en ((- 3,1) ) y la parábola se abre a la izquierda, podemos concluir que no hay intersecciones (y ). Como solo tenemos dos puntos, elija algunos valores (y ) y encuentre los valores (x ) correspondientes.

                                                                                                                                                                                                                                                                      
(x ) (y ) (x = -2 (y-1) ^ {2} -3 )
( color {Cerulean} {- 11} ) (- 1 ) (x = -2 (-1-1) ^ {2} -3 = -2 (-2) ^ {2} -3 = -11 )
( color {Cerulean} {- 5} ) (2 ) (x = -2 (2-1) ^ {2} -3 = -2 (1) ^ {2} -3 = -5 )
( color {Cerulean} {- 11} ) (3 ) (x = -2 (3-1) ^ {2} -3 = -2 (2) ^ {2} -3 = -11 )
 

Tabla 8.1.1

 

Respuesta :

 
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Figura 8.1.11
 
 
 

Puntos clave

 
         
  • Usa la fórmula de la distancia para determinar la distancia entre dos puntos dados. Use la fórmula del punto medio para determinar el punto medio entre dos puntos dados.
    •      
  • Una parábola puede abrirse hacia arriba o hacia abajo, en cuyo caso, es una función. En esta sección, ampliamos nuestro estudio de parábolas para incluir aquellas que se abren hacia la izquierda o la derecha. Tales gráficos no representan funciones.
    •      
  • La ecuación de una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo es cuadrática en (x, y = ax ^ {2} + bx + c ). Si (a> 0 ), entonces la parábola se abre hacia arriba y si a <0a <0, entonces la parábola se abre hacia abajo.
    •      
  • La ecuación de una parábola que se abre hacia la izquierda o hacia la derecha es cuadrática en (y, x = ay ^ {2} + por + c ). Si (a> 0 ), la parábola se abre a la derecha y si (a <0 ), la parábola se abre a la izquierda.
    •      
  • La ecuación de una parábola en forma general (y = ax ^ {2} + bx + c ) o (x = ay ^ {2} + por + c ) se puede transformar en forma estándar ( y = a (x − h) ^ {2} + k ) o (x = a (y − k) ^ {2} + h ) completando el cuadrado.
    •      
  • Al completar el cuadrado, asegúrese de que el coeficiente principal de la agrupación de variables sea (1 ) antes de sumar y restar el valor que completa el cuadrado.
    •      
  • Las formas generales y estándar son útiles al graficar parábolas. Dada la forma estándar, el vértice es aparente ((h, k) ). Para encontrar el conjunto de interceptación (x ) – (y = 0 ) y resolver (x ) y para encontrar el conjunto de intercepción (y ) – (x = 0 ) y resolver ( y ).
    •  
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Calcule la distancia y el punto medio entre los dos puntos dados.

 
         
  1. ((- 1, -3) ) y ((5, -11) )
    2.      
  2. ((- 3,2) ) y ((1, -1) )
    3.      
  3. ((4, -2) ) y ((- 2, -6) )
    4.      
  4. ((- 5, -6) ) y ((- 3, -4) )
    5.      
  5. ((10, -1) ) y ((9,6) )
    6.      
  6. ((- 6, -4) ) y ((- 12,1) )
    7.      
  7. ((0,0) ) y (( sqrt {2}, sqrt {3}) )
    8.      
  8. ((0,0) ) y ((2 sqrt {2}, – sqrt {3}) )
    9.      
  9. (( sqrt {5}, – sqrt {3}) ) y ((2 sqrt {5}, – sqrt {3}) )
    10.      
  10. ((3 sqrt {10}, sqrt {6}) ) y (( sqrt {10}, – 5 sqrt {6}) )
    11.      
  11. ( left ( frac {1} {2}, – 1 right) ) y ( left (-2, frac {3} {2} right) )
    12.      
  12. ( left (- frac {4} {3}, 2 right) ) y ( left (- frac {1} {3}, – frac {1} {2} derecha) )
    13.      
  13. ( left ( frac {1} {5}, – frac {9} {5} right) ) y ( left ( frac {3} {10}, – frac { 5} {2} right) )
    14.      
  14. ( left (- frac {1} {2}, frac {4} {3} right) ) y ( left (- frac {2} {3}, frac { 5} {6} right) )
    15.      
  15. ((a, b) ) y ((0,0) )
    16.      
  16. ((0,0) ) y ((a sqrt {2}, 2 sqrt {a}) )
    17.  
 
     
Respuesta
     
     

1. Distancia: (10 ​​) unidades; punto medio: ((2, −7) )

     

3. Distancia: (2 sqrt {13} ) unidades; punto medio: ((1, −4) )

     

5. Distancia: (5 sqrt {2} ) unidades; punto medio: (( frac {19} {2}, frac {5} {2}) )

     

7. Distancia: ( sqrt {5} ) unidades; punto medio: ( left ( frac { sqrt {2}} {2}, frac { sqrt {3}} {2} right) )

     

9. Distancia: ( sqrt {5} ) unidades; punto medio: ( left ( frac {3 sqrt {5}} {2}, – sqrt {3} right) )

     

11. Distancia: ( frac {5 sqrt {2}} {2} ) unidades; punto medio: ((- frac {3} {4}, frac {1} {4}) )

     

13. Distancia: ( frac { sqrt {2}} {2} ) unidades; punto medio: ( left ( frac {1} {4}, – frac {43} {20} right) )

     

15. Distancia: ( sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}} ) unidades; punto medio: ( left ( frac {a} {2}, frac {b} {2} right) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Determine el área de un círculo cuyo diámetro está definido por los dos puntos dados.

 
         
  1. ((- 8,12) ) y ((- 6,8) )
    2.      
  2. ((9,5) ) y ((9, -1) )
    3.      
  3. ((7, -8) ) y ((5, -10) )
    4.      
  4. ((0, -5) ) y ((6,1) )
    5.      
  5. (( sqrt {6}, 0) ) y ((0,2 sqrt {3}) )
    6.      
  6. ((0, sqrt {7}) ) y (( sqrt {5}, 0) )
    7.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (5π ) unidades cuadradas

     

3. (2π ) unidades cuadradas

     

5. ( frac {9} {2} π ) unidades cuadradas

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Determine el perímetro del triángulo dadas las coordenadas de los vértices.

 
         
  1. ((5,3), (2, -3), ) y ((8, -3) )
    2.      
  2. ((- 3,2), (- 4, -1), ) y ((- 1,0) )
    3.      
  3. ((3,3), (5,3-2 sqrt {3}), ) y ((7,3) )
    4.      
  4. ((0,0), (0,2 sqrt {2}), ) y (( sqrt {2}, 0) )
    5.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (6 + 6 sqrt {5} ) unidades

     

3. (12 ) unidades

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Encuentre (a ) para que la distancia (d ) entre los puntos sea igual a la cantidad dada.

 
         
  1. ((1,2) ) y ((4, a); d = 5 ) unidades
    2.      
  2. ((- 3, a) ) y ((5,6); d = 10 ) unidades
    3.      
  3. ((3,1) ) y ((a, 0); d = sqrt {2} ) unidades
    4.      
  4. ((a, 1) ) y ((5,3); d = sqrt {13} ) unidades
    5.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (- 2,6 )

     

3. (2,4 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Gráfico. Asegúrese de encontrar el vértice y todas las intersecciones.

 
         
  1. (y = x ^ {2} +3 )
    2.      
  2. (y = frac {1} {2} (x-4) ^ {2} )
    3.      
  3. (y = -2 (x + 1) ^ {2} -1 )
    4.      
  4. (y = – (x-2) ^ {2} +1 )
    5.      
  5. (y = -x ^ {2} +3 )
    6.      
  6. (y = – (x + 1) ^ {2} +5 )
    7.      
  7. (x = y ^ {2} +1 )
    8.      
  8. (x = y ^ {2} -4 )
    9.      
  9. (x = (y + 2) ^ {2} )
    10.      
  10. (x = (y-3) ^ {2} )
    11.      
  11. (x = -y ^ {2} +2 )
    12.      
  12. (x = – (y + 1) ^ {2} )
    13.      
  13. (x = frac {1} {3} (y-3) ^ {2} -1 )
    14.      
  14. (x = – frac {1} {3} (y + 3) ^ {2} -1 )
    15.  
 
     
Respuesta
     
     

1.

     
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Figura 8.1.13
     

3.

     
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Figura 8.1.14
     

5.

     
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Figura 8.1.15
     

7.

     
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Figura 8.1.16
     

9.

     
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Figura 8.1.17
     

11.

     
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Figura 8.1.18
     

13.

     
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Figura 8.1.19
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Reescribe en forma estándar y da el vértice.

 
         
  1. (y = x ^ {2} -6 x + 18 )
    2.      
  2. (y = x ^ {2} +8 x + 36 )
    3.      
  3. (x = y ^ {2} +20 y + 87 )
    4.      
  4. (x = y ^ {2} -10 y + 21 )
    5.      
  5. (y = x ^ {2} -14 x + 49 )
    6.      
  6. (x = y ^ {2} +16 y + 64 )
    7.      
  7. (x = 2 y ^ {2} -4 y + 5 )
    8.      
  8. (y = 3 x ^ {2} -30 x + 67 )
    9.      
  9. (y = 6 x ^ {2} +36 x + 54 )
    10.      
  10. (x = 3 y ^ {2} +6 y-1 )
    11.      
  11. (y = 2 x ^ {2} -2 x-1 )
    12.      
  12. (x = 5 y ^ {2} +15 y + 9 )
    13.      
  13. (x = -y ^ {2} +5 y-5 )
    14.      
  14. (y = -x ^ {2} +9 x-20 )
    15.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (y = (x-3) ^ {2} +9; ) vértice: ((3,9) )

     

3. (x = (y + 10) ^ {2} -13; ) vértice: ((- 13, -10) )

     

5. (y = (x-7) ^ {2}; ) vértice: ((7,0) )

     

7. (x = 2 (y-1) ^ {2} +3; ) vértice: ((3,1) )

     

9. (y = 6 (x + 3) ^ {2}; ) vértice: ((- 3,0) )

     

11. (y = 2 left (x- frac {1} {2} right) ^ {2} – frac {3} {2}; ) vértice: ( left ( frac {1} {2}, – frac {3} {2} right) )

     

13. (x = – left (y- frac {5} {2} right) ^ {2} + frac {5} {4}; ) vértice: ( left ( frac {5} {4}, frac {5} {2} right) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Reescribe en forma y gráfico estándar. Asegúrese de encontrar el vértice y todas las intersecciones.

 
         
  1. (y = x ^ {2} -4 x-5 )
    2.      
  2. (y = x ^ {2} +6 x-16 )
    3.      
  3. (y = -x ^ {2} +12 x-32 )
    4.      
  4. (y = -x ^ {2} -10 x )
    5.      
  5. (y = 2 x ^ {2} +4 x + 9 )
    6.      
  6. (y = 3 x ^ {2} -6 x + 4 )
    7.      
  7. (y = -5 x ^ {2} +30 x-45 )
    8.      
  8. (y = -4 x ^ {2} -16 x-16 )
    9.      
  9. (x = y ^ {2} -2 y-8 )
    10.      
  10. (x = y ^ {2} +4 y + 8 )
    11.      
  11. (x = y ^ {2} -2 y-3 )
    12.      
  12. (x = y ^ {2} +6 y-7 )
    13.      
  13. (x = -y ^ {2} -10 y-24 )
    14.      
  14. (x = -y ^ {2} -12 y-40 )
    15.      
  15. (x = 3 y ^ {2} +12 y + 12 )
    16.      
  16. (x = -2 y ^ {2} +12 y-18 )
    17.      
  17. (x = y ^ {2} -4 y-3 )
    18.      
  18. (x = y ^ {2} +6 y + 1 )
    19.      
  19. (x = -y ^ {2} +2 y + 5 )
    20.      
  20. (y = 2 x ^ {2} -2 x + 1 )
    21.      
  21. (y = -3 x ^ {2} +2 x + 1 )
    22.      
  22. (y = -x ^ {2} +3 x + 10 )
    23.      
  23. (x = -4 y ^ {2} -4 y-5 )
    24.      
  24. (x = y ^ {2} -y + 2 )
    25.      
  25. (y = x ^ {2} +5 x-1 )
    26.      
  26. (y = 2 x ^ {2} +6 x + 3 )
    27.      
  27. (x = 2 y ^ {2} +10 x + 12 )
    28.      
  28. (x = y ^ {2} + y-1 )
    29.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (y = (x-2) ^ {2} -9 );

     
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Figura 8.1.20
     

3. (y = – (x-6) ^ {2} +4 );

     
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Figura 8.1.21
     

5. (y = 2 (x + 1) ^ {2} +7 );

     
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Figura 8.1.22
     

7. (y = -5 (x-3) ^ {2} );

     
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Figura 8.1.23
     

9. (x = (y-1) ^ {2} -9 );

     
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Figura 8.1.24
     

11. (x = (y-1) ^ {2} -4 );

     
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Figura 8.1.25
     

13. (x = – (y + 5) ^ {2} +1 );

     
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Figura 8.1.26
     

15. (x = 3 (y + 2) ^ {2} );

     
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Figura 8.1.27
     

17. (x = (y-2) ^ {2} -7 );

     
6ea1de0deb19598123abef0ad1f33a29.png
Figura 8.1.28
     

19. (x = – (y-1) ^ {2} +6 );

     
f251a88d0dd50af129af40d95b627b70.png
Figura 8.1.29
     

21. (y = -3 left (x- frac {1} {3} right) ^ {2} + frac {4} {3} );

     
cb6fedc714a8531da27dbe02d2b46675.png
Figura 8.1.30
     

23. (x = -4 izquierda (y + frac {1} {2} derecha) ^ {2} -4 );

     
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Figura 8.1.31
     

25. (y = left (x + frac {5} {2} right) ^ {2} – frac {29} {4} );

     
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Figura 8.1.32
     

27. (x = 2 left (y + frac {5} {2} right) ^ {2} – frac {1} {2} );

     
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Figura 8.1.33
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 
         
  1. Investiga y discute las aplicaciones del mundo real que involucran una parábola.
    2.      
  2. ¿Todas las parábolas tienen (x ) – intercepciones? Explique.
    3.      
  3. ¿Todas las parábolas tienen (y ) – intercepciones? Explique.
    4.      
  4. Crea tu propia parábola que se abre hacia la izquierda o hacia la derecha, escríbela en forma general y grafica.
    5.  
 
     
Respuesta
     
     

1. La respuesta puede variar

     

3. La respuesta puede variar

     
 
 
 

Notas a pie de página

 

1 Una curva obtenida de la intersección de un cono circular recto y un plano.

 

2 Dados dos puntos ((x_ {1}, y_ {1}) ) y ((x_ {2}, y_ {2}) ) , la distancia (d ) entre ellos viene dada por (d = sqrt { left (x_ {2} -x_ {1} right) ^ {2} + left (y_ {2} -y_ { 1} right) ^ {2}} ).

 

3 Dados dos puntos ((x_ {1}, y_ {1}) ) y ((x_ {2}, y_ {2}) ) , el punto medio es un par ordenado dado por ( left ( frac {x_ {1} + x_ {2}} {2}, frac {y_ {1} + y_ {2}} {2} right) ).

 

4 El conjunto de puntos en un plano equidistante de una línea dada, llamada directriz, y un punto que no está en la línea, llamado foco.

 

5 La ecuación de una parábola escrita en la forma (y = ax ^ {2} + b x + c ) o (x = ay ^ {2 } + b y + c ), donde (a, b ) y (c ) son números reales y (a ≠ 0 ).

 

6 La ecuación de una parábola escrita en la forma (y = a (xh) ^ {2} + k ) o (x = a (yk) ^ {2} + h ).

 

7 La ecuación de una parábola escrita en forma estándar a menudo se llama forma de vértice. De esta forma, el vértice es aparente: ((h, k) ).

 
                                  
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