8.1: Introducción a la notación radical

8.1: Introducción a la notación radical

                 

Sabemos cómo cuadrar un número. Por ejemplo:

 
         
  • (5 ^ 2 = 25 )
  •      
  • ((- 5) ^ 2 = 25 )
  •  
 

Sacar la raíz cuadrada de un número es lo opuesto a la cuadratura.

 
         
  • La raíz cuadrada no negativa de (25 ) es (5 ).
  •      
  • La raíz cuadrada negativa de (25 ) es (- 5 ).
  •  
 

Por lo tanto, cuando buscamos la raíz cuadrada de un número, buscamos un número cuyo cuadrado sea igual a nuestro número.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Encuentra las raíces cuadradas de (81 ).

 

Solución

 

Estamos buscando un número cuyo cuadrado sea (81 ).

 
         
  • Debido a que (9 ^ 2 = 81 ), la raíz cuadrada no negativa de (81 ) es (9 ).
  •      
  • Debido a que ((- 9) ^ 2 = 81 ), la raíz cuadrada negativa de (81 ) es (- 9 ).
  •  
 

Por lo tanto, (81 ) tiene dos raíces cuadradas, (- 9 ) y (9 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Encuentra las raíces cuadradas de (64 ).

 
     
Respuesta
     
     

(8 ) y (- 8 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Encuentra las raíces cuadradas de (0 ).

 

Solución

 

Estamos buscando un número cuyo cuadrado sea (0 ).

 
         
  • Como (0 ^ 2 = 0 ), la raíz cuadrada no negativa de (0 ) es (0 ).
  •  
 

Ningún otro número al cuadrado será igual a cero. Por lo tanto, cero tiene exactamente una raíz cuadrada, es decir, cero.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Encuentra las raíces cuadradas de (100 ).

 
     
Respuesta
     
     

(10 ​​) y (- 10 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Encuentra las raíces cuadradas de (- 36 ).

 

Solución

 

Estamos buscando un número cuyo cuadrado sea (- 36 ). Sin embargo, cada vez que cuadras un número real, el resultado nunca es negativo. Por lo tanto, (- 36 ) no tiene raíces cuadradas reales. 1

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Encuentra las raíces cuadradas de (- 25 ).

 
     
Respuesta
     
     

sin raíces cuadradas reales

     
 
 
 

Las introducciones en los Ejemplos ( PageIndex {1} ), ( PageIndex {2} ) y ( PageIndex {3} ) conducen a la siguiente definición.

 
 

Definiendo las raíces cuadradas de un número

 

Las soluciones de (x ^ 2 = a ) se llaman raíces cuadradas de (a ).

 

Caso: (a> 0 ). La ecuación (x ^ 2 = a ) tiene dos soluciones reales, a saber, (x = pm sqrt {a} ).

 
         
  • La notación ( sqrt {a} ) requiere la raíz cuadrada no negativa.
  •      
  • La notación (- sqrt {a} ) requiere la raíz cuadrada negativa.
  •  
 

Caso: (a = 0 ). La ecuación (x ^ 2 = 0 ) tiene exactamente una solución, a saber, (x = 0 ).

 

Caso: (a <0 ). La ecuación (x ^ 2 = a ) no tiene soluciones reales.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Resuelve (x ^ 2 = 9 ) para (x ), luego simplifica tus respuestas.

 

Solución

 

Debido a que el lado derecho de (x ^ 2 = 9 ) es positivo, la ecuación tiene dos soluciones.

 

[ begin {align *} x ^ 2 & = 9 quad color {Red} text {Ecuación original.} \ x & = pm sqrt {9} quad color {Red} text {Dos respuestas:} – sqrt {9} text {y} sqrt {9} end {align *} nonumber ]

 

Para simplificar estas respuestas, necesitamos comprender los siguientes hechos:

 
         
  • ( sqrt {9} ) solicita la raíz cuadrada no negativa de (9 ). Como ((3) ^ 2 = 9 ), la raíz cuadrada no negativa de (9 ) es (3 ). Por lo tanto, ( sqrt {9} = 3 ).
  •      
  • (- sqrt {9} ) requiere la raíz cuadrada negativa de (9 ). Como ((- 3) ^ 2 = 9 ), la raíz cuadrada negativa de (9 ) es (- 3 ). Por lo tanto, (- sqrt {9} = – 3 ).
  •  
 

Por lo tanto, las soluciones de (x ^ 2 = 9 ) son (x = pm 3 ), lo que equivale a decir » (x = −3 ) o (x = 3 ) . »

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Resuelve (x ^ 2 = 16 ) para (x ), luego simplifica tus respuestas.

 
     
Respuesta
     
     

(4 ), (- 4 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Resuelve (x ^ 2 = 0 ) para (x ), luego simplifica la respuesta.

 

Solución

 

Solo hay un número cuyo cuadrado es igual a (0 ), a saber, (0 ).

 

[ begin {align *} x ^ 2 & = 0 quad color {Red} text {Ecuación original.} \ x & = 0 quad color {Red} text {Una respuesta: } (0) ^ 2 = 0. end {align *} nonumber ]

 

Por lo tanto, la única solución de (x ^ 2 = 0 ) es (x = 0 ). En consecuencia, la raíz cuadrada no negativa de cero es cero. Por lo tanto, ( sqrt {0} = 0 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Resuelve (x ^ 2 = 49 ) para (x ), luego simplifica las respuestas.

 
     
Respuesta
     
     

(7 ), (- 7 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Resuelve (x ^ 2 = −4 ) para (x ), luego simplifica la respuesta.

 

Solución

 

No se puede elevar al cuadrado un número real y obtener un resultado negativo. Por lo tanto, (x ^ 2 = −4 ) no tiene soluciones reales. Por lo tanto, ( sqrt {-4} ) no es un número real.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Resuelve (x ^ 2 = −9 ) para (x ), luego simplifica las respuestas.

 
     
Respuesta
     
     

sin soluciones reales

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Simplifique cada uno de los siguientes:

 
         
  1. ( sqrt {121} )
  2.      
  3. – ( sqrt {225} )
  4.      
  5. ( sqrt {-100} )
  6.      
  7. – ( sqrt {324} )
  8.  
 

Solución

 

Recuerde, la notación ( sqrt {a} ) requiere la raíz cuadrada no negativa de (a ), mientras que la notación – ( sqrt {a} ) requiere la raíz cuadrada negativa de (una).

 
         
  1. Debido a que (11 ^ 2 = 121 ), la raíz cuadrada no negativa de (225 ) es (- 15 ). Por lo tanto: [- sqrt {225} = -15 nonumber ]
  2.      
  3. Debido a que ((- 15) ^ 2 = 225 ), la raíz cuadrada no negativa de (121 ) es (11 ). Por lo tanto: [ sqrt {121} = 11 nonumber ]
  4.      
  5. No puede cuadrar un número real y obtener (- 100 ). Por lo tanto, ( sqrt {-100} ) no es un número real.
  6.      
  7. Debido a que ((- 18) ^ 2 = 324 ), la raíz cuadrada no negativa de (324 ) es (- 18 ). Por lo tanto: [- sqrt {324} = -18 nonumber ]
  8.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Simplificar: (- sqrt {144} )

 
     
Respuesta
     
     

(- 12 )

     
 
 
 

La cuadratura «deshace» la raíz cuadrada.

 
 

Cuadrado de raíces cuadradas

 

Si (a> 0 ), entonces (- sqrt {a} ) y ( sqrt {a} ) son soluciones de (x ^ 2 = a ). En consecuencia, si sustituimos cada uno de ellos en la ecuación (x ^ 2 = a ), obtenemos:

 

((- sqrt {a}) ^ 2 = a ) y (( sqrt {a}) ^ 2 = a )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

 
         
  1. (( sqrt {5}) ^ 2 )
  2.      
  3. ((- sqrt {7}) ^ 2 )
  4.      
  5. (( sqrt {-11}) ^ 2 )
  6.  
 

Solución

 

Manejaremos cada caso con cuidado.

 
         
  1. Debido a que ( sqrt {5} ) es una solución de (x ^ 2 = 5 ), si ajustamos al cuadrado ( sqrt {5} ), deberíamos obtener (5 ). [( sqrt {5}) ^ 2 = 5 nonumber ]
  2.      
  3. Debido a que (- sqrt {7} ) es una solución de (x ^ 2 = 7 ), si ajustamos (- sqrt {7} ), deberíamos obtener (7 ) . [(- sqrt {7}) ^ 2 = 7 nonumber ]
  4.      
  5. Debido a que (x ^ 2 = −11 ) no tiene respuestas reales, ( sqrt {-11} ) no es un número real. Los cursos avanzados como álgebra universitaria o trigonometría introducirán el complejo sistema de números y mostrarán cómo manejar esta expresión.
  6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Simplifique: ((- sqrt {21}) ^ 2 )

 
     
Respuesta
     
     

(21 )

     
 
 
 

Usando la calculadora gráfica

 

Hasta este punto, la ecuación (x ^ 2 = a ) ha involucrado cuadrados perfectos. Por ejemplo, si comenzamos con (x ^ 2 = 25 ), entonces las soluciones son (x = pm sqrt {25} ). Como (25 ) es un cuadrado perfecto, podemos simplificar aún más, llegando a (x = pm 5 ).

 

Sin embargo, el lado derecho de (x ^ 2 = a ) no tiene que ser un cuadrado perfecto. Por ejemplo, la ecuación (x ^ 2 = 7 ) tiene dos soluciones reales, (x = pm sqrt {7} ). Como (7 ) no es un cuadrado perfecto, no podemos simplificar más. En el siguiente ejemplo, usaremos la calculadora gráfica para comparar esta solución algebraica con una solución gráfica y, con un poco de suerte, aseguraremos que (- sqrt {7} ) y ( sqrt {7} ) son perfectamente válidas soluciones de (x ^ 2 = 7 ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Usa la calculadora gráfica para resolver (x ^ 2 = 7 ). Luego resuelve la ecuación algebraicamente y compara las respuestas.

 

Solución

 

Ingrese cada lado de la ecuación (x ^ 2 = 7 ) en el menú Y = (vea la Figura ( PageIndex {1} )), luego seleccione 6: ZStandard para producir la imagen en la Figura ( PageIndex {1} ).

 
fig 8.1.1.png  
Figura ( PageIndex {1} ): Dibuje cada lado de (x ^ 2 = 7 ).
 
 

Use la utilidad 5: intersect en el menú CALC para encontrar los puntos de intersección. Presione ENTER en respuesta a «Primera curva», presione ENTER en respuesta a «Segunda curva», luego use las teclas de flecha para acercar el cursor al punto de intersección a la izquierda que el de la derecha. Presione ENTER en respuesta a «Guess». Esto producirá el punto de intersección que se muestra en la imagen de la izquierda en la Figura ( PageIndex {2} ). Repita el procedimiento para encontrar el punto de intersección en la imagen de la derecha en la Figura ( PageIndex {2} ).

 
fig 8.1.2.png  
Figura ( PageIndex {2} ): Encontrar puntos de intersección.
 
 

Las soluciones aproximadas de (x ^ 2 = 7 ) son (x≈− 2.645751 ) y (x ≈2.6457513 ).

 

Informar la solución en su tarea: Duplique la imagen en la ventana de visualización de su calculadora en su página de tarea. Use una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada cualquier curva.

 
         
  • Etiquete los ejes horizontal y vertical con (x ) e (y ), respectivamente (consulte la Figura ( PageIndex {3} )).
  •      
  • Coloque sus parámetros WINDOW al final de cada eje (consulte la Figura ( PageIndex {3} )).
  •      
  • Etiquete cada gráfico con su ecuación (vea la Figura ( PageIndex {3} )).
  •      
  • Suelta líneas verticales discontinuas a través de cada punto de intersección. Sombree y etiquete los valores de x de los puntos donde la línea vertical punteada cruza el eje x. Estas son las soluciones de la ecuación (x ^ 2 = 7 ) (ver Figura ( PageIndex {3} )).
  •  
 
fig 8.1.3.png  
Figura ( PageIndex {3} ): Informar su solución gráfica en su tarea.
 
 

Ahora resolvemos la ecuación algebraicamente.

 

[ begin {align *} x ^ 2 & = 7 \ x & = pm sqrt {7} end {align *} nonumber ]

 

En este punto, la pregunta es: «¿Estas soluciones algebraicas coinciden con las soluciones gráficas en la Figura ( PageIndex {3} )?» Usemos nuestra calculadora para comparar resultados. Ubique el símbolo de raíz cuadrada ( sqrt {} ) en la caja de la calculadora sobre la tecla (x ^ 2 ) en la columna más a la izquierda en el teclado de la calculadora. Tenga en cuenta que tendremos que usar la tecla (2 ^ {nd} ) para acceder a este operador. Ingrese (- sqrt {(7)} ) y presione ENTER . Luego ingrese ( sqrt {(7)} ) y presione ENTER . Los resultados se muestran en la Figura ( PageIndex {4} ).

 
fig 8.1.4.png  
Figura ( PageIndex {4} ): Computación (- sqrt {7} ) y ( sqrt {7} ).
 
 

Por lo tanto, (- sqrt {7} ≈− 2.645751311 ) y ( sqrt {7} ≈ 2.645751311 ). Observe cómo estos coinciden estrechamente con las aproximaciones gráficas en la Figura ( PageIndex {3} ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Resuelve la ecuación (x ^ 2 = 5 ) tanto algebraicamente como gráficamente, luego compara tus respuestas.

 
     
Respuesta
     
     

(- sqrt {5} ), ( sqrt {5} )

     

Ex 8.1.9.png

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Usa la calculadora gráfica para resolver (x ^ 2 = −5 ). Luego resuelve la ecuación algebraicamente y compara las respuestas.

 

Solución

 

Ingrese cada lado de la ecuación (x ^ 2 = −5 ) en el menú Y = (vea la Figura ( PageIndex {5} )), luego seleccione 6 : ZStandard para producir la imagen en la Figura ( PageIndex {5} ).

 
fig 8.1.5.png  
Figura ( PageIndex {5} ): Dibuje cada lado de (x ^ 2 = −5 ).
 
 

Informar la solución en su tarea: Duplique la imagen en la ventana de visualización de su calculadora en su página de tarea. Use una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada cualquier curva.

 
         
  • Etiquete los ejes horizontal y vertical con (x ) e (y ), respectivamente (consulte la Figura ( PageIndex {6} )).
  •      
  • Coloque sus parámetros de VENTANA al final de cada eje (consulte la Figura ( PageIndex {6} )).
  •      
  • Etiquete cada gráfico con su ecuación (vea la Figura ( PageIndex {6} )).
  •  
 

Debido a que no hay puntos de intersección, el gráfico en la Figura ( PageIndex {6} ) nos informa que la ecuación (x ^ 2 = −5 ) no tiene soluciones reales. Ahora resolvemos la ecuación algebraicamente. (x ^ 2 = −5 ) Sin embargo, no puede elevar al cuadrado un número real y obtener una respuesta negativa. Por lo tanto, la ecuación (x ^ 2 = −5 ) no tiene soluciones reales. Esto concuerda completamente con el gráfico de la Figura ( PageIndex {6} ).

 
fig 8.1.6.png  
Figura ( PageIndex {6} ): Informar su solución gráfica en su tarea.
 
 
 

Raíces cuadradas aproximadas

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {1} ): Lista de cuadrados
(n ) (n ^ 2 )
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
7 49
8 64
9 81
10 100
11 121
12 144
13 169
14 196
15 225
16 256
17 289
18 324
19 361
20 400
21 441
22 484
23 529
24 576
25 625
 

Los cuadrados de la «Lista de cuadrados» que se muestran en la Tabla ( PageIndex {1} ) se llaman cuadrados perfectos . Cada uno es el cuadrado de un número entero. Pero no todos los números son cuadrados perfectos. Por ejemplo, en el caso de ( sqrt {24} ), no hay un número entero cuyo cuadrado sea igual a (24 ). Sin embargo, esto no impide que ( sqrt {24} ) sea un número perfectamente bueno.

 

Podemos usar la “Lista de cuadrados” para encontrar aproximaciones decimales cuando el radicando no es un cuadrado perfecto.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Estima ( sqrt {24} ) adivinando. Use una calculadora para encontrar un resultado más preciso y compare este resultado con su suposición.

 

Solución

 

De la «Lista de cuadrados», tenga en cuenta que (24 ) se encuentra entre (16 ) y (25 ), por lo que ( sqrt {24} ) se ubicará entre (4 ) y (5 ), con ( sqrt {24} ) mucho más cerca de (5 ) que de (4 ).

 

Example 8.1.11.png

 

Supongamos que [ sqrt {24} ≈ 4.8 nonumber ]. Como cheque, vamos al cuadrado [4.8. (4.8) ^ 2 = (4 .8) (4.8) = 23.04 nonumber ] ¡No del todo (24 )! Claramente, ( sqrt {24} ) debe ser un poco más grande que (4.8 ).

 

Usemos una calculadora científica para obtener una mejor aproximación. Desde nuestra calculadora, usando el botón de raíz cuadrada, encontramos [ sqrt {24} ≈ 4.89897948557 nonumber ].

 

Aunque esto es mejor que nuestra estimación de (4.8 ), sigue siendo solo una aproximación. Nuestra calculadora solo era capaz de proporcionar (11 ) lugares decimales. Sin embargo, la representación decimal exacta de ( sqrt {24} ) es un decimal infinito que nunca termina y nunca establece un patrón de repetición.

 

Solo por diversión, aquí hay una aproximación decimal de ( sqrt {24} ) que es precisa para (1000 ) lugares, cortesía de www.wolframalpha.com

 

Example 8.1.11a.png

 

Si multiplicara este número por sí mismo (cuadre el número), obtendría un número extremadamente cercano a (24 ), pero no sería exactamente (24 ). Todavía habría una pequeña discrepancia.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Estimación: ( sqrt {83} )

 
     
Respuesta
     
     

(9.1 )

     
 
 
 

Referencia

 

1 Cuando decimos que (- 36 ) no tiene raíces cuadradas reales, queremos decir que no hay números reales que sean raíces cuadradas de (- 36 ). La razón por la que enfatizamos la palabra real en esta situación es el hecho de que (- 36 ) tiene dos raíces cuadradas que son elementos de los números complejos, un conjunto de números que generalmente se introducen en cursos avanzados como álgebra universitaria o trigonometría .

 
                                  
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