8.1: exponentes y raíces

Exponentes enteros

 

Recuerde que el uso de un exponente entero positivo es simplemente una forma abreviada de multiplicación repetida. Por ejemplo,

 

[5 ^ 2 = 5 cdot 5 label {1} ​​]

 

y

 

[2 ^ 3 = 2 cdot 2 cdot 2. label {2} ]

 

En general, (b ^ n ) representa la cantidad (b ) multiplicada por sí misma (n ) veces. Con esta definición, se cumplen las siguientes Leyes de exponentes.

   

Las Leyes de los exponentes se ilustran mediante los siguientes ejemplos.

   

Tenga en cuenta que la segunda ley solo tiene sentido para (r> s ) , ya que de lo contrario el exponente (r – s ) [ 19459014] sería negativo o 0. Pero en realidad, resulta que podemos crear definiciones para exponentes negativos y el exponente 0 y, en consecuencia, eliminar esta restricción.

 

Los exponentes negativos, así como el exponente 0, se definen simplemente de tal manera que las Leyes de los exponentes funcionarán para todos los exponentes enteros.

 

     
• Para el exponente 0, la primera ley implica que (b ^ {0} b ^ 1 = b ^ {0 + 1} ), y por lo tanto (b ^ {0} b = b ). Si (b ne 0 ), podemos dividir ambos lados entre (b ) para obtener (b ^ {0} = 1 ) (hay una excepción: (0 ^ 0 ) no está definido )
     
• Para exponentes negativos, la segunda ley implica que [b ^ {- n} = b ^ {0 − n} = frac {b ^ 0} {b ^ n} = frac {1} {b ^ n} ]
 

 

siempre que (b ne 0 ). Por ejemplo, (2 ^ {- 3} = frac {1} {2 ^ 3} = frac {1} {8} ), y (2 ^ {- 4} = frac {1} { 2 ^ 4} = frac {1} {16} ). Por lo tanto, los exponentes negativos y el exponente 0 se definen de la siguiente manera:

     

Ahora tenemos (b ^ n ) definido para todos los enteros n, de tal manera que se cumplan las Leyes de los exponentes. Puede ser sorprendente saber que también podemos definir expresiones usando exponentes racionales, como (2 ^ { frac {1} {3}} ), de manera consistente. Sin embargo, antes de hacerlo, tendremos que desviarnos y definir las raíces.

 

Raíces

 

Raíces cuadradas : Comencemos por definir la raíz cuadrada de un número real. Hemos utilizado la raíz cuadrada en muchas secciones de este texto, por lo que debería ser un concepto familiar. Sin embargo, en esta sección veremos las raíces cuadradas con más detalle.

   

Por ejemplo, 3 es una raíz cuadrada de 9 ya que (3 ^ 2 = 9 ). Del mismo modo, – 4 es una raíz cuadrada de 16 ya que ((- 4) ^ 2 = 16 ). En cierto sentido, tomar una raíz cuadrada es el “opuesto” de la cuadratura, por lo que la definición de raíz cuadrada debe estar íntimamente conectada con la gráfica de (y = x ^ 2 ), la función de cuadratura. Investigamos las raíces cuadradas con más detalle buscando soluciones de la ecuación

 

(x ^ 2 = a ). (7)

 

Hay tres casos, cada uno según el valor y el signo de a. En cada caso, la gráfica del lado izquierdo de (x ^ 2 = a ) es la parábola que se muestra en Figuras 1 (a), (b) y (c).

 

     
•      

  Caso I: a <0

       

  La gráfica del lado derecho de (x ^ 2 = a ) es una línea horizontal ubicada a unidades debajo del eje x. Por lo tanto, las gráficas de (y = x ^ 2 ) e y = a no se cruzan y la ecuación (x ^ 2 = a ) no tiene soluciones reales. Este caso se muestra en Figura 1 (a). Se deduce que un número negativo no tiene raíz cuadrada.

       
     
•      

  Caso II: a = 0

       

  La gráfica del lado derecho de (x ^ 2 = 0 ) es una línea horizontal que coincide con el eje x. La gráfica de (y = x ^ 2 ) intersecta la gráfica de y = 0 en un punto, en

       

  el vértice de la parábola. Por lo tanto, la única solución de (x ^ 2 = 0 ) es x = 0, como se ve en Figura 2 (b). La solución es la raíz cuadrada de 0, y se denota ( sqrt {0} ), por lo que sigue a ( sqrt {0} = 0 ).

       
     
•      

  Caso III: a> 0

       

  La gráfica del lado derecho de (x ^ 2 = a ) es una línea horizontal ubicada a unidades sobre el eje x. Las gráficas de (y = x ^ 2 ) e y = a tienen dos puntos de intersección, y por lo tanto la ecuación (x ^ 2 = a ) tiene dos soluciones reales, como se muestra en Figura 1 [19459026 ] (C). Las soluciones de (x ^ 2 = a ) son (x = pm sqrt {a} ). Tenga en cuenta que tenemos dos notaciones, una que pide la solución positiva y otra que pide la solución negativa.

       
 

 

   

 

Veamos algunos ejemplos.

   

La gráfica del lado izquierdo de (x ^ 2 = −5 ) es la parábola representada en Figura 1 (a). La gráfica del lado derecho de (x ^ 2 = −5 ) es una línea horizontal ubicada 5 unidades debajo del eje x. Por lo tanto, los gráficos no se cruzan y la ecuación (x ^ 2 = −5 ) no tiene soluciones reales.

 

También puede razonar de la siguiente manera. Se nos pide encontrar una solución de (x ^ 2 = −5 ), por lo que debe encontrar un número cuyo cuadrado sea igual a −5. Sin embargo, cada vez que cuadras un número real, el resultado es siempre no negativo (cero o positivo). No es posible cuadrar un número real y obtener −5.

 

Tenga en cuenta que esto también significa que no es posible sacar la raíz cuadrada de un número negativo. Es decir, ( sqrt {−5} ) no es un número real.

   

Solo hay una solución, a saber, x = 0. Tenga en cuenta que esto significa que ( sqrt {0} = 0 ).

   

La gráfica del lado izquierdo de (x ^ 2 = 25 ) es la parábola representada en Figura 1 ( C). El gráfico del lado derecho de (x ^ 2 = 25 ) es una línea horizontal ubicada a 25 unidades por encima del eje x . Las gráficas se intersecarán en dos puntos, por lo que la ecuación (x ^ 2 = 25 ) tiene dos soluciones reales.

 

Las soluciones de (x ^ 2 = 25 ) se llaman raíces cuadradas de 25 y se escriben (x = pm sqrt {25} ). En este caso, podemos simplificar aún más y escribir (x = pm 5 ).

 

Es extremadamente importante observar la simetría en Figura 1 (c) y observar que tenemos dos soluciones reales, una negativa y otra positiva. Por lo tanto, necesitamos dos notaciones, una para la raíz cuadrada positiva de 25 y otra para la raíz cuadrada negativa 25.

 

Tenga en cuenta que ((5) ^ 2 = 25 ), entonces x = 5 es la solución positiva de (x ^ 2 = 25 ). Para la solución positiva, usamos la notación

 

( sqrt {25} = 5 ).

 

Esto se pronuncia “la raíz cuadrada positiva de 25 es 5”.

 

Por otro lado, tenga en cuenta que ((- 5) ^ 2 = 25 ), entonces x = −5 es la solución negativa de (x ^ 2 = 25 ). Para la solución negativa, usamos la notación

 

(- sqrt {25} = −5 ).

 

Esto se pronuncia “la raíz cuadrada negativa de 25 es −5”.

 

Esta discusión conduce al siguiente resumen detallado.

     

Raíces cúbicas : Pasemos a la definición de raíces cúbicas.

   

Por ejemplo, 2 es una raíz cúbica de 8 ya que (2 ^ 3 = 8 ). Del mismo modo, −4 es una raíz cúbica de −64 ya que ((- 4) ^ 3 = −64 ). Por lo tanto, tomar la raíz cúbica es el “opuesto” de los cubos, por lo que la definición de la raíz cúbica debe estar estrechamente relacionada con la gráfica de (y = x ^ 3 ), la función de cubos. Por lo tanto, buscamos soluciones de

 

(x ^ 3 = a ). (12)

 

Debido a la forma de la gráfica de (y = x ^ 3 ), solo hay un caso a considerar. La gráfica del lado izquierdo de (x ^ 3 = a ) se muestra en Figura 2 . La gráfica del lado derecho de (x ^ 3 = a ) es una línea horizontal, ubicada a unidades por encima, sobre o debajo del eje x, dependiendo del signo y el valor de a. Independientemente de la ubicación de la línea horizontal y = a, solo habrá un punto de intersección, como se muestra en Figura 2 .

 

Sigue un resumen detallado de las raíces cúbicas.

   

 

Veamos algunos ejemplos.

   

La gráfica del lado izquierdo de (x ^ 3 = 8 ) es el polinomio cúbico que se muestra en Figura 2 . La gráfica del lado derecho de (x ^ 3 = 8 ) es una línea horizontal ubicada a 8 unidades sobre el eje x. Los gráficos tienen un punto de intersección, por lo que la ecuación (x ^ 3 = 8 ) tiene exactamente una solución real.

 

Las soluciones de (x ^ 3 = 8 ) se denominan “raíces cúbicas de 8”. Como se muestra en el gráfico, hay exactamente una solución real de (x ^ 3 = 8 ), a saber, (x = sqrt [3] {8} ). Ahora desde ((2) ^ 3 = 8 ), se deduce que x = 2 es una solución real de (x ^ 3 = 8 ). En consecuencia, la raíz cúbica de 8 es 2, y escribimos

 

( sqrt [3] {8} = 2 ).

 

Tenga en cuenta que en el caso de la raíz cúbica, no hay necesidad de las dos notaciones que vimos en la caja de la raíz cuadrada (una para la raíz cuadrada positiva, otra para la raíz cuadrada negativa). Esto se debe a que solo hay una raíz cúbica real. Por lo tanto, la notación ( sqrt [3] {8} ) se pronuncia “la raíz cúbica de 8”.

   

Solo hay una solución de (x ^ 3 = 0 ), a saber, x = 0. Esto significa que ( sqrt [3] { 0} = 0 ).

   

La gráfica del lado izquierdo de (x ^ 3 = −8 ) es el polinomio cúbico que se muestra en Figura 2 . La gráfica del lado derecho de (x ^ 3 = −8 ) es una línea horizontal ubicada 8 unidades debajo del eje x. Los gráficos tienen solo un punto de intersección, por lo que la ecuación (x ^ 3 = −8 ) tiene exactamente una solución real, denotada (x = sqrt [3] {- 8} ). Ahora desde ((- 2) ^ 3 = −8 ), se deduce que x = −2 es una solución real de (x ^ 3 = −8 ). En consecuencia, la raíz cúbica de −8 es −2, y escribimos

 

( sqrt [3] {- 8} = −2 ).

 

Nuevamente, debido a que solo hay una solución real de (x ^ 3 = −8 ), la notación ( sqrt [3] {- 8} ) se pronuncia “la raíz cúbica de −8”. Tenga en cuenta que, a diferencia de la raíz cuadrada de un número negativo, se permite la raíz cúbica de un número negativo.

   

Raíces superiores : Las discusiones anteriores se generalizan fácilmente a raíces superiores, tales como cuarta raíz, quinta raíz, sexta raíz, etc.

   

Por ejemplo, 2 es una raíz (6 ^ {th} ) de 64 ya que (2 ^ 6 = 64 ) y −3 es una quinta raíz de −243 ya que ((- 3) ^ 5 = −243 ).

 

El caso de las raíces pares (es decir, cuando n es par) es muy similar al caso de las raíces cuadradas. Esto se debe a que cuando el exponente n es par, la gráfica de (y = x ^ n ) se parece mucho a la de (y = x ^ 2 ). Por ejemplo, observe el caso de la cuarta raíz que se muestra en Figuras 3 (a), (b) y (c).

 

 

La discusión de las raíces pares (n ^ {th} ) es muy similar a la presentada en la introducción de las raíces cuadradas, por lo que sin más preámbulos, vamos directamente al resumen.

   

Del mismo modo, el caso de las raíces impares (es decir, cuando n es impar) es muy similar al caso de las raíces cúbicas. Esto se debe a que cuando el exponente n es impar, la gráfica de (y = x ^ n ) se parece mucho a la de (y = x ^ 3 ). Por ejemplo, observe el caso de la quinta raíz que se muestra en Figura 4 .

 

 

La discusión de las raíces impares (n ^ {th} ) es muy similar a la introducción de las raíces cúbicas que discutimos anteriormente. Entonces, sin más preámbulos, procedemos directamente al resumen.

   

Observación 17. Los símbolos ( sqrt {} ) y ( sqrt [n] {} ) para raíz cuadrada y (n ^ {th} ) raíz, respectivamente, también se llaman radicales.

 

Cerraremos esta sección con algunos ejemplos más.

   

La gráfica del lado izquierdo de (x ^ 4 = 16 ) es el polinomio cuántico que se muestra en Figura 3 (c). La gráfica del lado derecho de (x ^ 4 = 16 ) es una línea horizontal, ubicada a 16 unidades por encima del eje x . Las gráficas se intersecarán en dos puntos, por lo que la ecuación (x ^ 4 = 16 ) tiene dos soluciones reales.

 

Las soluciones de (x ^ 4 = 16 ) se llaman cuarta raíz de 16 y se escriben (x = pm sqrt [4] {16} ). Es extremadamente importante observar la simetría en Figura 3 (c) y notar que tenemos dos soluciones reales de (x ^ 4 = 16 ), una de las cuales es negativa y la otra positiva. Por lo tanto, necesitamos dos anotaciones, una para la cuarta raíz positiva de 16 y otra para la cuarta raíz negativa de 16.

 

Tenga en cuenta que (2 ^ 4 = 16 ), entonces x = 2 es la solución real positiva de (x ^ 4 = 16 ). Para esta solución positiva, utilizamos la notación

 

( sqrt [4] {16} = 2 ).

 

Esto se pronuncia “la cuarta raíz positiva de 16 es 2”.

 

Por otro lado, tenga en cuenta que ((- 2) ^ 4 = 16 ), entonces x = −2 es la solución real negativa de (x ^ 4 = 16 ). Para esta solución negativa, usamos la notación

 

(- sqrt [4] {16} = −2 ). (19)

 

Esto se pronuncia “la cuarta raíz negativa de 16 es −2”.

   

La gráfica del lado izquierdo de (x ^ 5 = −32 ) es el quintic polinomial representado en [ 19459015] Figura 4 . La gráfica del lado derecho de (x ^ 5 = −32 ) es una línea horizontal, ubicada 32 unidades debajo del eje x . Las gráficas tienen un punto de intersección, por lo que la ecuación (x ^ 5 = −32 ) tiene exactamente una solución real.

 

Las soluciones de (x ^ 5 = −32 ) se denominan “quintas raíces de −32”. Como se muestra en el gráfico, hay exactamente una solución real de (x ^ 5 = −32 ), a saber, (x = sqrt [5] {- 32} ). Ahora desde ((- 2) ^ 5 = −32 ), se deduce que x = −2 es una solución de (x ^ 5 = −32 ). En consecuencia, la quinta raíz de −32 es −2, y escribimos

 

( sqrt [5] {- 32} = −2 ).

 

Debido a que solo hay una solución real, la notación ( sqrt [5] {- 32} ) se pronuncia “la quinta raíz de −32”. Nuevamente, a diferencia de la raíz cuadrada o la cuarta raíz de un número negativo, se permite la quinta raíz de un número negativo.

   

No todas las raíces se simplifican a números racionales. Si ese fuera el caso, ni siquiera sería necesario implementar una notación radical. Considere el siguiente ejemplo.

   

Podríamos dibujar fácilmente gráficos aproximados de (y = x ^ 2 ) ey = 7 a mano, pero busquemos un mayor nivel de precisión al pidiendo a la calculadora gráfica que se encargue de esta tarea.

 

     
•      

  Cargue la ecuación (y = x ^ 2 ) e y = 7 en Y1 e Y2 en el menú Y = de la calculadora, respectivamente. Esto se muestra en Figura 5 (a).

       
     
•      

  Use la utilidad de intersección en la calculadora gráfica para encontrar las coordenadas de los puntos de intersección. Las coordenadas x de estos puntos, que se muestran en Figura 5 (b) y (c), son las soluciones a la ecuación (x ^ 2 = 7 ).

       
 

 

 

Directrices para informar soluciones de calculadora gráfica . Recuerde el método estándar para informar los resultados de la calculadora gráfica en su tarea:

 

     
•      

  Copie la imagen de su ventana de visualización en su papel de tarea. Etiquete y escale cada eje con xmin, xmax, ymin e ymax, luego etiquete cada gráfico con su ecuación, como se muestra en Figura 6 .

       
     
•      

  Suelta líneas verticales discontinuas desde cada punto de intersección hasta el eje x. Sombree y etiquete sus soluciones en el eje x.

       
 

 

 

Por lo tanto, las soluciones aproximadas son ​​ (x approx −2.645751 ) o (x approx 2.6457513 ).

 

Por otro lado, para encontrar soluciones analíticas de (x ^ 2 = 7 ), simplemente tomamos más o menos la raíz cuadrada de 7.

 

(x ^ 2 = 7 )

 

( sqrt {x} = pm 7 )

 

Para comparar estas soluciones exactas con las soluciones aproximadas encontradas usando la calculadora gráfica, use una calculadora para calcular ( pm sqrt {7} ), como se muestra en Figura 7 .

 

 

Tenga en cuenta que estas aproximaciones de (- sqrt {7} ) y ( sqrt {7} ) concuerdan bastante bien con las soluciones encontradas utilizando la utilidad de intersección de la calculadora gráfica e informadas en Figura 6 [ 19459026].

 

Tanto (- sqrt {7} ) como ( sqrt {7} ) son ejemplos de números irracionales, es decir, números que no pueden expresarse en la forma ( frac {p} {q } ), donde pyq son enteros.

   

Exponentes racionales

 

Al igual que con la definición de exponentes negativos y cero, discutida anteriormente en esta sección, resulta que los exponentes racionales se pueden definir de tal manera que las Leyes de los exponentes aún se apliquen (y de hecho, solo hay una manera de hazlo).

 

La tercera ley nos da una pista sobre cómo definir exponentes racionales. Por ejemplo, supongamos que queremos definir (2 ^ { frac {1} {3}} ). Luego, por la tercera ley,

 

((2 ^ { frac {1} {3}}) ^ 3 = 2 ^ { frac {1} {3} cdot 3} = 2 ^ 1 = 2 ),

 

entonces, al tomar raíces cúbicas de ambos lados, debemos definir (2 ^ { frac {1} {3}} ). por la fórmula

 

(2 ^ { frac {1} {3}} = sqrt [3] {2} ).

 

El mismo argumento muestra que si n es un entero positivo impar, entonces (2 ^ { frac {1} {n}} ) debe definirse mediante la fórmula

 

(2 ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {2} ).

 

Sin embargo, para un número entero n, parece haber una opción. Supongamos que queremos definir (2 ^ { frac {1} {2}} ). Entonces

 

((2 ^ { frac {1} {2}}) ^ 2 = 2 ^ { frac {1} {2} cdot 2} = 2 ^ 1 = 2 ),

 

entonces,

 

(2 ^ { frac {1} {2}} = sqrt {2} ).

 

Sin embargo, la elección negativa para el exponente ( frac {1} {2} ) genera problemas, porque ciertas expresiones no están definidas. Por ejemplo, se seguiría de la tercera ley que

 

((2 ^ { frac {1} {2}}) ^ frac {1} {2} = – sqrt {- sqrt {2}} ).

 

Pero (- sqrt {2} ) es negativo, por lo que ( sqrt {- sqrt {2}} ) no está definido. Por lo tanto, solo tiene sentido usar la opción positiva. Por lo tanto, para todos los n, pares e impares, (2 ^ { frac {1} {n}} ) se define mediante la fórmula

 

(2 ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {2} ).

 

De manera similar, para un racional positivo general ( frac {m} {n} ) la tercera ley implica que

 

(2 ^ { frac {m} {n}} = (2 ^ m) ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {2 ^ m} )

 

Pero también,

 

(2 ^ { frac {m} {n}} = (2 ^ { frac {1} {n}}) ^ m = ( sqrt [n] {2}) ^ m ) [ 19459001]  

Por lo tanto,

 

(2 ^ { frac {m} {n}} = sqrt [n] {2 ^ m} = ( sqrt [n] {2}) ^ m )

 

Finalmente, los exponentes racionales negativos se definen de la manera habitual para exponentes negativos:

 

(2 ^ {- frac {m} {n}} = frac {1} {2 ^ { frac {m} {n}}} )

 

Más en general, aquí está la definición general final. Con esta definición, las Leyes de los exponentes son válidas para todos los exponentes racionales.

   

Observación 25. Para b < 0, las mismas definiciones tienen sentido solo cuando n es impar. Para el ejemplo ((- 2) ^ { frac {1} {4}} ) no está definido.

         

 

Ejercicio

 

En Ejercicios 1 – 12 , calcule el valor exacto.

                         

En Ejercicios 13 – 24 , realiza cada una de las siguientes tareas para la ecuación dada.

 

     
1.      

   Cargue los lados izquierdo y derecho de la ecuación dada en Y1 e Y2, respectivamente. Ajuste los parámetros de VENTANA hasta que todos los puntos de intersección (si los hay) sean visibles en su ventana de visualización. Use la utilidad de intersección en el menú CALC para determinar las coordenadas de cualquier punto de intersección.

        
     
2.      

   Make a copy of the image in your viewing window on your homework paper. Label and scale each axis with xmin, xmax, ymin, and ymax. Rotula cada gráfica con su ecuación. Drop dashed vertical lines from each point of intersection to the  x -axis, then shade and label each solution of the given equation on the  x -axis. Remember to draw all lines with a ruler.

        
     
3.      

   Solve each problem algebraically. Use a calculator to approximate any radicals and compare these solutions with those found in parts (1) and (2).

        
 

                         

In  Exercises 25 – 40 , simplify the given radical expression.

                                         

In  Exercises 45 – 56 , compute the exact value.

                         

​​​​​​​In  Exercises 57 – 64 , simplify the product, and write your answer in the form (x^r).

                 

​​​​​​​In  Exercises 65 – 72 , simplify the quotient, and write your answer in the form (x^r).

                 

​​​​​​​In  Exercises 73 – 80 , simplify the expression, and write your answer in the form (x^r).

                 

​​​​​​​